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山西省太原五中2014-2015学年度高三数学下学期阶段检测(校二模)试题 理



太原五中 2014—2015 学年度第二学期阶段检测 高 三 数 学(理)

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题) .满分 150 分,考试时间 120 分 钟. 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一.选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一选项是符合题目要求的) 1. 已知集合错误!未找

到引用源。则错误!未找到引用源。为( A.错误!未找到引用源。 引用源。 B.错误!未找到引用源。 ) C.错误!未找到 C. 7. 已知实数 x ? [1, 10] ,执行右图所示的程序框图,则输出 x 的值不小于 55 的概率为 ( A. )

1 9
4 9

B. D.

2 9

D.错误!未找到引用源。

5 9

2. 甲乙两人从错误!未找到引用源。门课程中各选修两门,则甲乙所选的课程中至少 有错误!未找到引用源。门不相同 的选法共有( ... A.30 种 B.36 种 C.60 种 ) D.72 种

3.已知向量 a ? (cos ? , ?2), b ? (sin ? ,1), a // b 则 tan(? ? A.3 B. ?3 C.

?

?

? ?

?
4

) 等于(

) 8.某单位安排甲、乙、丙三人在某月 1 日至 12 日值班,每人 4 天. 甲说:我在 1 日和 3 日都有值班; 乙说:我在 8 日和 9 日都有值班; 丙说:我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是 A.2 日和 5 日 B.5 日和 6 日 C.6 日和 11 日 D.2 日和 11 日

1 3

D. ?

1 3

4.错误!未找到引用源。的展开式中错误!未找到引用源。的系数是( ) A.-3 B.3 C.-4 D.4

5.实数错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。,使错误!未找到引用源。 取得最大值的最优解有 2 个,则错误!未找到引用源。的最小值为( ) A.0 B.-2 C.1 D.-1

9. 以下四个命题中,其中真命题的个数为(

)

6.已知点 A、B、C、D 均在球 O 上,AB=BC=错误!未找到引用源。,AC=3,若三棱锥 D-ABC 体积的最大值为错误!未找到引用源。,则球 O 的表面积为 A.36π B.16π C.12π

①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标 检测,这样的抽样是分层抽样;

16 D. π 3

1

②对于命题 p : ?x ? R , 使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 . 则 ? p : ?x ? R ,均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ; 14.若函数错误!未找到引用源。的图象如图所示,则图中的阴 ③两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数就越接近于 1 ④命题错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的充分不必要条件; A.1 B.2 C.3 D.4 15.三个互不相等的实数成等差数列, 适当交换这三个数的位置后, 变成一个等比数列, 则此等比数列的公比是________. 影部分的面积为

x2 y 2 10.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F1 、 F2 ,其中一条渐近线方程 a b
为y?

b x (b ? N *) , P 为双曲线上一点,且满足 OP ? 5 (其中 O 为坐标原点) ,若 2


PF1 、 F1F2 、 PF2 成等比数列,则双曲线 C 的方程为(

16.如图 1 在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 ,沿 BE 方向前进 15m,至点 C 处测得顶端 A 的仰角为 2 ,再继续前进错误!未找到引用

x2 ? y2 ? 1 A. 4

B. x ? y ? 1
2 2

x2 y 2 ? ?1 C. 4 9

x2 y 2 ? ?1 D. 4 16


源。m 至 D 点,测得顶端 A 的仰角为 4 ,求建筑物 AE 的 高 。

11.已知一函数满足 x>0 时,有错误!未找到引用源。 ,则下列结论一定成立的是( A.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。

12 .如图 , 在 ?ABC 中 , AB ? 2 , ?ABC ? ? , AD 是边 BC 上的高 , 当 ? ? [ 时, AD ? AC 的最大值与最小值之差为( A. 1 B.2 C.3 D.4

? ?

???? ????

A
) .

, ] 6 3

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

B
第 II 卷

D

C

17.( 本小题满分 12 分) 已知数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。,(其中错误!未找到引用

本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生都必 源。是数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和,且错误!未找到引 须做答,第 22—24 题为选考题,考生根据要求做答. 用源。. 二.填空题(本题共 4 个小题,每小 5 分,满分 20 分) (Ⅰ)求数列错误!未找到引用源。的通项公式; 13.已知椭圆错误!未找到引用源。的离心率为错误!未找到引用源。,则实数错误! (Ⅱ)设错误!未找到引用源。,求数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。 未找到引用源。等于 项和错误!未找到引用源。.
2

20.(本题满分 12 分) 18. ( 本小题满分 12 分) 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球自由下落,小球在下 落的过程中,将遇到黑色障碍物错误!未找到引用源。次,最后落入错误!未找到引用 源。袋或错误!未找到引用源。袋中.已知小球每次遇到障碍物时, 向左、右两边下落的概率分别是错误!未找到引用源。、错误!未找 到引用源。. (Ⅰ)分别求出小球落入错误!未找到引用源。袋和错误!未找到引 用源。袋中的概率; (Ⅱ)在容器的入口处依次放入错误!未找到引用源。个小球,记错误!未找到引用源。 为落入错误!未找到引用源。袋中的小球个数,求错误!未找到引用源。的分布列和数 学期望. 错误!未找到引用源。都只有一个交点,试判断错误!未找到引用源。,错误!未找到 引用源。是否垂直,并说明理由. 给定椭圆错误!未找到引用源。,称圆心在原点错误!未找到引用源。,半径为错误! 未找到引用源。的圆是椭圆错误!未找到引用源。的“准圆”.若椭圆错误!未找到引 用源。的一个焦点为错误!未找到引用源。,且其短轴上的一个端点到错误!未找到引 用源。的距离为错误!未找到引用源。. (1)求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程; (2)点错误!未找到引用源。是椭圆错误!未找到引用源。的“准圆”上的一个动点, 过动点错误!未找到引用源。作直线错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。, 使得错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。与椭圆

19.(本题满分 12 分已知四棱锥 A—BCED 的三视图如图所示, 其中俯视图和侧视图都 是腰长为 4 的等腰直角三角形,正视图为直角梯形. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数错误!未找到引用源。. (Ⅰ)讨论错误!未找到引用源。的单调性;

C(E)
(1)求此几何体的体积 V 的大小; (2)求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值;

(Ⅱ)若错误!未找到引用源。恒成立,证明:当错误!未找到引用源。时,错误!未 找到引用源。.

A

(3)试探究在 DE 上是否存在点 Q,使得 AQ ? BQ,并说明理由.

3

(Ⅱ)设直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,求|PA|·|PB|的值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数错误!未找到引用源。. (1)当 m=5 时,求函数 f(x)的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥1 的解集是 R,求 m 的取值范围.

选做题:请考生在 22,23,24 题中任选一题作答,如果多选则按所做的第一题记分,作 答时,请涂明题号.

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 ?ABC中,AB ? AC, D为?ABC 外接圆劣弧 ? , AC 上的点(不与点 A 、 C 重合) 延长 BD 至 E ,延长 AD 交 BC 的延长线于 F . (Ⅰ)求证: ?CDF ? ?EDF ; (Ⅱ)求证: AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB . 一. 选择题 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 A 5 A 6 B 7 C 8 C 9 A 10 A 11 B 12 B

太原五中 2014—2015 年度高三年级阶段性检测 高三数学参考答案

二.填空题 13. 2 或 8. 14.;错误!未找到引用源。 1 15.或- 2 16. 5m

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为错误!未找到引用源。 (θ 为参数) ,直线

l 经过定点 P(2,3) ,倾斜角为错误!未找到引用源。 .
(Ⅰ)写出直线 l 的参数方程和圆 C 的标准方程;
4

18. 解:(Ⅰ)记“小球落入错误!未找到引用源。袋中”为事件错误!未找到引用 源。,“小球落入错误!未找到引用源。袋中”为事件错误!未找到引用源。,则事 件错误!未找到引用源。的对立事件为事件错误!未找到引用 源。. ???????????????1 分 而小球落入错误!未找到引用源。袋中当且仅当小球一直向左落下或一直 向右落下, 故错误!未找到引用源。, ????? ?3 分 从而错误!未找到引用源。.?????????4 分 (Ⅱ)显然,随机变量错误!未找到引用源。的所有可能取值为 错误!未找到引用 源。 .?? ?5 分 且错误!未找到引用源。 故错误!未找到引用源。, .??????????6 分 错

错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,

误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。.

5

则错 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 错 误! 未找 到引 用 源。 错 误! 未找 到引 用 源。 错 误! 未找 到引 用 源。 错 误! 未找 到引 用 源。 错 误! 未找 到引 用 源。 0 错 误! 未找 到引 用 源。 错 误! 未找 到引 用 源。 错 误! 未找 到引 用 源。 错 误! 未找 到引 用 源。

误!未找到引用源。的分布列为

19.

????10 分 故错误!未找到引用源。的数学期望为错误!未找到引用 源。. ??????12 分

6

20.解:(1)由题意可知 c= 2,b +c =( 3)2,则 a= 3,b=1, x2 所以椭圆方程为 +y2=1. 3 易知准圆半径为 ? 3?2+12=2,则准圆方程为 x +y =4. (2)①当 l1,l2 中有一条直线的斜率不存在时, 不妨设 l1 的斜率不存在, 因为 l1 与椭圆只有一个公共点,则其方程为 x=± 3, 当 l1 的方程为 x= 3时, 此时 l1 与准圆交于点( 3,1),( 3,-1), 此时经过点( 3, 1)或( 3, -1)且与椭圆只有一个公共点的直线是 y=1 或 y=-1, 即 l2 为 y=1 或 y=-1,显然直线 l1,l2 垂直; 同理可证直线 l1 的方程为 x=- 3时,直线 l1,l2 也垂直. ②当 l1,l2 的斜率都存在时,设点 P(x0,y0),x0+y0=4. 设经过点 P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为 y=t(x-x0)+y0, 联立方程消去 y,得(1+3t )x +6t(y0-tx0)x+3(y0-tx0) -3=0. 由 Δ =0 化简整理得,(3-x0)t +2x0y0t+1-y0=0. 因为 x0+y0=4,所以有(3-x0)t +2x0y0t+x0-3=0. 设直线 l1,l2 的斜率分别为 t1,t2,因为 l1,l2 与椭圆只有一个公共点, 所以 t1, t2 满足方程(3-x )t +2x0y0t+x -3=0, 所以 t1·t2=-1, 即 l1, l2 垂直.
2 0 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

综合①②知,l1,l2 垂直.

21. 找到引用源。

错误!未

当错误!未找到引用源。时, 错误!未找到引用源。-1)-2(x2-x) 错误!未找到引用源。所以错误!未找到引用源。

选做题:请考生在 22,23,24 题中任选一题作答,-如果多选则按所做的第一题记分, 作答时,请涂明题号. 22. 解析:(Ⅰ)证明:? A 、 B 、 C 、 D 四点共圆

? ?CDF ? ?ABC .??????2 分
? AB ? AC ??ABC ? ?ACB
且 ?ADB ? ?ACB ,

?EDF ? ?ADB ? ?ACB ? ?ABC ,?????4 分
7

? ?CDF ? ?EDF .??????5 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ?ADB ? ?ABF ,又? ?BAD ? ?FAB , 所以 ?BAD 与 ?FAB 相似,

?

AB AD ? ? AB 2 ? AD ? AF ,????7 分 AF AB
? A B ? A C? A D ? ,? A AB F ? AC ? DF ? AD ? AF ? DF

又? AB ? AC ,

根据割线定理得 DF ? AF ? FC ? FB ,?????9 分

AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB .?????10 分

23. 24.解:(1)由题意知,|x+1|+|x-2|>5, 则错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。或错误! 未找到引用源。 解得 x<-2 或 x>3. ∴函数 f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(3,+∞). (2) 由对数函数的性质知, f(x) = log2(|x + 1| + |x - 2| - m)≥1= log22 ,不等式

f(x)≥1 等价于不等式|x+1|+|x-2|≥2+m,
∵当 x∈R 时,恒有|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,而不等式|x+1|+|x -2|≥m+2 的解集是 R, ∴m+2≤3,故 m 的取值范围是(-∞,1].

8



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