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高一数学第四讲-----------求解函数解析式


高一数学第四讲-----------求解函数解析式 高一数学第四讲 求解函数解析式是高考重点考查内容之一,需引起重视.本节主要帮助同学在深刻理解函数定义的基础 上,掌握求函数解析式的几种方法,并形成能力,并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力.

一、基础知识
本节所涉及的问题及解决方法主要有: 1.待定系数法,如果已知函数解析式的构造时,用待定系数法; 2.换元法或配凑法,已知复合函数 f[g(x)]的表达式可用换元法,当表达式较简单时也可用配凑法; 3.消参法,若已知抽象的函数表达式,则用解方程组消参的方法求解 f(x); 另外,在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法. 4 根据实际问题求函数表达式,是应用函数知识解决实际问题的基础,在设定或选定变量 去寻求等量关系并求得函数表达式后,还要注意函数定义域常受到实际问题本身的限制。

二、典型例题
[例 1]设二次函数 f(x)满足 f(x?2)=f(?x?2),且图象在 y 轴上的截距为 1,被 x 轴截得的线段长为 2 2 , 求 f(x)的解析式。

[例 2]已知 f(x)=log2(x+1),当且仅当点(x,y)在 y=f(x)的图象上运动时,点(x/2,y/3)在 y=g(x)的图象上运动, 求 y=g(x)的解析式。

[例 3](1)已知函数 f(x)满足 f(logax)=

a 1 ( x ? ) (其中 a>0,a≠1,x>0),求 f(x)的表达式. x a ?1 2 (2)已知二次函数 f(x)=ax +bx+c 满足|f(1)|=|f(-1)|=|f(0)|=1,求? f(x)?的表达式.
2

[例 4]某市收水费的方法是:水费=基本费+超额费+耗损费,若每月用水量不超过最低限量 am3 时, 只付基本费 8 元及每户每月的定额耗损费 c 元,若用水量超过 am3 时,除了付同上的基本费和耗 损费之外,超过部分每 m3 付 b 元的超额费,已知耗损费不超过 5 元。 该市一家庭今年一月、二月、三月份的用水量和支付费用如下表所示: 月份 一月 二月 三月 用水量 9m3 15m3 22m
3

水费 9元 19 元 33 元

根据上面表格中的数据求 a,b,c

[例 5]1.设 f(2x+1)=x,f?1(x)是 f(x)的反函数,则 f?1(2)= 2.已知函数 f(x)= ?

? x + 1 ( x ≤ 1) ,则 f[f(5/2)]= ?? x + 3 ( x > 1)
1

.

3.在一定范围内,某种产品的购买量 y 吨与单价 x 元之间满足一次函数关系,如果购买 1000 吨,

每吨价格为 800 元,购买 2000 吨,每吨为 700 元,一客户购买 400 吨,单价应该是( ) (A)820 元 (B)840 元 (C)860 元 (D)880 元 4.若函数 y=f(x)存在反函数,则方程 f(x)=c(c 为常数) ) ( (A)有且只有一个实根 (B)至少有一个实根 (C)至多只有一个实根 (D)没有实数根 5.(1)已知 f(x?1/x)=x2+1/x2,则 f(x)= ; (2)已知 f(1+1/x)=1+1/x+1/x2,则 f(x)= 6.若 f(1?cosx)=sin2x,则 f(1+x)= ( )7.设函数 f(x)=f(1/x)lgx+1,则 f(10)的值是 8.若函数 f(x)=(ax+b)/(cx+d)与 g(x)=(4x+3)/(2?x)的图象关于直线 y=x 对称,则 a:b:c:d= .

.

三、巩固练习
一、选择题

mx 3 (x≠ )在定义域内恒有 f[f(x)]=x,则 m 等于( ) 4x ? 3 4 3 3 C.- D.-3 A.3 B. 2 2 2.设函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,在 x≤1 时,f(x)=(x+1)2-1,则 x>1 时 f(x)等于( ) 2 2 2 2 A.f(x)=(x+3) -1 B.f(x)=(x-3) -1 C.f(x)=(x-3) +1 D.f(x)=(x-1) -1 二、填空题 1 3.已知 f(x)+2f( )=3x,求 f(x)的解析式为_________.4.已知 f(x)=ax2+bx+c,若 f(0)=0 且 f(x+1)=f(x)+x+1,则 f(x)=_________. x 三、解答题 5.动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 出发顺次经过 B、C、D 再回到 A,设 x 表示 P 点的行程,f(x)表示 PA 的长,g(x)表示△ABP 的面积,求 f(x)和 g(x),并作出 g(x)的简图.
1.若函数 f(x)=

6.从盛满 20 升纯酒精的容器里倒出 1 升,然后用水填满,摇匀后再倒出一升,再用水填满,这样继续进行,如果倒 k 次(k≥1)后共倒出纯酒精 x 升,倒第 k+1 次后共倒出纯酒精 f(x)升,求函数 f(x)的表达式

7. “依法纳税是每一个公民应尽的义务” ,国家征收个人所得税是分段计算的,总收入不超过 800 元的,免征个人所得 税,超过 800 元部分需征收个人所得税,设全月应纳税所得额为 x,x=全月总收入?800 元,税率见下表: 级数 1 2 3 … 5 全月应纳税所得额 不超过 500 元部分 超过 500 元至 2000 元部分 超过 2000 元至 5000 元部分 … 超过 10000 元部分 税率 5% 10% 15 … 45%

(1)若应纳税额为 f(x),试用分段函数表示 1?3 级纳税额 f(x)的计算公式; (2)某人 2000 年 10 月份的总收入为 3000 元,试计算这人该月份应缴纳个人所得税多少元? (3)某人一月份应交纳此项税款 26.78 元,则他的当月工资总收入介于 ( ) (A)800—900 元 (B)900—1200 元 (C)1200—1500 元 (D)1500 元—2800 元

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