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直线与圆的位置关系



你发现这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种?

a(地平线)
(1) (2) (3)

观察三幅太阳落山的照片,地平线与太阳的位置关 系是怎样的?

直线和圆的位置关系
?o
l

直线和圆有两个公共点时,叫做直线 和圆相交。这时直线叫做圆的割线

?o
M

l

直线和圆有唯一公共点时,叫做直 线和圆相切。这时直线叫做圆的切 线。唯一的公共点叫切点。 直线和圆没有公共点时,叫做直 线和圆相离。

?o
l

直线与圆的位置关系的判断方法:几何法
一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零) 和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线的 | Aa ? Bb ? C | d ? 距离为 2 2
A ?B

L
圆心O到直线L的距离d


O

半径r

d>r (1)直线L和⊙O的相离,此时d与r大小关系为_________

圆心O到直线L的距离d


o

L

半径r

d=r (2)直线L和⊙O相切,此时d与r大小关系为_________

圆心O到直线L的距离d


o

L

半径r

d<r (3)直线L和⊙O相交,此时d与r大小关系为_________

位置 d与 r

相离 d>r
r d

相切 d=r
r
d

相交 d<r
r d

图形
交点个数

0个

1个

2个

判断直线与圆的位置关系的方法 :代数法
直线l:Ax+By+C=0,圆M;x2+y2+Dx+Ey+F=0, 直线l与圆M 的方程联立得方程组,消去y(或x)整理,得 关于x(或y)的一元二次方程mx2+nx+k=0(或my2+ny+ k=0),其判别式为Δ =n2-4mk,

若Δ<0 ,方程组无解,则直线与圆相离,

若Δ=0,方程组有一解,则直线与圆相切,
若Δ>0,方程组有两解,则直线与圆相交。

直线与圆相交时,弦长的求法
(1)几何法:如图,直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点,设弦心距为 ?|AB|?2 d,圆半径为 r,弦长为|AB|,则有? 2 ? +d2=r2.即|AB|=2 r2-d2. ? ?

(2)代数法:①联立直线方程和圆的方程,解方程组得 A、B 点 坐标,再由两点间的距离公式求弦长|AB|;②设直线 l 的方程为 y =kx+b,联立直线 l 的方程和圆的方程,消去一个未知数得一个 一元二次方程,利用根与系数的关系求解. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1=kx1+b,y2=kx2+b. 则|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = ?x1-x2?2+?kx1+b-kx2-b?2 = 1+k2· ?x1-x2?2 = 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2.

圆的切线的求法
(1)点在圆上时 求过圆上一点(x0, y0)的圆的切线方程: 先求切点与圆心连线的 1 斜率 k,再由垂直关系得切线的斜率为- k ,由点斜式可得切线方 程.如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程 x=x0 或 y=y0. (2)点在圆外时 ①几何法:设切线方程为 y-y0=k(x-x0).由圆心到直线的距 离等于半径,可求得 k,也就得切线方程. ②代数法:设切线方程为 y-y0=k(x-x0),与圆的方程联立, 消去 y 后得到关于 x 的一元二次方程, 由 Δ=0 求出 k, 可得切线方 程.

类型一 直线与圆的位置关系的判断 【例 1】 已知直线方程 mx-y-m-1=0,圆的方程 x2+y2 -4x-2y+1=0.当 m 为何值时,圆与直线: (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点.

思维启迪:直线与圆有两个公共点?直线与圆相交;直线与圆 只有一个公共点?直线与圆相切; 直线与圆没有公共点?直线与圆 相离. 解析:方法一:将直线 mx-y-m-1=0 代入圆的方程化简整 理, 得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0. ∵Δ=4m(3m+4), 4 (1)当 Δ>0 时,即 m>0 或 m<-3时,直线与圆相交,即直线与 圆有两个公共点;

4 (2)当 Δ=0 时,即 m=0 或 m=-3时,直线与圆相切,即直线 与圆只有一个公共点; 4 (3)当 Δ<0 时,即-3<m<0 时,直线与圆相离,即直线与圆没 有公共点.

方法二:已知圆的方程可化为:(x-2)2+(y-1)2=4, 即圆心为 C(2,1),半径 r=2. |2m-1-m-1| 圆心 C(2,1)到直线 mx-y-m-1=0 的距离 d= 1+m2 |m-2| = 2. 1+m 4 (1)当 d<2 时,即 m>0 或 m<-3时,直线与圆相交,即直线与 圆有两个公共点; 4 (2)当 d=2 时,即 m=0 或 m=-3时,直线与圆相切,即直线 与圆只有一个公共点; 4 (3)当 d>2 时,即-3<m<0 时,直线与圆相离,即直线与圆没 有公共点.

变式训练 1 已知圆 x2+y2=2 和直线 y=x+b, 当 b 为何值时, 圆与直线: (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点.

|b| 解析:方法一:圆心 O(0,0)到 y=x+b 的距离为 d= ,圆的 2 半径 r= 2. (1)d<r,即-2<b<2 时,直线与圆相交,有两个公共点;

(2)d=r, 即 b=2 或 b=-2 时, 直线与圆相切, 有一个公共点; (3)d>r,即 b>2 或 b<-2 时,直线与圆相离,没有公共点. 方法二:把直线 y=x+b 与圆的方程 x2+y2=2 联立, ? ?y=x+b, 即? 2 2 消去 y,整理得 2x2+2bx+b2-2=0. ? ?x +y =2, 再利用 Δ>0,Δ=0,Δ<0,分别确定 b 的取值,结论同“方法 一”.

类型二 求圆的切线方程 【例 2】 过点 A(4, -3)作圆 C: (x-3)2+(y-1)2=1 的切线, 求此切线的方程.

思维启迪:用待定系数法求解,但千万不要忽视斜率不存在的 情况.

解析:∵(4-3)2+(-3-1)2=17>1, ∴点 A 在圆外. (1)若所求直线的斜率存在,设切线斜率为 k,则切线方程为 y + 3 = k(x - 4) .因为圆心 C(3,1) 到切线的距离等于半径 1 ,所以 |3k-1-3-4k| 15 =1,解得 k=- 8 . k2+1 15 所以切线方程为 y+3=- 8 (x-4), 即 15x+8y-36=0.

(2)若切线斜率不存在,圆心 C(3,1)到直线 x=4 的距离也为 1, 这时直线与圆也相切, 所以另一条切线方程是 x=4, 综上,所求切线方程为 15x+8y-36=0 或 x=4.

变式训练 2 圆 C 与直线 2x+y-5=0 切于点(2,1),且与直线 2x+y+15=0 也相切,求圆 C 的方程.

解析:设圆 C 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. ∵两切线 2x+y-5=0 与 2x+y+15=0 平行, |15-?-5?| ∴ 2r = 2 2 =4 5,∴r=2 5, 2 +1 |2a+b+15| ∴ =r=2 5, 2 2 +1 即|2a+b+15|=10.① |2a+b-5| =r=2 5, 2 2 +1 即|2a+b-5|=10.②

又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直, b-1 1 ∴ = .③ a-2 2
? ?a=-2, 由①②③解得? ? ?b=-1.

∴所求圆 C 的方程为(x+2)2+(y+1)2=20.

类型三 弦长问题 【例 3】 直线 l 经过点 P(5,5)并且与圆 C:x2+y2=25 相交截 得的弦长为 4 5,求 l 的方程.

思维启迪:设出点斜式方程,利用 r、弦心距及弦长的一半构 成三角形可求.

解析:据题意知直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y-5=k(x-5),与圆 C 相交于 A(x1,y1), B(x2,y2), ? ?y-5=k?x-5?, 方法一:联立方程组? 2 2 消去 y,得 ? ?x +y =25. (k2+1)x2+10k(1-k)x+25k(k-2)=0. ∴Δ=[10k(1-k)]2-4(k2+1)· 25k(k-2)>0 解得 k>0. 10k?1-k? 25k?k-2? 又 x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 k +1 k +1

由斜率公式,得 y1-y2=k(x1-x2). ∴|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = ?1+k2??x1-x2?2 = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] ?100k2?1-k?2 25k?k-2?? ? 2 ? = ?1+k ?? 2 2 -4· 2 k +1 ? ? ?k +1? ? =4 5. 两边平方,整理得 2k2-5k+2=0, 1 解得 k=2或 k=2 符合题意. 故直线 l 的方程为 x-2y+5=0 或 2x-y-5=0.

方法二:如图所示,|OH|是圆心到直线 l 的距离,|OA|是圆的 半径,|AH|是弦长|AB|的一半. 1 1 在 Rt△AHO 中,|OA|=5,|AH|=2|AB|=2×4 5=2 5, ∵|OH|= |OA|2-|AH|2= 5. |5?1-k?| 1 ∴ 2 = 5,解得 k=2或 k=2. k +1 ∴直线 l 的方程为 x-2y+5=0 或 2x-y-5=0.

变式训练 3 求经过 P(6,-4)点且被定圆 x2+y2=20 截得弦 长为 6 2的直线 AB 的方程.

解析:由已知可得,|AB|=6 2,|OA|=2 5, 作 OC⊥AB 于 C. 在 Rt△OAC 中,|OC|= 20-?3 2?2= 2. 由题意知直线 AB 的斜率存在, 设直线的斜率为 k, 则直线的方程为 y+4=k(x-6), 即 kx-y-6k-4=0. ∵圆心到直线的距离为 2, |6k+4| 2 ∴ = 2 ,即 17 k +24k+7=0, 1+k2 7 ∴k=-1 或 k=-17. 故所求直线的方程为 x+y-2=0 或 7x+17y+26=0.

1.直线 3x+4y-5=0 与圆 2x2+2y2-4x-2y+1=0 的位置关 系是( ) A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心

答案:D

2.直线 x-y+4=0 被圆 x2+y2+4x-4y+6=0 截得的弦长等 于( ) A.12 2 B.2 2 C.3 2 D.4 2
答案:B

3.若 PQ 是圆 x2+y2=9 的弦,PQ 的中点是(1,2),则直线 PQ 的方程是( ) A.x+2y-3=0 B.x+2y-5=0 C.2x-y+4=0 D.2x-y=0
答案:B

4.已知直线 l 的方程为 3x+4y-25=0,则圆 x2+y2=1 上的 点到直线 l 的最大距离为________.

解析:∵圆 x2+y2=1 的圆心为(0,0),半径为 1, |-25| ∴圆心到直线的距离为 2 2=5. 3 +4 ∴圆上的点到直线 l 的最大距离为 5+1=6. 答案:6

5.求与 x 轴相切,圆心在直线 3x-y=0 上,且被直线 x-y =0 所截得的弦长为 2 7的圆 C 的方程.

解析:设圆心 C 的坐标为(a,b), 点 C 在直线 3x-y=0 上,所以 C(a,3a), |2a| 且点 C 到直线 x-y=0 的距离为 . 2 设圆 C 被直线 x-y=0 截得的弦为 AB,H 为弦 AB 的中点, 则|AH|= 7, 又圆 C 与 x 轴相切,则半径长 r=3|a|, ?|2a|? 于是? ?2+( 7)2=(3|a|)2, ? 2? 解得 a=1 或 a=-1,r2=9, 所以圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=9 或(x+1)2+(y+3)2=9.



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