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2.1.2 指数函数及其性质 第二课时


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2.1.2 指数函数及其性质 第二课时 第二课时 指数函数及其性质的应用

利用函数单调性比较大小问题

[例 1] 比较下列各题中两个值的大小. (1)1.73.5,1.73 (2)2.3
-0.28, -3.1

0.67

[自主解答] (1)∵指数函数 y=1.7x 是增函数,而 3.5>3 故而 1.73.5>1.73. (2)∵y=2.3x 为增函数, ∴2.3
-0.28

<2.30= 1.

又∵y=0.67x 为减函数, ∴0.67 ∴0.67
-3.1 -3.1

>0.670=1. >1>2.3 >2.3

[来源:学科网]

-0.28



即 0.67

-3.1

-0.28

. —————————————

—————

在进行指数式的大小比较时: (1)指数不同,底数相同,利用指数函数的单调性来解决; (2)底数不同,指数也不同;采用中介值法 ,取 a0=1 作为中介来比较. ——————————————————————————————————————— —

1.比较下列各题中两个值的大小: (1)1.82.2,1.83; (2)0.7
-0.3,

0.7

-0.4



(3)1.90.4,0.92.4. 解:(1)∵1.82.2,1.83 可看作函数 y=1.8x 的两个函数值, ∵1.8>1,∴y =1.8x 在 R 上为增函数, ∴1.82.2<1.83. (2)∵y=0.7x 在 R 上为减函数, 又∵-0.3>-0.4,∴0.7
-0.3

<0.7

-0.4

.

(3)∵1.90.4>1.90=1,0.92.4<0.90=1,
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∴1.90.4>0.92.4. 求解指数不等式

[例 2] 如果 a

-5x

>ax 7(a>0,且 a≠1),求 x 的取值范围.
-5x



[自主解答] ①当 a>1 时,∵a 7 ∴-5x>x+7,解得 x<- . 6 ②当 0<a<1 时,∵a
-5x

>ax 7,



>ax 7,



7 ∴-5x<x+7,解得 x>- . 6 7 综上所述,当 a>1 时,x 的取值范围是:x<- ; 6 7 当 0<a<1 时,x 的取值范围是:x>- . 6

若将“a

-5x

>ax 7(a>0,且 a≠1)”改为“(a2+a+2)



-5x

>(a2+a+2)x 7”,如何求解?



1 7 解:∵a2+a+2=(a+ )2+ >1, 2 4 ∴y=(a2+a+2)x 在 R 上是增函数. 7 ∴-5x>x+7,即 x<- , 6 7 ∴x 的取值范围是 x<- . 6

—————

—————————————

解指数不等式问题,需注意三点: ?1 ?形如 ax>ay 的不等式,借助 y=ax 的单调性求解,如果 a 的取值不确定,需分 a>1 与 0<a<1 两种情况讨论; ?2?形如 ax>b 的不等式,注意将 b 化为以 a 为底的指数幂的形式,再借助 y=ax 的单调 性求解; ?3?形如 ax>bx 的形式,利用图象求解. ——————————————————————————————————————— —

2.解下列不等式: 1 - (1)2x>8;(2)( )x> 2;(3)0.32 x2>1. 2 解:(1)∵2x>8=23 且 y=2x 为增函数,

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∴x>3. 1 1 ? 1 (2)( )x> 2=2 2 =( ) 2 且 y=( )x 为减函数, 2 2 2 1 ∴x<- . 2 (3)0.32-x2>1=0.30 且 y=0.3x 为减函数, ∴2-x2<0,x> 2或 x<- 2. 指数函数的实际应用题
1 1

[例 3] 某乡镇现在人均一年 占有粮食 360 kg,如果该乡镇人口平均每年增长 1.2%,粮 食总产量平均每年增长 4%,那么 x 年后 若人均一年占有 y kg 粮食,求 y 关于 x 的函数解析 式.
[来源:学科网]

[自主解答] 设该乡镇现在人口数量为 M, 则该乡镇现在一年的粮食总产量为 360M kg. 1 年后,该乡镇粮食总产量为 360M(1+4%)kg,人口数量为 M(1+1.2%), 360M?1+4%? 则人均一年占有粮食为 kg, M?1+1.2%? 360M?1+4%?2 2 年后,人均一年占有粮食为 kg, M?1+1.2%?2 360M?1+4%?x 1.04 x x 年后, 人均一年占有粮食为 y= kg, 即所求函数解析式为 y=360( ) (x 1.012 M?1+1.2%?x ∈N*). ————— —————————————

某量原值为 a,通过若干次变化,每次比上一次的增长率或减少率为 r,则 x 次后该量 的值变为 a(1+r)x 或 a(1-r)x. ——————————————————————————————————————— —

3.1980 年我国人均收入 255 美元,到 2000 年人民生活达到小康水平,人均收入为 817 美元,则年平均增长率是多少(精确到 1%)?若以不低于此增长率的速度递增,则到 2020 年 人均收入至少为多少美元(精确到 1 美元)? 解:设年平均增长率是 x,由题意得 y=255×(1+x)n,因为到 2000 年人均收入为 817 美元, 即 n=2 000-1 980=20 时,y=817, 所以 817=255×(1+x)20. 所以 x≈0.06. 到 2020 年,即 n=2 020-1 980=40.
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此时 y=255×(1+0.06)40≈2 623 . 即年平均增长率是 6%,若以不低于此增长率的速度递增,则到 2020 年人均收入至少 是 2 623 美元.

解题高手

妙解题

同样的结果,不一样的过程,节省解题时间, 也是得分!

已知 a>0 且 a≠1,讨论函数 f(x)=a-x2+3x+2 的单调性. [巧思] 求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成 y=f(u), u=φ(x),通过考查 f(u)和 φ(x)的单调性,求出 y=f(φ(x))的单调性.一般情况下,两个函数 都是增函数或都是减函数,则其复合函数是增函数;若两个函数中一增一减,则其复合函数 是减函数,但一定要注意复合函数的定义域.这是一道与指数函数有关的复合函数讨 论单 3 17 3 3 调性的题目,指数-x2+3x+2=-(x- )2+ ,当 x≥ 时是减函数;当 x< 时是增函数, 2 4 2 2 而 f(x)的单调性又与 a 的取值范围有关,应分类讨论.

3 17 [妙解] 设 u=-x2+3x+2=-(x- )2+ , 2 4 3 则当 x≥ 时,u 是减函数, 2 3 当 x< 时,u 是增函数. 2 又因为当 a>1 时,y=au 是增函数, 当 0<a<1 时,y=au 是减函数, 3 3 所以当 a>1 时,原函数 f(x)=a-x2+3x+2 在[ ,+∞)上是减函数,在(-∞, )上是增 2 2 函数. 3 3 当 0<a<1 时,原函数 f(x)=a-x2+3x+2 在[ ,+ ∞)上是增函数,在(-∞, )上是减 2 2 函数.

1.下列各关系中,正确的是( 1 1 1 A.( ) 3 <( ) 3 <( ) 3 2 5 2
2 2 1

) 1 1 1 B.( ) 3 <( ) 3 <( ) 3 2 2 5
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1 2 2

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2 1 2 2 2 1

1 1 1 C.( ) 3 <( ) 3 <( ) 3 5 2 2 1 1 2 解析:函数 y=( )x 为减函数,而 < . 2 3 3 1 1 1 1 1 1 ∴( ) 3 >( ) 3 ,又∵ > ,∴( ) 3 >( ) 3 . 2 2 2 5 2 5 答案:D
1 2 2 2

1 1 1 D.( ) 3 <( ) 3 <( ) 3 5 2 2

1 2.已知函数 f(x)=( )x 在[-1,0]上的最大值是( 3 A.-1 C.1 B.0 D.3

)

1 解析:∵函数 y=( )x 在[-1,0]上为单调减函数, 3 1- ∴y 最大=( ) 1=3. 3 答案:D 1 + 1 - 3.若( )2a 1<( )3 2a,则实数 a 的取 值范围是( 4 4 1 A.( ,+∞) 2 C.(-∞,1) 1 解析:∵函数 y=( )x 为单调减函数, 4 1 + 1 - 且( )2a 1<( )3 2a,则有 2a+1>3-2a, 4 4 1 4a>2,∴a> . 2 答案:A 4.方程 4x-2x 1-3=0 的解是________. 解析:原方程可化为(2x)2-2(2x)-3=0,解得 2x=3 或 2x=-1, ∵2x>0,∴2x=3, ∴x=log23.故答案为 log23. 答案:log23 1 5.已知函数 f(x)=a- x ,若 f(x)为奇函数,则 a=________. 2 +1 解析:∵函数 f(x)为奇函数, 1 ∴f(0)=a- =0. 2
[来源:学|科|网] [来源:学科网 ZXXK]

)

B.(1,+∞) 1 D.(-∞, ) 2



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1 ∴a= . 2 1 答案: 2 1 - 1 6.已知 2x≤( )x 3,求函数 y=( )x 的值域. 4 2 1 - - 解:∵2x≤( )x 3,即 2x≤26 2x, 4 ∴x≤6-2x,∴x≤2. 1 1 1 ∴y=( )x≥( )2= , 2 2 4 1 ∴函数值域是[ ,+∞). 4

一、选择题

[来源:Zxxk.Com]

1 + 1.已知集合 M={-1,1},N={x| <2x 1<4,x∈Z},则 M∩N 等于( 2 A.{-1,1} C.{0} B.{-1} D.{-1,0}

)

1 + - + 解析:∵ <2x 1<4,2 1<2x 1<22,且 y=2x 是增函数. 2 ∴-1<x+1<2, -2<x<1. ∴N={x|-2<x<1,x∈Z}={-1,0}. ∴M∩N={-1}. 答案:B 2.如果函数 f(x)=(1-2a)x 在实数集 R 上是减函数,那么实数 a 的取值范围是( 1 A.(0, ) 2 1 C.(-∞, ) 2 解析:∵f(x)=(1-2a)x 为减函数, ∴0<1-2a<1,-1<2a-1<0, 1 0<2a<1,0<a< . 2 答案:A 3.预测人口的变化趋势有多种方法,最常用的是“直接推算法”,使用的公式是 Pn= P0(1+k)n(k 为常数),其中 Pn 为预测期内 n 年后的人口数,P0 为初期人口数,k 为预测期内 的年增长率,如果-1<k<0,那么在这期间人口数( )
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)

1 B.( ,+∞) 2 1 1 D.(- , ) 2 2

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A.呈上升趋势 C.先上升后下降
n

B.呈下降趋势 D.先下降后上升

解析:Pn=P0(1+k) 是指数型函数,∵-1<k<0, ∴0<1+k<1.由 y=ax(0<a<1)是(-∞,+∞)上的减函数可知,人口数呈下降趋势. 答案:B 1 1 4.已知实数 a,b 满足等式( )a=( )b,下列五个关系式: 2 3 ①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b. 其中不可能成立的关系有( A.1 个 C.3 个 ) B.2 个 D.4 个

1 1 解析:如图所示,在同一坐标系中作出函数 y=( )x 和 y=( )x 2 3 1 1 1 1 的图象,由 ( )a=( )b 可知点(a,( )a)和点(b,( )b)的纵坐标相同, 2 3 2 3 此时有三种情况,第一种是 a=b=0 时,即两点都在(0,1)处时取 得, 另外两种情况如图所示的两直线与两函数相交时的 a, 关系, b 由图易知可能是 a<b<0 和 0<b<a,因此只有①②⑤是可能成立的. 答案:B 二、填空题 5.函数 y= 2x-1的定义域是________. 解析:要使函数有意义则 2x-1≥0 即 x≥0. 答案:[0,+∞) 6.设函数 f(x)=x(ex+a· x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为________. e 解析:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x). 而 f(-x)=-x(e x+a·x)=-axex-xe x=xex+axe x,∴-a=1,即 a=-1. e 答案:-1 1 7 .函数 f(x)=( )x-1,x∈[-1,2]的值域为________. 3 1 解析:∵函数 f(x)=( )x-1 为[-1,2]上单调减函数,∴f(x)max=f(-1)=3-1=2. 3 1 8 f(x)min=f(2)= -1=- . 9 9 8 答案:[- ,2] 9 8.若函数 y=a2x+2ax-1(a>1)在[-1,1]上有最大值 14,则实数 a 的值为________.
- - - -

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1 1 解析:令 t=ax∈[ ,a],则原函数可化为: y=t2+2t-1=(t+1)2-2,易知在[ ,a]上 a a 是单调增函数.则 a2+2a-1=14,解之得 a=3 或 a=-5(舍去). ∴实数 a 的值为 3. 答案:3 三、解答题 9.已知函数 f(x)=ax 在 x∈[-2,2]上恒有 f(x)<2,求实数 a 的取值范围. 解:当 a>1 时,f(x)=ax 在[-2,2]上为增函数, ∴f(x)max=f(2). 又∵x∈[-2,2]时,f(x)<2 恒成立,
?a>1, ? ? ?a>1, ∴? 即? 2 ? ? ?a <2 ?f?2?<2

解得 1<a< 2. 同理,当 0<a<1 时,
?0<a<1, ? ? ? ?f?x?max=f?-2?<2

解得

2 <a<1. 2 2 ,1)∪(1, 2). 2

综上所述,a∈(

1 10.讨论函数 f(x)=( )x2-2x 的单调性. 3 解:∵函数 f(x)的定义域是 R. 1 令 u=x2-2x,则 f(u)=( )u 3 ∵u=x2-2x=(x-1)2-1 在(-∞,1]上是减函数, 1 又∵f(u)=( )u 在其定义域内是减函数, 3 ∴函数 f(x)在(-∞,1]上是增函数; 又 u=x2-2x=(x-1)2-1 在[1,+∞)上是增函数, 1 ∵f(u)=( )u 在其定义域内是减函数, 3 ∴函数 f(x)在[1,+∞)上是减函数.

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