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2014届高三数学一轮复习 第六章 第一节 不等关系与不等式课件 理 新人教A版



第一节

不等关系与不等式

1.实数的大小顺序与运算性质的关系
a-b>0 (1) a>b?___________, a-b=0 (2) a=b?___________, a-b<0 (3) a<b?___________. 2.不等式的性质 b<a (1)对称性:a>b?________;(双向性) (2)传递性:a>b,b>c?a>c;(单向性)

> (3)可加性:a>b?a+c_____b+c;(双向性) a+c>b+d a>b,c>d?_____________;(单向性) (4)可乘性:a>b,c>0?ac ____bc; > < a>b,c<0?ac_____bc; a>b>0,c>d>0?ac_____bd;(单向性) > > (5)乘方法则:a>b>0?an___bn(n∈N,n≥2);(单向性) > n b(n∈N,n≥2);(单向 (6)开方法则:a>b>0? a____

n

性) 1 1 (7)倒数性质:设ab>0,则a<b? > .(双向性) a b

1.(1)a>b,c>d?a-c>b-d成立吗? a b (2)a>b>0,c>d>0? > 对吗? c d
【提示】 成立. (1)不一定成立,但a-d>b-c一定

a b (2)不一定成立,但 > 一定成立. d c

2.a>b?an>bn(n∈N,且n>1)对吗? 【提示】 一定成立. 不对,若n为奇数,成立,若n为偶数,则不

1.(人教A版教材习题改编)对于实数a,b,c,“a>
b”是“ac2>bc2”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 【解析】 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

a>6D/?ac2>bc2,如c=0时,ac2=bc2,

但ac2>bc2?a>b, ∴“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件.

【答案】

B

2.在城区限速40 km/h的路标,指示司机在前方路段行
驶时,应使汽车的速度v不超过40 km/h,写成不等式就是 ( ) A.v<40 km/h B.v>40 km/h

C.v≠40 km/h D.v≤40 km/h

【答案】

D

3.(2012· 湖南高考)设a>b>1,c<0,给出下列三个结 论: c c ① > ;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c). a b 其中所有的正确结论的序号是( ) A.① B.①② C.②③ D.①②③

1 1 【解析】 ∵a>b>1,∴ < .又c<0, a b c c ∴ > ,故①正确. a b 当c<0时,y=xc在(0,+∞)上是减函数, 又a>b>1,∴ac<bc,故②正确.

∵a>b>1,-c>0,∴a-c>b-c>1.
∵a>b>1,∴logb(a-c)>loga(a-c)>loga(b-c), 即logb(a-c)>loga(b-c),故③正确. 【答案】 D

1 4. 与 3+1的大小关系为________. 2-1

【解析】 3<0,

1 -( 3+1)=( 2+1)-( 3+1)= 2- 2-1

1 ∴ < 3+1. 2-1
【答案】 1 < 3+1 2-1

用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板,随着铁钉的 深入,铁钉所受的阻力会越来越大,使得每次钉入木板的 1 钉子长度后一次为前一次的 (k∈N*),已知一个铁钉受击3 k 次后全部进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉 4 长度是钉长的 ,请从这个实例中提炼出一个不等式组. 7

【思路点拨】

由题意,找出题目中相应的不等式关

系,特别是“一个铁钉受击3次后全部进入木板”,然后用 不等式(组)将它们表示出来.

【尝试解答】 依题意得,第二次钉子没有全部进入 木板;第三次全部进入木板, ?4 4 ?7+7k<1, ∴? (k∈N*). ?4+ 4 + 4 2≥1, ?7 7k 7k

1.本题常见的错误:(1)没能准确理解“一个铁钉受击 4 4 3次后全部进入木板”的含义,导致遗漏不等式 + <1; 7 7k (2)忽视变量k∈N*. 2.求解此类问题一定要准确将题目中文字语言转化为 数学符号语言(如不等式等),特别是注意“不超过”、“至 少”、“低于”表示的不等关系,同时还应考虑变量的实 际意义.

某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车,计划使用 不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A

型汽车和B型汽车.根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽
车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式.

【解】

设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆,

?40x+90y≤1 000, ? ?x≥5, 则x、y满足? ? y≥6, ? x,y∈N*. ?

(2013· 肇庆模拟)若a>0>b>-a,c<d<0,则下列 a b 命题:(1)ad>bc;(2) + <0;(3)a-c>b-d;(4)a· (d-c) d c >b(d-c)中能成立的命题为________.

【思路点拨】

利用不等式的性质说明正误或举反例说

明真假.

【尝试解答】 ∵a>0>b,c<d<0, ∴ad<0,bc>0,则ad<bc,(1)错误. 由a>0>b>-a,知a>-b>0, 又-c>-d>0, 因此a· (-c)>(-b)· (-d),即ac+bd<0, a b ac+bd ∴ + = <0,故(2)正确. d c cd 显然a-c>b-d,∴(3)正确. ∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c),∴(4)正确.

【答案】

(2)(3)(4)

1.解题时,易忽视不等式性质成立的条件,或“无中 生有”自造性质导致推理判定失误.

2.对于不等式的常用性质,要弄清其条件和结论,不
等式性质包括 “单向性”和“双向性”两个方面,单向性

主要用于证明不等式,双向性是解不等式的依据,因为解不
等式要求的是同解变形.

(2012·浙江高考)设a>0,b>0,(
A.若2a+2a=2b+3b,则a>b B.若2a+2a=2b+3b,则a<b C.若2a-2a=2b-3b,则a>b D.若2a-2a=2b-3b,则a<b 【解析】

)

当0<a≤b时,显然2a≤2b,2a≤2b<3b,

∴2a+2a<2b+3b,

即2a+2a≠2b+3b.

∴它的逆否命题“若2a+2a=2b+3b,则a>b”成立,
因此A正确. 【答案】 A

m2x (1)已知m∈R,a>b>1,f(x)= ,试比较f(a) x-1 与f(b)的大小; (2)比较aabb与abba(a>0且a≠1,b>0且b≠1)的大小.

【思路点拨】

(1)计算出f(a)与f(b),用作差法或综合法

比较大小;(2)幂式比较大小,用作商法比较大小.

m2a m2b 【尝试解答】 (1)∵f(a)= ,f(b)= , a-1 b-1 m2a m2b a b 2 ∴f(a)-f(b)= - =m ( - ) a-1 b-1 a-1 b-1 a(b-1)-b(a-1) =m · = (a-1)(b-1)
2

b-a m· , (a-1)(b-1)
2

当m=0时,f(a)=f(b); 当m≠0时,m2>0, 又a>b>1,∴f(a)<f(b). 综上可知f(a)≤f(b).

(2)根据同底数幂的运算法则,采用作商法, aabb a-b b- a a a-b b =( ) , b a=a ab b a 当a>b>0时, >1,a-b>0, b a 则( )a-b>1,∴aabb>abba; b a 当b>a>0时,0< <1,a-b<0, b a a-b 则( ) >1,∴aabb>abba; b

a a-b 当a=b>0时,( ) =1,∴aabb=abba, b 综上知aabb≥abba(当且仅当a=b时取等号).

1.第(1)中,若注意到m2≥0,亦可构造函数φ(x)= x (x>1),判断出φ(x)是减函数,f(a)≤f(b). x-1 2.(1)“作差比较法”的过程可分为四步:①作差;② 变形;③判断差的符号;④作出结论.其中关键一步是变 形,手段可以有通分、因式分解、配方等.(2)“作商比较 a 法”的依据是“ >1,b>0?a>b”,在数式结构含有幂 b 或根式时,常采用比商法.

若a>b>0,试比较a a+b b与a b+b a的大小.
【解】 (a a+b b)-(a b+b a)

=a( a- b)+b( b- a) =( a- b)(a-b)=( a- b)2( a+ b), ∵ a+ b>0,( a- b)2>0, ∴(a a+b b)-(a b+b a)>0, ∴a a+b b>a b+b a.

1.运用不等式性质,一定弄清性质成立的条件,切忌弱 化或强化性质成立的条件. 2.求代数式的范围,应利用待定系数法或数形结合建 立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,避免扩大 变量范围.

作差比较法与作商比较法是判定两个数或式大小的两种
基本方法,其中变形是关键.

1 1 1.倒数性质,若ab>0,则a>b? < . a b b b+m 2.真分数的性质,若m>0,a>b>0,则 < . a a+m

从近两年的高考试题来看,不等关系、不等式的性质及
应用是高考的热点,题型既有选择题,也有填空题,难度为 中低档,客观题突出对不等式性质及应用的考查,主观题与 其他知识交汇,考查不等式的性质及综合分析问题、解决问 题的能力.在涉及求范围问题时,应特别注意不等式性质的

应用,防止出错.

易错辨析之十 忽视不等式的隐含条件致误 (2012· 陕西高考改编)设函数f(x)=xn+bx+c(n∈N*, b,c∈R). 1 (1)设n≥2,b=1,c=-1,证明f(x)在区间( ,1)内存 2 在唯一零点; (2)设n为偶数,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,求b+3c的最大 值和最小值.
【错解】 1, 1 1 1 ∵f( )f(1)=( n- )×1<0, 2 2 2 1 ∴f(x)在区间( ,1)内有零点, 2 (1)当b=1,c=-1,n≥2时,f(x)=xn+x-

1 又当x∈( ,1)时,f′(x)=n·n-1+1>0, x 2 1 ∴f(x)在( ,1)上是单调递增的, 2 1 ∴f(x)在( ,1)内存在唯一零点. 2 (2)∵n为偶数,且|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,
?0≤b-c≤2, ? ∴? ?-2≤b+c≤0. ?

因此-1≤b≤1,且-2≤c≤0. ∴-7≤b+3c≤1, 故b+3c的最大值为1,最小值为-7.

错因分析:(1)忽视字母b、c相互制约的条件,片面将 b,c分割开来导致字母范围发生变化. (2)多 次 运 用 同 向不 等式相加这一性质 ,不是等价 变 形,扩大变量的取值范围,致使最值求解错误.

防范措施:(1)利用待定系数法先建立待求整体与已知
范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”使用不等式的 运算求得待求整体的范围. (2)运用线性规划,根据t=b+3c的几何意义,数形结合 求t的最值.

【正解】 (1)同上述解法. (2)法一 由n为偶数,且|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1, ?-1≤f(-1)≤1, ?0≤b-c≤2, ? ? ∴? 即? ?-1≤f(1)≤1. ?-2≤b+c≤0. ? ? 作上述不等式组表示的可行域,如图所示. t b 令t=b+3c,则c= - . 3 3

平移b+3c=0,知直线过原点O时截距最大,过点A时 截距最小, ∴t=b+3c的最大值为0+3×0=0;最小值为0+ 3×(-2)=-6. 法二
?f(-1)=1-b+c, ? 由题意知? ?f(1)=1+b+c, ?

f(1)-f(-1) f(1)+f(-1)-2 解得b= ,c= , 2 2 ∴b+3c=2f(1)+f(-1)-3. 又∵-1≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤1,∴-6≤b+3c≤0. 当b=0,c=-2时,b+3c=-6;当b=c=0时,b+3c =0, ∴b+3c的最小值为-6,最大值为0.

π 1.(2013· 中山质检)设0<x< ,则“xsin2x<1”是 2 “xsin x<1”的( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

π 【解析】 当0<x< 时,0<sin x<1, 2 ∴xsin x<1?xsin2x<sin x<1. 1 2 如果xsin x<1?xsin x< , sin x

1 因为 >1, sin x 则不能保证xsin x<1, 因此“xsin2x<1”是“xsin 件.

x<1”的必要不充分条

【答案】

B

2.(2013· 西城区模拟)已知a>b>0,给出下列四个不等 式: ①a2>b2;②2a>2b- 1;③ a-b > a - b ;④a3+ b3>2a2b. 其中一定成立的不等式为( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④

D.②③④

【解析】 对于①可直接利用不等式的性质求解,也可 作差,即a2-b2=(a+b)(a-b)>0,知①正确; 对于②由条件知a>b>b-1,结合指数函数f(x)=2x的单 调性知2a>2b- 1,②正确. 2a 也可作商,即 b-1=2a- b+1. 2

∵a>b>0,∴a-b>0,∴a-b+1>0,∴2a b 1>1,故 - 2a>2b 1; 对于③,∵a>b>0,∴a-b>0, a - b >0,原不等式 ?a-b>a-2 ab+b?b- ab<0? b( b- a)<0,显然成 立,故③正确; 对于④,a3+b3-2a2b=(a3-a2b)+(b3-a2b) =a2(a-b)-b(a-b)(a+b) b2 5 2 2 2 =(a-b)(a -ab-b )=(a-b)[(a- ) - b ] 2 4 b2 5 2 由于(a- ) - b 符号不定,故④不一定成立. 2 4
【答案】 A

- +



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