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福建省泉州市晋江市季延中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)



福建省泉州市晋江市季延中学 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)若命题 p:2 是偶数,命题 q:2 是 3 的约数,则下列结论中正确的是() A.“p∨q”为假 B.“p∨q”为真 C.“p∧q”为真 D.以上都不对 2. (5 分)抛物线 y=ax 的准线方程为 y+

2=0,则实数 a 的值为() A. B. C. 8 D.﹣8
2

3. (5 分) 如图, 在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, M 为 AC 与 BD 的交点, 若 = , = .则下列向量中与 相等的向量是()

= ,

A.

B.

C.

D.

4. (5 分)平面内有两定点 A、B 及动点 P,设命题甲:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙:“点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆”,则甲是乙的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. (5 分)下列命题为真命题的是() A.若 p∨q 为真命题,则 p∧q 为真命题 B. “x=5”是“x ﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件 2 2 C. 命题“若 x<﹣1,则 x ﹣2x﹣3>0”的否命题为“若 x<﹣1,则 x ﹣2x﹣3≤0” 2 2 D.已知命题 p:?x∈R,使得 x +x﹣1<0,¬p:?x∈R,使得 x +x﹣1>0 6. (5 分)设平面 α 的法向量为(1,2,﹣2) ,平面 β 的法向量为(﹣2,﹣4,k) ,若 α∥β, 则 k=() A.2 B.﹣4 C. 4 D.﹣2
2

7. (5 分)若 A,B,C 不共线,对于空间任意一点 O 都有 B,C 四点() A.不共面

=

+

+

,则 P,A,

B.共面

C.共线

D.不共线

8. (5 分)如图,在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面是边长为 1 的正方形,若 ∠A1AB=∠A1AD=60°,且 A1A=3,则 A1C 的长为()

A.

B.

C.

D. ,则 cos< >的值

9. (5 分)空间四边形 OABC 中,OB=OC, 是() A. B. C. ﹣

D.0
2

10. (5 分)已知直线 l1:4x﹣3y+6=0 和直线 l2:x=﹣1,抛物线 y =4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是() A.2 B. 3 C. D.

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 2 11. (5 分)命题“若 x <1,则﹣1<x<1”的逆否命题是 .

12. (5 分)与双曲线

=1 有共同的焦点,且离心率 e= 的双曲线方程为.

13. (5 分)若椭圆两焦点为 F1(﹣4,0) ,F2(4,0)点 P 在椭圆上,且△ PF1F2 的面积的 最大值为 12,则此椭圆的方程是.

14. (5 分)已知向量 在基底{ { }下的坐标为.

}下的坐标为(2,1,﹣1) ,则 在基底

15. (5 分)设 F1,F2 为椭圆

的焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与

椭圆交于 A,B 两点,若△ ABF2 为锐角三角形,则该椭圆离心率 e 的取值范围是 .

三、解答题(12+12+12+12+13+14=75 分,写出必要的解题过程) 2 16. (12 分)抛物线 y =8x 的焦点是 F,倾斜角为 45°的直线 l 与抛物线相交于 A,B 两点, |AB|=8 ,求直线 l 的方程. 17. (12 分)判断命题“已知 a,x 为实数,若关于 x 的不等式 x +(2a+1)x+a +2≤0 的解集 非空,则 a≥1”的逆否命题的真假,并证明. 18. (12 分)如图,四面体 ABCD 中,AB、BC、BD 两两垂直,AB=BC=BD=4,E、F 分 别为棱 BC、AD 的中点. (1)求异面直线 AB 与 EF 所成角的余弦值; (2)求 E 到平面 ACD 的距离; (3)求 EF 与平面 ACD 所成角的正弦值.
2 2

19. (12 分)已知 P 为椭圆

=1 上的任意一点,O 为坐标原点,M 在线段 OP 上,且

(Ⅰ)求点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)已知直线 3x+6y﹣2=0 与 M 的轨迹相交于 A,B 两点,求△ OAB 的面积. 20. (13 分) 如图, 已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直, AA1=AB=AC=1, AB⊥AC, M,N 分别是 CC1,BC 的中点,点 P 在直线 A1B1 上,且 ;

(Ⅰ)证明:无论 λ 取何值,总有 AM⊥PN; (Ⅱ)当 λ 取何值时,直线 PN 与平面 ABC 所成的角 θ 最大?并求该角取最大值时的正切 值; (Ⅲ)是否存在点 P,使得平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 30°,若存在,试确定点 P 的位置,若不存在,请说明理由.

21. (14 分)已知定点 F(0,1)和直线 l1:y=﹣1,过定点 F 与直线 l1 相切的动圆圆心为 点 C. (1)求动点 C 的轨迹方程; (2)过点 F 的直线 l2 交动点 C 的轨迹于两点 P、Q,交直线 l1 于点 R,求 ? 的最小值;

(3)过点 F 且与 l2 垂直的直线 l3 交动点 C 的轨迹于两点 R、T,问四边形 PRQT 的面积是 否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.

福建省泉州市晋江市季延中学 2014-2015 学年高二上学 期期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)若命题 p:2 是偶数,命题 q:2 是 3 的约数,则下列结论中正确的是() A.“p∨q”为假 B.“p∨q”为真 C.“p∧q”为真 D.以上都不对 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用复合命题的真假判定方法即可得出. 解答: 解:命题 p:2 是偶数,是真命题; 命题 q:2 是 3 的约数,是假命题. ∴p∨q 是真命题. 故选:B. 点评: 本题考查了复合命题的真假判定方法,属于基础题. 2. (5 分)抛物线 y=ax 的准线方程为 y+2=0,则实数 a 的值为() A. B. C. 8 D.﹣8
2

考点: 抛物线的简单性质.

专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 化抛物线的方程为标准方程, 可得其准线方程比较已知可得 a 的方程, 解方程可得. 解答: 解:化抛物线 y=ax 的方程为 x = y, 可得其准线方程为 y=﹣ ,
2 2

又抛物线的直线方程为 y+2=0,即 y=﹣2, 故﹣ =﹣2,解得 a=

故选:A 点评: 本题考查抛物线的准线方程,属基础题.

3. (5 分) 如图, 在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, M 为 AC 与 BD 的交点, 若 = , = .则下列向量中与 相等的向量是()

= ,

A.

B.

C.

D.

考点: 空间向量的加减法. 专题: 空间向量及应用. 分析: 表示向量 ,只需要用给出的基底 , , 表示出来即可,要充分利用图形的

直观性,熟练利用向量加法的三角形法则进行运算. 解答: 解: = = = + + + ( + ) = +

= + ( + ) = 故选:A. .

点评: 本题主要考查两个向量的加减法的法则, 以及其几何意义, 同时考查了转化的思想, 属于基础题. 4. (5 分)平面内有两定点 A、B 及动点 P,设命题甲:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙:“点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆”,则甲是乙的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 结合椭圆的定义,利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 解答: 解:若点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆,则根据椭圆的定义可知动点 P 到两定 点 A,B 的距离之和|PA|+|PB|=2a (a>0,且 a 为常数)成立是定值. 若动点 P 到两定点 A,B 的距离之和|PA|+|PB|=2a (a>0,且 a 为常数) ,当 2a≤|AB|,此时 的轨迹不是椭圆. ∴甲是乙的必要不充分条件. 故选:B. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合椭圆的定义是解决本题的关键. 5. (5 分 )下列命题为真命题的是() A.若 p∨q 为真命题,则 p∧q 为真命题 2 B. “x=5”是“x ﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件 2 2 C. 命题“若 x<﹣1,则 x ﹣2x﹣3>0”的否命题为“若 x<﹣1,则 x ﹣2x﹣3≤0” 2 2 D.已知命题 p:?x∈R,使得 x +x﹣1<0,¬p:?x∈R,使得 x +x﹣1>0 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: A,利用复合命题真值表可判断 A 的正误; B,利用充分必要条件的概念可判断 B 的正误; C,搞清楚命题的否定与否命题的概念可判断 C 的正误; D,明确特称命题的否定既要在量词上否定,又要在结论处否定,可判断 D 的正误. 解答: 解:A,由复合命题真值表知:若 p∨q 为真命题,则 p、q 至少有一个为真命题, 有可能一真一假,也可能两个都真,推不出 p∧q 为真命题,∴选项 A 错误; 2 2 B,由 x=5 可以得到 x ﹣4x﹣5=0,但由 x ﹣4x﹣5=0 不一定能得到 x=5,也可以是 x=﹣1, ∴选项 B 成立; C,选项 C 错在把否命题写成了命题的否定,∴选项 C 错误; D,选项 D 错在没有搞清楚特称命题的否定既要在量词上否定,且要在结论处否定(符号应 为≤) . 故选:B. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用, 着重考查易混淆的概念的理解与应用, 如否命题 与命题的否定、特称命题的否定全称命题的关系及复合命题真值表的应用,属于中档题. 6. (5 分)设平面 α 的法向量为(1,2,﹣2) ,平面 β 的法向量为(﹣2,﹣4,k) ,若 α∥β, 则 k=()

A.2

B.﹣4

C. 4

D.﹣2

考点: 向量语言表述面面的垂直、平行关系;平面的法向量. 专题: 计算题. 分析: 根据两平面平行得到两平面的法向量平行, 再根据向量平行坐标的关系建立等量 关系,求出 k 即可. 解答: 解:∵α∥β, ∴两平面的法向量平行则(﹣2,﹣4,k)=λ(1,2,﹣2) , ∴﹣2=λ,k=﹣2λ,∴k=4.故选 C 点评: 本题主要考查了向量语言表述面面的垂直、平行关系,以及平面的法向量,属于基 础题.

7. (5 分)若 A,B,C 不共线,对于空间任意一点 O 都有 B,C 四点() A.不共面

=

+

+

,则 P,A,

B.共面

C.共线

D.不共线

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由共面向量基本定理即可得出. 解答: 解: :由 = + + ,可得 =1,

又 A,B,C 不共线,∴P,A,B,C 四点共面. 故选:B. 点评: 本题考查了共面向量基本定理,属于基础题. 8. (5 分)如图,在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面是边长为 1 的正方形,若 ∠A1AB=∠A1AD=60°,且 A1A=3,则 A1C 的长为()

A.

B.

C.

D.

考点: 棱柱的结构特征. 专题: 计算题;空间位置关系与距离;空间向量及应用. 分析: 用空间向量解答. 解答: 解:∵ ∴
2

= ﹣

+
2





=(

+

);

即 ?

2

=

? )

+

?



?

+

?

+

?



?

﹣(

?

+

?



=1+0﹣3×1×cos60°+0+1﹣3×1×cos60°﹣(3×1×cos60°+3×1×cos60°﹣9) ; =1﹣ +1 ﹣ ﹣ +9=5,

∴A1C= . 故选 A. 点评: 本题考查了空间向量的应用,属于基础题.

9. (5 分)空间四边形 OABC 中,OB=OC, 是() A. B. C. ﹣

,则 cos<

>的值

D.0

考点: 平面向量数量积的性质及其运算律. 专题: 计算题. 分析: 利用 OB=OC,以及两个向量的数量积的定义化简 cos< 解答: 解:∵OB=OC, >的值,

, 故选 D. 点评: 本题考查两个向量的数量积的定义,两个向量的夹角公式的应用. 10. (5 分)已知直线 l1:4x﹣3y+6=0 和直线 l2:x=﹣1,抛物线 y =4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是() A.2 B. 3 C. D.
2

考点: 直线与圆锥曲线的关系;点到直线的距离公式. 专题: 计算题. 2 分析: 先确定 x=﹣1 为抛物线 y =4x 的准线, 再由抛物线的定义得到 P 到 l2 的距离等于 P 2 到抛物线的焦点 F(l2,0)的距离,进而转化为在抛物线 y =4x 上找一个点 P 使得 P 到点 F (l2,0)和直线 l2 的距离之和最小,再由点到线的距离公式可得到距离的最小值. 2 解答: 解:直线 l2:x=﹣1 为抛物线 y =4x 的准线, 由抛物线的定义知,P 到 l2 的距离等于 P 到抛物线的焦点 F(l2,0)的距离, 2 故本题化为在抛物线 y =4x 上找一个点 P 使得 P 到点 F(l2,0)和直线 l2 的距离之和最小, 最小值为 F(l2,0)到直线 l2:4x﹣3y+6=0 的距离,

即 d=



故选 A. 点评: 本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离,考查基础知识的综合应用.圆锥曲线 是 2015 届高考的热点也是难点问题,一定要强化复习. 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)命题“若 x <1,则﹣1<x<1”的逆否命题是 2 “若 x≥1 或 x≤﹣1,则 x ≥1”. 考点: 四种命题间的逆否关系. 专题: 阅读型. 分析: 先否定原命题的题设做结论, 再否定原命题的结论做题设, 就得到原命题的逆否命 题. 2 2 解答: 解:∵“x <1”的否定为“x ≥1”.“﹣1<x<1”的否定是“x≤﹣1 或 x≥1”. 2 2 ∴命题“若 x <1,则﹣1<x<1”的逆否命题是:“若 x≥1 或 x≤﹣1,则 x ≥1”. 2 故答案:若 x≥1 或 x≤﹣1,则 x ≥1. 点评: 本题考查四种命题的相互转化, 解题时要认真审题, 注意. “﹣1<x<1”的否定是“x≤ ﹣1 或 x≥1”.
2

12. (5 分)与双曲线

=1 有共同的焦点,且离心率 e= 的双曲线方程为



考点: 双曲线的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线 =1 的焦点坐标,设出双曲线的方程,据题意得到参数 c 的值,

根据双曲线的离心率等于 ,得到参数 a 的值,得到双曲线的方程.

解答: 解:∵双曲线

=1 的焦点坐标为(﹣4,0)和(4,0) ,…(1 分)

设双曲线方程为 则 c=4,…(2 分)

(a>0,b>0) ,

∵双曲线的离心率等于 ,即 = ,∴a= .

…(4 分)

∴b =c ﹣a =

2

2

2



…(5 分) ;

故所求双曲线方程为



故答案为:



点评: 本题主要考查双曲线的简单性质和标准方程. 解答的关键在于考生对圆锥曲线的基 础知识的把握. 13. (5 分)若椭圆两焦点为 F1(﹣4,0) ,F2(4,0)点 P 在椭圆上,且△ PF1F2 的面积的 最大值为 12,则此椭圆的方程是 .

考点: 椭圆的标准方程;椭圆的简单性 质. 专题: 计算题. 分析: 先设 P 点坐标为(x,y) ,表示出△ PF1F2 的面积,要使三角形面积最大,只需|y| 取最大,因为 P 点在椭圆上,所以当 P 在 y 轴上,此时|y|最大,故可求. 解答: 解:设 P 点坐标为(x,y) ,则 ,

显然当|y|取最大时, 三角形面积最大. 因为 P 点在椭圆上, 所以当 P 在 y 轴上, 此时|y|最大, 2 2 2 所以 P 点的坐标为(0,±3) ,所以 b=3.∵a =b +c ,所以 a=5 ∴椭圆方程为 .

故答案为 点评: 本题的考点是椭圆的标准方程,主要考查待定系数法求椭圆的方程,关键是利用 △ PF1F2 的面积取最大值时,只需|y|取最大 14. (5 分)已知向量 在基底{ { }下的坐标为(2,1,﹣1) ,则 在基底

}下的坐标为( , ,﹣1) .

考点: 空间向量的基本定理及其意义. 专题: 空间向量及应用. 分析: 设出向量 在基底{ 利用向量相等,求出 x、y、z 的值即可. 解答: 解:设向量 在基底{ }下的坐标为(x,y,z) , }下的坐标为(x,y,z) ,把 用基底表示,

则 =x( + )+y( ﹣ )+z =(x+y) +(x﹣y) +z , 又∵ =2 + ﹣ ,





解得 x= ,y= ,z=﹣1; ∴ 在基底{ 故答案为: ( , ,﹣1) . 点评: 本题考查了空间向量的基本定理以及坐标表示的应用问题,是基础题目. }下的坐标为( , ,﹣1) .

15. (5 分)设 F1,F2 为椭圆

的焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与

椭圆交于 A,B 两点,若△ ABF2 为锐角三角形,则该椭圆离心率 e 的取值范围是 . 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先依据条件求出 AF1 的长度,由题意知∠AF2F1 小于 45°,由 tan∠AF2F1<1 建 立关于 a、c 的不等式, 转化为关于 e 的不等式,解此不等式求出离心率 e 的范围,再结合 0<e<1 得到准确的离 心率 e 的范围.

解答: 解: 由题意知∠AF2F1
2 2 2 2

小于 45°, 故 tan∠AF2F1  =

<1, 即

<1,

b <2ac,a ﹣c <2ac,e +2e﹣1>0,∴e> ﹣1,或 e<﹣1﹣ (舍去) . 又 0<e<1,故有 ﹣1<e<1, 故答案为: ﹣1<e<1. 点评: 本题考查椭圆的标准方程和简单的性质,利用∠AF2F1 小于 45°,tan∠AF2F1<1 求出 e 的范围,将此范围与 0<e<1 取交集. 三、解答题(12+12+12+12+13+14=75 分,写出必要的解题过程) 2 16. (12 分)抛物线 y =8x 的焦点是 F,倾斜角为 45°的直线 l 与抛物线相交于 A,B 两点, |AB|=8 ,求直线 l 的方程. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 设 AB 方程为 y=x+b,与抛物线方程联立可得根与系数的关系,利用弦长公式即可 得出. 解答: 解:设 AB 方程为 y=x+b, 联立 ,消去 y 得:x +(2b﹣8)x+b =0.
2 2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 2 则 x1+x2=8﹣2b,x1?x2=b . ∴|AB|= = = × =8 , ?|x1﹣x2|

解得:b=﹣3. ∴直线方程为 y=x﹣3.即:x﹣y﹣3=0. 点评: 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、 直线与抛物线相交问题转化为方程联 立可得根与系数的关系、弦长公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 17. (12 分)判断命题“已知 a,x 为实数,若关于 x 的不等式 x +(2a+1)x+a +2≤0 的解集 非空,则 a≥1”的逆否命题的真假,并证明. 考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据原命题与它的逆否命题真假性相同,判断原命题的真假即可. 解答: 解:该命题的逆否命题是真命题. 证明如下; ∵关于 x 的不等式 x +(2a+1)x+a +2≤0 的解集非空, 2 2 ∴△=(2a+1) ﹣4(a +2)≥0, 解得 a≥ , ∴a≥1,原命题正确; ∴它的逆否命题也正确的. 点评: 本题考查了四种命题的应用问题, 解题时应根据原命题与它的逆否命题的真假性相 同进行解答,是基础题. 18. (12 分)如图,四面体 ABCD 中,AB、BC、BD 两两垂直,AB=BC=BD=4,E、F 分 别为棱 BC、AD 的中点. (1)求异面直线 AB 与 EF 所成角的余弦值; (2)求 E 到平面 ACD 的距离; (3)求 EF 与平面 ACD 所成角的正弦值.
2 2 2 2

考点: 直线与平面所成的角;异面直线及其所成的角;点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)如图,分别以直线 BC,BD,AB 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,求出 异面直线 AB 与 EF 的方向向量,代入向量夹角公式,可得异面直线 AB 与 EF 所成角的余 弦值; (2)求出平面 ACD 的一个法向量 =(1,1,1) ,结合 F∈平面 ACD, 可得:E 到平面 ACD 的距离 d= ; =(﹣2,2,2) ,

(3)由(2)中平面 ACD 的一个法向量 =(1,1,1) ,设 EF 与平面 ACD 所成角为 α.则 sinα=cos< , >.

解答: 解: (1)如图,分别以直线 BC,BD,AB 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, ∵AB=BC=BD=4,E、F 分别为棱 BC、AD 的中点. ∴A(0,0,4) ,C(4,0,0) ,D(0,4,0) ,E(2,0,0) ,F(0,2,2) , ∵ =(0,0,﹣4) , =(﹣2,2,2) ,

设异面直线 AB 与 EF 所成角为 θ, 则 cosθ = = = ,

即异面直线 AB 与 EF 所成角的余弦值为



(2)设平面 ACD 的一个法向量 =(x,y,1) , ∵ 由 =(4,0,﹣4) , ,得 =(﹣4,4,0) , ,

故 =(1,1,1) ,

∵F∈平面 ACD,

=(﹣2,2,2) , = = ;

∴E 到平面 ACD 的距离 d=

(3)由(2)中平面 ACD 的一个法向量 =(1,1,1) , 设 EF 与平面 ACD 所成角为 α. 则 sinα=cos< , >= = = .

点评: 本题考查的知识点是直线与平面所成的角, 异面直线及其所成的角, 点到平面的距 离, 建立空间坐标系, 将空间夹角问题和距离问题转化为向量夹角和向量射影问题是解答的 关键.

19. (12 分)已知 P 为椭圆

=1 上的任意一点,O 为 坐标原点,M 在线段 OP 上,且

(Ⅰ)求点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)已知直线 3x+6y﹣2=0 与 M 的轨迹相交于 A,B 两点,求△ OAB 的面积. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)设 M(x,y) ,P(x0,y0) ,由 ,解出 P(x0,y0) ,代入椭圆方程即

可得出. (2)直线 3x+6y﹣2=0 与 M 的轨迹方程联立解得点 A ,B 坐标,利用三角形面积计 算公式 即可得出. 解答: 解: (1)设 M(x,y) ,P(x0,y0) , 由 得 ,

∵P(x0,y0)在椭圆上,∴ ∴M 的轨迹方程为: =1.



(2)据已知







点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、 直线与椭圆相交转化为方程联立、 三角形面 积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 20. (13 分) 如图, 已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直, AA1=AB=AC=1, AB⊥AC, M,N 分别是 CC1,BC 的中点,点 P 在直线 A1B1 上,且 ;

(Ⅰ)证明:无论 λ 取何值,总有 AM⊥PN; (Ⅱ)当 λ 取何值时,直线 PN 与平面 ABC 所成的角 θ 最大?并求该角取最大值时的正切 值; (Ⅲ)是否存在点 P,使得平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 30°,若存在,试确定点 P 的位置,若不存在,请说明理由.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;向量语言表述线线的垂直、平行关系;用空间向量求 直线与平面的夹角. 专题: 综合题. 分析: (1)以 AB,AC,AA1 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系 A﹣xyz,求出各 点的坐标及对应向量的坐标,易判断 ,即 AM⊥PN;

(2)设出平面 ABC 的一个法向量,表达出 sinθ,利用正弦函数的单调性及正切函数的单调 性的关系,求出满足条件的 λ 值,进而求出此时 θ 的正切值;

(3) 假设存在, 利用平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 30°, 则平面 PMN 与平面 ABC 法向量的夹角为 30°,代入向量夹角公式,可以构造一个关于 λ 的方程,研究方程根的情况, 即可得到结论. 解答: (1)证明:如图,以 A 为 原点建立空间直角坐标系,则 A1(0,0,1) , B1 (1, 0, 1) , M (0, 1, ) , N ( , 0) , (1)解:∵ ,∴ ,

∴无论 λ 取何值,AM⊥PN…(4 分) (2)解:∵ =(0,0,1)是平面 ABC 的一个法向量.

∴sinθ=|cos<

|=

而 θ∈,当 θ 最大时,sinθ 最大,tanθ 最大,θ= ∴当 λ= 时,θ 取得最大值,此时 sinθ= (3)假设存在,则 量.

除外, ,tanθ=2 …(8 分) 是平面 PMN 的一个法向

,cosθ= ,设





令 x=3,得 y=1+2λ,z=2﹣2λ


2

∴|cos<

>|=

化简得 4λ +10λ+13=0(*)

∵△=100﹣4×4×13=﹣108<0 ∴方程(*)无解 ∴不存在点 P 使得平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 30°…(13 分)

点评: 利用向量知识解决立体几何问题的优点在于用代数化的方法解决立体几何, 解题的 关键在于用坐标表示空间向量,熟练掌握向量夹角公式. 21. (14 分)已知定点 F( 0,1)和直线 l1:y=﹣1,过定点 F 与直线 l1 相切的动圆圆心为 点 C. (1)求动点 C 的轨迹方程; (2)过点 F 的直线 l2 交动点 C 的轨迹于两点 P、Q,交直线 l1 于点 R,求 ? 的最小值;

(3)过点 F 且与 l2 垂直的直线 l3 交动点 C 的轨迹于两点 R、T,问四边形 PRQT 的面积是 否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由已知条件推导出点 C 的轨迹是以 F 为焦点,l1 为准线的抛物线,由此能求 出动点 C 的轨迹方程. (2) 设 l2: y=kx+1, 由 , 得 x ﹣4kx﹣4=0, 设P (x1, y1) , Q (x2, y2) , 则 的最小值.
2



由直线 PQ 的斜率 k≠0,得 R(﹣ ,﹣1) ,由此能求出
2 2

?

(3)由 RT=

,得 y ﹣(4k +2)y+1=0,所以 PQ= ,由此能求出四边形 PRQT 的面积存在最小值 32.

,同理可得:

解答: 解: (1)∵定点 F(0,1)和直线 l1:y=﹣1,过定点 F 与直线 l1 相切的动圆圆心 为点 C, ∴点 C 的轨迹是以 F 为焦点,l1 为准线的抛物线, 2 ∴动点 C 的轨迹方程为 x =4y. (2)设 l2:y=kx+1, 由 ,得 x ﹣4kx﹣4=0,
2

设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则 由直线 PQ 的斜率 k≠0,得 R(﹣ ,﹣1) , ∴ = = =(



)?(x2+ ,y2+1)

=﹣ = ∵ ∴ ∴ ? ? , ,当且仅法 k =1 取等号. ≥8+8=16. 的最小值是 16. ,得 y ﹣(4k +2)y+1=0,
2 2 2

(3)由

∴PQ= 设 同理可得:RT= ∴SPRQT= =8(
2

, ,代入 x =4y, ,
2

)≥32.

当且仅当 k =1 时取等号, ∴四边形 PRQT 的面积存在最小值 32. 点评: 本题考查点的轨迹方程的求法, 考查向量的数量积的最小值的求法, 考查四边形面 积是否有最小值的判断与求法,解题时要认真审题,注意均值定理的合理运用.



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