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二2014理科函数Word 文档



2014 高考数学辅导《函数》
重要概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
请你注意: 1.在函数问题中, 你是否优先考虑了函数的定义域?函数中是否含有字母?你是否对字母进 行了讨论?希望你养成遇到字母就讨论的习惯。 2.研究函数就是研究什么?(六大性质及图像)定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、 对称性、是否过定点、与坐标轴的交点、图像怎样、函数的变化趋势

怎样、x 在什么范围内 函数值是正值、x 在什么范围内函数值是负值、你是否知道奇函数在 x=0 处有意义时(也就 是 0 在定义域内)f(0)=0 3.在分段函数中,你代入函数关系时,是否考虑了自变量取值范围的限制? 4.在指数函数、对数函数中,你是否注意到了底数 a 对单调性的影响?你是否考虑了复合函 数的单调性遵循同增异减的规律?你是否考虑了对数的真数大于零这一限制?在幂函数中
1 你是否能快速作出幂指数为 1、2、3、 2 、-1 的图像,并说书它的性质?(如过的特殊点及

不过的特殊点,单调性、奇偶性、对称性、渐近线及定义域等等) 5.函数最值有几种求法??有关字母的函数最值问题应如何处理?

a ? f ( x)恒成立 ? a ? f ( x)max a ? f( x ) 恒成立 ? a? f ( m x )i n f ( x) ? g ( x)恒成立 ? f ( x)min ? g ( x)max f ( x)? g ( x 恒成立 ) ? f (m x) g( m x)i n ax ? a ? f ( x)能成立 ? a ? f ( x)min a ? f ( x)能成立 ? a ? f ( x)max f ( x) ? g ( x)能成立 ? f ( x)min ? g ( x)max f ( x)? g ( x 能成立 ) ? f (m xa )x ? g( m x)i n a ? f ( x)能成立或有解 ,a 的范围就是 f(x)的值域
6.对于函数图像问题你如何判断?对于未知函数图像问题如何着手?你注意到单调性、奇偶 性、周期性、对称性、过定点以及自变量取定义域中的临界值时函数图象的变化趋势了吗? 函数图象是否有对折的情形? 7.对于超越函数问题你是否考虑到了数形结合这一工具?你是否注意到了临界取值的变化 情况? 8.何谓函数的零点?函数的零点与方程的根有何关系?如何确定函数的零点?对于方程 f

? y ? f ( x) ? y ? g ( x) 的图像解决吗? (x)=g(x)的零点你能用 ?
9.对于二次函数问题,你是否首先注意到了图像的开口、对称轴、判别式、单调性、对称性、 定义域、跟的分布等。 10.对于抽象函数要注意联想对应的初等函数的解决方法,如:

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)或f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) x f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y )或f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) y f ( x) f ( x ? y) ? f ( x) f ( y)或f ( x ? y ) ? f ( y) x f ( x) f ( xy ) ? f ( x) f ( y )或f ( ) ? y f ( y) f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) ? 2 f ( x) f ( y ) f ( x) ? f ( y ) f ( x ? y) ? 1 ? f ( x) f ( y ) 二、 知识梳理

y? kx

y?log a x y ? ax y ? x2
y?cos x

y?tan x

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?映射定义:设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个元素 x, ? 在集合B中都有唯一确定的元素 y与之对应,那么就称对应 f :A ? B为从集合A到集合B的一个映射 ? 传统定义:如果在某变化中有两个变量 x , y , 并且对于x在某个范围内的每一个确定的值, ? ?定义 按照某个对应关系 f , y都有唯一确定的值和它对应。那么 y就是 x的函数。记作 y ? f ( x ). ? ? 近代定义:函数是从一个数集到另一个数集的映射。 ? 定义域 ? ? ?函数及其表示 函数的三要素 值域 ? ? ? 对应法则 ? ? ? ?解析法 ? ? 函数的表示方法 ?列表法 ? ? ? 图象法 ? ? ? ?传统定义:在区间? a ,b?上,若 a? x ? x ?b ,如 f ( x )? f ( x ),则f ( x ) 在?a ,b ?上递增, ?a ,b ?是 ? 1 2 1 2 ? ? 递增区间;如 f ( x )? f ( x ),则 f ( x ) 在?a ,b ?上递减, ?a ,b?是的递减区间。 ? ?单调性? 1 2 ? 导数定义:在 区间 a , b 上,若 f ( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 在 a , b 上递增 , a , b ?是递增区间;如 f ( x )?0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则 f ( x ) 在 a , b 上递减 , a , b 是的递减区间。 ? ? ? ? ? ? ? ? ?最大值:设函数 y ? f ( x )的定义域为I,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的 x?I,都有 f ( x )?M ; ? ? (2)存在 x ?I,使得 f ( x )?M。则称M 是函数 y ? f ( x )的最大值 ? ?函数的基本性质 ?最值???最小值:设函数 y? f ( x )的定义域为 0 0 I,如果存在实数N 满足:(1)对于任意的 x?I,都有 f ( x )? N; 函数 ? ? ? (2)存在 x ?I,使得 f ( x )? N。则称N 是函数 y ? f ( x )的最小值 ? ? 0 0 ? ? (1) f ( ? x ) ?? f ( x ), x ? 定义域 D ,则 f ( x ) 叫做奇函数,其图象关于原点对称。 ? ? ?奇偶性? ?( 2) f ( ? x )? f ( x ), x?定义域D,则 f ( x ) 叫做偶函数,其图象关于y轴对称。 ? ? ? 奇偶函数的定义域关于原点对称 ? ? ?周期性:在函数f ( x )的定义域上恒有 f ( x ?T )? f ( x )( T ?0的常数 ) 则f ( x ) 叫做周期函数,T 为周期; ? T的最小正值叫做f ( x )的最小正周期,简称周期 ? ? ? ( ? 1)描点连线法:列表、描点、连线 ? ? ? ?向左平移? 个单位:y ? y , x ?a ? x? y ? f ( x? a ) ? ? ?向右平移a个单位:y 1? y , x 1? a ? x? y ? f ( x?a ) ? ? ? 1 1 ? ? ?平移变换?向上平移b个单位:x ? x , y ?b? y? y ?b? f ( x ) ? 1 1 ? ? ?向下平移b个单位:x ? x , y ?b? y? y ?b? f ( x ) ? ? ? ? 1 1 ? ? ?横坐标变换:把各点的横坐标x1缩短(当w?1时)或伸长(当 0?w?1时) ? ? ? ? 到原来的 1/ w倍(纵坐标不变),即 x ?wx? y ? f ( wx ) ? ?伸缩变换? 1 ? ? ? 纵坐标变换:把各点的纵坐标 y1伸长(A?1) 或缩短(0? A?1) 到原来的A倍 ? ? ? ? (横坐标不变), 即y ? y / A? y ? f ( x ) ? ? ? ? 1 ? 函数图象的画法 ? ? ( ? ? 2)变换法? ? x? x1 ?2 x 0 ? ? x ?2 x ? x ? ?关于点 ( x0 , y 0 ) 对称: ? y ? y ?2 y ?? y1 ?2 y0 ? y?2 y 0 ? y ? f ( 2 x0 ? x ) ? ? ? 1 0 ? ?1 0 ? ? ? ? ? ? ? x1 ?2 x 0 ? x ? ? ? ? x ? x1 ?2 x0 ? ?关于直线 x? x 对称: ?? ? y? f ( 2 x ?x ) ? y? y ? ? y ?y 0 0 ? ? ? ? 1 ? 1 ? ? 对称变换? ? ? x ? x x ? x ? ? ? ? 1 ? ?关于直线 y ? y 对称: ? ? ? y ? y ?2 y ?? y1 ?2 y ? y?2 y 0 ? y ? f ( x ) 0 ? 0 ?1 ?1 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? x ? x1 ? ? 1 ? ? ? ? y? y ? y? f ( x ) ? ?关于直线 y ? x对称: ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

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一、函数的定义域的常用求法: 1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数≥0;3、对数的真数大于零;4、 指 数 函 数 和 对 数 函 数 的 底 数 大 于 零 且 不 等 于 1 ; 5 、 正 切 函 数 y ? tan x 中

x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) 6、如果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义

确定其取值范围。复合函数内层的值域不能超过外层的定义域 二、函数的解析式的常用求法: 1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法 三、函数的值域的常用求法: 1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法; 7 导数法,9 有界性 10 转化法 四、函数的最值的常用求法同上: 五、函数单调性的常用结论: 1、若 f ( x), g ( x) 均为某区间上的增(减)函数,则 f ( x) ? g ( x) 在这个区间上也为 增(减)函数 2、若 f ( x ) 为增(减)函数,则 ? f ( x) 为减(增)函数, (注意:没有说 调性,切记!切记! ! ) 3、若 f ( x ) 与 g ( x) 的单调性相同,则 y ? f [ g ( x)] 是增函数;若 f ( x ) 与 g ( x) 的单 调性不同,则 y ? f [ g ( x)] 是减函数。 4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。 5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作 函数图象、求参数的取值范围。 六、函数奇偶性的常用结论: 1、如果一个奇函数在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 ,如果一个函数 y ? f ( x) 既是 奇函数又是偶函数,则 f ( x) ? 0 (反之不成立) , “ f) 0 ( 0 ? ”是“函数 y ? f ( x) 是 奇函数”的既不充分也不必要的条件 2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。 4、两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那 么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。内偶 则偶,内奇同外 5 、 若 函 数 f ( x) 的 定 义 域 关 于 原 点 对 称 , 则 f ( x) 可 以 表 示 为

1 的单 f ( x)

1 1 f ( x) ? [ f ( x) ? f (? x)] ? [ f ( x) ? f (? x)] ,该式的特点是:右端为一个奇函数 2 2
和一个偶函数的和。
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? ? ?零点:对于函数 y ? f(x), 我们把使 f ( x ) ? 0的实数x叫做函数 y ? f ( x )的零点。 ? ? ?定理:如果函数 y ? f ( x ) 在区间[ a , b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f ( a ) ? f ( b ) ? 0, ? ?零点与根的关系 ? 那么,函数 y ? f ( x ) 在区间[ a , b ]内有零点。即存在 c ? ( a , b ), 使得 f ( c ) ? 0, 这个 c也是方 ? 程 f ( x ) ? 0的根。(反之不成立) ? ? ? ? ?关系:方程 f ( x ) ? 0有实数根 ? 函数 y ? f ( x ) 有零点 ? 函数 y ? f ( x )的图象与x轴有交点 ? ? ?(1) 确定区间[ a , b ], 验证 f ( a ) ? f ( b ) ? 0, 给定精确度?; 函数与方程 ? ? ?(2) 求区间( a , b )的中点c ; ? ? 函数的应用 ? ? ?(3) 计算 f ( c ); ? ? 二分法求方程的近似解 ? ①若 f ( c ) ? 0, 则c 就是函数的零点; ? ②若 f ( a ) ? f ( c ) ? 0, 则令b ? (此时零点 c x ? ( a , b )); ? 0 ? ? ? ③若 f ( c ) ? f ( b ) ? 0, 则令a ? (此时零点 c x ? ( c , b )); ? 0 ? ? ? ?(4) 判断是否达到精确度?:即若 a - b ? ? , 则得到零点的近似值a (或b ); 否则重复 2 ? 4。 ? ? ?几类不同的增长函数模型 ?函数模型及其应用 ?用已知函数模型解决问题 ? ?建立实际问题的函数模型 ?
m n a , n为根指数,a为被开方数 ? ? ? ?根式: ?n m ? ? ? ? a ?an ? ? ? ?分数指数幂 ? ? ? ? r s r ? s ? 指数的运算 a a ?a ( a ? 0, r , s ? Q ) ? ? ? ? r s ? ?指数函数 ? rs ? ?性质 ?( a ) ? a ( a ? 0, r , s ? Q ) ? ? ? r r s ? ? ? ?( ab) ? a b ( a ? 0, b ? 0, r ? Q ) ? ? ? x ? ?指数函数 ?定义:一般地把函数y ? a ( a ? 0且a ? 1)叫做指数函数。 ? ? ? ? ?性质:见表1 ? ? ? ?对数:x ? log a N , a为底数,N 为真数 ? ? ? ? ?log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N ; ? ? ? 基本初等函数 ? ? ? ? ? ?log a M ? log a M ? log a N ; ? ? ? 对数的运算 . N ? ? ? 性质 ? ? n ? ? ?log a M ? n log a M ; ( a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0) ?对数函数 ? ? ? ? ? log c b ? log a b ? (a, c ? 0且a, c ? 1, b ? 0) ? ?换底公式: ? ? log c a ? ? ? ? ? ? ?对数函数 ?定义:一般地把函数y ? log a x ( a ? 0且a ? 1)叫做对数函数 ? ? ? ? ?性质:见表1 ? ? ? ? 定义:一般地,函数y ? x? 叫做幂函数,x是自变量,? 是常数。 ?幂函数 ? ? ? ?性质:见表2 ?

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表 1
定 义 域 值 域

指数函数

y ? a ? a ? 0, a ? 1?
x

对数数函数

y ? loga x ? a ? 0, a ? 1?
x ?? 0, ???
y?R

x?R

y ? ? 0, ???

图 象

过定点 (0,1) 减函数
x ? (??,0)时,y ? (1, ??)

过定点 (1, 0) 增函数 减函数 增函数

x ? (??,0)时,y ? (0,1) x ? (0, ??)时,y ? (1, ??)

x ? (0,1)时,y ? (0, ??)

x ? (0,1)时,y ? (??,0)

性 质

x ? (0, ??)时,y ? (0,1)

x ? (1, ??)时,y ? (??,0) x ? (1, ??)时,y ? (0, ??)

a?b
表2

a?b

a?b

a?b

幂函数 y ? x? (? ? R)

??

p q

1 ? ? 0(?1, ? ) 2

0 ? ? ? 1 (如 1 1 , ) 3 2

3 ? ? 1(3, ) 2

? ?1

? ?2

p为奇数 q为奇数

p为奇数 q为偶数

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p为偶数 q为奇数
偶函数

第一象限 性质

减函数

增函数

过定点

(0, 1)

二、函 数 1.映射 f : A ?B 的概念。在理解映射概念时要注意: (1)A 是原像集合,B 不一定是象集,象集是 B 的子集(2)A 中元素必须都有象且唯一; (3)B 中元 素不一定都有原象,有原象也不一定唯一。 2.函数 f : A ?B 是特殊的映射。 特殊在 A 和 B 都是非空数集! A 是函数 f ( x) 的定义域, 值域是 B 的子集! 据此可知函数图像与 x 轴的垂线至多有一个公共点, 但与 y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个。 3. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域,值域和对应法则。而值 域可由定义域和对应法则唯一确定,因此当两个函数的定义域和对应法则相同 时,它们一定为同一函数。 例(1)设 f : M ? N 是集合 M 到 N 的映射,下列说法正确的是: A、 M 中每一 个元素在 N 中必有象 B、 N 中每一个元素在 M 中必有原象 C、 N 中每一个元素在 M 中的原象是唯一的 D、 N 是 M 中所在元素的象的集合 ( ) ;
例(2)点 ( a, b) 在映射 f 的作用下的象是 (a ? b, a ? b) ,则在 f 作用下点 (3,1) 的原象 为点________

例(3)若 A ? {1,2,3,4} , B ? {a, b, c} , a, b, c ? R ,则 A 到 B 的映射有

个, B 到

A 的映射有

个, A 到 B 的函数有



例(4)设集合 M ? {?1,0,1}, N ? {1, 2,3, 4,5} ,映射 f : M ? N 满足条件“对任意的

x ? M , x ? f ( x) 是奇数” ,这样的映射 f 有____个

例(5)设 f : x ? x 是集合 A 到集合 B 的映射,若 B={1,2},则 A ? B 一定是_____.
2

例(6)已知函数 f ( x ) ,x ? F ,那么集合 {( x, y) | y ? f ( x), x ? F} ? {( x, y) | x ? 1} 中 所含元素的个数有 个 例(7)若函数 y ?

1 2 x ? 2 x ? 4 的定义域、值域都是闭区间 [2,2b] ,则 b = 2

例(8)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“天 一函数” ,那么解析式为 y ? x ,值域为{4,1}的“天一函数”共有______个
2

1 答:A;2 答: (2,-1) ;3 答:81,64,81;4 答:12;5 答: ? 或{1};6 答: 0 或 1;
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7 答:2;8 答:9;

4. 求函数定义域的常用方法(在研究函数问题时要树立定义域优先的原则) :
( 1 )根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零,分母不能为零,对数 loga x 中

x ? 0, a ? 0 且 a ? 1 ,三角形中 0 ? A ? ? , 最大角 ?
(2)根据实际问题的要求确定自变量的范围。

?
3

,最小角 ?

?
3

等。

(3)复合函数的定义域:若已知 f ( x ) 的定义域为 [ a, b] ,其复合函数 f [ g ( x)] 的定义域 由不等式 a ? g ( x) ? b 解出即可;若已知 f [ g ( x)] 的定义域为 [ a, b] ,求 f ( x ) 的定义域,相 当于当 x ? [a, b] 时,求 g ( x) 的值域(即 f ( x ) 的定义域) 。 (9)函数 y ?

x ?4 ? x? lg ? x ? 3?
2

的定义域是____

(10)若函数 y ?

kx ? 7 的定义域为 R,则 k ? _______; kx ? 4kx ? 3
2

(11)函数 f ( x ) 的定义域是 [ a, b] ,b ? ? a ? 0 ,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 的定义 域是__________;

2 (12) 设函数 f ( x) ? lg(ax ? 2 x ? 1) , ①若 f ( x ) 的定义域是 R, 求实数 a 的取值范围;

②若 f ( x ) 的值域是 R,求实数 a 的取值范围

(13 )已知函数 f ( x) ? lg( x ? ax ? a) 的值域是 R,求实数 a 的取值范围


2

(14)若函数 y ? f ( x) 的定义域为 ? ,2? ,则 f (log2 x) 的定义域为__________; 2

?1 ? ? ?

2 (15)若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [?2,1) ,则函数 f ( x ) 的定义域为________.

? 3? [ a, ? a ] ( ) 12 答: ① a ? 1; ② 0 ? a ? 1) ? )(11 答: ? 4? (13 答 ? ??, ?4? ? ?0, ??? (14 答: x | 2 ? x ? 4 ) (15 答:[1,5])
(9 答: (10 答: ?0,2? ? (2,3) ? (3,4) ); ?0,

?

?

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5.求函数值域(最值)的方法:
(1) 配方法――二次函数 (二次函数在给出区间上的最值有两类: 一是求闭区间 [m, n] 上的最值;二是求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题。 求二次函数的最值问题,勿忘数形结合,注意“两看” :一看开口方向;二看对称轴与 所给区间的相对位置关系) , 例(16)求函数 y ? x2 ? 2x ? 5, x ?[?1, 2] 的值域;

(17) 当 x ? (0,2] 时, 函数 f ( x) ? ax2 ? 4(a ? 1) x ? 3 在 x ? 2 时取得最大值, 则a 的取值范围是___;

(2)换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,其函数特征 是函数解析式含有根式或三角函数公式模型, 例(18) y ? 2sin x ? 3cos x ?1的值域为_____;
2

(19) y ? 2x ? 1 ? x ?1 的值域为_____;

cos x 的值域为____; (20) y ? sin x ? cos x ? sin x?

(3)函数有界性 法――直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来 确定所求函数的值域,最常用的就是三角函数的有界性, 例 21 求函数 y ?

2sin ? ? 1 3x ,y? 的值域 1 ? sin ? 1 ? 3x

(4)单调性法――利用一次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等函数的单调性, 例 22 求 y ? x ?

1 9 (1 ? x ? 9) , y ? sin 2 x ? 的值域为______; x 1 ? sin 2 x

(5)数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离、直线斜率、 等等, 例(23)已知点 P( x, y) 在圆 x ? y ? 1上,求
2 2

y 及 y ? 2 x 的取值范围 x?2

1 17 1 ) (18 答:[?4, ] ) (19 答:?3, ?? ?(20 答:[ ?1, ? 2] ) 2 8 2 1 80 11 3 3 (21 答: (??, ] 、 (0,1) (22 答:(0, ) 、[ ,9] 、 ) (23 答:[? ; , ] 、[? 5, 5] ) 2 9 2 3 3
(16 答: [4,8]) (17 答:a ? ?
8 / 31

(24)求函数 y ?

( x ? 2) 2 ? ( x ? 8) 2 的值域(24 答: [10, ??) ) ;

x2 ? 6 x ? 13 ? x2 ? 4x ? 5 及 y ? x2 ? 6 x ? 13 ? x2 ? 4 x ? 5 的 值域(25 答: [ 34, ??) 、 ? 26, 26 ? )注意:求两点距离之和时,要将函数式变形, ? 使两定点在 x 轴的两侧,而求两点距离之差时,则要使两定点在 x 轴的同侧。

(25) 求函数 y ?

?

(6)判别式法――对分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型 有时也可以用其它方法进行求解,不必拘泥在判别式法上,也可先通过部分分式后,再利用 均值不等式: ①y?

b 型,可直接用不等式性质或者说综合法, k ? x2 3 3 例 26 求 y ? 的值域(26 答: (0, ] ) 2 2? x 2 bx 型,先化简,再用均值不等式, x ? mx ? n x 1 1 如(27)求 y ? 的值域(27 答: [? , ] ) ; 2 1? x 2 2
2

②y?

(28)求函数 y ?

1 x?2 的值域(28 答: [0, ] ) 2 x?3

x 2 ? m?x ? n? 型,通常用判别式法; x 2 ? mx ? n mx 2 ? 8 x ? n 例 29 已知函数 y ? log 3 的定义域为 R,值域为[0,2],求常数 m, n 的值 x2 ? 1 (29 答: m ? n ? 5 )
③y?

④y?

x 2 ? m?x ? n? 型,可用判别式法或均值不等式法, mx ? n x2 ? x ? 1 例 30 求 y ? 的值域(30 答: (??, ?3] ? [1, ??) ) x ?1

(7)不等式法――利用基本不等式 a ? b ? 2 ab (a, b ? R? ) 求函数的最值,其题型特征

解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项 和两边平方等技巧。

(a1 ? a 2 ) 2 例 31 设 x, a1 , a2 , y 成等差数列, x, b1 , b2 , y 成等比数列,则 的取值范围是 b1b2
9 / 31

____________.(31 答: (??,0] ? [4, ??) ) 。

(8)导数法――一般适用于高次多项式函数, 例 32:求函数 f ( x) ? 2 x3 ? 4 x2 ? 40 x , x ? [?3,3] 的最小值。 (32 答:-48) 提醒: (1)求函数的定义域、值域时,你按要求写成集合形式了吗? (2)函数的最值与值域之间有何关系?

6.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用几个不同 的式子来表示对应关系的函数,它是一类较特殊的函数。在 求分段函数的值 f ( x0 ) 时,一定首先要判断 x0 属于定义域的哪个子集,然后再代相应的关系式; 分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。 2 ? ?( x ? 1) .( x ? 1) 例(33)设函数 f ( x) ? ? ,则使得 f ( x) ? 1 的自变量 x 的取值范围是 4 ? x ? 1.( x ? 1) ? ? __________(33 答: (??, ?2] ?[0,10] ) ;

(34) 已知 f ( x) ? ? (34 答: (??, ] )

( x ? 0) ?1   , 则不等式 x ? ( x ? 2) f ( x ? 2) ? 5 的解集是________ ( x ? 0) ??1  

3 2

7.求函数解析式的常用方法:
(1)待定系数法――已知所求函数的类型(二次函数的表达形式有三种: 一般式: f ( x) ? ax ? bx ? c ;
2

顶点式: f ( x) ? a( x ? m) ? n ;
2

零点式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) , 要会根据已知条件的特点,灵活地选用二次函数的表达形式) 。 例 35 已知 f ( x ) 为二次函数,且 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,且 f(0)=1,图象在 x 轴上截 得的线段长为 2 2 ,求 f ( x ) 的解析式 。(35 答: f ( x) ?

1 2 x ? 2 x ? 1) 2

(2)换元法――已知形如 f ( g ( x)) 的表达式,求 f ( x ) 的表达式。 例 ( 36 ) 已 知 f (1 ? c ox) s? s i n x, 求 f x
2

? ?
2

的 解 析 式 ( 36

答 :

f( x ) ? ? x ?2 x , x ? [?
2 4 2

) ; 2 ,

2 ]

(3)定义法――利用函数的定义 (37)若 f ( x ?

1 1 ) ? x 2 ? 2 ,则函数 f ( x ? 1) =_____(37 答: x 2 ? 2 x ? 3 ) ; x x

(38)若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? (0,??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) , 那么当 x ? (??,0) 时, f ( x) =________(38 答: x(1 ? 3 x ) ).

这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性,即 f ( x ) 的定义域应是 g ( x) 的值
10 / 31

域。 (3)方程的思想――已知条件是含有 f ( x ) 及另外一个函数的等式,可抓住等式的特 征对等式的进行赋值,从而得到关于 f ( x ) 及另外一个函数的方程组。 例(39)已知 f ( x) ? 2 f (? x) ? 3x ? 2 ,求 f ( x ) 的解析式(39 答: f ( x) ? ?3 x ?

2 ) ; 3

(40) 已知 f ( x ) 是奇函数,g ( x) 是偶函数, 且 f ( x) + g ( x) = (40 答:

1 ,则 f ( x ) = x ?1

__

x )。 x ?1
2

9.函数的奇偶性。 (1)具有奇偶性的函数的定义域的特征:定义域必须关于原点对称!为此确定函数的 奇偶性时,务必先判定函数定义域是否关于原点对称。 例 41 若函数 f ( x) ? 2sin(3 x ? ? ) ,

x ?[2? ? 5? ,3? ] 为奇函数,其中 ? ? (0,2? ) ,则 ? ? ? 的值是 (答:0) ; ? (42)将函数 y=sin(2x + ? )的图像沿 x 轴向左平移 个单位后,得到一个偶函数 8 的图像,则 ? 的一个可能取值为 ( ) 答B
(A)

4 1 (43)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, f(x) =x2+ ,则 f(-1)= ( x

3? 4

(B)

? 4

(C)0

(D) ?

?
)

(A)-2 (B)0 (C)1 (D)2 答A (2)确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断 其奇偶性) : ①定义法: 例 43 判断函数 y ?

| x ? 4 | ?4 9 ? x2

的奇偶性____(答:奇函数) 。

②利用函数奇偶性定义的等价形式: f ( x) ? f (? x) ? 0 或 例 44 判断 f ( x) ? x(

f (? x) 。 ? ?1 ( f ( x) ? 0 ) f ( x)

1 1 ? ) 的奇偶性___.(答:偶函数) 2 ?1 2
x

③图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称。 (3)函数奇偶性的性质: ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性, 则其单调性完全相同; 偶函数在关于原 点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. ②如果奇函数有反函数,那么其反函数一定还是奇函数. ③若 f ( x ) 为偶函数,则 f (? x) ? f ( x) ? f (| x |) . 例 45 若定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 在 (??, 0) 上是减函数,且 f ( ) =2 ,则不等式

1 3

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f (log1 x) ? 2 的解集为______.(答: (0,0.5) ? (2, ??) )
8

④若奇函数 f ( x ) 定义域中含有 0,则必有 f (0) ? 0 .故 f (0) ? 0 是 f ( x) 为奇函数的既 不充分也不必要条件。 例 45 若 f ( x) ?

a · 2x ? a ? 2 为奇函数,则实数 a =____(答:1). 2x ? 1

⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数, 都可表示成 “一个奇函数与一个偶函数 的和(或差) ” 。 f ( x) ? f (? x) 例 46 设 f ( x) 是 定 义 域 为 R 的 任 一 函 数 , , F ( x) ? 2

f ( x) ? f (? x) 。①判断 F ( x) 与 G ( x) 的奇偶性; 2 ②若将函数 f ( x) ? lg(10x ? 1) ,表示成一个奇函数 g ( x) 和一个偶函数 h( x) 之和,则 g ( x) 1 =____(答:① F ( x) 为偶函数, G ( x) 为奇函数;② g ( x) = x ) 2 G ( x) ?

⑥复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同外”. ⑦既奇又偶函数有无穷多个( f ( x) ? 0 ,定义域是关于原点对称的任意一个数集). 10.函数的单调性。 (1)确定函数的单调性或单调区间的常用方法: ①在解答题中常用:定义法(取值――作差――变形――定号)、导数法(在区间 ( a, b) 内, 若总有 f ?( x) ? 0 , 则 f ( x ) 为增函数; 反之, 若 f ( x ) 在区间 ( a, b) 内为增函数, 则 f ?( x) ? 0 , 请注意两者的区别所在。

单调性的等价说法: ①:?x1、x2 ? D, 若恒有(x1 ? x2) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0, 则f ( x)在D上是增函数

②:?x1、x2 ? D, 若恒有(x1 ? x2) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0, 则f ( x)在D上是减函数 ③:?x1、x2 ? D, 若恒有 ④:?x1、x2 ? D, 若恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 则f ( x)在D上是增函数 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 则f ( x)在D上是减函数 x1 ? x2
3

⑤:若(x-a)f ?( x) ? 0, 则f ( x)在(??, a)上是减函数,在(a,+?)上是增函数
例 47 已知函数 f ( x) ? x ? ax 在区间 [1, ??) 上是增函数,则 a 的取值范围是____(答:

(??,3] ));
②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意 y ? ax ?

b (a ? 0 x

b ? 0) 型函数的图象和单调性在解题中的运用:增区间为 (??, ?

b b ],[ , ??) ,减区间为 a a

[?

b b , 0), (0, ]. a a

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例(48)若函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间(-∞,4] 上是减函数,那么实数 a 的 取值范围是______(答: a ? ?3 ));

(49) 已知函数 f ( x) ?

ax ? 1 在区间 ? ?2, ?? ? 上为增函数, 则实数 a 的取值范围_____ (答: x?2

1 ( , ??) ); 2

a ? ? ? 4 ? ? a ? 0, 且a ? 1? 的值域为 R,则实数 a 的取值范围是 x ? ? ______(答: 0 ? a ? 4 且 a ? 1 ));
(50)若函数 f ? x ? ? log a ? x ? ③复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减, 例 51 函数 y ? log 1 ? x2 ? 2 x 的单调递增区间是________(答:(1,2))。
2

?

?

(2)特别提醒:求单调区间时, 一是勿忘定义域,; 二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ? ”和“或”; 三是单调区间应该用区间表示,不能用集合或不等式表示. 例 52 若函数 f ( x) ? loga ( x2 ? ax ? 3) 在区间 (??, ] 上为减函数,求 a 的取值范围(答:

a 2

(1, 2 3) )

(3)你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?(①比较大小、求值域和最值;②解、 证不等式;③作函数图象和求参数范围). 例 53 已知奇函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,求实数

1 2 m 的取值范围。(答: ? ? m ? ) 2 3

11. 常见的图象变换 ①函数 y ? f ?x ? a ? (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴向左平移 a 个单 位得到的。 ②函数 y ? f ?x ? a ? ( (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴向右平移 a 个单 位得到的。 ③函数 y ? f ?x ? + a (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 助图象沿 y 轴向上平移 a 个单 位得到的; 位得到的;
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④函数 y ? f ?x ? + a (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 助图象沿 y 轴向下平移 a 个单

⑤函数 y ? f ?ax? (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴伸缩为原来的

1 得 a

到的。 ⑥函数 y ? af ?x ? (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 y 轴伸缩为原来的 a 倍得 到的. 例(54)设 f ( x) ? 2? x , g ( x) 的图像与 f ( x ) 的图像关于直线 y ? x 对称, h( x) 的图像 由 g ( x) 的图像向右平移 1 个单位得到,则 h( x) 为__________(答: h( x) ? ? log 2 ( x ?1) ) (55)若 f ( x ? 199) ? 4x2 ? 4x ? 3 ,则函数 f ( x ) 的最小值为____(答:2); (56) 要得到 y ? lg(3 ? x) 的图像, 只需作 y ? lg x 关于_____轴对称的图像, 再向____ 平移 3 个单位而得到(答: y ;右); (57)函数 f ( x) ? x ? lg( x ? 2) ? 1的图象与 x 轴的交点个数有____个(答:2)

例(58)将函数 y ? f ( x) 的图像上所有点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变) ,再将 此图像沿 x 轴方向向左平移 2 个单位,所得图像对应的函数为_____(答: f (3x ? 6) );

1 3

12. 函数的对称性。 ①满足条件 f ? a ? x ? ? f ?b ? x ? 的函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

a?b 对称。 2

b-a ②函数 y=f(a+x)与函数 y=f(b-x)的图像关于 x= 对称 2 ③设函数 y=f(x)定义在实数集上, 则函数 y=f(x-m)与函数 y=f(m-x)(m>0)的图像关于直 线 x=m 对称. ④点 ( x, y ) 关于 y 轴的对称点为 (? x, y ) ;函数 y ? f ?x ? 关于 y 轴的对称曲线方程为

y ? f ?? x ?; ⑤点 ( x, y ) 关于 x 轴的对称点为 ( x, ? y ) ;函数 y ? f ?x ? 关于 x 轴的对称曲线方程为 y ? ? f ?x ? ; ⑥点 ( x, y ) 关于原点的对称点为 (? x, ? y ) ;函数 y ? f ?x ? 关于原点的对称曲线方程为 y ? ? f ?? x ? ; ⑦点 ( x, y ) 关于直线 y ? ? x ? a 的对称点为 (?( y ? a), ? x ? a) ;曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? ? x ? a 的对称曲线的方程为 f (?( y ? a), ? x ? a) ? 0 。 特别地, 点 ( x, y ) 关于直线 y ? x 的对称点为 ( y , x ) ;曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? x 的对称曲线的方程为 f ( y, x) ? 0 ;点 ( x, y ) 关于直线 y ? ? x 的对称点为 (? y, ? x) ; 曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? ? x 的对称曲线 的方程为 f (? y, ? x) ? 0 。 ⑧曲线 f ( x, y) ? 0 关于点 ( a, b) 的对称曲线的方程为 f (2a ? x, 2b ? y) ? 0 。 ⑨形如 y ? ax ? b (c ? 0, ad ? bc) 的图像是双曲线,其两渐近线分别直线 x ? ? d cx ? d c
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(由分母为零确定)和直线 y ? a (由分子、分母中 x 的系数确定),对称中心是点 (? d , a ) 。

c

c c

⑩ | f ( x) | 的图象先保留 f ( x ) 原来在 x 轴上方的图象, 作出 x 轴下方的图象关于 x 轴的对称 图形,然后擦去 x 轴下方的图象得到; f (| x |) 的图象先保留 f ( x ) 在 y 轴右方的图象,擦去 y 轴左方的图象,然后作出 y 轴右方的图象关于 y 轴的对称图形得到。 例 ( 59 ) 如 若 函 数 y ? f ( 2 x? 1)是 偶 函 数 , 则 函 数 y ? f (2 x) 的 对 称 轴 方 程 是 _______(答: x ? ?

1 ). 2

例(60)已知函数 f(2x+1)是奇函数,则函数 y=f(2x)的图像关于下列哪个点成中心对 1 称.答:( ,0) 2

例 61 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx(a ? 0) 满足条件 f (5 ? x) ? f ( x ? 3) 且方程

1 f ( x) ? x 有等根,则 f ( x) =_____(答: ? x 2 ? x ); 2

x ?3 3 , ( x ? ) ,若 y ? f ( x ? 1) 的图像是 C1 ,它关于直线 y ? x 对 2x ? 3 2 称图像是 C2 , C2 关于原点对称的图像为 C3 , 则C3 对应的函数解析式是___________(答: x?2 y?? ) ; 2x ?1 2 例 63 若函数 y ? x ? x 与 y ? g ( x) 的图象关于点(-2,3)对称,则 g ( x) =______(答:
例 62 己知函数 f ( x) ?

? x2 ? 7 x ? 6 )
例(65)作出函数 y ?| log 2 ( x ? 1) | 及 y ? log2 | x ? 1| 的图象; 例 (66) 若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 则函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ) 的图象关于____ 对称 (答: y 轴) 例 67 直线 y=1 与曲线 y ?
2

x

? x ? a 有四个交点则 a 的取值范围是( )答: 1 ? a ?

5 4

提醒: (1)从结论②③④⑤⑥可看出,求对称曲线方程的问题,实质上是利用代入法转 化为求点的对称问题; (2)证明函数图像的对称性,即证明图像上任一点关于对称中心(对称轴)的对 称点仍在图像上; (3)证明图像 C1 与 C2 的对称性,需证两方面:①证明 C1 上任意点关于对称中 心(对称轴)的对称点仍在 C2 上;②证明 C2 上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍 在 C1 上。
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例(68)已知函数 f ( x) ? 成中心对称图形;

x ?1? a (a ? R) 。求证:函数 f ( x) 的图像关于点 M (a, ?1) a?x

(69) 设曲线 C 的方程是 y ? x 3 ? x ,将 C 沿 x 轴, y 轴正方向分别平行移动 t , s 单位长 度后得曲线 C1 。①写出曲线 C1 的方程(答: y ? ( x ? t )3 ? ( x ? t ) ? s ) ;②证明曲线 C 与 C1 关于点 A?

?t s? , ? 对称。 ? 2 2?

70.如图,一个“凸轮”放置于直角坐标系 X 轴上方,其“底端”落在原点 O 处,一顶点及 中心 M 在 Y 轴正半轴上,它的外围由以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边长为半径 的三段等弧组成.今使“凸轮”沿 X 轴正方向滚动前进,在滚动过程中,“凸轮”每时每刻都有 一个“最高点”,其中心也在不断移动位置,则在“凸轮”滚动一周的过程中,将其“最高点”和 “中心点”所形成的图形按上、下放置,应大致为( )A

13. 函数的周期性。 (1)类比“三角函数图像”得: (1.)若函数 f(x)对定义域中的任意 x,都存在非零常数 T,使得 f(x+T)=f(x)恒成立 则 T 为函数 f(x)的一个周期。函数 f(x)就是周期函数 (2)若函数 f(x)对定义域中的任意 x 都有 f ? a ? x ? ? ? f ? x ? 恒成立,则 f(x)是 (3)若函数 f(x)对定义域中的任意 x 都有 f ( x ? a) ? 是周期为 2 a 的周期函数 (4)若函数 f(x)对定义域中的任意 x 都有 f ( x ? a) ? ? (x)是周期为 2 a 的周期函数 是周期为|a-b |的周期函数, (6)若函数 f(x)对定义域中的任意 x 都有 f ? a ? x ? ? f ?b ? x ? 恒成立,则 x= 周期为 2 a 的周期函数

1 (a ? 0) 恒成立,则 f(x) f ( x)

1 (a ? 0) 恒成立,则 f f ( x)

(5)若函数 f(x)对定义域中的任意 x 都有 f ? a ? x ? ? f ?b ? x ? 恒成立,则 f(x)

a?b 2

是函数 f(x)的对称轴,若 f(x)还为偶函数则 T=a+b;若 f(x)还为奇函数则 T=2(a+b) ( 7 ) 若 y ? f ( x) 图 像 有 两 条 对 称 轴 x ? a, x ? b(a ? b) , 即

f (2a ? x) ? f ( x) f ? a ? x ? ? f ? a ? x ? f (2b ? x) ? f ( x) f ?b ? x ? ? f ?b ? x ? , 则 y ? f ( x) 必是周期函数,且一周期为 T ? 2 | a ? b | ; ( 8 ) 若 y ? f ( x) 图 像 有 两 个 对 称 中 心 A(a,0), B(b,0)(a ? b) , 即

f ? a ? x ? ? ? f ? a ? x ? f ?b ? x ? ? ? f ?b ? x ? 则 y ? f ( x ) 是 周 期 函 数 , 且 一 周 期 为
T ? 2 | a ? b | ,若函数 y ? f ( x) 满足 f ( x) ? 2b ? f (2a ? x) 则图像关于(a,b)中心对称。
(9)如果函数 y ? f ( x) 的图像有一个对称中心 A(a, 0) 和一条对称轴 x ? b(a ? b) ,即
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f ? a ? x ? ? f ? a ? x ? , f ?b ? x ? ? ? f ?b ? x ? ,则函数 y ? f ( x) 必是周期函数,且一周期
为T ? 4 | a ? b | ; (10)若函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x+1)- f(x)则 f(x)的周期 T=6 (11)若函数 y=f (x) 定义域为 R,且满足条件 f (x+a)=f (x-b),则 y=f (x) 是以 T=a +b 为周期的周期函数。 ( 12 ) 若函数 y=f (x) 定义域为 R,且满足条件 f (x+a)= -f (x-b),则 y=f (x) 是以 T=2(a+b)为周期的周期函数。 (13) f ( x ? a) ?

1 ? f ( x) ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数. 1 ? f ( x)

1 ? f ( x) ,则 f ?x ? 是以 T ? 4 a 为周期的周期函数 1 ? f ( x) 如 (71) 设 f ( x) 是 (??,??) 上 的 奇 函 数 , f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 当 0 ? x ? 1 时 , f ( x) ? x ,则 f (2015.5) 等于_____(答: ? 0.5 );
(14) f ( x ? a ) ? ? (72)定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且在 [?3, ?2] 上是减函数,若

? , ? 是 锐 角 三 角 形 的 两 个 内 角 , 则 f (sin ? ), f (cos ? ) 的 大 小 关 系 为 _________( 答 : f (sin ? ) ? f (cos ? ) );
(73)已知 f ( x ) 是偶函数,且 f (1) =993, g ( x) = f ( x ? 1) 是奇函数,求 f (2013) 的值 (答:993);

( 74 ) 设 f ? x ? 是 定 义 域 为 R 的 函 数 , 且 f ? x ? 2 ? ? ?1 ? f ? x ? ? ? ? 1? f ? x? , 又

f ? 2 ? ? 2?

2,则 f ? 2014? =

(答:

(75) 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 是以 2 为周期的奇函数, 则方程 f ( x) ? 0 在 [?2, 2] 上至少有__________个实数根(答:5) 14.指数式、对数式: 1 有理数幂的运算性质

2 ?2 ) 2

a a
?

r

s

?

a

r ?s

? a r ? =a r s
s

? ab ?

r

=a r b r (其中a ? 0 ,b ? , 0 r、s ? Q )

2 根式的运算性质 (1)

x

n

? a (n ? N , n ? 1) ? 当 n 为奇数时 x ? n a ;当 n 为偶数时 x ? ? n a

(2) 当 n 为奇数时, 有n (3) 分数指数幂

a

n

=a ; 当 n 为偶数时, 有n
m

a

n

=a ; n

( a)

n

=a
0

a =a

2

a

m n

?na

a

?

m n

?

1

a

m n

?
n

1

a

m

a ?1 ( a ? 0, m, n ? N且n>1 ) , (a ? 0)

负数的偶次方根无意义,零的任何次方根都等于零
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3、指数函数 y ? a 的图象和性质
x

性质(1)定义域:R (2)值域:(0,+∞) (3)过(0,1)点,即 x=0 时,y=1. (4)当 a>1 时,在 R 上是增函数;当 0<a<1 时,在 R 上是减函数. (5)当 a>1 且 x>0 时 y>1;当 a>1 且 x<0 时 0<y<1 当 0<a<1 且 x>0 时 0<y<1;当 0<a<1 且 x<0 时 y>1

误区警示
1. y ? a x ,忽视底数 a>1 与 0<a<1 时性质的区别及函数的值域致误.解题的每一步要等价 转化. 2.比较幂值大小时,要注意区分底数相同还是指数相等.是用指数函数的单调性,还是用 幂函数的单调性或指数函数的图象解决.要注意图象的应用,还应注意中间量-1、0、1 等 的运用.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大,对数函数则反 之. (2)比较指数函数、 对数函数类型的数值间的大小关系是高考中常见题型. 具体做法是: (i)底数相同指数不同时,要考虑指数函数的单调性;(ii)底、指数都不同时要借助于中间 值(如-1 或 0 或 1)再不行可考虑商值(或差值)比较法或者图像法及放缩法;(iii)对数函数 型数值间的大小关系,底相同者考虑对数函数的单调性,底不同时可考虑中间值(如-1 或 0 或 1),或用换底公式化为同底.最后可考虑比较法或者图像法及放缩法 3.对数性质:① loga 1 ? 0 ,② loga a ? 1 ,③ lg 2 ? lg 5 ? 1,④ loge x ? ln x ,⑤logaab=b, log N ⑥ ab ? N ? loga N ? b(a ? 0, a ? 1, N ? 0) ,⑦ a a ? N ,⑧ log a b ? log c b , log c a ⑨ log a m b n ?

n log a b 。 m
(2) log a (

4 对数的运算法则:

M ) ? log a M ? log a N N 1 (3) loga M n ? n loga M (4) log a n M ? log a M n ? (其中 M>0.N>0,a>0 且 a ? 1,n ? N ) log c b 5.对数的换底公式: log a b ? (其中 a>0.b>0,c>0 且 a ? 1,c ? 1) log c a m 1 log bm ? lo g 由换底公式得 log a b ? ab an n logb a
(1) loga (MN ) ? loga M ? loga N 另外 log10 N ? lg N 。 。分别叫做常用对数和自然对数 log n e=2.71828。 e N ? lN 例(76) log2 25? log3 4? log5 9 的值为________(答:8); 1 log 8 1 (77) ( ) 2 的值为________(答: 2 64

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4、对数函数 y ? log a x (a>0 且 a ? 1,x>0)的图象与性质
定义 y=logax(a>0,a≠1) (x>0)

性 质

(1)定义域:(0,+∞)        (2)值域:R             (3)过点(1,0),即当x=1时,y=0.  (4)当a>1时,在(0,+∞)上是增函数; 当0<a<1时,在(0,+∞)上是减函数. x>1 a>1 0<a<1 y>0 y<0 0<x<1 y<0 y>0

同底的指数函数与对数函数互为反函数,图象关于直线 y=x 对称,单调性相同. 误区警示 忽 视 底 数 a ?1 与 0 ? a ?1 时 性 质 的 区 别 以 及 函 数 的 定 义 域 导 致 错 误 , 如 函 数

例(78)求y ? l o g (2 ? x 3 ? 的单调增区间 2) 1 x
2

答? ? ,, -? 1

x (79)求函数y =log a ( a -1)(a 且 > 0? )的单调区间 a 1 (在

时为 a >?1 , ??,在 0 +

时为( 0<a<1 ? ,)

-

5、幂函数知识归纳 (1)概念, 形如 y = -1,-2 时即可) (2)图像与性质,把幂函数写成根式求定义域,并研究奇偶性和单调性作出图像

x

n

的函数叫幂函数, (n 为有理常数,只需掌握 n=1,2,3,0,-

1 , 2

幂函数在其它象限的图象参考前面表二,可由幂函数的奇偶性根据对称性作出. (3.)性质: (1)当α >0 时,幂函数图象都过(0,0)点和(1,1)点;且在第一象限都是增函数;当 0< α <1 时曲线上凸;当α >1 时,曲线下凸;α =1 时,为过(0,0)点和(1,1)点的直线 (2)当α <0 时,幂函数图象总经过(1,1)点,且在第一象限为减 函数. (3)α =0 时 y=x0,表示过(1,1)点平行于 x 轴的直线(除去(0,1)点). 幂函数的图象一定经过第一象限,一定过(1,1)点,一定不过第四象限,幂指数 n > 0 时 幂函数的图象过原点,n < 0 时一定不过原点,n > 0 时在 0, +? ? 上是增函数,n < 0 时 在 0, +? ? 上是减函数,在(0,1)上幂函数的图象“指大图底” ,在(1, +? )上幂函数的 图象“指大图高” - 例 80.函数 y=ax 2013+2013(a>0 且 a≠1)的图像恒过定点________.答: (2013,2014) x 例 81.已知函数 f(x)=a +b(a>0 且 a≠1)的图像如图所示,则 a+b 的值是________.答:-2
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?

?

例 82. 设函数 f(x)= ?log (? x) ( x ? 0) 1

? log 2 x ? ? ?
2

( x ? 0)
若 f(a)>f(-a), 则实数 a 的取值范围是( ) 答

案 C A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) 例 83)如果 log1 x<log1 y<0,那么( 2 2 A.y<x<1 B.x<y<1 C.1<x<y ) 【答案】 D D.1<y<x ) 【答案】 C

1 例(84)已知 a=5log23.4,b=5log43.6,c=( )log30.3,则( 5

A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b x 例 85 已知函数 f(x)=loga (2 +b-1)(a>0, a≠1)的图像如图所示, 则 a, b 满足的关系是( 【答案】 A - - - - - A.0<a 1<b<1 B.0<b<a 1<1 C.0<b 1<a<1 D.0<a 1<b 1<1

)

6,二次函数的图象和性质(重复就是强调,再巩固一遍吧! )

二次函数 y=ax2+bx+c(a、b、c 为常数,a≠0) ,|a|越大开口越大

? b 4ac-b ? b ? 抛物线对称轴是 x=- ,顶点是?- , 2a 4a ? ? 2a
a ? 0 时抛物线开口向上,且
向上无限伸展 性质 b? 在区间? ?-∞,-2a?上是减函 数, b - ,+∞?上是增函 在区间? 2a ? ? 数

2

a ? 0 时抛物线开口向下,且向下无限伸展
b? 在区间? ?-∞,-2a?上是增函数, b - ,+∞?上是减函数 在区间? 2a ? ?

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b 顶点为最低点,当 x=- 时 2a ,y 有最小值,y
最 小



b 顶点为最高点,当 x=- 时, 2a

? b 4ac-b ? ?- , ? 4a ? ? 2a

2

? b 4ac-b ? ? y 有最大值,y 最大=?- , 4a ? ? 2a

2

二、 三个二次(二次方程 ax2+bx+c=0, 二次函数 y=ax2+bx+c, 二次不等式 ax2+bx+c>0(a ≠0)(或<0))的关系

三、二次函数的零点与一元二次方程的根的关系 二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的零点就是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根; 二次函数 f(x) 2 =ax +bx+c 的图象(抛物线)与 x 轴相交时,交点的横坐标就是一元二次方程 ax2+bx+c= 0 的根.具体结论如下: 1.当Δ =b2-4ac<0 时,一元二次方程 ax2+bx+c=0 无解,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 无 零点,二次函数的图象(抛物线)与 x 轴不相交;
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2. 当Δ =b2-4ac =0 时,一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个相等的实根,二次函数 f(x)= ax2+bx+c 有一个零点,二次函数的图象(抛物线)与 x 轴相切 3. 当Δ =b2-4ac >0 时, 一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实根, 二次函数 f(x) 2 =ax +bx+c 有两个零点, 二次函数的图象(抛物线)与 x 轴相交, 若交点分别为 A,B, 则 A,B 之间的距离 AB =

? a

四、实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的实根的符号与系数之间的关系 1.方程有两个不相等的正实数根?

2.方程有两个不相等的负实根?

五、一元二次方程 ax2+bx+c=0(a 不等于 0)的区间根的问题 研究一元二次方程的区间根,一般情况下需要从以下三个方面考虑: 1、判别式。 2、对应的二次函数在区间断点的函数值的正负。3、对应二次函数图像的对称 轴 x=-

b 与区间端点的位置关系,设 x1、x2 是实系数二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的两实 2a

根,则 x1、x2 的分布范围与二次方程系数之间的关系,如下表所示

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六、函数的零点与方程的根的关系 1. 一般地, 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线, 并且有 f(a)· f(b)<0, 那么函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根.我们称方程 f(x)=0 的实数根 x 叫做函数 y=f(x)(x∈D)的零点. 2.函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的实数根,也就是函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的 横坐标,即方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)有零点?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点. 3.函数 F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程 f(x)=g(x)的实数根,也就是函数 y=f(x)的图象与 函数 y=g(x)的图象交点的横坐标. 一般地,对于不能使用公式求根的方程 f(x)=0,我们可以将它与函数 y=f(x)联系起来,利 用函数的图象、性质来求解. 七、用二分法求方程的近似解(或函数的变号零点) 一般步骤如下:第一步:确定一个区间 ? a, b? ,使得 f (a)?f (b) ? 0 ,令 a0=a,b0=b 第二步:取区间 ? a0 , b0 ? 的中点 x0 ?

1 (a0 ? b0 ) 使得 2

第三步:计算 f(x0)的值,得到下列相关结论. (1)若 f(x0)=0,则 x0 就是方程 f(x)=0 的一个根,计算终止; (2)若 f(a0)·f(x0)<0,则方程 f(x)=0 的一个根位于区间(a0,x0)中,令 a1=a0,b1=x0; (3)若 f(x0) ·f(b0)<0,则方程 f(x)=0 的一个根位于区间(x0,b0)中,令 a1= x0,b1= b0

1 ( a1 ? b1 ) ,重复第二步、第三步,……直到第 n 次, 2 方程 f(x)=0 的一个根总在区间 ? an , bn ? 中
第四步:取区间 ? a1 , b1 ? 的中点 x1 ? 第五步:当 an ? bn ? ? 时(?是规定的精确度) ,区间 ? an , bn ? 内的任何一个值就是方程 f(x) =0 的一个近似根(注意:二分法只适用于求函数的变号零点) 误区警示 1.在对函数零点的判断中,(1)f(x)在[a,b]上连续;(2)f(a)·f(b)<0;这是零点存在的 一个充分条件,不是必要条件,并且满足 f(a)·f(b)<0 时,f(x)在[a,b]上至少有一个零 点;不满足 f(a)·f(b)<0 时,f(x)在[a,b]上未必无零点,也可能有多个零点. 2.二分法是求方程根的近似值的一种计算方法,它只能用来求函数的变号零点. (1)若函数 f(x)的图像在 x=x0 处与 x 轴相切,则零点 x0 通常称为不变号零点; (2)若函数 f(x)的图像在 x=x0 处与 x 轴相交,则零点 x0 通常称为变号零点. 2.函数零点的求法:求函数 y=f(x)的零点:
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(1)(代数法)求方程 f(x)=0 的实数根(常用公式法、因式分解、直接求解等); (2)(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y=f(x)的图像联系起来, 并利用函数的性质找出零点;很多时候要把 f(x)分解成两个函数,看两个函数图象的交点 (3)二分法(主要用于求函数零点的近似值,所求零点都是指变号零点). 有关函数零点的重要结论: (1)若连续不断的函数 f(x)是定义域上的单调函数,则 f(x)至多有一个零点; (2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号; (3)连续不断的函数图像通过零点时(不是二重零点),函数值变号;通过零点时,函数 值可能不变号; (4)函数 f(x)=anx +an-1x
n n-1

+…+a1x+a0 至多有 n 个零点.

3.二次函数当Δ =0 时,有两个相等的实数根,但零点只有一个(二重零点). 4.二次方程根的分布问题中,列关系式时,要考虑全面,保持等价性. 5.求解函数应用题时,关键环节是审题,审题时一要弄清问题的实际背景,注意隐含条件; 二是将文字语言恰当准确的翻译为数学语言, 用数学表达式加以表示; 三是弄清给出什么条 件,解决什么问题,通过何种数学模型加以解决;四是严格按各种数学模型的要求进行推理 运算,并对运算结果作出实际解释. 三、反函数的概念与性质 1.若函数 y=f(x)的定义域为 A,值域为 B,对于 B 中的每一个元素 y0,在 A 中都有唯一 - - 的元素 x0 与之对应,则函数 y=f(x)存在反函数,记为 y=f 1(x),且 y=f 1(x)的定义域、值 域分别为 y=f(x)的值域、定义域. 指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)互为反函数. 2.互为反函数的图象之间的关系 - (1)y=f 1(x)与 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称. - (2)若点 P(a,b)在 y=f 1(x)的图象上,则 P′(b,a)在 y=f(x)的图象上 例 86、已知函数 f(x)=ex-2x+a 有零点,则 a 的取值范围是________.答:(-∞,2ln2 -2] (转化为求 2x- ex 的值域) 1 1 87. (2012· 北京)对于函数①f(x)=4x+ -5, ②f(x)=|log2x|-( )x, ③f(x)=cos(x+2)-cosx, x 2 判断如下两个命题的真假: 命题甲:f(x)在区间(1,2)上是增函数; 命题乙:f(x)在区间(0,+∞)上恰有两个零点 x1,x2,且 x1x2<1. 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是________.答案 ①② - 88. (高考)已知 f(x)=ex k-x, 其中 x∈R, 当 k>1 时, 判断函数 f(x)在[k,2k]内有无零点. 有 1. 若函数 f ( x) 在区间 ? a, b? 上为减函数,则 f ( x) 在 ? a, b? 上( ). A. 至少有一个零点 B. 只有一个零点 C. 没有零点 D. 至多有一个零点 2. 下列函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点近似值的是(

).

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3. 函数 f ( x) ? 2 x ln( x ? 2) ? 3 的零点所在区间为( A. (2,3) B. (3, 4) C. (4,5) D. (5, 6)

).

4. 用二分法求方程 x3 ? 2 x ? 5 ? 0 在区间 [2 , 3] 内的实根,由计算器可算得 f (2) ? ?1 , f (3) ? 16 , f (2.5) ? 5.625 ,那么下一个有根区间为 . (1)用二分法求方程在精确度 ? 下的近似解时,通过逐步取中点法,若取到区间 ? a, b ? 且

a?b ,有 f (a)?f (c) ? 0 ,此时 2 而 a , b, c 在精确度 ? 下的近似值分别为 x1 , x2 , x3 (互不相等). 则 f ( x) 在精确度 ? 下 a?c ?? ,
f (a)?f (b) ? 0 ,此时不满足 a ? b ? ? ,通过再次取中点 c ?

的近似值为( ). A. x1 B. x 2

C. x3

D. ?

(2)已知 x1 , x2 是二次方程 f ( x) 的两个不同实根, x3 , x4 是二次方程 g ( x) ? 0 的两个不同实 根,若 g ( x1 )?g ( x2 ) ? 0 ,则( A. x1 , x 2 介于 x3 和 x 4 之间 B. x3 , x 4 介于 x1 和 x 2 之间 C. x1 与 x 2 相邻, x3 与 x 4 相邻 D. x1 , x 2 与 x3 , x 4 相间相列 2. 若函数 f ( x) 在 ? a, b? 上连续,且同时满足 f (a)?f (b) ? 0 , f (a)?f ( ).

a?b ) ? 0 .则( 2

).

a?b ] 上有零点 2 a?b B. f ( x) 在 [ , b] 上有零点 2 a?b C. f ( x) 在 [a, ] 上无零点 2 a?b D. f ( x) 在 [ , b] 上无零点 2
A. f ( x) 在 [a, 3. 方程 | x2 ? 2 |? lg x 的实数根的个数是( ). . A. 1 B. 2 C. 3 D.无数个 x 4. 方程 2 ? x ? 4 的一个近似解大致所在区间为

15. 指数、对数值的大小比较: (1)化同底后利用函数的单调性; (2)作差或作商法; (3)利用中间量(0 或 1) ; (4)化同指数(或同真数)后利用图象比较。 16. 函数的应用。 (1)求解数学应用题的一般步骤:①审题――认真读题,确切理解题 意,明确问题的实际背景,寻找各量之间的内存联系;②建模――通过抽象概括,将实际问 题转化为相应的数学问题,别忘了注上符合实际意义的定义域;③解模――求解所得的数
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学问题;④回归――将所解得的数学结果,回归到实际问题中去。 (2)常见的函数模型有: ①建立一次函数或二次函数模型;②建立分段函数模型;③建立指数函数模型;④建立

y ? ax ?

b 型。 x

17. 抽象函数: 抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式, 只给出了其它一些条 件(如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等)的函数问题。求解抽象函数问题的 常用方法是: (1)借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 : ①正比例函数型: f ( x) ? kx(k ? 0) --------------- f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ;

f ( x) ; f ( y) f ( x) ③指数函数型: f ( x) ? a x ------------ f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) , f ( x ? y ) ? ; f ( y) x ④对数函数型: f ( x) ? loga x ----- f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ; y f ( x) ? f ( y ) ⑤三角函数型: f ( x) ? tan x ----- f ( x ? y ) ? 。 1 ? f ( x) f ( y )
②幂函数型: f ( x) ? x2 -------------- f ( xy) ? f ( x) f ( y) , f ( ) ? 18、集中函数的增长模型 (1)、在区间(0,+∞)上,y=ax (a>1),y=logax (a>1)和 y=xn (n>0)都是增函数。 (2)、随着 x 的增大, y=ax (a>1)的增长速度越来越快,会远远大于 y=xn (n>0)的增长速 度。 (3)、随着 x 的增大, y=logax (a>1)的增长速度越来越慢,会远远小于 y=xn (n>0)的增 长速度。 总存在一个 x0,当 x>x0 时,就有 logax<xn<ax 由图象知 y1 呈指数型增长趋势;y2 呈对数型增长趋势;y3 呈二次函数型增长趋势;y4 呈直

x y

线型增长趋势 1. 某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,4 个分裂成 8 个??,现有 2 个 这样的细胞,分裂 x 次后得到的细胞个数 y 为( ). x ?1 x x ?1 A. y ? 2 B. y=2 C. y=2 D. y=2x 2. 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增 长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系,可选用 ( ). A. 一次函数 B. 二次函数 C. 指数型函数 D. 对数型函数 3. 一等腰三角形的周长是 20,底边长 y 是关于腰长 x 的函数,它的解析式为( ). A. y=20-2x (x≤10) B. y=20-2x (x<10) C. y=20-2x (5≤x≤10) D. y=20-2x(5<x<10) 4. 某新品电视投放市场后第 1 个月销售 100 台,第 2 个月销售 200 台,第 3 个月销售 400 台,第 4 个月销售 790 台,则销量 y 与投放市场的月数 x 之间的关系可写成 . 5. 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,如果某台计算机感染上这种病毒,那么每
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轮病毒发作时,这台计算机都可能感染没被感染的 20 台计算机. 现在 10 台计算机在第 1 轮 病毒发作时被感染,问在第 5 轮病毒发作时可能有 台计算机被感染. (用式子表 示) 练 1. 为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中,室内每 立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比;药物释放完毕后,y 与 t 的函数 1 关系式为 y ? ( )t ?a (a 为常数) ,如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题: 16 (1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关 系式为 . (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那从 药物释放开始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教室.

练 2. 某商场购进一批单价为 6 元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多利润,商场决 定提高销售价格. 经试验发现,若按每件 20 元的价格销售时,每月能卖 360 件,若按 25 元 的价格销售时,每月能卖 210 件,假定每月销售件数 y(件)是价格 x(元/件)的一次函数. (1)试求 y 与 x 之间的关系式; (2)在商品不积压,且不考虑其它因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能时每月获 得最大利润?每月的最大利润是多少? 1. 某工厂签订了供货合同后组织工人生产某货物,生产了一段时间后,由于订货商想再多 订一些,但供货时间不变,该工厂便组织工人加班生产,能反映该工厂生产的货物数量 y 与时间 x 的函数图象大致是( ).

2. 下列函数中随 x 增大而增大速度最快的是( A. y ? 2007 ln x B. y ? x2007 C. y ?

).

ex D. y ? 2007 ? 2x 2007 3. 根据三个函数 f ( x) ? 2 x, g ( x) ? 2x , h( x) ? log 2 x 给出以下命题: (1) f ( x), g ( x), h( x) 在其定义域上都是增函数; (2) f ( x) 的增长速度始终不变; (3) f ( x) 的增长速度越来越快; g ( x ) (4) 的增长速度越来越快; (5) h( x) 的增长速度越来越慢。 其中正确的命题个数为( ). A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 当 2 ? x ? 4时, . log2 x,2x , x2 的大小关系是 1. 按复利计算,若存入银行 5 万元,年利率 2%,3 年后支取,则可得利息(单位:万元) 为 ( ). A. 5(1+0.02) 3 B. 5(1+0.02) 2 C. 5(1+0.02) 3 -5 C. 5(1+0.02) 2 -5 2. x 克 a%盐水中,加入 y 克 b%的盐水,浓度变为 c%,则 x 与 y 的函数关系式为( ). c?a c?a A. y= x B. y= x c?b b?c a?c b?c C. y= x D. y= x b?c c?a 3. A、B 两家电器公司在今年 1—5 月份的销售量如下图所示,
(万台) 100 80 27 / 31 60 40 20 1 2 3 4 A B

5 (月)

则 B 相对于 A 其市场份额比例比较大的月份是( ). A. 2 月 B. 3 月 C. 4 月 D. 5 月 4. 拟定从甲地到乙地通话 m 分钟的电话费由 f(m)=1.06(0.5×[m]+1)元给出,其中 m>0, [m]是大于或等于 m 的最小整数(职[3]=3,[3.7]=4) ,则从甲地到乙地通话时间为 5.5 分钟 的话费为 元. 5. 已知镭经过 100 年, 质量便比原来减少 4.24%, 设质量为 1 的镭经过 x 年后的剩留量为 y , 则 y ? f ( x) 的函数解析式为 . 函数建模的步骤. 根据收集到的数据的特点,通过建立函数模型,解决实际问题的基本过程:收集数据→画 散点图→选择函数模型→求函数模型→检验→符合实际, 用函数模型解释实际问题; 不符合 实际,则重新选择函数模型,直到符合实际为止. 根据散点图设想比较接近的可能的函数模型: ①一次函数模型: f ( x) ? kx ? b(k ? 0); ②二次函数模型: g ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0); ③幂函数模型: h( x) ? ax 2 ? b(a ? 0); ④指数函数模型: l ( x) ? ab x ? c ( a ? 0, b >0, b ? 1 ) 例 89 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且为周期函数,若它的最小正周期为 T,则
1

T f (? ) ? ____(答:0) 2
(2)利用函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等)进行演绎探究: 例(90)设函数 f ( x)( x ? N ) 表示 x 除以 3 的余数,则对任意的 x, y ? N ,都有 A、

f ( x ? 3) ? f ( x) B、 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) C、 f (3x) ? 3 f ( x) D、 f ( xy) ? f ( x) f ( y)
(答:A) ; (91)设 f ( x) 是定义在实数集 R 上的函数,且满足 f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ,如 果 f (1) ? l , ,求 f (2014) (答:-1) ; (92)如设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,证明:直线 x ? 1 是 函数 f ( x) 图象的一条对称轴; (93)已知定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f (? x) ? ? f ( x ? 4) ,且当 x ? 2 时, f ( x) 单 调递增。如果 x1 ? x2 ? 4 ,且 ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值的符号是 ____ (答:负数)

(3) 抽象函数关系式的应用 (常用赋值法 (令 x =0 或 1, 求出 f (0) 或 f (1) 、 令y?x 或 y ? ? x 等) 、递推法、反证法等进行逻辑探究) 例(94)若 x ? R , f ( x ) 满足 f ( x ? y) ? f ( x)

? f ( y ) ,则 f ( x) 的奇偶性是______(答:奇函数) ;

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(95).对任意实数 x,y,均满足 f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2 且 f(1)≠0,则 f(2014)=_______.(1007)

(96)已知 f ( x ) 是定义在 (?3,3) 上的奇函数,当 0 ? x ? 3 时, f ( x ) 的图像如右图所示, 那么不等式 f ( x)? cos x ? 0 的解集是_____________(答: (?

?

, ?1) ? (0,1) ? ( ,3) ) ; 2 2
y

?

O 1
?

2 3

x

(97)设 f ( x ) 的定义域为 R ,对任意 x, y ? R ? ,都有 f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ,且 x ? 1 时,

x y

1 f ( x) ? 0 ,又 f ( ) ? 1 ,①求证 f ( x) 为减函数;②解不等式 f ( x) ? f (5 ? x) ? ?2 .(答: 2 . ? 0,1? ? ?4,5 ? )

(98) 设函数 f(x)对任意实数 x,y, 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),若 x>0 时 f(x)<0,且 f(1)= -2, 求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.(最大值为 6,最小值为-6.)

(99).定义在 R+上的函数 f(x)满足: ①对任意实数 m,f(xm)=mf(x); ②f(2)=1. (1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数 x,y 都成立; (2)证明 f(x)是 R+上的单调增函数; (3)若 f(x)+f(x-3)≤2,求 x 的取值范围.( 3<x≤4)

(100)是否存在这样的函数 f(x),使下列三个条件:①f(n)>0,n∈N;②f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2 ∈N*;③f(2)=4 同时成立?若存在,求出函数 f(x)的解析式; 若不存在, 说明理由. (猜想:f(x)=2x (x∈N*) (数学归纳证明)

(101)已知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(1)=1,且对任意 x∈R 都有 f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤ f(x)+1.若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2014)=_________.(1)

( 102 ) 设 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x), 满 足 当 x>0 时 ,f(x)>1, 且 对 任 意 x,y ∈ R, 有 f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2
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1 (1)解不等式f (3x ? x 2 ) ? 4, ; (2)解方程[f (x)] 2 ? f (x ? 3) ? f (2) ? 1. (答{x|1<x<2}, x=0) 2

(103) 已知函数 f(x)对任何正数 x,y 都有 f(xy)=f(x)f(y),且 f(x)≠0,当 x>1 时,f(x)<1.试判断 f(x) 在(0,+∞)上的单调性,并说明理由.( f(x)在 R+上为减函数)

(104) 定义在(?1,1)上的函数f ( x )满足 : (1)对任意x, y ? (?1,1), 都有f ( x ) ? f ( y) ? f ( (2)当 x∈(-1,0)时,有 f(x)>0.求证:(Ⅰ)f(x)是奇函数; 1 1 1 1 ) ? f ( ). (Ⅱ) f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( 2 11 19 3 n ? 5n ? 5 解:(1)易证f(x)是奇函数。 (2)易证f(x)在(-1,0),(0,1)上是单调递减函数.

x?y ) 1 ? xy

1 ? ? ? 1 1 ? ? (? ) ? ? ? ? (n ? 2)( n ? 3) 1 1 n ? 3 ? f( 1 ) ? f( 1 ) ? ?f? n ?2 又f ( 2 ) ? f( )?f? ? 1 1 1 ? ( n ? 2 )( n ? 3 ) ? 1 n?2 n?3 n ? 5n ? 5 ?1 ? ? ?1 ? ? ( ? ) ? (n ? 2)( n ? 3) ? ? ? n?3 ? ? ? ? n?2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ? f( ) ??? f( 2 ) ? [f ( ) ? f ( )] ? [f ( ) ? f ( )] ? ? ? f ( ) ? f ( ) 11 19 3 4 4 5 3 n?3 n ? 5n ? 5 1 1 1 1 又f ( ) ? 0,?f ( ) ? f ( ) ? f ( ).命题成立 n?3 3 n?3 3 (105)定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0 时f(x)<0恒成立. (1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论; (2)证明f(x)为减函数;若函数f(x)在[-3,3)上总有f(x)≤6成立,试确定f(1)应满足的条件; ?f (

1 1 (3)解关于x的不等式 f (ax 2 ) ? f (x) ? f (a 2 x) ? f (a), (n是一个给定的自然数 , a ? 0) n n 解:(1)由已知对于任意x∈R,y∈R,f(x+y)=f(x)+ f(y)恒成立 令x=y=0,得f(0+0)= f(0)+ f(0) ,∴f(0)=0 令x=-y,得f(x-x)= f(x)+ f(-x)=0∴对于任意x,都有f(-x)= - f(x)∴f(x)是奇函数. (2)设任意x1,x2∈R且x1<x2,则x2-x1>0,由已知f(x2-x1)<0(1) 又f(x2-x1)= f(x2)+ f(-x1)= f(x2)- f(x1) (2) 由(1) (2)得f(x1)>f(x2),根据函数单调性的定义知f(x0在(-∞,+∞)上是减函数. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为f(-3).要使f(x)≤6恒成立,当且仅当f(-3)≤6, 又∵f(-3)= - f(3)= - f(2+1)=-[ f(2)+ f(1)]= -[ f(1)+ f(1)+ f(1)]= -3 f(1) , ∴f(1)≥-2. 1 1 (3) f(ax2)- f(x)> f(a2x)- f(a) n n ? f(ax2)- f(a2x)>n[f(x)- f(a)] ? f(ax2-a2x)>nf(x-a) (10分) 由已知得:f[n(x-a)]=nf(x-a)
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∴f(ax2-a2x)>f[n(x-a)] ∵f(x)在(-∞,+∞)上是减函数∴ax2-a2x<n(x-a).即(x-a) (ax-n)<0, ∵a<0,∴(x-a) (x讨论: (1)当a< (2)当a= (3)当

n )>0, (11分) a

n n <0,即a<- n 时,原不等式解集为{x | x> 或x<a}; a a

n <0即a=- n 时,原不等式的解集为φ ; a

n <a<0时,即- n <a<0时, a n 原不等式的解集为{x | x>a或x< } a

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