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函数y=Asin(wx+ )图像



1.5 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象

复习回顾:

y ? sin x, x ?[0,2? ] 的图象
3? 关键点: (0,0), ( ,1), (?,0), ( ,-1), (2?,0) . 2 2

?

注意:五点是指使函数值为0及达到最大值和最小值 的点.



y

1

. . . ? 3?/2 2? .
x

o ?/2 -1

.

1.y=Asinx与y=sinx图象的关系
例1: 作函数 解:列表
x sinx 2sinx
1 2

1 y ? 2 sin x 及 y ? sin x 的简图. 2
描点作图
π 0 0 0
3? 2

0 0 0 0

?
2

y


2 1
? 2

1 2
1 2

-1 -2
? 1 2

0 0 0

3? 2
0



π

x

sinx

-1

-2

y ? sin x
y=Sinx

纵坐标缩短到原来的一半 横坐标不变

y ? 1 sin x 2
y=2Sinx

纵坐标扩大到原来的2倍
横坐标不变

1 函数 y ? 2 sin x 、y ? sin x 与 y ? sinx 的图象间的变化关系。 2
y
3

2
1

y=2sinx

y=sinx
? 2

o
-1

1 y= 2
3? 2

sinx

2?

x

-2

一、函数y=Asinx(A>0)图象
函数y=Asinx(A>0且A≠1)的图象可以看作 是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1

时 )或缩短(当0<A<1时 )到原来的A倍(横坐
标不变)而得到的。

二、函数y=Asinx(A>0)性质
函数y=Asinx(A>0)定义域是R;值域是[-A, A],最大值是A,最小值是-A。

2.y=sin(x+? )与y=sinx的图象关系 ? ? 例2: 试研究 y ? sin(x ? ) 、 y ? sin(x ? ) 6 与 y ? sinx 的图象关系3

y
y ? sin (x ?

?
3

)

1
o

yy y ? y y ? y ? y sin ? y ? y sin ? y sin ? y sin ? y sin ? y sin ? y sin x ? sin ? sin x ? sin x ? sin x sin x sin x sin x x x x x x x x
y ? sin( x ?

?
6

)
13? 6

?

?
2

?

?
3

? 6

? 2? 2 3

?

3? 5? 2 3

2?

x

-1

二、函数y=sin(x+? ) 图象
函数y=sin(x+? )( ? ≠0)的图象可以看

作是把y=sinx的图象上所有的点向左(当? >
0时 )或向右(当 ? <0时 )平行移动 个单位而得到的。

?

1.列表:

1x y ? sin 例3:作函数 y ? sin 2 x 及 的图象。 2

3. y=sin ? x 与 y=sinx图象的关系 x
2x sin 2 x
2. 描点: 2 y
y=sin2x
1 O

0 0 0

?

4 ? 2

? 2
?

3? 4
3? 2

?
2? 0

1

0

?1

y=sinx
? 2
?

纵坐标不变 ,横坐标

缩短为原来的1/2倍 y=sinx 2? 3?

y=sin2x

x

?1
?2

对于函数y ? sin 1 x 2
1. 列表:

x
1 x 2 sin 1 x 2

0

?
?
2


?


3? 2

4?

-1 0

0
0

1

0

2. 描点:
y y=sinx 1

y=sinx

纵坐标不变, 横坐标 变为原来的 2 倍 2? 3? y=sin 1 x 2

y=

1 sin 2 x

O ?1

?

4?

的图象间的变化关系。
y
2

1 y ? sin x 与 y ? sinx 函数 y ? sin2 x 、 2

y ? sin 2 x

1

1 y ? sin x 2
?
2

o

?

4?

3? 2

2?

-1

三、函数y=sin?x(?>0)图象
函数y=sin?x (? >0且?≠1)的图象可以看

作是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短

1 (当?>1时)或伸长(当0<?<1时) 到原来的
倍(纵坐标不变) 而得到的。

?

例4: 如何由

y ? sinx 变换得 ? y ? 3 sin( 2 x ? )的图象? 3

方法1: (按? , ? , A顺序变换 )
y
3
2 1

? y=3sin(2x+ 3 )

y=sinx ?

o
?

?
3

?

? 6 -1

? ? 6 3

7 ? 2 5? 12 3 ? 6

7 ? 6

5? 3

2?

x

-2
-3

? y=sin(x+ ) 3 ? y=sin(2x+ ) 3

?

(1)向左平移 3 函数 y=sinx
1 2

? y=sin(x+ ) 的图象 3


(2)横坐标缩短到原来的 纵坐标不变

? y=sin(2x+ ) 的图象 3 ? y=3sin(2x+ )的图象 3

(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍

方法2: (按? , ? , A顺序变换 )
y

3
2

? y=3sin(2x+ ) 3

1

y=sinx
?
? 3
5? 6

? ? 6

o
-1

? 3

5? 3

2?

x

-2

y=sin2x ? y=sin(2x+ ) 3

-3

(1)横坐标缩短到原来的 函数 y=Sinx 纵坐标不变
?

1 2



y=Sin2x的图象

(2)向左平移 6

? y=Sin(2x+ ) 的图象 3 ? y=3Sin(2x+ )的图象 3

(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍

函数 y ? A sin(?x ? ? ) 中
A称为振幅
1 f ? T
2? T? 称为周期 |? |

称为频率

?x ? ? 称为相位

?

称为初相



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