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【名师一号届高考数学大一轮总复习第八章平面解析几何计时双基练圆的方程文北师大版-课件



计时双基练四十七
2 2

圆的方程
)

A 组 基础必做 1.若直线 3x+y+a=0 过圆 x +y +2x-4y=0 的圆心,则 a 的值为( A.-1 C.3
2 2

B.1 D.-3

解析 因为圆 x +y +2x-4y=0 的圆心为(-1,2), 所以

3?(-1)+2+a=0,解得 a=1。 答案 B 2.设圆的方程是 x +y +2ax+2y+(a-1) =0,若 0<a<1,则原点与圆的位置关系是 ( ) A.原点在圆上 C.原点在圆内 B.原点在圆外 D.不确定
2 2 2 2 2

解析 将圆的一般方程化成标准方程为(x+a) +(y+1) =2a, 因为 0<a<1,所以(0+a) +(0+1) -2a=(a-1) >0, 即 ?0+a? +?0+1? >
2 2 2 2 2

2a,所以原点在圆外。

答案 B 3. (2016?银川模拟)圆心在 y 轴上且过点(3,1)的圆与 x 轴相切, 则该圆的方程是( A.x +y +10y=0 C.x +y +10x=0
2 2 2 2

)

B.x +y -10y=0 D.x +y -10x=0
2 2

2

2

解析 设圆心为(0,b),半径为 r,则 r=|b|, ∴圆的方程为 x +(y-b) =b , ∵点(3,1)在圆上, ∴9+(1-b) =b ,解得 b=5, ∴圆的方程为 x +y -10y=0。 答案 B 4.已知圆 C1:(x-2) +(y-3) =1,圆 C2:(x-3) +(y-4) =9,M,N 分别是圆 C1,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为(
A.5 2-4 C.6-2 2 B. 17-1 D. 17

)

解析 圆 C1,C2 的圆心分别为 C1,C2,由题意知|PM|≥|PC1|-1,|PN|≥|PC2|-3,

1

∴|PM|+|PN|≥|PC1|+|PC2|-4,故所求值为|PC1|+|PC2|-4 的最小值。又 C1 关于 x 轴对称的点为 C3(2,-3),如图所示, ∴|PC1|+|PC2|-4 的最小值为=|C3C2|-4= ?2-3? +?-3-4? -4=5 2-4。 故选 A。 答案 A 5.点 P(4,-2)与圆 x +y =4 上任一点连线的中点的轨迹方程是( A.(x-2) +(y+1) =1 B.(x-2) +(y+1) =4 C.(x+4) +(y-2) =4 D.(x+2) +(y-1) =1 解析 设圆上任一点为 Q(x0,y0),PQ 的中点为 M(x,y), 4+x x= ? ? 2 , 则? -2+y ? ?y= 2 ,
0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

解得?

? ?x0=2x-4, ? ?y0=2y+2。

因为点 Q 在圆 x +y =4 上, 所以 x0+y0=

2

2

2

2

4,即(2x-4) +(2y+2) =4, 化简得(x-2) +(y+1) =1。 答案 A 6.设点 M(x0,1),若在圆 O:x +y =1 上存在点 N,使得∠OMN=45°,则 x0 的取值范 围是( )
2 2 2 2

A.[-1,1] C.[- 2, 2] 解析 解法一(几何法):

? 1 1? B.?- , ? ? 2 2?
D.?-

? ?

2 2? , ? 2 2?

如图所示,设点 A(0,1)关于直线 OM 的对称点为 P,则点 P 在圆 O 上,

2

且 MP 与圆 O 相切,而点 M 在直线 y=1 上运动,由圆上存在点 N 使∠OMN=45°, 则∠OMN≤∠OMP=∠OMA, ∴∠OMA≥45°,∴∠AOM≤45°。 当∠AOM=45°时,x0=±1。 ∴结合图像知,当∠AOM≤45°时,-1≤x0≤1, ∴x0 的范围为[-1,1]。 解法二(代数法):

π 设 MN 与 x 轴交点为 P,∠MOP=α ,则∠MPE=α + , 4 1 1+ x π 0 x0+1 ? ? 1+tan α = 所以 kMN=tan?α + ?= = ,利用点斜式建立 MN 方程可得 y-1 4 ? 1-tan α 1 x0-1 ? 1-

x0



2 x0+1 |x0+1| 2 (x-x0), 化简得(1+x0)x+(1-x0)y-(x0+1)=0, 则 O 到 MN 的距离满足 ≤1, 2 x0-1 2+2x0

化简得-1≤x0≤1,故选 A。 答案 A 7.若圆 C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y=1 相切,则圆 C 的方程是________。 解析 如图,设圆心坐标为(2,y0),则

? ?y0+4=r , ? ?|1-y0|=r, ?

2

2

3 5 解得 y0=- ,r= , 2 2

? 3?2 25 2 ∴圆 C 的方程为(x-2) +?y+ ? = 。 ? 2? 4 ? 3?2 25 2 答案 (x-2) +?y+ ? = ? 2? 4
3

8.已知圆 x +y +2x-4y+a=0 关于直线 y=2x+b 成轴对称,则 a-b 的取值范围是 ________。 解析 ∵圆的方程可化为(x+1) +(y-2) =5-a, ∴其圆心为(-1,2),且 5-a>0,即 a<5。 又圆关于直线 y=2x+b 成轴对称, ∴2=-2+b,∴b=4。∴a-b=a-4<1。 答案 (-∞,1) 9. (2016?绍兴模拟)点 P(1,2)和圆 C: x +y +2kx+2y+k =0 上的点的距离的最小值 是________。 解析 圆的方程化为标准式为(x+k) +(y+1) =1。 ∴圆心 C(-k,-1),半径 r=1。 易知点 P(1,2)在圆外。 ∴点 P 到圆心 C 的距离为: |PC|= ?k+1? +3 = ?k+1? +9≥3。 ∴|PC|min=3。 ∴点 P 和圆 C 上点的最小距离 dmin=|PC|min-r=3-1=2。 答案 2 10. 圆 C 通过不同的三点 P(k,0), Q(2,0), R(0,1), 已知圆 C 在点 P 处的切线斜率为 1, 求圆 C 的方程。 解 设圆 C 的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0(D +E -4F>0),则 k、2 为 x +Dx+F=0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

的两根, ∴k+2=-D,2k=F,即 D=-(k+2),F=2k, 又圆过 R(0,1),故 1+E+F=0。 ∴E=-2k-1。 故所求圆的方程为 x +y -(k+2)x-(2k+1)y+2k=0, 圆心坐标为?
2 2

?k+2,2k+1?。 2 ? ? 2 ?

∵圆 C 在点 P 处的切线斜率为 1, 2k+1 ∴kCP=-1= ,∴k=-3。 2-k ∴D=1,E=5,F=-6。 ∴所求圆 C 的方程为 x +y +x+5y-6=0。 11.已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(-1,0)和 B(3,4),线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D,且|CD|=4 10。
2 2

4

(1)求直线 CD 的方程; (2)求圆 P 的方程。 解 (1)∵直线 AB 的斜率 k=1,AB 的中点坐标为(1,2),

∴直线 CD 的方程为 y-2=-(x-1), 即 x+y-3=0。 (2)设圆心 P(a,b),则由 P 在 CD 上得 a+b-3=0。 ① 又∵直径|CD|=4 10, ∴|PA|=2 10。 ∴(a+1) +b =40。 ② 由①②解得?
? ?a=-3, ?b=6 ?
2 2

或?

? ?a=5, ?b=-2。 ?

∴圆心 P(-3,6)或 P(5,-2)。 ∴圆 P 的方程为(x+3) +(y-6) =40 或(x-5) +(y+2) =40。 B 组 培优演练 1.已知圆 C 关于 y 轴对称,经过点(1,0)且被 x 轴分成两段弧长比为 1∶2,则圆 C 的 方程为( A.?x±
2 2 2 2 2

) 4 3?2 2 ? +y =3 3? B.?x±
2

? ?

? ?

1 3?2 2 ? +y =3 3?

C.x +?y±

? ?

3?2 4 ?= 3? 3

D.x +?y±

? ?

3?2 1 ?= 3? 3

2 解析 由已知得圆心在 y 轴上,且被 x 轴所分劣弧所对圆心角为 π ,设圆心(0,a), 3 半径为 r,则 rsin π π 2 4 3 2 =1,rcos =|a|,解得 r= ,即 r = ,|a|= , 3 3 3 3 3

即 a=± 答案 C

3 3?2 4 ? 2 ,故圆 C 的方程为 x +?y± ? = 。 3 3? 3 ?

2.已知直线 2ax+by=1(a,b 是实数)与圆 O:x +y =1(O 是坐标原点)相交于 A,B 两点,且△AOB 是直角三角形,点 P(a,b)是以点 M(0,1)为圆心的圆 M 上的任意一点,则圆

2

2

M 的面积的最小值为________。
解析 因为直线与圆 O 相交所得△AOB 是直角三角形,可知∠AOB=90°, 所以圆心 O 到直线的距离为 1 2a +b
2 2



2 , 2

1 2 2 所以 a =1- b ≥0,即- 2≤b≤ 2。 2
5

设圆 M 的半径为 r,则 r=|PM|= a +?b-1? = 1 2 2 b -2b+2= (2-b)。 2 2

2

2

又- 2≤b≤ 2,所以 2+1≥|PM|≥ 2-1, 所以圆 M 的面积的最小值为(3-2 2)π 。 答案 (3-2 2)π 3.如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0),与 y 轴正半轴交于两点 A,B(B 在 A 的上 方),且|AB|=2。

(1)圆 C 的标准方程为 ________________________________________________________________________; (2)圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为________。 1 解析 (1)过点 C 作 CM⊥AB 于 M,连接 AC,则|CM|=|OT|=1,|AM|= |AB|=1,所以 2 圆的半径 r=|AC|= |CM| +|AM| = 2,从而圆心 C(1, 2),即圆的标准方程为(x-1) +(y- 2) =2。 (2)令 x=0,得 y= 2±1,则 B(0, 2+1), ? 2+1?- 2 所以直线 BC 的斜率为 k= =-1, 0-1 由直线与圆相切的性质知,圆 C 在点 B 处的切线的斜率为 1。 则圆 C 在点 B 处的切线方程为 y-( 2+1)=1?(x-0),即 y=x+ 2+1, 令 y=0 得,x=- 2-1, 故所求切线在 x 轴上的截距为- 2-1。 答案 (1)(x-1) +(y- 2) =2
2 2 2 2 2 2

(2)- 2-1

4.如图,已知圆 O 的直径|AB|=4,定直线 l 到圆心的距离为 4,且直线 l 垂直于直线

AB,点 P 是圆 O 上异于 A,B 的任意一点,直线 PA,PB 分别交 l 于 M,N 两点。

6

(1)若∠PAB=30°,求以 MN 为直径的圆的方程; (2)当点 P 变化时,求证:以 MN 为直径的圆必过圆 O 内的一定点。 解 如图,建立直角坐标系,得⊙O 的方程为 x +y =4,直线 l 的方程为 x=4。
2 2

(1)当点 P 在 x 轴上方时, 因为∠PAB=30°, 所以点 P 的坐标为(1, 3), 所以 lAP:y= 3 (x+2),lBP∶y=- 3(x-2)。 3

将 x=4 分别代入,得 M(4,2 3),N(4,-2 3), 所以线段 MN 的中点坐标为(4,0),|MN|=4 3。 所以以 MN 为直径的圆的方程为(x-4) +y =12。 同理,当点 P 在 x 轴下方时,所求圆的方程仍是 (x-4) +y =12。 综上,以 MN 为直径的圆的方程为(x-4) +y =12。 (2)证明:设点 P 的坐标为(x0,y0),则 y0≠0, 所以 x0+y0=4(y0≠0), 所以 y0=4-x0, 因为 lPA:y= (x+2),lPB:y= (x-2), x0+2 x0-2 6y0 2y0 ,yN= , x0+2 x0-2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

y0

y0

将 x=4 分别代入,得 yM= 所以 M?4,

? ?

6y0 ? ? 2y0 ? ,N?4, ?, x0+2? ? ? x0-2?

所以|MN|=?

? 6y0 - 2y0 ?=4|x0-4|, ? |y0| ?x0+2 x0-2?
7

4?x0-1?? ? 线段 MN 的中点坐标为?4,- ?,

?

y0

?

以 MN 为直径的圆 O′截 x 轴所得的线段长度为 2 = 4?x0-4?
2

y
4 |y0|

2 0

16?x0-1? - 2

2

y0

12-3x0=

2

4 3 |y0|

4-x0=4 3。

2

则圆 O′与 x 轴的两交点坐标分别为(4-2 3,0),(4+2 3,0), 又(4-2 3) +0 =28-16 3<4, (4+2 3) +0 =28+16 3>4, 所以⊙O′必过⊙O 内定点(4-2 3,0)。
2 2 2 2

8



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