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2014-2015学年吉林省松原市扶余一中高二(下)期末数学试卷(文科) Word版含解析



2014-2015 学年吉林省松原市扶余一中高二(下)期末数学试卷 (文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合要求. 1.已知 I 为实数集,M={x|x ﹣2x<0},N={y|y= A. {x|0<x<1} B. {x|0<x<2}
2

},则 M∩N=( C.

{x|1≤x<2}

) D. ?

2.设复数 z= A.

,则复数 z 的模|z|=( B. 1

) C. 10 D. 2

3.十进制数 2015 等值于八进制数为( A. 3737 B. 737 4.已知 x,y 的值如表所示: x 2 3 y 5 4 如果 y 与 x 呈线性相关且回归直线方程为 A. B.

) C. 03737 D. 7373

4 6 ,则 b=( C. ) D.

5.若 A. a>1,b>0 <0

,则( B. a>1,b<0

) C. 0<a<1,b>0 D. 0<a<1,b

6.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2=( A. ﹣4 B. ﹣6 C. ﹣8 7.掷两颗均匀的骰子,则点数之和为 7 的概率等于( A. B. C. )

) D. ﹣10

D.

8.如图是秦九韶算法的一个程序框图,则输出的 S 为(



A. a1+x0(a3+x0(a0+a2x0) )的值 C. a0+x0(a1+x0(a2+a3x0) )的值

B. a3+x0(a2+x0(a1+a0x0) )的值 D. a2+x0(a0+x0(a3+a1x0) )的值 )

9.根据右面频率分布直方图估计样本数据的中位数,众数分别为(

A. 12.5,12.5

B. 13,12.5

C. 12.5,13

D. 14,12.5 )

10. 从 1、 2、 3、 4 这四个数中一次随机取两个, 则取出的这两数字之和为偶数的概率是 ( A. B. C. D.

11.从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只,其中恰好有两只颜色相同的取法有( ) A. 60 B. 120 C. 180 D. 240 12. 向等腰直角三角形 ABC (其中 AC=BC) 内任意投一点 M, 则 AM 小于 AC 的概率为 ( A. B. C. D. )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把正确答案填在答题纸的横线上,填 在试卷上的答案无效. 13.用系统抽样法要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 160 名学生随机地从 1~160 编号,按编号顺序平均分成 20 组(1~8 号,9~16 号,…,153~160 号) ,若第 16 组抽出 的号码为 126,则第 1 组中用抽签的方法确定的号码是 . 14.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可 能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 .

15.将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组,绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的 频率之比为 2:3:4:6:4:1,且前三组数据的频数之和等于 27,则 n 等于 . 16.由数字 0,1,2,3 组成一个没有重复数字,且不被 10 整除的四位数,则两个偶数不相 邻的概率是 .

三、解答题:共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.如图,是某市 1000 户居民月平均用电量的频率分布直方图, (1)如果当地政府希望 85%以上的居民每月的用电量不超出标准,这个标准为多少时比较 适当? (2)有关部门为了制定居民月用电量标准,采用分层抽样的方法从 1000 户居民中抽取 50 户参加听证会,并且要在这已经确定的 50 人中随机确定两人做中心发言,求这两人分别来 自用电量区间[60,80)和[80,100)的概率.

18.某学校为了增强学生对数学史的了解,提高学生学习数学的积极性,举行了一次数学史 知识竞赛,其中一道题是连线题,要求将 4 名数学家与他们所著的 4 本著作一对一连线,规 定:每连对一条得 5 分,连错一条得﹣2 分.某参赛者随机用 4 条线把数学家与著作一对一 全部连接起来. (1)求该参赛者恰好连对一条的概率. (2)求该参赛者得分不低于 6 分的概率. 19.某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体 1000 名学生 中随机抽取了 100 名学生的体检表,学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较 多, 为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系, 对年级名次在 1~50 名和 951~1000 名的 学生进行了调查,得到如下数据: 年级名次 是否近视 1~50 951~1000 近视 41 32 不近视 9 18 (1) 根据表中的数据, 能否在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系? (2)根据表中数据,在调查的 100 名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 9 人, 进一步调查他们良好的护眼习惯,并且在这 9 人中任取 2 人,求成绩名次在 1~50 名恰有 1 名的学生的概率. 附:P(K2≥3.841=0.05)K =
2



20.从甲、乙两名运动员的若干次训练成绩中随机抽取 6 次,分别为 甲:7.7,7.8,8.6,8.7,9.3,9.5 乙:7.6,8.2,8.5,8.6,9.2,9.5 (1)根据以上的茎叶图,对甲、乙运动员的成绩作比较,写出两个统计结论; (2)从甲、乙运动员 6 次成绩中各随机抽取 1 次成绩,求甲、乙运动员的成绩至少有一个 高于 8.5 分的概率. (3)经过对甲、乙运动员若干次成绩进行统计,发现甲运动员成绩均匀分布在[7,10]之间, 乙运动员成绩均匀分布在[7.5,9.5]之间,现甲、乙比赛一次,求甲、乙成绩之差的绝对值 小于 0.5 分的概率.

21.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 动点,P 点满足 =2 ,P 点的轨迹为曲线 C2

(α 为参数)M 是 C1 上的

(Ⅰ)求 C2 的方程; (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ= 交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|. 与 C1 的异于极点的

一、请考生从 22,23 题中任选一题作答,并用铅笔将答题纸上所选题目对应的题号涂黑, 注意所做题目必须与所涂题号一致,如果多做,则按所做的第一题评分.选修 4-1:几何证 明选讲 22.如图所示,AB 为圆 O 的直径,CB,CD 为圆 O 的切线,B,D 为切点. (1)求证:AD∥OC; (2)若圆 O 的半径为 2,求 AD?OC 的值.

一、选修 4-5:不等式选讲 3 3 2 2 23.已知 a,b 都是正数,且 a≠b,求证:a +b >a b+ab ;

(2)已知 a,b,c 都是正数,求证:

≥abc.

2014-2015 学年吉林省松原市扶余一中高二(下)期末数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合要求. 1.已知 I 为实数集,M={x|x ﹣2x<0},N={y|y= A. {x|0<x<1} B. {x|0<x<2}
2

},则 M∩N=( C. {x|1≤x<2}

) D. ?

考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:求出 M 中不等式的解集确定出 M,求出 N 中 y 的范围确定出 N,找出 M 与 N 的交 集即可. 解答: 解:由 M 中不等式变形得:x(x﹣2)<0, 解得:0<x<2,即 M={x|0<x<2}, 由 N 中 y= ≥0,得到 N={y|y≥0},

则 M∩N={x|0<x<2}, 故选:B. 点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.设复数 z= A.

,则复数 z 的模|z|=( B. 1

) C. 10 D. 2

考点:复数求模. 专题:数系的扩充和复数. 分析:直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z,则复数 z 的模可求. 解答: 解:∵z= ∴|z|= = = . ,

故选:A. 点评:本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题. 3.十进制数 2015 等值于八进制数为( A. 3737 B. 737 考点:进位制. ) C. 03737 D. 7373

专题:算法和程序框图. 分析:根据十进制转化为八进制的方法, 把十进制数除 8 取余转化为对应的八进制数即可得 到结果. 解答: 解:2015÷8=251…7 251÷8=31…3 31÷8=3…7 3÷8=0…3 ∴化成 8 进制是 3737(8) , 故选:A. 点评:本题考查十进制与其它进制之间的转化,本题解题的关键是熟练掌握“除 k 取余法” 的方法步骤,本题是一个基础题. 4.已知 x,y 的值如表所示: x 2 3 y 5 4 如果 y 与 x 呈线性相关且回归直线方程为 A. B.

4 6 ,则 b=( C. ) D.

考点:线性回归方程. 专题:计算题. 分析:根据所给的三组数据,求出这组数据的平均数,得到这组数据的样本中心点,根据线 性回归直线一定过样本中心点,把样本中心点代入所给的方程,得到 b 的值. 解答: 解:根据所给的三对数据,得到 =5, ∴这组数据的样本中心点是(3,5) ∵线性回归直线的方程一定过样本中心点, ∴5=3b+ , ∴b= , 故选 B. 点评:本题考查线性回归方程, 考查数据的样本中心点, 考查样本中心点和线性回归直线的 关系,本题是一个基础题,运算量不大,解题的依据也不复杂. =3,

5.若 A. a>1,b>0 <0

,则( B. a>1,b<0

) C. 0<a<1,b>0 D. 0<a<1,b

考点:对数值大小的比较;不等式比较大小.

专题:计算题. 分析:由对数函数 y=log2x 在(0,+∞)单调递增及 log2a<0=log21 可求 a 的范围,由指数 函数 y= 单调递减,及 可求 b 的范围.

解答: 解:∵log2a<0=log21,由对数函数 y=log2x 在(0,+∞)单调递增∴0<a<1 ∵ ,由指数函数 y= 单调递减∴b<0

故选:D 点评:本题主要考查了借助指数函数与对数函数的单调性比较大小求解参数的范围, 属于基 础试题 6.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2=( A. ﹣4 B. ﹣6 C. ﹣8 考点:等差数列;等比数列. 专题:等差数列与等比数列. 分析:利用已知条件列出关于 a1,d 的方程,求出 a1,代入通项公式即可求得 a2. 解答: 解:∵a4=a1+6,a3=a1+4,a1,a3,a4 成等比数列, 2 ∴a3 =a1?a4, 2 即(a1+4) =a1×(a1+6) , 解得 a1=﹣8, ∴a2=a1+2=﹣6. 故选 B. 点评:本题考查了等差数列的通项公式和等比数列的定义,比较简单. 7.掷两颗均匀的骰子,则点数之和为 7 的概率等于( A. B. C. ) D. ) D. ﹣10

考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析:由题意知本题是一个古典概型, 试验发生包含的事件是抛掷两颗骰子, 共有 6×6 种结 果,满足条件的事件是点数之和是 7,可以列举出所有的事件,共有 6 种结果,得到概率. 解答: 解:由题意知本题是一个古典概型, 试验发生包含的事件是抛掷两颗骰子,共有 6×6=36 种结果, 满足条件的事件是点数之和是 7,可以列举出所有的事件 (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) ,共有 6 种结果, 根据古典概型概率公式得到 P= = ,

故选:C. 点评:本题考查古典概型, 是一个典型的古典概型问题, 本题可以列举出试验发生包含的事 件和满足条件的事件,应用列举法来解题是大纲对这一部分的要求. 8.如图是秦九韶算法的一个程序框图,则输出的 S 为( )

A. a1+x0(a3+x0(a0+a2x0) )的值 C. a0+x0(a1+x0(a2+a3x0) )的值

B. a3+x0(a2+x0(a1+a0x0) )的值 D. a2+x0(a0+x0(a3+a1x0) )的值

考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析:模拟执行程序框图,根据秦九韶算法即可得解. 解答: 解:由秦九韶算法,S=a0+x0(a1+x0(a2+a3x0) ) , 故选:C. 点评:本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力, 同时考查学生对算法思想 的理解与剖析,本题特殊利用秦九韶算法,使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化,属 于基础题. 9.根据右面频率分布直方图估计样本数据的中位数,众数分别为( )

A. 12.5,12.5

B. 13,12.5

C. 12.5,13

D. 14,12.5

考点:频率分布直方图;众数、中位数、平均数. 专题:计算题;图表型. 分析:由频率分布直方图估计样本数据的中位数,众数,规律是,众数即是最高的小矩形的 底边中点横坐标,中位数,出现在概率是 0.5 的地方 解答: 解:由图知,最高小矩形的中点横坐标是 12.5,故众数是 12.5 又最左边的小矩形的面积是 0.2,最高的小矩形的面积是 0.5,故可设中位数是 x 则 0.2+(x ﹣10)0.1=0.5,解得 x=13 由此知,此组数据的中位数是 13,众数是 12.5 故选 B 点评:本题考查频率分布直方图,解题的关键是熟练掌握根据直方图求中位数与众数的规 律. 10. 从 1、 2、 3、 4 这四个数中一次随机取两个, 则取出的这两数字之和为偶数的概率是 ( )

A.

B.

C.

D.

考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析:根据古典概型的概率公式分别进行计算即可得到结论. 解答: 解:从 1、2、3、4 这四个数中一次随机取两个,共有 满足取出的这两数字之和为偶数的有 2 和 4,以及 1 和 3,共 2 种, 则根据古典概型的概率公式可知取出的这两数字之和为偶数的概率 P= , 种结果,

故选:B. 点评:本题主要考查古典概型的概率计算, 根据条件分别求出基本事件的个数是解决本题的 关键,比较基础. 11.从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只,其中恰好有两只颜色相同的取法有( ) A. 60 B. 120 C. 180 D. 240 考点:计数原理的应用. 专题:计算题;排列组合. 分析:根据题意,分 2 步进行分析:①、先从 6 双手套中任选一双,可以满足只有 2 只颜 色相同的要求,②、再用排除法分析其他手套颜色不同的情况,由分步计数原理计算可得 答案. 解答: 解:根据题意,分 2 步进行分析: ①、先从 6 双手套中任选一双,可以满足只有 2 只颜色相同的要求,有 C6 种取法, 2 ②、再从其余手套中任选 2 只有 C10 种,其中选到一双同色手套的选法为 5 种,则其他手 2 套颜色不同的情况有(C10 ﹣5)种; 1 2 故总的选法数为 C6 (C10 ﹣5)=240 种. 故选:D. 点评:本题考查排列、组合的应用,解决组合问题要做到不重不漏,有些题目带有一定的约 束条件,解题时要先考虑有限制条件的元素. 12. 向等腰直角三角形 ABC (其中 AC=BC) 内任意投一点 M, 则 AM 小于 AC 的概率为 ( A. B. C. D. )
1

考点:几何概型. 专题:计算题. 分析:由于点 M 随机地落在线段 AB 上,故可以认为点 M 落在线段 AB 上任一点是等可能 的,可将线段 AB 看做区域 D,以长度为“测度”来计算. 解答: 解:记“AM 小于 AC”为事件 E.则当点 M 位于图中非阴影时,AM 小于 AC, 设 AC=1,图中非阴影部分的面积为:

于是 AM 小于 AC 的概率为:

=



故选 D.

点评:在利用几何概型的概率公式来求其概率时,几何“测度”可以是长度、面积、体积、角 度等,其中对于几何度量为长度,面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域 Ω 上任 置都是等可能的,而对于角度而言,则是过角的顶点的一条射线落在 Ω 的区域(事实也是 角)任一位置是等可能的. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把正确答案填在答题纸的横线上,填 在试卷上的答案无效. 13.用系统抽样法要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 160 名学生随机地从 1~160 编号,按编号顺序平均分成 20 组(1~8 号,9~16 号,…,153~160 号) ,若第 16 组抽出 的号码为 126,则第 1 组中用抽签的方法确定的号码是 6 . 考点:简单随机抽样. 专题:计算题. 分析:根据题意设出在第 1 组中随机抽到的号码,写出在第 16 组中应抽出的号码,根据第 16 组抽出的号码为 126,使得 126 与用 x 表示的代数式相等,得到 x 的值. 解答: 解:不妨设在第 1 组中随机抽到的号码为 x, 则在第 16 组中应抽出的号码为 120+x. 设第 1 组抽出的号码为 x, 则第 16 组应抽出的号码是 8×15+x=126, ∴x=6. 故答案为:6. 点评:抽样选用哪一种抽样形式,要根据题目所给的总体情况来决定,若总体个数较少,可 采用抽签法,若总体个数较多且个体各部分差异不大,可采用系统抽样,若总体的个体差异 较大,可采用分层抽样. 14.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可 能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 .

考点:相互独立事件的概率乘法公式. 专题:计算题.

分析:由于每位同学参加各个小组的可能性相同, 故这两位同学同时参加一个兴趣小组的概 率为 3×( × ) ,运算求得结果.

解答: 解: 由于每位同学参加各个小组的可能性相同, 故这两位同学同时参加一个兴趣小 组的概率为 3×( 故答案为 . × )= ,

点评:本题主要考查相互独立事件的概率,等可能事件的概率,属于基础题. 15.将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组,绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的 频率之比为 2:3:4:6:4:1,且前三组数据的频数之和等于 27,则 n 等于 60 . 考点:频率分布直方图. 专题:计算题. 分析:根据比例关系设出各组的频率,在频率分布表中,频数的和等于样本容量,频率的和 等于 1,求出前三组的频率,再频数和建立等量关系即可. 解答: 解:设第一组至第六组数据的频率分别为 2x,3x,4x,6x,4x,x, 则 2x+3x+4x+6x+4x+x=1, 解得 , , =27,

所以前三组数据的频率分别是 故前三组数据的频数之和等于

解得 n=60. 故答案为 60. 点评:本小题考查频率分布直方图的基础知识, 熟练基本公式是解答好本题的关键, 属于基 础题. 16.由数字 0,1,2,3 组成一个没有重复数字,且不被 10 整除的四位数,则两个偶数不相 邻的概率是 .

考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;等可能事件的概率;排列、组合及简单计 数问题. 专题:计算题;概率与统计. 分析:根据题意,列出所有的情况共 18 个,其中不被 10 整除的四位数是满足个位数不为 0 的共有 12 个,满足两个偶数不相邻的基本事件有 4 个,根据古典概型的概率计算公式可得 结论. 解答: 解:根据题意,列出所有的情况 1023,1032,1203,1230,1302,1320,2013, 2031,2103,2130,2301,2310,3012,3021,3102,3120,3201,3210 共 18 个, 其中不被 10 整除的四位数是满足个位数不为 0 的共有 12 个, 即该实验所有的基本事件 1023, 1032,1203,1302,2013,2031,2103,2301,3012,3021,3102,3201,共 12 个,

则满足两个偶数不相邻的基本事件有 4 个, 根据古典概型的概率计算公式可得 P= . 故答案为: . 点评:本题考查古典概型,考查列举法的运用,确定基本事件的个数是关键,属于中档题. 三、解答题:共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.如图,是某市 1000 户居民月平均用电量的频率分布直方图, (1)如果当地政府希望 85%以上的居民每月的用电量不超出标准,这个标准为多少时比较 适当? (2)有关部门为了制定居民月用电量标准,采用分层抽样的方法从 1000 户居民中抽取 50 户参加听证会,并且要在这已经确定的 50 人中随机确定两人做中心发言,求这两人分别来 自用电量区间[60,80)和[80,100)的概率.

考点:古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 专题:概率与统计. 分析: (1)求出用电量在 100 以上的频率为 0.14,所以 0.86 的居民用电量在 100 以下, 判断出标准. (2)根据分层抽样,分别求出来自自用电量区间[60,80)和[80,100)的人数,根据概率 公式计算即可. 解答: 解: (1)月用电量在 100 以上的居民所占的比例为(0.003+0.002+0.002) ×20=0.14=14%,86%的居民月用电量在 100 以下,因此,居民月用电量标准定为 100 比较适 当. (或者 99.5 也行) (2)这两人分别来自用电量区间[60,80)和[80,100)记为事件 A,在这已经确定的 50 2 人中随机确定两人共有 C50 种, 来自来自用电量区间[60,80)有 50×20×0.015=15 人,来自[80,100)的有 50×20×0.020=20 人, 故这两人分别来自用电量区间[60,80)和[80,100)的种数为 15×20=300 种, 故 P(A)= = .

点评:本题考查了利用频率分布直方图求中位数、 平均数, 考查了分层抽样方法及古典概型 的概率计算,考查了学生分析解答问题的能力,属于基础题.

18.某学校为了增强学生对数学史的了解,提高学生学习数学的积极性,举行了一次数学史 知识竞赛,其中一道题是连线题,要求将 4 名数学家与他们所著的 4 本著作一对一连线,规 定:每连对一条得 5 分,连错一条得﹣2 分.某参赛者随机用 4 条线把数学家与著作一对一 全部连接起来. (1)求该参赛者恰好连对一条的概率. (2)求该参赛者得分不低于 6 分的概率. 考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析: 由题意将 4 名数学家与他们所著的 4 本著作一对一连线, =24 种,

(1)求出参赛者恰好连对一条种数,根据概率公式计算即可. (2)求,得分不低于(6 分)即全部连对或恰好连对 2 条的种数,根据概率公式计算即可. 解答: 解:由题意将 4 名数学家与他们所著的 4 本著作一对一连线,不同的连线方法共 =24 种 其中恰好连对一条的情形有 恰好连对两条的情形有 =8 种:

=6 种:

全部连对的情形只有 1 种: (1)恰好连对 1 条的概率为 ; .

(2)得分不低于(6 分)即全部连对或恰好连对 2 条的概率为

点评:本题主要考查了古典概率的求法,关键是找到基本的事件,属于基础题. 19.某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体 1000 名学生 中随机抽取了 100 名学生的体检表,学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较 多, 为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系, 对年级名次在 1~50 名和 951~1000 名的 学生进行了调查,得到如下数据: 年级名次 是否近视 1~50 951~1000 近视 41 32 不近视 9 18 (1) 根据表中的数据, 能否在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系? (2)根据表中数据,在调查的 100 名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 9 人, 进一步调查他们良好的护眼习惯,并且在这 9 人中任取 2 人,求成绩名次在 1~50 名恰有 1 名的学生的概率. 附:P(K2≥3.841=0.05)K =
2



考点:独立性检验.

专题:应用题;概率与统计. 分析: (1)根据表中的数据,计算观测值 k ,得出统计结论; (2)用列举法求出基本事件数,计算对应的概率. 解答: 解: (1)根据表中的数据,得; k=
2 2

=

≈4.110>3.841;

因此在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下, 认为视力与学习成绩有关系; (2)依题意 9 人中年级名次在 1~50 名有 3 人,记为 a、b、c; 951~1000 名有 6 人,记为 1、2、3、4、5、6; 从 9 人中取 2 人包含的基本事件有 ab,ac,a1,a2,a3,a4,a5,a6, bc,b1,b2,b3,b4,b5,b6,c1,c2,c3,c4,c5,c6, 12,13,14,15,16,23,24,25,26, 34,35,36,45,46,56 共 36 种, 记事件 A:成绩名次在 1~50 名恰有 1 名的学生, 事件 A 包含的所有基本事件有 a1,a2,a3,a4,a5,a6, b1,b2,b3,b4,b5,b6,c1,c2,c3,c4,c5,c6 共 18 种, 则 P(A)= = .

点评:本题考查了独立性检验的应用问题, 也考查了用列举法求古典概型的概率问题, 是基 础题目. 20.从甲、乙两名运动员的若干次训练成绩中随机抽取 6 次,分别为 甲:7.7,7.8,8.6,8.7,9.3,9.5 乙:7.6,8.2,8.5,8.6,9.2,9.5 (1)根据以上的茎叶图,对甲、乙运动员的成绩作比较,写出两个统计结论; (2)从甲、乙运动员 6 次成绩中各随机抽取 1 次成绩,求甲、乙运动员的成绩至少有一个 高于 8.5 分的概率. (3)经过对甲、乙运动员若干次成绩进行统计,发现甲运动员成绩均匀分布在[7,10]之间, 乙运动员成绩均匀分布在[7.5,9.5]之间,现甲、乙比赛一次,求甲、乙成绩之差的绝对值 小于 0.5 分的概率.

考点:茎叶图;众数、中位数、平均数. 专题:概率与统计.

分析: (1)根据茎叶图,我们结合甲乙两名运动员的成绩,我们可以求出两个人的平均 成绩,从而比较出两个人的平均水平;也可计算出两个人的方差(或标准差) ,从而比较出 两个人发挥的稳定性; (2)设甲乙成绩至少有一个高于 8.5 分为事件 A,我们先计算出从甲、乙运动员六次成绩 中各随机抽取 1 次成绩的所有抽取方法总数,和满足甲、乙运动员的成绩至少有一个高于 8.5 分的抽取方法,代入古典概型公式即可求出答案. (3)根据已知中甲运动员成绩均匀分布在[7.5,9.5]之间,乙运动员成绩均匀分布在[7.0, 10]之间,我们可以求出它所表示的平面区域的面积,再求出甲、乙成绩之差的绝对值小于 0.5 分对应的平面区域的面积,代入几何概型公式,即可得到答案. 解答: 解(1)由样本数据可得: = (7.7+7.8+8.6+8.7+9.3+9.5)=8.6, = (7.6+8.2+8.5+8.6+9.2+9.5)=8.6,可知甲乙运动员平均水平相同. = [(7.7﹣8.6) +(7.8﹣8.6) +(8.6.﹣8.6) +(8.7﹣8.6) +(9.3﹣8.6) +(9.5 ﹣8.6) ]=0.46, = [(7.6﹣8.6) +(8.2﹣8.6) +(8.5﹣8.6) +(8.6﹣8.6) +(9.2﹣8.6) +(9.5﹣8.6)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

]=0.39, 可知乙运动员的方差小,则乙运动员发挥较甲运动员发挥稳定. (2)设甲乙运动员成绩至少有一个高于 8 为事件 A 则 P(A)=1﹣ .

(3)设甲运动员的成绩为 y,y∈[7,10], 乙运动员的成绩为 x,x∈[7.5,9.5]且|x﹣y|<0.5, 设甲乙运动员成绩之差小于 0.5 分为事件 B,



则事件 B 包含的区域为阴影区域,则 P(B)=1﹣

= .

点评:本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式, 几何概型及其概率计算公式, 茎叶 图, 是统计和概率知识的综合考查, 熟练掌握古典概型及几何概型求解概率的方法和步骤是 解答本题的关键.

21.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 动点,P 点满足 =2 ,P 点的轨迹为曲线 C2

(α 为参数)M 是 C1 上的

(Ⅰ)求 C2 的方程; (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ= 交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|. 考点:简单曲线的极坐标方程;轨迹方程. 专题:计算题;压轴题. 分析: (I)先设出点 P 的坐标, 然后根据点 P 满足的条件代入曲线 C1 的方程即可求出曲 线 C2 的方程; (II)根据(I)将求出曲线 C1 的极坐标方程,分别求出射线 θ= ρ1,以及射线 θ= 与 C1 的交点 A 的极径为 与 C1 的异于极点的

与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2,最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求.

解答: 解: (I)设 P(x,y) ,则由条件知 M( , ) .由于 M 点在 C1 上,

所以



从而 C2 的参数方程为 (α 为参数) (Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4sinθ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=8sinθ. 射线 θ= 射线 θ= 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1=4sin 与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2=8sin , .

所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|= . 点评:本题考查点的极坐标和直角坐标的互化, 以及轨迹方程的求解和线段的度量, 属于中 档题. 一、请考生从 22,23 题中任选一题作答,并用铅笔将答题纸上所选题目对应的题号涂黑, 注意所做题目必须与所涂题号一致,如果多做,则按所做的第一题评分.选修 4-1:几何证 明选讲 22.如图所示,AB 为圆 O 的直径,CB,CD 为圆 O 的切线,B,D 为切点. (1)求证:AD∥OC;

(2)若圆 O 的半径为 2,求 AD?OC 的值.

考点:相似三角形的性质. 专题:选作题;立体几何. 分析: (1)连接 BD,OD,利用切线的性质,证明 BD⊥OC,利用 AB 为直径,证明 AD ⊥DB,即可证明 AD∥OC; (2)证明 Rt△BAD∽Rt△COB,可得 解答: (1)证明:连接 BD,OD, ∵CB,CD 是圆 O 的两条切线, ∴BD⊥OC, 又 AB 为直径,∴AD⊥DB, ∴AD∥OC. (5 分) (2)解:∵AD∥OC,∴∠DAB=∠COB, ∴Rt△BAD∽Rt△COB, ∴ , ,即可求 AD?OC 的值

∴AD?OC=AB?OB=0 分)

点评:本小题主要考查平面几何的证明, 具体涉及到圆的切线的性质, 三角形相似等内容. 本 小题重点考查考生对平面几何推理能力. 一、选修 4-5:不等式选讲 3 3 2 2 23.已知 a,b 都是正数,且 a≠b,求证:a +b >a b+ab ; (2)已知 a,b,c 都是正数,求证: ≥abc.

考点:不等式的证明. 专题:证明题;不等式. 2 2 分析: (1)由条件 a≠b 推出:a ﹣2ab+b >0,通过变形,应用不等式的性质可证出结论; (2)利用基本不等式,再相加,即可证明结论. 2 2 2 2 解答: 证明: (1)∵a≠b,∴a﹣b≠0,∴a ﹣2ab+b >0,∴a ﹣ab+b >ab. 2 2 而 a,b 均为正数,∴a+b>0,∴(a+b) (a ﹣ab+b )>ab(a+b)

∴a +b >a b+ab 成立; (2)∵a,b,c 都是正数, ∴a b +b c ≥2acb ,a b +c a ≥2bca ,c a +b c ≥2abc , 2 2 2 2 2 2 三式相加可得 2(a b +b c +c a )≥2abc(a+b+c) , 2 2 2 2 2 2 ∴a b +b c +c a )≥abc(a+b+c) , ∴ ≥abc.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3

3

2

2

点评:本题考查不等式的证明,考查基本不等式的运用,考查综合法,属于中档题.



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