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2010年高考数学试题分类汇编——不等式


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年高考数学试题分类汇编—— ——不等式 2010 年高考数学试题分类汇编——不等式
编者:刘一堂
一,选择题

2 x + y ≤ 3, x + 2 y ≤ 3, 1 , 2010 上海文数) 15.满足线性约束条件 (2010 上海文数) ( 的目标函数 z = x + y 的最大值是 x ≥ 0, y ≥ 0
( (A)1. ) (B)

3 . 2

(C)2.

(D)3.

解析:当直线 z = x + y 过点 B(1,1)时,z 最大值为 2

x + 3 y 3 ≥ 0, (2 浙江理数) (7)若实数 x , y 满足不等式组 2 x y 3 ≤ 0, 且 x + y 的最大值为 9, 2, 2010 浙江理数) ( x my + 1 ≥ 0,
则实数 m = (A) 2 (B) 1 (C)1 (D)2

解析:将最大值转化为 y 轴上的截距,将 m 等价为斜率的倒数,数形结合可知答案选 C,本题 主要考察了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档 题

(2010 理数) (5)不等式 3, 2010 全国卷 2 理数) ( (A) x x< 2, 或x>3 (C)

x2 x 6 >0 的解集为 x 1
(B) x x< 2,或1<x<3

{

}

{

} }

{ x 2<x<1,或x>3}

(D) x 2<x<1,或1<x<3

{

【答案】C 【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.

【解析】
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利用数轴穿根法

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解得-2<x<1 或 x>3,故选 C

x ≥ 1 (2010 文数) 则 z=2x+y 的最大值为 4, 2010 全国卷 2 文数)(5)若变量 x,y 满足约束条件 y ≥ x ( 3x + 2 y ≤ 5
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

【解析】C:本题考查了线性规划的知识. 解析】 本题考查了线性规划的知识. 作出可行域,作出目标函数线, 的交点为最优解点, ∵ 作出可行域,作出目标函数线,可得直线与 y = x 与 3 x + 2 y = 5 的交点为最优解点,∴

z =3 即为( ,当 即为(1,1) 当 x = 1, y = 1 时 max ,
x 3 <0 的解集为 x+2

(2 文数) (2)不等式 5, 2010 全国卷 2 文数) ( (A) x 2 < x < 3

{

}

(B) x x < 2

{

}

(C) x x < 2或x > 3

{

}

(D) x x > 3

{

}

【解析】A :本题考查了不等式的解法 解析】



x3 <0 x+2 ,∴

2 < x < 3 ,故选 A

x2 x2 > x x (2010 江西理数) 6, 2010 江西理数)3.不等式 (
A. (0, 2) 【答案】 A B. ( ∞, 0) C. (2, ∞ ) +

的解集是(

)

D.(-∞,0) (0, ∞ ) ∪ +

【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身,值为负数. 或者选择 x=1 和 x=-1,两个检验进行排除.

x2 < 0 ,解得 A. x

2 x + y 6 ≥ 0, (2010 安徽文数) (8)设 x,y 满足约束条件 x + 2 y 6 ≤ 0, 则目标函数 z=x+y 的最大值是 7, 2010 安徽文数) ( y ≥ 0,
(A)3 8.C (B) 4 (C) 6 (D)8

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【解析】 不等式表示的区域是一个三角形, 个顶点是 (3, 0), (6, 0), (2, 2) , 3 目标函数 z = x + y 在 (6, 0) 取最大值 6. 【规律总结】线性规划问题首先作出可行域,若为封闭区域(即几条直线围成的区域)则区 域端点的值是目标函数取得最大或最小值,求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值.

( 2010 重 庆 文 数 ) 7 ) 设 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件 (

x ≥ 0, 则 z = 3 x 2 y 的最大值为 x y ≥ 0, 2 x y 2 ≤ 0,
(A)0 (C)4 (B)2 (D)6

解析:不等式组表示的平面区域如图所示, 当直线 z = 3 x 2 y 过点,B 时,在 y 轴上截距最小,z 最大 由 B(2,2)知 zmax = 4 8,

解析:将最大值转化为 y 轴上的截距,可知答案选 A,本题主要考察了用平面区域二元一次不 等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题

(2010 重庆理数) (7)已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是 9, 2010 重庆理数) ( A. 3 B. 4

9 11 C. 2 D. 2

解析:考察均值不等式

x + 2y 2 x + 2 y = 8 x (2 y ) ≥ 8 ,整理得 ( x + 2 y ) + 4(x + 2 y ) 32 ≥ 0 2
2

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即 ( x + 2 y 4)( x + 2 y + 8) ≥ 0 ,又 x + 2 y > 0 ,∴ x + 2 y ≥ 4

y ≥ 0 10, (2010 重庆理数) (4)设变量 x,y 满足约束条件 x y + 1 ≥ 0 ,则 z=2x+y 的最大值为 10, 2010 重庆理数) ( x + y 3 ≤ 0
A.—2 B. 4 C. 6 D. 8

解析:不等式组表示的平面区域如图所示 当直线过点 B(3,0)的时候,z 取得最大值 6

x + y 11 ≥ 0 11, (2010 北京理数) (7)设不等式组 3 x y + 3 ≥ 0 11, 2010 北京理数) ( 5 x 3 y + 9 ≤ 0
y= a x 的图像上存在区域 D 上的点,则 a 的取值范围是 (A)(1,3] 答案:A (B )[2,3] (C ) (1,2]

表示的平面区域为 D,若指数函数

(D )[ 3, +∞ ]

12, (2010 四川理数) (12)设 a > b > c > 0 ,则 2a 2 + 12, 2010 四川理数) ( 小值是 (A)2 解析: 2a 2 + (B)4 ( C) 2 5

1 1 + 10ac + 25c 2 的最 ab a (a b)

(D)5

1 1 + 10ac + 25c 2 ab a (a b) 1 1 + ab a (a b)

= ( a 5c) 2 + a 2 ab + ab +

= ( a 5c) 2 + ab +

1 1 + a ( a b) + ab a ( a b)

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≥0+2+2=4 当且仅当 a-5c=0,ab=1,a(a-b)=1 时等号成立 如取 a= 2 ,b= 答案:B

2 2 ,c= 满足条件. 2 5

13, 2010 四川理数) 13, (2010 四川理数) ( (7) 某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品, 由乙车间加工出 B 产品. 甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获利 40 元, 乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获利 50 元.甲, 乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工,每天甲,乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时,甲,乙两车间每天总获利最大的生产计划为 (A)甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 (B)甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 (C)甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 (D)甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱 解析:设甲车间加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱 70 (15,55) y 80

x + y ≤ 70 则 10 x + 6 y ≤ 480 x, y ∈ N
目标函数 z=280x+300y 结合图象可得:当 x=15,y=55 时 z 最大 本题也可以将答案逐项代入检验. 答案:B

70 x 0 48

x + y ≤ 3, 14, (2010 天津文数) 14, 2010 天津文数)(2)设变量 x,y 满足约束条件 x y ≥ 1, ( y ≥ 1,
则目标函数 z=4x+2y 的最大值为 (A)12 【答案】B (B)10 (C)8 (D)2

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【解析】本题主要考查目标函数最值的求法,属于容易题,做出可行域,如图由图可知, 当目标函数过直线 y=1 与 x+y=3 的交点(2,1)时 z 取得最大值 10.

福建文数) (2010 福建文数)

15, (2010 文数) (10)设 a = log 3 2, b = ln 2, c = 5 2 则 15, 2010 全国卷 1 文数) ( (A) a < b < c (B) b < c < a (C) c < a < b (D) c < b < a

1

10.C 【命题意图】本小题以指数,对数为载体,主要考查指数函数与对数函数的性质,实数 大小的比较,换底公式,不等式中的倒数法则的应用. 【解析 1】 a= log 3 2=
1 2

1 1 , b=In2= ,而 log 2 3 > log 2 e > 1 ,所以 a<b, log 2 3 log 2 e

c= 5



=

1 5

,而 5 > 2 = log 2 4 > log 2 3 ,所以 c<a,综上 c<a<b.

【 解析 2】 a= log 3 2=
1 2

1 1 1 1 1 ,b=ln2= , 1 < log e < log 3 < 2 , < < <1; 2 2 3 e 3 log 2 log 2 2 log 2 log e 2

c= 5



=

1 1 1 < = ,∴c<a<b 5 4 2

y ≤ 1, 则 z = x 2 y 的最大 16, (2010 文数) 16, 2010 全国卷 1 文数)(3)若变量 x, y 满足约束条件 x + y ≥ 0, ( x y 2 ≤ 0,
值为

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(A)4

(B)3

(C)2

(D)1

3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识,作图,识图能力及计算能力. 【解析】 画出可行域 (如右图) z = x 2 y y = , 时,z 最大,且最大值为 zmax

1 1 由图可知,当直线 l 经过点 A(1,-1) x z, 2 2 y = 1 2 × ( 1) = 3 . y=x l0 : x 2 y = 0 A x+ y =0 1

O
A

2

x

x y2=0

2

17, (2010 理数) (8)设 a= log 3 2,b=ln2,c= 5 17, 2010 全国卷 1 理数) ( (A) a<b<c (B)b<c<a (C) c<a<b



1 2

,则

(D) c<b<a

理数) (2010 全国卷 1 理数)

18, (2010 四川文数) (11)设 a>b>0 ,则 a + 18, 2010 四川文数) (
2

1 1 + 的最小值是 ab a ( a b )

(A)1 解析: a +
2

(B)2

(C)3

(D)4

1 1 + ab a ( a b )

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= a 2 ab + ab +

1 1 + ab a (a b)

= ab +

1 1 + a ( a b) + ab a ( a b)

≥2+2=4 当且仅当 ab=1,a(a-b)=1 时等号成立 如取 a= 2 ,b= 答案:D

2 满足条件. 2

19, (2010 四川文数) (8)某加工厂用某原料由车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产 19, 2010 四川文数) ( 品.甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品, 每千克 A 产品获利 40 元. 乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品, 每千克 B 产品获利 50 元.甲, 乙两车间每天功能完成至多 70 多箱原料的加工,每天甲,乙车间耗费工时总和不得超过 480 小时,甲,乙两车间每天获利最大的生产计划为(A)甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原 y 料 60 箱 (B)甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 (C)甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 (D)甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱 解析:解析:设甲车间加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱 70 (15,55) 80

x + y ≤ 70 则 10 x + 6 y ≤ 480 x, y ∈ N
目标函数 z=280x+300y 结合图象可得:当 x=15,y=55 时 z 最大 本题也可以将答案逐项代入检验. 答案:B

70 x 0 48

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20, (2010 山东理数) 20, 2010 山东理数) (

x ≥ 1 21, (2010 福建理数) 21, 2010 福建理数)8.设不等式组 x-2y+3 ≥ 0 所表示的平面区域是 1 ,平面区域是 2 与 ( y ≥ x
1 关于直线 3 x 4 y 9 = 0 对称,对于 1 中的任意一点 A 与 2 中的任意一点 B, | AB | 的最
小值等于( A. ) B.4 C.

28 5

12 5

D.2

【答案】B 【解析】由题意知,所求的 | AB | 的最小值,即为区域 1 中的点到直线 3 x 4 y 9 = 0 的距离 的 最 小 值 的 两 倍 , 画 出 已 知 不 等 式 表 示 的 平 面 区 域 , 如 图 所 示 ,

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可看出点(1,1)到直线 3 x 4 y 9 = 0 的距离最小,故 | AB | 的最小值为



| 3 ×1 4 ×1 9 | = 4 ,所以选 B. 5

二,填空题

2 x {x | 4 < x < 2} . > 0 的解集是 x+4 2 x 解析:考查分式不等式的解法 > 0 等价于(x-2)(x+4)<0,所以-4<x<2 x+4
22, (2010 上海文数) 22, 2010 上海文数)2.不等式 (

x + 2 y ≤ 4, 23, (2010 陕西文数) 23, 2010 陕西文数)14.设 x,y 满足约束条件 x y ≤ 1, ,则目标函数 z=3x-y 的最大 ( x + 2 ≥ 0,
值为 5 .

解析:不等式组表示的平面区域如图所示, 当直线 z=3x-y 过点 C(2,1)时,在 y 轴上截距最小 此时 z 取得最大值 5

24, (2010 辽宁文数) (15)已知 1 < x + y < 4 且 2 < x y < 3 ,则 z = 2 x 3 y 的取值范围 24, 2010 辽宁文数) ( 是 .

(答案用区间表示)

x + y > 1 x + y < 4 解析:填 (3,8) . 利用线性规划,画出不等式组 表示的平面区域,即可求解. x y > 2 x y < 3
25, (2010 辽宁理数) (14)已知 1 < x + y < 4 且 2 < x y < 3 ,则 z = 2 x 3 y 的取值范围 25, 2010 辽宁理数) ( 是_______(答案用区间表示) 【答案】 (3,8) 【命题立意】本题考查了线性规划的最值问题,考查了同学们数形结合解决问题的能 力.
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【解析】画出不等式组

1 < x + y < 4 表示的可行域,在可行域内平移直线 z=2x-3y, 2 < x y < 3

当直线经过 x-y=2 与 x+y=4 的交点 A(3,1)时,目标函数有最小值 z=2×3-3×1=3;当直线 经过 x+y=-1 与 x-y=3 的焦点 A(1,-2)时,目标函数有最大值 z=2×1+3×2=8.

26, (2010 安徽文数) 26, 2010 安徽文数)(15)若 a > 0, b > 0, a + b = 2 ,则下列不等式对一切满足条件的 a , b 恒 ( 成立的是 ① ab ≤ 1 ; ④ a 3 + b3 ≥ 3 ; 15.①,③,⑤ 【解析】令 a = b = 1 ,排除②②;由 2 = a + b ≥ 2 ab ab ≤ 1 ,命题①正确; (写出所有正确命题的编号). ② a+ b≤ ⑤

2;

③ a 2 + b2 ≥ 2 ;

1 1 + ≥2 a b

1 1 a+b 2 a 2 + b 2 = ( a + b) 2 2ab = 4 2ab ≥ 2 ,命题③正确; + = = ≥ 2 ,命题⑤正确. a b ab ab

27, (2010 浙江文数) (15)若正实数 X,Y 满足 2X+Y+6=XY , 则 XY 的最小值是 27, 2010 浙江文数) ( 答案: 答案:18 山东文数) (14)已知 x, y ∈ R + ,且满足 (2010 山东文数) 答案:3

.

x y + = 1 ,则 xy 的最大值为 3 4

.

28, (2010 北京文数) (11)若点 p(m,3)到直线 4 x 3 y + 1 = 0 的距离为 4,且点 p 在 28, 2010 北京文数) ( 不等式 2x + y <3 表示的平面区域内,则 m= 答案: 答案:-3 .

29, (2010 文数) 29, 2010 全国卷 1 文数)(13)不等式 ( 13.

x2 0 的解集是 x + 3x + 2
2

.

{ x 2 < x < 1,
2

或 x > 2} 【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法

【解析】 :

x2 x2 > 0 ( x 2 )( x + 2 )( x + 1) > 0 ,数轴标根得: 0 x + 3x + 2 ( x + 2 )( x + 1)

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{ x 2 < x < 1,

或 x > 2}

(2010 理数) 30, 2010 全国卷 1 理数)(13)不等式 2 x + 1 x ≤ 1 的解集是 (
2

.

y ≤ x, 31, (2010 湖北文数) 31, 2010 湖北文数)12.已知: 2 x y , 式中变量 x, y 满足的束条件 x + y ≥ 1, 则 z 的最大值 ( x ≤ 2
为______. 【答案】5 【解析】同理科 32, (2010 山东理数) 32, 2010 山东理数) (

33, (2010 安徽理数)

2 x y + 2 ≥ 0 34 , 2010 安 徽 理 数 ) 13 , 设 x, y 满 足 约 束 条 件 8 x y 4 ≤ 0 , 若 目 标 函 数 ( x ≥ 0 , y ≥ 0

z = abx + y ( a > 0, b > 0 ) 的最大值为 8,则 a + b 的最小值为________.

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13. 4 【解析】不等式表示的区域是一个四边形,4 个顶点是

1 (0, 0), (0, 2), ( , 0), (1, 4) ,易见目标函数在 (1, 4) 取最大值 8, 2
所以 8 = ab + 4 ab = 4 , 所以 a + b ≥ 2 ab = 4 , a = b = 2 时是等号成立. 在 所以 a + b 的 最小值为 4. 【规律总结】线性规划问题首先作出可行域,若为封闭区域(即几条直线围成的区域)则区 域端点的值是目标函数取得最大或最小值,求出直线交点坐标代入得 ab = 4 ,要想求 a + b 的 最小值,显然要利用基本不等式.

y ≤ x, 35, (2010 湖北理数)12.已知 z = 2 x y ,式中变量 x , y 满足约束条件 x + y ≥ 1, ,则 z 的 35, x ≤ 2,
最大值为___________. 12.【答案】5 【解析】依题意,画出可行域(如图示) , 则对于目标函数 y=2x-z, 当直线经过 A(2,-1)时, z 取到最大值, Z max = 5 . 36, (2010 湖北理数)15.设 a>0,b>0,称

2ab 为 a,b 的调和平均数. a+b

如图,C 为线段 AB 上的点,且 AC=a,CB=b,O 为 AB 中点,以 AB 为直 径做半圆.过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D.连结 OD,AD,BD.过点 C 作 OD 的垂线, 垂足为 E. 则图中线段 OD 的长度是 a, 的算术平均数, b 线段 的长度是 a,b 的几何平均数,线段 DE 的长度是 a,b 的调和平均数.

15.【答案】CD

【解析】在 Rt△ADB 中 DC 为高,则由射影定理可得 CD 2 = AC CB ,故 CD = ab ,即 CD 长度为 a,b 的几何平均数,将 OC= a
OD CE = OC CD 可 得 CE =

a+b ab a+b 代入 = , CD = ab , OD = 2 2 2

a b (a b) 2 ,所以 ab 故 OE = OC 2 CE 2 = a+b 2(a + b)

ED=OD-OE=

2ab ,故 DE 的长度为 a,b 的调和平均数. a+b
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37, ( 江苏卷) 12, 4≤ 37,2010 江苏卷) 设实数 x,y 满足 3≤ xy ≤8, [解析] 考查不等式的基本性质,等价转化思想.

2

x2 x3 ≤9, 4 的最大值是 则 y y

. .

x2 2 x3 x2 2 1 x3 1 1 1 ( ) ∈ [16,81] , 2 ∈ [ , ] , 4 = ( ) 2 ∈ [2, 27] , 4 的最大值是 27. y y y xy xy 8 3 y
三,解答题 38, (2010 广东理数) 38, 2010 广东理数)19.(本小题满分 12 分) ( 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物 6 个单位蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个单位的 蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化 合物,42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐,晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并 且花费最少,应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐? 解: 设该儿童分别预订 x, y 个 单位的午餐和晚餐, 共花费 z 元,则 z = 2.5 x + 4 y . 可行域为 12 x+8 y ≥64 6 x+6 y ≥42 6 x+10 y ≥54 x≥0, x∈N y≥0, y∈N 即 3 x+2 y ≥16 x+ y ≥7 3 x+5 y ≥27 x≥0, x∈N y≥0, y∈N

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作出可行域如图所示: 经试验发现,当 x=4,y=3 时,花费最少,为 z = 2.5 x + 4 y =2.5×4+4×3=22 元. 39, (2010 广东文数) 39, 2010 广东文数)19.(本题满分 12 分) ( 某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个单位 的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营状中至少含 64 个单位的碳水 化合物和 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐,晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求, 并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? 解:设为该儿童分别预订 x 个单位的午餐和 y 个单位的晚餐,设费用为 F,则 F = 2.5 x + 4 y , 由题意知:

12 x + 8 y ≥ 64 6 x + 6 y ≥ 42 6 x + 10 y ≥ 54 x > 0, y > 0
画出可行域:

变换目标函数: y =

5 F x+ 8 4

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40, (2010 湖北理数)15.设 a>0,b>0,称

2ab 为 a,b 的调和平均数. a+b

如图,C 为线段 AB 上的点,且 AC=a,CB=b,O 为 AB 中点,以 AB 为直 径做半圆.过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D.连结 OD,AD,BD.过点 C 作 OD 的垂线, 垂足为 E. 则图中线段 OD 的长度是 a, 的算术平均数, b 线段 的长度是 a,b 的几何平均数,线段 DE 的长度是 a,b 的调和平均数.

15.【答案】CD

【解析】在 Rt△ADB 中 DC 为高,则由射影定理可得 CD 2 = AC CB ,故 CD = ab ,即 CD 长度为 a,b 的几何平均数,将 OC= a
OD CE = OC CD 可 得 CE =

a+b ab a+b 代入 = , CD = ab , OD = 2 2 2

a b (a b) 2 ,所以 ab 故 OE = OC 2 CE 2 = a+b 2(a + b)

ED=OD-OE=

2ab ,故 DE 的长度为 a,b 的调和平均数. a+b

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