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专题五 不等式



专题五

不等式

【考点聚焦】 考点 1:不等式 8 条性质的正确运用 考点 2:不等式证明的常用方法:比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法. 考点 3:一元二次不等式、分式不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式的解法. 考点 4:不等式的应用:利用重要不等式求函数的值域或最值及对实际问题的处理. 考点 5:含有参数的指数不等式

或对数不等式 考点 6:绝对值不等式的解法与证明 【自我检测】 1、 写出不等式的基本性质:_______;_______;_______;__ _____;_______;_______;_______;_______. 2 2 2、 重要不等式:a2≥0;| a |≥0;a +b ≥___________;a +b≥____________________ 3、 不等式证明方法:__________,___________,___________,分析综合法,数学归纳法, 反证法,换元法,放缩法等. 4、 不等式解法: 高次不等式: (1) 序轴标根法; 分式不等式: (2) 移项通分,
f (x) g (x) f (x) g (x) ? 0 ?

____,

? 0 ? ____(3)含绝对值不等式:|f(x)|>g(x) ? __________;

|f(x)|>g(x) ? _________;|f(x)|>|g(x)| ? ____________.(4)指数对数不等式:af(x)>ag(x)
? ________; log
a

f ( x ) ? log

a

g ( x ) ? __________.(5)无理不等

式:

f (x) ? g (x) ? _ _ _ _ _ _ ; g ( x ) ? ________.

f (x) ? g (x) ? _ _ _ _ _ _ _ _ ;

f (x) ?

【重点 ? 难点 ? 热点】 不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛,又是学习高等数学的重要工具,所 以不等式是高考数学命题的重点. 问题 1:不等式与函数的综合题 不等式与函数的综合题,是高考的常考题型,如求函数的定义域、值域,求参数的取 值范围,与函数有关的不等式证明等,解决此类综合题,要充分运用函数的单调性,注意 函数的定义域,并结合函数的奇偶性、周期性一起讨论. 例 1:已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 m、n∈[-1,1] ,m+n≠ 0时
f (m ) ? f (n ) m ?n

>0

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(1)用定义证明 f(x)在[-1,1]上是增函数;
1

(2)解不等式

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f(x+

1 2

)<f(

1 x ?1

);

(3)若 f(x)≤t2-2at+1 对所有 x∈[-1,1] ,a∈[-1,1]恒成立,求实数 t 的取值 范围 思路分析 (1)问单调性的证明, 利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键, (3) 问利用单调性把 f(x)转化成“1”是点睛之笔 (1) 证明 任取 x1<x2,且 x1,x2∈[-1,1] ,
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则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)= ∵-1≤x1<x2≤1, ∴x1+(-x2)≠0,由已知

f ( x1 ) ? f ( ? x 2 ) x1 ? x 2

·(x1-x2)

f ( x1 ) ? f ( ? x 2 ) x1 ? x 2

>0,又 x1-x2<0,
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∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x)在[-1,1]上为增函数 (2)解 ∵f(x)在[-1,1]上为增函数,
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1 ? ?1? x ? ?1 ? 2 ? 1 ? ∴ ?? 1 ? ?1 x ?1 ? 1 1 ? x? ? ? 2 x ?1 ?
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解得

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{x|-

3 2

≤x<-1,x∈R}

(3)解 由(1)可知 f(x)在[-1,1]上为增函数,且 f(1)=1, 故对 x∈[-1,1] ,恒有 f(x)≤1, 2 所以要使 f(x)≤t -2at+1 对所有 x∈[-1,1] ,a∈[-1,1]恒成立,即要 t2-2at+1 ≥1 成立, 故 t2-2at≥0,记 g(a)=t2-2at,对 a∈[-1,1] ,有 g(a)≥0, 只需 g(a)在[-1,1]上的最小值大于等于 0,g(-1)≥0,g(1)≥0, 解得,t≤-2 或 t=0 或 t≥2 ∴t 的取值范围是 {t|t≤-2 或 t=0 或 t≥2} 点评 本题是一道函数与不等式相结合的题目, 考查学生的分析能力与化归能力 它 主要涉及函数的单调性与奇偶性,而单调性贯穿始终,把所求问题分解转化,是函数中的 热点问题;问题(2)(3)要求的都是变量的取值范围,不等式的思想起到了关键作用 、
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演变 1:已知 f ( x ) ? log a ( x ? 1) ,点 P 是函数 y=f(x)图象上任意一点,点 P 关于原点的对 称点 Q 的轨迹是函数 y=g(x)的图象. (1)当 0<a<1 时,解不等式:2f(x)+g(x)≥0; (2)当 a>1,x∈ ?0 ,1 ? 时,总有 2f(x)+g(x)≥m 恒成立,求 m 的范围.
2

点 拨 与 提 示 : 利 用 对 称 性 求 出 g(x) 的 解 析 式 , 2f(x)+g(x)≥m 恒 成 立 , 即 m ≤[2f(x)+g(x)]min.利用重要不等式求出 F(x)=2f(x)+g(x)的最小值即可. 问题 2:不等式与数列的综合题 不等式与数列的综合题,一般来说多是证明题,要熟悉不等式的常用证明方法,特别 是比较法、综合法、分析法、数学归纳法等,也可利用函数的思想. 例 2:数列{xn}由下列条件确定: x 1 ? a ? 0 , x n ? 1 ?
1 2 (xn ? a xn ), n ? N .

(Ⅰ)证明:对 n≥2,总有 x n ?

a ;

(Ⅱ)证明:对 n≥2,总有 x n ? x n ? 1 ; 思路分析: (Ⅰ)证明:由 x 1 从而有 x n ? 1
1 2

? a ? 0 , 及 x n ?1 ?

1 2

(xn ?

a xn

) ,可归纳证明 x n ? 0

?

(xn ?

a xn

) ?

xn ?

a xn

?

,所 a ( n ? N ) (均值不等式的应用—综合法)

以,当 n≥2 时, x n ?

a 成立.
1 2 a xn

(Ⅱ)证法一(作差比较法) :当 n≥2 时,因为 x n ?

a ? 0 , x n ?1 ?

(xn ?

),

所以 x n ? 1

? xn ?

1 2

(xn ?

a xn

) ? xn ?

1 2

?

a ? xn xn

2

? 0

,故当 n≥2 时, x n ? x n ? 1 成立.

证法二(作商比较法) :当 n≥2 时,因为 x n ?

a ? 0 , x n ?1 ?

1 2

(xn ?

a xn

)



1

所以

x n ?1 xn

?

2

(xn ? xn

a xn

) ?

xn ? a
2

2xn

2

?

xn ? xn
2

2

2xn

2

? 1 ,故当

n≥2 时, x n ? x n ? 1 成立.

点评:此题是以数列为知识背景,把数列与不等式证明综合起来,重点还是考查不等 式证明方法中最基本的方法——综合法和比较法. 演变 2:数列{an}满足 a1=1 且 an+1= (1 ?
1 n
2

? n

)an ?

1 2
n

(n≥1) .?

(1)用数学归纳法证明:an≥2(n≥2) ;?
3

(2)已知不等式 ln(1+x)<x 对 x>0 成立,证明:an<e2(n≥1) ,其中无理数 e=2.71828….? 问题 3:含有参数的不等式问题 含有参数的不等式问题是高考常考题型,求解过程中要利用不等式的性质将不等式进 行变形转化,化为一元二次不等式等问题去解决,注意参数在转化过程中对问题的影响. 例 3:已知 f ( x ) ? lg( x ? 1), g ( x ) ? 2 lg( 2 x ? t )( t ? R , t 是参数) . (1)当 t=-1 时,解不等式:f(x)≤g(x); (2)如果当 x∈[0,1]时,f(x)≤g(x)恒成立,求参数 t 的取值范围. 思路点拨:将对数方程转化为不含对数的方程,在转化过程中要注意定义域. 解 : 1 ) t = - 1 时 , f(x)≤g(x) , 即 为 l g( x ? 1) ? 2 l g(2 x ? 1) , 此 不 等 式 等 价 于 (
x ?1? 0 ? 5 5 ? 2x ?1 ? 0 解得 x≥ ,∴原不等式的解集为{x|x≥ } ? 4 4 ? x ? 1 ? ( 2 x ? 1) 2 ? x ?1? 0 ? ? 2x ? t ? 0 (2) x∈[0,1]时,f(x)≤g(x)恒成立, ∴x∈[0,1]时, ? 恒成立, ? x ? 1 ? (2 x ? t) 2 ? x ?1? 0 ? ? t ? ?2 x ∴x∈[0,1]时, ? 恒成立,即 x∈[0,1]时, t ? ? 2 x ? ?t ? ? 2 x ? x ? 1 ?

x ?1

恒成立,于是转化为求 ? 2 x ? 令u ?
2

x ? 1 ( x∈[0,1])的最大值问题.

x ? 1 ,则 x=u -1,由 x∈[0,1],知 u∈[1,
x ? 1 =-2(u -1)+u= ? 2 ( u ?
2

2 ].
17 8

∴ ? 2x ?

1 4

) ?
2

当 u=1 时,即 x=0 时, ? 2 x ?

x ? 1 有最大值为 1.

∴t 的取值范围是 t≥1. 点评:对于含参数问题,常常用分类讨论的方法;而恒成立问题,除了运用分类讨论的方 法外,还可采用分离参数的方法. 演变 3:解关于 x 的不等式: | log a ( ax ) |? | log
2 a

x | ? 2 ( a ? 0 , 且 a ? 1)

点拨与提示:用换元法将原不等式化简,注意对 a 的讨论.
4

问题 4:不等式的实际应用问题 对于应用题要通过阅读,理解所给定的材料,寻找量与量之间的内在联系,抽象出事 物系统的主要特征与关系,建立起能反映其本质属性的数学结构,从而建立起数学模型, 然后利用不等式的知识求出题中的问题 例 4、为了竖一块广告牌,要制造三角形支架.三角形支架如图,要求 ∠ACB=60°,BC 长度大于 1 米,且 AC 比 AB 长 0.5 米.为了广告牌稳 固,要求 AC 的长度越短越好,求 AC 最短为多少米?且当 AC 最短时, BC 长度为多少米? 解:设 BC=a,(a>1),AB=c,AC=b,
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b?c ?

1 2

.c

2

? a
1 2

2

?b

2

? 2 ab cos 60 ? .
1 2
2

将c ? b ?

代入得 ( b ?

)

2

? a

2

?b

2

? ab ,代简得 b ( a ? 1) ? a

2

?

1 4

.

∵a>1,∴a-1>0
a b ?
2

?

1 4 ?

( a ? 1)

? 2a ? 2 ? a ?1

3 4 ? ( a ? 1) ? 3 4 ( a ? 1)
3 2
3 2 )米

a ?1

? 2 ?

3 ? 2.

当且仅当 a ? 1 ?

3 4 ( a ? 1)

时,取“=”号,即 a ? 1 ?

时,b 有最小值 2 ?

3 .

答:AC 最短为 ( 2 ?

3 ) 米,此时,BC 长为 (1 ?

演变 4.如图,一载着重危病人的火车从 O 地出发,沿射线 OA 行驶,其中
tg ? ? 1 3 , 在距离 O 地 5a (a 为正数) 公里北偏东β 角

的 N 处住有一位医学专家,其中 sinβ =
3 5 , 现有 110 指挥部紧急征调离 O 地正东 p 公

里的 B 处的救护车赶往 N 处载上医学专家全速追赶乘 有重危病人的火车,并在 C 处相遇,经测算当两车行 驶的路线与 OB 围成的三角形 OBC 面积 S 最小时, 抢 救最及时. (1)求 S 关于 p 的函数关系; (2)当 p 为何值时,抢救最及时. 专题小结 1、不等式与函数的综合题,如求函数的定义域、值域,求参数的取值范围,与函数 有关的不等式证明等,解决此类综合题,要充分运用函数的单调性,注意函数的定义域, 并结合函数的奇偶性、周期性一起讨论. 2、不等式与数列的综合题,一般来说多是证明题,要熟悉不等式的常用证明方法, 特别是比较法、综合法、分析法、数学归纳法等,也可利用函数的思想.
5

3、含有参数的不等式问题,求解过程中要利用不等式的性质将不等式进行变形转化, 化为一元二次不等式等问题去解决,注意参数在转化过程中对问题的影响. 4、对于应用题要通过阅读,理解所给定的材料,寻找量与量之间的内在联系,抽象 出事物系统的主要特征与关系,建立起能反映其本质属性的数学结构,从而建立起数学模 型,然后利用不等式的知识求出题中的问题 【临阵磨枪】
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一、选择题: 1、不等式 4 x ? x A (0,2) B
2

? x 解集是(



(2,+∞)
1

C

?2 , 4 ?
的定义域为

D

(-∞,0)∪(2,+∞) ( )

2.函数 f ( x ) ?
log
2

(? x

2

? 4 x ? 3)

A. (1,2)∪(2,3) B. ( ?? ,1) ? ( 3 , ?? )

C. (1,3) D.[1,3] )

3、已知 x,y?R,M=x2+y2+1,N=x+y+xy,则 M 与 N 的大小关系是( A、M?N B、M?N C、M=N D、不能确定

4.若函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,在 ( ?? , 0 ] 上是减函数,且 f ( 2 ) ? 0 ,则使得
f ( x ) ? 0的 x 的取值范围是



) D. (-2,2) )

A. ( ?? , 2 )

B. ( 2 , ?? )

C. ( ?? , ? 2 ) ? ( 2 , ?? )

5、 (06 年江苏)设 a、b、c 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是( .... (A) | a (C) | a
? b |? | a ? c | ? | b ? c |
1 a ? b

(B) a 2 (D)

?

1 a
2

? a ?

1 a

? b|?

? 2

a ? 3 ?

a ?1 ?

a ? 2 ?

a

6、在?ABC 中三边长为 a,b,c,若 A、是锐角 B、是直角

1 1 1 , , 成等差数列,则 b 所对的角( a b c



C、是钝角

D、不能确定 )

7、若不等式|x-1|<a 成立的充分条件是 0<x<4,则实数 a 的取值范围是( A、a?1 8.集合 A={x|
x ?1 x ?1

B、a?3

C、a?1

D、a?3

<0=,B={x || x -b|<a } ,若“a=1”是“A∩B≠ ? ”的充分条
6

件, 则 b 的取值范围是 A.-2≤b<0 B.0<b≤2
2

( C.-3<b<-1
1



D.-1≤b<2

9. 若函数 f ( x ) ? lo g a ( 2 x ? x )( a ? 0, a ? 1) 在区间 (0 , ) , 内恒有 f ( x ) ? 0 , f ( x ) 的 则
2

单调递增区间为 A
(?? , ? 1 4 )

( B
(? 1 4 , ?? )
2 2


1 2 ).

C

(0, ? ? )

D

(?? , ?

10.若动点( x , y )在曲线

x

2

?

y b

? 1 ( b ? 0 ) 上变化,则 x

2

? 2 y 的最大值为(



4

?b 2 ? ?4 A. ? 4 ?2b ?
二、填空题: 11.不等式组 ?

(0 ? b ? 4), (b ? 4)

?b 2 ? ?4 B. ? 4 ?2b ?

(0 ? b ? 2), (b ? 2)

C.

b

2

? 4

D.2 b

4

? | x ? 2 |? 2 , ? log
2

(x

2

? 1) ? 1

的解集为______
1 x
2 2

12. (06 年江苏卷)不等式 log

2

(x ?

? 6 ) ? 3 的解集为______

13、已知点(x0,y0)在直线 ax+by=0,(a,b 为常数)上,则 ( x 0 ? a ) ? ( y 0 ? b ) 的最 小值为


.
2 b ? 1 的最大值是_____.

14、设 a,b ?R ,且 a+b =1,则 2 a ? 1 ? 三、解答题:

15、已知函数 f ( x ) ? kx ? b 的图象与 x , y 轴分别相交于点 A、B, AB ? 2 i ? 2 j ( i , j 分 别是与 x , y 轴正半轴同方向的单位向量) ,函数 g ( x ) ? x ? x ? 6 .
2

(1)求 k , b 的值; (2)当 x 满足 f ( x ) ? g ( x ) 时,求函数

g (x) ? 1 f (x)

的最小值.

16、已知正项数列{an}满足 a1=P(0<P<1),且 a n ? 1 ?

an 1 ? an

7

(I)求数列的通项 an; (II)求证:
a1 2 ? a2 3
x
2

?

a3 4

? ??? ?

an n ?1

? 1.

17.已知函数 f ( x ) ?

ax ? b

(a,b 为常数)且方程 f(x)-x+12=0 有两个实根为 x1=3, x2=4.

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 k>1,解关于 x 的不等式; f ( x ) ? 18.已知不等式 过 log
n
1 2
2

( k ? 1) x ? k 2? x

.
n ] 表示不超

?

1 3

?? ?

1 n

?

1 2

[log

2

n ], 其中 n 为大于 2 的整数, [log

2

的 最 大 整 数 .
na
n ?1

设 数 列 {a n } 的 各 项 为 正 , 且 满 足

a 1 ? b ( b ? 0 ), a n ?

n ? a n ?1

, n ? 2 ,3 , 4 , ?

(Ⅰ)证明 a n ?

2b 2 ? b [log
2

, n ? 3 , 4 ,5 , ? ; n]

(Ⅱ)试确定一个正整数 N,使得当 n ? N 时,对任意 b>0,都有 a n ? 参考答案:

1 5

.

1.C

x ? 0 ? ? 2 提示:原不等式转化为 ? 4 x ? x ? 0 ,解此不等式组可得 x 的范围. ?4 x ? x 2 ? x 2 ?
? lo g 2 ( ? x ? 4 x ? 3) ? 0 ?
2

2.A 提示:由题意可知, ?

?? x ? 4x ? 3 ? 0 ?
2

?x ? 2 ? ? . ?1 ? x ? 3

3、A 提示:2M-2N=(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2≥0 4.D 提示:∵函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,在 ( ?? , 0 ] 上是减函数,且 f ( 2 ) ? 0 ,

∴f(-2)=0, 在 ( ?? , 0 ] 上 f ( x ) ? 0 的 x 的取值范围是 ( ? 2, 0 ] ,又由对称性 [0, ? ? ) ,∴在 R 上 f(x)<0,得 x 的取值范围为(-2,2) 5. 提示: C 因为 | a ? b |? ? a ? c ? ? ? b ? c ? ? | a ? c | ? | b ? c | , 所以 (A) 恒成立; (B) 在
8

两侧同时乘以 a , 得
2

a ?1 ? a ? a ? ?a ? a
4 3 4

3

? ? ?1 ? a ? ? 0 ?

a

3

? a ? 1? ? ? a ? 1? ?

0?

? a ? 1?

2

?a

2

? a ? 1? ? 0

所以(B)恒成立; (C)中,当 a>b 时,恒成立,a<b 时,不成立; (D)中,分子有理化得
2 a?3?
2 ac a ?c

a ?1

?

2 a?2 ?
a
2

恒成立,故选(C).
a
?b
2

6.A 提示:依题意有 b ?

, cos B ?

? c

2

?

a

2

? c

2

?

2 ac (a ? c)
2

2 ac 2 ac 4 ac 1 2

2 ac



(a ? c) 2 ac

2

?

2 ac (a ? c)
2

?1?

4 ac 2 ac

?

?1 ? 2 ?

? 1 ? 0 ,角 B 是锐角.

7.B 提示:t=|x-1|在 x∈[0,4]的最大值为 3,故 a≥3. 8.D 提示:由题意得:A:-1<x<1,B:b-a<x<a+b 由”a=1”是“ A ? B ? ¢”的充分条 件.则 A:-1<x<1 与 B: b-1<x<1+b 交集不为空.所以-2<b<2,检验知: ? 1 ? b ? 2 能使 A ? B ? ¢. 9.D 提示:函数的定义域为 { x | x ? 0 或 x ? ? } ,在区间 (0 , ) 上, 0 ? 2 x ? x ? 1 ,
2

1

1

2

2

又 f ( x ) ? 0 ,则 0 ? a ? 1 ,因此 y ? lo g a t 是减函数,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 函数 y ? 2 x ? x 的递减区间,考虑对数函数的定义域,得所求的单调递增区间为
2

(?? , ?

1 2

)

10.A 提示:设 x=2cosα ,y=bsinα ,则 x2+2y=4cos2α +2bsinα =-4sin2α +2bsinα +4 =-2(sin2α -bsinα -2)=-2(sinα -
? b ?4 ? 2 ∴ x ? 2 y 的最大值为 ? 4 ? 2b ?
b 2
2

)2+4+

b

2

,

2

0 ? b ? 4 b ? 4

.

二、填空题: 11. ( 3 , 4 ) 提示:∵|x-2|<2 的解集为(0,4),log2(x2-1)>1 的解集为 ( 3 , ? ? ) ? ( ? ? , ? 3 ) ,

9

∴不等式组 ?

? | x ? 2 |? 2 , ? log
2

(x

2

? 1) ? 1

的解集 ( 3 , 4 ) .

12. x ? 3 ? 2 2 ? x ? ? 3 ? 2 2 或 x ? 1
当 x ? 0 时 ,0 ? x ? 1 ? 6 x ? 8 x ?
2 2

?

?
2

提示 lo g 2 ( x ?
? 0? x ?1 2 ? x ? ?3 ? 2

1 x

? 6) ? 3 ? 0 ? x ?

1 x

?6?8

? x ? 1?

当 x ? 0时 , x ? x ? 1 ? 6 x ? 0 ? ?3 ? 2 8

2

综上: x ? 3 ? 2 2 ? x ? ? 3 ? 2 2 或 x ? 1 13. a ? b
2

?

?
? a
2

2

提示:最小值为

| a ?a ? b ?b | a
2

?b

2

?b

2

14.2 2

提示:

2a ? 1 ? 2

2b ? 1

?

( 2 a ? 1) ? ( 2b ? 1)
2

2

2



2(a ? b) ? 2 2

?

2 ,当且仅当 a=b=c 时等号成立.
b k
b k b k

15、解 (1)由已知得 A( ?

,0),B(0,b),则 AB ={

,b},于是

=2,b=2. ∴k=1,b=2.

(2)由 f(x)> g(x),得 x+2>x2-x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-2<x<4,
g (x) ? 1 f (x)

=

x

2

? x?5 x? 2

=x+2+

1 x? 2

-5,

由于 x+2>0,则

g (x) ? 1 f (x)

≥-3,其中等号当且仅当 x+2=1,即 x=-1 时成立



g (x) ? 1 f (x)

的最小值是-3.

16、解:(1)由已知得 an+1an=an-an+1
? 1 an 1 a n ?1 得 ? 1 p ? 1 an ? 1, 由 a 1 ? p 1 n? 1 p
10

? ( n ? 1) ? a n ?

?1

(2)证明:? 0 ? p ? 1

?

1 p

?1 ? 0

? an ? n? a1 2 ?1? ? a2 3 1 2 ? 1 2 ?

1 1 p a3 4 ? 1 3 ? ?1

?

1 n

? ??????? 1 3 ? 1 4

an n ?1

?

1 2 ?1 1 n

? ?

1 3? 2 1 n ?1
x
2

?

1 4?3

? ??????? ?1

1 ( n ? 1) n

? ???????

?1?

1 n ?1

17: (1)将 x 1 ? 3 , x 2 ? 4 分别代入方程

ax ? b

? x ? 12 ? 0 得

? 9 ? ?9 2 ? 3a ? b ?a ? ?1 x ? , 解得 ? , 所以 f ( x ) ? ( x ? 2 ). ? 2? x ?b ? 2 ? 16 ? ?8 ? 4a ? b ?
x
2

(2)不等式即为

2? x

?

( k ? 1) x ? k 2? x

, 可化为

x

2

? ( k ? 1) x ? k 2? x

? 0

即 ( x ? 2 )( x ? 1)( x ? k ) ? 0 . ①当 1 ? k ? 2 , 解集为 x ? (1, k ) ? ( 2 , ?? ). ②当 k ? 2时 , 不等式为 ( x ? 2 ) ( x ? 1) ? 0 解集为 x ? (1, 2 ) ? ( 2 , ?? );
2

③ 当 k ? 2时 , 解集为 x ? (1, 2 ) ? ( k , ?? ) . 点评:解不等式的过程实质上就是转化的过程,分式不等式转化成整式不等式,解分式不等 式一般情况下是移项,通分,然后转化成整式不等式,对于高次不等式,借助数轴法,则简 单,快捷,另外
f (x) g (x) ? 0 ? f (x)g (x) ? 0 ,
? f (x)g (x) ? 0 ? 0 ? ? g (x) ? g (x) ? 0 f (x)

18.解: (Ⅰ)证法 1:∵当 n ? 2时 , 0 ? a n ?

na

n ?1

n ? a n ?1

,?

1 an

?

n ? a n ?1 na
n ?1

?

1 a n ?1

?

1 n

,

11



1 an

?

1 a n ?1

?

1 n

,

于是有

1 a2 1 an

?

1 a1

?

1

,

1

?

1 a2

?

1 3

,? ,

1 an

?

1 a n ?1

?

1 n

.

2 a3 1 2 1 a1 1 3 1 2

所有不等式两边相加可得

?

1 a1 1 an

?

?

?? ?

1 n

.

由已知不等式知,当 n≥3 时有,

?

?

[log

2

n ].

∵ a 1 ? b ,?

1 an

?

1 b

?

1 2

[log

2

n] ?

2 ? b [log 2b

2

n]

.

an ?

2b 2 ? b [log
b
2

. n]

证法 2:设 f ( n ) ?

1 2

?

1 3

?? ?

1 n

,首先证不等式 a n ?

1 ? f ( n )b

, n ? 3 , 4 ,5 , ? .

(i)当 n=3 时,由 a 3 ?

3a 2 3 ? a2

?

3 3 a2 ?1

? 3?

3 2 ? a1 2 a1 ?1

?

b 1 ? f (3)b

. 知不等式成立.

(ii)假设当 n=k(k≥3)时,不等式成立,即 a k ?
( k ? 1) a k ( k ? 1) ? a k k ?1 ( k ? 1) ak ?1 k ?1 ( k ? 1) ?

b 1 ? f ( k )b

,

则 a k ?1 ?

?

?

1 ? f ( k )b b

?1

?

( k ? 1) b ( k ? 1) ? ( k ? 1) f ( k ) b ? b

?

b 1 ? ( f (k ) ? 1 k ?1 )b

?

b 1 ? f ( k ? 1) b

,

即当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(i)(ii)知, a n ? 、
b 1 ? f ( n )b , n ? 3 , 4 ,5 , ? .

又由已知不等式得

an ? 1?

b 1 2 [ l o g n ]b 2
2 [log
12
2

?

2b 2 ? b[ l o g n ] 2

, n ? 3 , 4 ,5 , ? .

(Ⅱ)∵

2b 2 ? b [log
2

? n] [log

2
2

,令 n]

? n]

1 5

,

则有 log

2

n ? [log

2

n ] ? 10 , ? n ? 2

10

? 1024 ,
1 5 .

故取 N=1024,可使当 n>N 时,都有 a n ?

【挑战自我】 设 f(x) 是 定 义 在 [-1,1] 上 的 奇 函 数 , 且 对 任 意 a,b∈[-1,1] , 当 a+b≠0 时 , 都 有
f ( a ) ? f (b ) a ?b ? 0.

(1)若 a>b,试比较 f(a)与 f(b)的大小; (2)解不等式: f ( x ?
1 2 ) ? f (x ? 1 4 );

(3)证明:若-1≤c≤2,则函数 g(x)=f(x-c)和 h(x)=f(x-c2) 存在公共定义域,并求出 这个公共定义域. 解: (1)任取 x1,x2∈[-1,1],当 x1<x2 时,由奇函数的定义和题设不等式,得
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( ? x 2 ) ? f ( x 2 ) ? f ( ? x1 ) x 2 ? ( ? x1 ) ( x 2 ? x1 ) ? 0

∴ f(x)是增函数,a,b∈[-1,1] ,且 a>b,∴f(a)>f(b) (2)因为 f(x)是[-1,1]上的增函数
1 ? ?1? x ? ?1 ? 2 ? 1 1 1 5 1 ? ∴ f ( x ? ) ? f ( x ? ) 等价于: ? ? 1 ? x ? ? 1 ? ? ? x ? ; 2 4 2 4 4 ? 1 1 ?x? ? x? ? 2 4 ?

(3)设函数 g(x)与 h(x)的定义域分别为 P 和 Q,则 P=[c-1,c+1],Q=[c2-1,c2+1], 2 2 ∵-1≤c≤2,∴(c -1)-(c+1)=(c+2)(c+1) ≤0,即 c -1≤c+1. 2 又 c +1>c-1,所以 g(x)定义域与 h(x)定义域交集非空. 2 当-1≤c<0,或 1<c≤2 时,c(c-1)>0,这时公共定义域为[c -1,c+1] 2 当 0≤c≤1 时,c(c-1) ≤0,这时公共定义域为[c-1,c +1] 【答案及点拨】 演变 1:设点 Q 的坐标为(x,y) ,由点 P、Q 关于原点对称,得 P 点坐标为(-x,-y). 又点 P 在函数 y=f(x)的图象上,∴-y= log a (1 ? x ) ,即 y=- log a (1 ? x ) 得 g(x)= -
log
a

(1 ? x ) .

(1) 由 2f(x)+g(x)≥0 得 2 log a ( x ? 1) ? log a (1 ? x ) ,
13

x ?1? 0 ? x ? ?1 ? ? ? ? ? x ?1 ? ?1 ? x ? 0 ∵0<a<1,∴ ? 1 ? x ? 0 2 ?? 3 ? x ? 0 ? ( x ? 1) ? 1 ? x ? ?

故不等式的解集为 ? ? 1, 0 ?
( x ? 1)
a 2

(2) 由 2f(x)+g(x)≥m,得 m ? log

1? x

,在 a>1,且 x∈ ? ? 1, 0 ? 时恒成立.记

F ( x ) ? log

( x ? 1)
a

2

1? x
2

( x ? ?0 ,1 ?) ,则问题等价于 m ? F ( x ) min



( x ? 1) 1? x

2

?

( x ? 1) ? 4 ( x ? 1) ? 4 1? x

? (1 ? x ) ? 4 ?
4 t

4 1? x

令 t=(1-x) ,t∈ ? 0 ,1? ,可证得 H(x)= t ?

? 4 在 t ? ? 0 ,1 ? 上单调递减.

∴H(t)的最小值为 H(1)=1,又 a>1,∴F(x)的最小值为 0, 故 m 的取值范围为 m≤0 演变题要有点拨,原创题有详解,一般题给答案 演变 2: (1)①当 n=2 时,a2=2≥2,不等式成立. ②假设当 n=k(k≥2)时不等式成立,即 ak≥2(k≥2) , 那么 ak+1= (1 ?
1 k ? ( k ? 1) )ak ? 1 2k

≥2.这就是说,当 n=k+1 时不等式成立.?

根据①、②可知:ak≥2 对所有 n≥2 成立.? (2)证法一:由递推公式及(1)的结论有? an+1= (1 ?
n 1
2

?n

)a n ?

1 2
n

≤ (1 ?
n

1
2

?n

?

1 2
n

)a n

, (n≥1)?

两边取对数并利用已知不等式得 lnan+1≤ln (1 ?
n 1
2

?n

?

1 2
n

)

+lnan≤lnan+
n

1
2

?n

?

1 2
n

.?

故 lnan+1-lnan≤

1 n ( n ? 1)

?

1 2
n

, (n≥1) .?

上式从 1 到 n-1 求和可得? lnan-lna1≤
1 1? 2

+

1 2?3

+?+

1 ( n ? 1) n

+

1 2

+

1 2
2

+?+
2

1
n ?1

14

=1-

1 2

+(

1 2

?

1 3

)

+?

1 n ?1
2

?

1 n

?

1 2

1? ? 2 1?

1
n ?1

=1-
1 2

1 n

+1 ?
2

1
n ?1

<2?,

即 lnan<2,故 an<e (n≥1) .? (2)证法二:由数学归纳法易证 2n>n(n-1)对 n≥2 成立, 故?an+1= (1 ?
n 1
2

?n

)a n ?

1 2
n

< (1 ?

1 n ( n ? 1)

)a n ?
1

1 n ( n ? 1)
)bn

(n≥2)? (n≥2)?

令 bn=an+1

(n≥2) ,?则 bn+1≤ (1 ?

n ( n ? 1)

取对数并利用已知不等式得? lnbn+1≤ln (1 ?
1 n ( n ? 1) )bn

+lnbn≤lnbn+

1 n ( n ? 1)

(n≥2) .?

上式从 2 到 n 求和得? lnbn+1-lnb2≤
1 1? 2

+

1 2?3

?+

1 n ( n ? 1)

=1-

1 2

+

1 2

- +?+
3

1

1 n ?1

?

1 n

<1.?
2

因 b2=a2+1=3.故 lnbn+1<1+ln3,bn+1< e 1 ? ln 3 =3e(n≥2) 故 an+1<3e-1<e ,n≥2, ?又显然 a1<e ,a2<e ,故 an<e 对一切 n≥1 成立.? 点评:本题考查数学归纳法、数列、不等式的有关内容,涉及到对数函数、放缩法、 数列求和的知识,具有较强的综合性. 演变 3:设 log (1)当 t ? ? (2)当 ?
1 2
a

2

2

2

x ? t ,原不等式化为

|1+2t|-|t|<2
1 2 1 3

1 2

时,-1-2t+t<2,∴t>-3,∴ ? 3 ? t ? ? ,∴ ?
1 2 ? t ? 0

? t ? 0 时,1+2t+t<2,∴ t ?

(3)当 t≥0 时,1+2t-t<2,∴t<1, ∴0≤t<1 综上可知:-3<t<1,即-3< log 当 a>1 时,
1 a
3
a

x <1
1 a 1 a
3 3

? x ? a ,当 0<a<1 时, a ? x ?

所以当 a>1 时,原不等式的解集为{x| {x| a ? x ?
1 a
3

? x ? a }, 当 0<a<1 时,原不等式的解集为


: y ? 3x

演变 4 解: (1)以 O 为原点,正北方向为 y 轴建立直角坐标系,则 l

OA

15

设 N(x0,y0) ? x 0? 5 n , ai s

3 ? ?

a
4a 3a ? p

y 0 ? 5 a co s ? ? 4 a
(x ? p)

? N (3 a , 4 a )

又 B(p,0) ,∴直线 BC 的方程为: y ?
? y ? 3x 4a ? y ? (x ? p) ? 3a ? p ?

由?

得 C 的纵坐标

yc ?

12 ap 3 p ? 5a

(p ?

5

1 6 ap 5 a ) ,∴ S ? ? | OB | ? | y c | ? ,( p ? a) 3 2 3 p ? 5a 3
2

2

(2)由(1)得

S ?

6 ap

3 p ? 5a

?

2 ap p ?

2

5 3

,令 t ? p ? a

5 3

a (t ? 0 )

2 ∴ S ? 2 a [ t ? 25 a ? 10 a ] ? 40 a 2 ,∴当且仅

9t

3

3

当t ?

25 a 9t

2

, 即t ?

5a 3

, 此时 p ?

10 a 3

时,上式取等号,∴当 p ?

10 3

a 公里时,抢救最及时.

16



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