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高考立体几何



2011 年最新高考+最新模拟——立体几何
1.【2010·浙江理数】设 l ,m 是两条不同的直线,? 是一个平面,则下列命题正确的是( A.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? C.若 l //? , m ? ? ,则 l //m 【答案】B 【解析】可对选项进行逐个检查.本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公 理和判定定理,也蕴含了对定理

公理综合运用能力的考察,属中档题. B.若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? D.若 l //? , m//? ,则 l //m )

AB 、 CC1 、 A1D1 所在直线 2.【2010·全国卷 2 理数】与正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的三条棱
的距离相等的点( ) A.有且只有 1 个 C.有且只有 3 个 【答案】D 【解析】直线 上取一点,分别作 垂直于 于 则 分别作 ,垂足分别为 M,N,Q,连 PM,PN,PQ,由三垂线定理 可 得 , PN ⊥ PM ⊥ ; PQ ⊥ AB , 由 于 正 方 体 中 各 个 表 面 、 对 等 角 全 等 , 所 以 ,∴PM=PN=PQ,即 P 到三条棱 AB、CC1、A1D1.所在直线的距离 相等所以有无穷多点满足条件,故选 D. 3.【2010·全国卷 2 理数】已知正四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 2 3 ,那么当该棱锥的体积最 大时,它的高为( ) A.1 【答案】C 【解析】本试题主要考察椎体的体积,考察告辞函数的最值问题 . 设底面边长为 a ,则高 B. 3 C.2 D.3 B.有且只有 2 个 D.有无数个

所以体积



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,则

,当 y 取最值时,

,解得 a=0 或 a=4

时,体积最大,此时

,故选 C.

4.【2010·陕西文数】若某空间几何体的三视图如图所示,则该几 何体的体积是( ) A.2 B.1 C.

2 3

D.

1 3

【答案】B 【解析】本题考查立体图形三视图及体积公式如图,该立体图

2
1

2

1 形为直三棱柱,所以其体积为 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 . 2
5.【 2010·辽宁文数】已知 S , A, B, C 是球 O 表面上的点, SA ? 平面ABC , AB ? BC ,

SA ? AB ? 1 , BC ? 2 ,则球 O 的表面积等于( )
A.4 ? 【答案】A 【解析】由已知,球 O 的直径为 2 R ? SC ? 2 ,?表面积为 4? R 2 ? 4? . 6.【2010·辽宁理数】有四根长都为 2 的直铁条,若再选两根长都为 a 的直铁条,使这六根 铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则 a 的取值范围是( ) A.(0, 6 ? 2 ) C.( 6 ? 2 , 6 ? 2 ) B.(1, 2 2 ) D.(0, 2 2 ) B.3 ? C.2 ? D. ?

【答案】A 【解析】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力.根据条件, 四根长为 2 的直铁条与两根长为 a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架,有以下两种情况: ( 1) 地面是边长为 2 的正三角形, 三条侧棱长为 2, a, a, 如图, 此时 a 可以取最大值, 可知 AD= 3 , SD= a2 ?1 ,则有 a2 ?1 <2+ 3 ,即 a2 ? 8 ? 4 3 ? ( 6 ? 2)2 ,即有 a< 6 ? 2

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(2)构成三棱锥的两条对角线长为 a,其他各边长为 2,如图所示,此时 a>0; 综上分析可知 a∈(0, 6 ? 2 ) 7.【2010·全国卷 2 文数】与正方体 ABCD—A1B1C1D1 的三条棱 AB、CC1、A1D1 所在直线的距离相 等的点( ) A.有且只有 1 个 B.有且只有 2 个 C.有且只有 3 个 D.有无数个 【答案】D 【解析】本题考查了空间想象能力. ∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴,以正方体边长为半径的圆柱面上, ∴三个圆柱面有无数个交点. 8.【2010·全国卷 2 文数】已知三棱锥 S ? ABC 中,底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形,

SA 垂直于底面 ABC , SA =3,那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为( )
A.

3 4

B.

5 4

C.

7 4

D.

3 4
S

【答案】D 【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与 平面所成角.过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E,连结 SE,过 A 作 AF 垂 直于 SE 交 SE 于 F, 连 BF, ∵正三角形 ABC, ∴ E 为 BC 中点, ∵ BC ⊥AE, SA⊥BC, ∴ BC⊥面 SAE, ∴ BC⊥AF, AF⊥SE, ∴ AF⊥面 SBC, ∵∠ABF 为直线 AB 与面 SBC 所成角,由正三角形边长 3,

F C A

E

B

3 3 sin ?ABF ? 4. ∴ AE ? 3 ,AS=3,∴ SE= 2 3 ,AF= 2 ,∴

9. 【2010· 江西理数】 过正方体 ABCD ? A 使 L 与棱 AB , AD , AA1 1B 1C1D 1 的顶点 A 作直线 L, 所成的角都相等,这样的直线 L 可以作( ) A.1 条 【答案】D B.2 条 C.3 条 D.4 条

【解析】 考查空间感和线线夹角的计算和判断, 重点考查学生分类、 划归转化的能力.第一类: 通过点 A 位于三条棱之间的直线有一条体 对角线 AC1,第二类:在图形外部和每条棱的外角和另 2 条棱夹角相 等,有 3 条,合计 4 条. 10.【2010·安徽文数】一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积是( ) A.372 B.360 C.292 D.280 【答案】B 【解析】该几何体由两个长方体组合而成,其表面积等于 下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和. 把

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三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体,画出直 观图,得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个 侧面积之和.

S ? 2(10 ? 8 ? 10 ? 2 ? 8 ? 2) ? 2(6 ? 8 ? 8 ? 2) ? 360 .
11.【2010·重庆文数】到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( ) A.只有 1 个 B.恰有 3 个 C.恰有 4 个 D.有无穷多个 【答案】D 【解析】放在正方体中研究,显然,线段 OO1 、EF、FG、GH、HE 的 中点到两垂直异面直线 AB、CD 的距离都相等,所以排除 A、B、C, 选 D.亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线 AB、CD 的距 离相等. 12.【2010·浙江文数】若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是( )

352 3 cm 3 224 3 C. cm 3
A.

B.

320 3 cm 3 160 3 D. cm 3

【答案】B 【解析】本题主要考察了对三视图所表达示的空间几 何体的识别以及几何体体积的计算,属容易题. 13. 【2010· 山东文数】 在空间, 下列命题正确的是 ( ) A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 【答案】D 14.【2010·北京文数】如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,动点 E、F 在棱 A1B1 上.点 Q 是 CD 的中点,动点 P 在棱 AD 上, 若 EF=1, DP=x,A1 E=y(x,y 大于零), 则三棱锥 P-EFQ 的体积 ( ) A.与 x,y 都有关; B.与 x,y 都无关; C.与 x 有关,与 y 无关; D.与 y 有关,与 x 无关; 【答案】C 15.【2010·北京文数】一个长方体去掉一个小长方体, 所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图 所示,则该集合体的俯视图为: ( )

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【答案】C 16.【2010·北京理数】如图,正方体 ABCD- A1B1C1D1 的棱长为 2,动点 E、F 在棱 A1B1 上,动点 P,Q 分别在棱 AD,CD 上,若 EF=1, A ,则四面体 1 E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z大于零) PEFQ的体积( ) A.与x,y,z都有关 B.与x有关,与y,z无关 C.与y有关,与x,z无关 D.与z有关,与x,y无关 【答案】D 17.【2010·四川理数】半径为 R 的球 O 的直径 AB 垂直于平面 ? ,垂足为 B ,

BCD 是平

面 ? 内边长为 R 的正三角形,线段 AC 、 AD 分别与球面交于点 M,N,那么 M、N 两点间的 球面距离是( ) A. R arccos
1 C. ? R 3

A

17 25

B. R arccos
4 D. ? R 15

18 25
?

O
M B

N D C

【答案】A 【解析】由已知,AB=2R,BC=R,故 tan∠BAC=

1 2 5 ,cos∠BAC= ,连结 OM,则△OAM 为 2 5

等腰三角形,AM=2AOcos∠BAC= = R ,故 MN : CD = AN:AC ?

4 5 4 5 R ,同理 AN= R ,且 MN∥CD ,而 AC= 5 R,CD 5 5
4 R ,连结 OM 、 ON ,有 OM = ON = R ,于是 cos∠MON = 5

MN =

17 OM 2 ? ON 2 ? MN 2 17 ? ,所以 M、N 两点间的球面距离是 R arccos . 25 2OM ON 25

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18. 【2010· 广东理数】 如图 1, △ ABC 为三角形,AA? // BB? // CC ? , CC ? ⊥平面 ABC 且 3 AA? =

3 BB? = CC ? =AB,则多面体△ABC - A?B?C ? 的正视图(也称主视图)是 2

【答案】D 19.【2010·广东文数】

20.【2010·福建文数】若一个底面是正三角形的三棱 柱的正视图如图所示,则其侧面积 等于 ( ... A. 3 C. 2 3 【答案】D 【解析】本题考查立体几何中的三视图,考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力. 由正视图知:三棱柱是以底面边长为 2,高为 1 的正三棱柱,所以底面积为 B.2 D.6 )

2?

3 ? 4 ? 2 3 ,侧面积为 3 ? 2 ?1 ? 6 ,选 D. 4

21.【2010·全国卷 1 文数】已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四 面体 ABCD 的体积的最大值为( ) A.

2 3 3

B.

4 3 3

C. 2 3

D.

8 3 3

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【答案】B 【解析】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体 考查考生的空间想象能力及推理运算能力.过 CD 作平面 PCD,使 AB⊥平面 PCD,交 AB 与 P,设 点 P 到 CD 的距离为 h ,则有 V四面体ABCD ?
2 2 时, hmax ? 2 2 ? 1 ? 2 3 ,故 Vmax ?

1 1 2 ? 2 ? ? 2 ? h ? h ,当直径通过 AB 与 CD 的中点 3 2 3

4 3 . 3

22.【2010·全国卷 1 文数】正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值 为( )

2 A. 3

3 B. 3

2 C. 3

6 D. 3
A1

D1 B1 D A O

C1

【答案】D 【解析】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点 到平面的距离的求法,利用等体积转化求出 D 到平面 AC D1 的距离 解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.

C是 B

方法一:因为 BB1//DD1,所以 B B1 与平面 AC D1 所成角和 DD1 与平面 AC D1 所成角相等,设 DO⊥ 平面 AC D1 ,由等体积法得 VD? ACD1 ? VD1 ? ACD ,即 则 S?ACD1 ?

1 1 S?ACD1 ? DO ? S ?ACD ? DD1 .设 DD1=a, 3 3

1 1 1 1 3 3 2 AC AD1 sin 60 ? ? ( 2a)2 ? ? a , S ?ACD ? AD CD ? a 2 . 2 2 2 2 2 2

所 以 D O?

S ?A C D D 1D a 3 ? S ?A C1 D 3a 2

3 ? a, 记 DD1 与 平 面 AC D1 所 成 角 为 ? , 则 3

sin ? ?

6 DO 3 ,所以 cos ? ? . ? 3 DD1 3

方法二:设上下底面的中心分别为 O 1 , O ;O 1 O 与平面 AC D1 所成角就是 B B1 与平面 AC D1 所 成角, cos ?O1OD1 ?

O1O OD1

? 1/

3 6 . ? 3 2

23.【2010·全国卷 1 文数】直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,若 ?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA1 , 则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于( )

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A.30° 【答案】C

B.45°

C.60°

D.90°

【解析】本小题主要考查直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的性质、异面直线所成的角、异面直线所成 的角的求法.延长 CA 到 D,使得 AD ? AC ,则 ADAC 1 1 为平行四边形, ?DA 1B 就是异面直
0 线 BA1 与 AC1 所成的角,又三角形 A 1DB 为等边三角形,??DA 1B ? 60 .

24.【2010·湖北文数】用 a 、 b 、 c 表示三条不同的直线, y 表示平面,给出下列命题: ①若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c ;②若 a ⊥ b , b ⊥ c ,则 a ⊥ c ; ③若 a ∥ y , b ∥ y ,则 a ∥ b ;④若 a ⊥ y , b ⊥ y ,则 a ∥ b . A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④

25.【2010·山东理数】在空间,下列命题正确的是( A.平行直线的平行投影重合 C.垂直于同一平面的两个平面平行 【答案】D



B.平行于同一直线的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行

【解析】考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质,属基础题.由空间 直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案. 26.【2010·福建理数】

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所以 EH ∥ FG ,故 EH ∥ FG ∥ B1C1 ,所以选项 A、C 正确;因为 A1 D1 ? 平面 ABB1 A 1,

EH ∥ A1D1 ,所以 EH ? 平面 ABB1 A1 ,又 EF ? 平面 ABB1 A1 , 故 EH ? EF ,所以选项
B 也正确,故选 D. 【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质,考查同学们的空间想象 能力和逻辑推理能力. 27. 【2010·湖北省武汉市四月调研】若 a 、 b 是异面直线, ? 、 ? 是两个不同平面,

a ? ? , b ? ? ,?

? ? l ,则(

) B.l 与 a、b 都不相交 D.l 至少与 a、b 中的一条相交

A.l 与 a、b 分别相交 C.l 至多与 a、b 中一条相交 【答案】B

【解析】假设 l 与 a、b 均不相交,则 l∥a,l∥b,从而 a∥b 与 a、b 是异面直线矛盾.故 l 至少与 a、b 中的一条相交选 D. 28. 【2010·北京西城一模】 如图, 平面 ? ? 平面 ? ,? ? =直线 l , A , C 是 ? 内不同的两点, B , D 是 ? 内不同的两点,且 A , B , C , D ? 直线 l , M , N 分别是线段 AB , CD 的中点.下列 判断正确的是( ) A.当 | CD |? 2 | AB | 时, M , N 两点不可能重合 B. M , N 两点可能重合,但此时直线 AC 与 l 不可能相交 C.当 AB 与 CD 相交,直线 AC 平行于 l 时,直线 BD 可以与 l 相交
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? ?
A M B D N l

C

D.当 AB , CD 是异面直线时,直线 MN 可能与 l 平行 【答案】B 【解析】若 M , N 两点重合,由 AM ? MB , CM ? MD 知 AC ∥ BD ,从而 AC ∥ 平面 ? ,故有
AC ∥ l ,故 B 正确.

29. 【2010·宁波市二模】已知 ? , ? 表示两个互相垂直的平面, a , b 表示一对异面直线,则

a ? b 的一个充分条件是( ) A. a // ? , b ? ? B. a // ? , b // ?

C. a ? ? , b // ?

D. a ? ? , b ? ?

【答案】D 【解析】依题意,a⊥α ,则 a 平行 β 或在 β 内,由于 b⊥β ,则 a ? b ,选择 D. 30. 【2010·上海市浦东新区 4 月二模】 “直线 a 与平面 M 没有公共点”是“直线 a 与平面 M 平行”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】C 【解析】由直线与平面平行的定义知,选 C. 31. 【2010··北京崇文一模】已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题 中正确的为 ( ) A.若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? ∥ ? C.若 m ∥? , n ∥? ,则 m ∥ n B.若 m ? ? , n ? ? , 则 m ∥ n D.若 m ∥? , m ∥ ? , 则 ? ∥ ? B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】A 中 ? , ? 可以是任意关系;B 正确;C 中 m, n 平行于同一平面,其位置关系可以为任 意.D 中平行于同一直线的平面可以相交或者平行. 32. 【 2010· 甘 肃 省 部 分 普 通 高 中 第 二 次 联 合 考 试 】 已 知 直 线 m、 l , 平 面 ?、? , 且

m ? ? , l ? ? ,给出下列命题:
①若 ? ∥ ? ,则 m⊥ l ; ②若 ? ⊥ ? ,则 m∥ l ; ③若 m⊥ l ,则 ? ∥ ? ; ④若 m∥ l ,则 ? ⊥ ? 其中正确命题的个数是( A.1 【答案】B 【解析】 对于①∵ m ? ? , l ? ? , 若? ∥ ? , ∴m⊥β , 所以 m⊥ l , ①正确; 对于②, 若? ⊥ ? , 则 m∥β 或 m 在 β 内, m 与 l 可以平行可以异面还可以相交, 所以②错; 对于③∵ m ? ? , l ? ? , 若 m⊥ l ,则 ? 与 β 可以相交,③错;对于④若 m∥ l ,则 l⊥ ? ,∴ ? ⊥ ? ,④正确,选 B.2 ) C.3 D.4

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择 B. 33.【2010·湖北六市四月联考】给出互不相同的直线 m 、 n 、 l 和平面 ? 、 ? ,下列四个命 题: ①若 m ? ? , l

? ? A , A ? m ,则 l 与 m 不共面;

②若 m 、 l 是异面直线, l / /? , m / /? ,且 n ? l , n ? m ,则 n ? ? ; ③若 l ? ? , m ? ? , l

m ? A , l / / ? , n / / ? ,则 ? / / ? ;

④若 l / /? , m / / ? , ? / / ? ,则 l / / m 其中真命题有( ) A.4 个 【答案】B 【解析】由异面直线的判定定理,易知①是真命题;由线面平行的性质,存在直线 l ? ? ? , B.3 个 C.2 个 D.1 个

m? ? ? , l 是异面直线, 使得 l / / l ? ,m / / m? , ∵m、 ∴ l ? 与 m? 是相交直线, 又 n ? l ,n ? m ,
∴ n ? l ? , n ? m? ,故 n ? ? ,②是真命题;由线面平行的性质和判定,知③是真命题;满 足条件 l / /? , m / / ? , ? / / ? 的直线 m 、 l 或相交或平行或异面,故④是假命题,于是选 B. 34.【2010?河南省郑州市第二次质检】已知 α ,β ,γ 是三个不同的平面,命题“α ∥β , 且 α ⊥γ ? β ⊥γ ”是真命题.如果把 α ,β ,γ 中的任意两个换成直线,另一个保持不 变,在所得的所有新命题中,真命题有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【答案】C 【解析】依题意,α 与 β 换成直线后是真命题,γ 与 β 换成直线后是真命题,γ 与 α 换成 直线后是假命题,选择 C. 35. 【2010?宁波二模】 已知 ? , ? 表示两个互相垂直的平面,a , b 表示一对异面直线, 则 a?b 的一个充分条件是( ) A. a // ? , b ? ? 【答案】D 【解析】依题意,a⊥α ,则 a 平行 β 或在 β 内,由于 b⊥β ,则 a ? b ,选择 D. 36 . 【2010?绵阳三诊】已知 ? , ? 表示两个不同的平面, m 是一条直线且 m ? ? ,则:
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B. a // ? , b // ?

C. a ? ? , b // ?

D. a ? ? , b ? ?

“ ? ? ? ”是“ m ? ? ”的( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】B 【解析】若 m ? ? ,因 m 是一条直线且 m ? ? ,由面面垂直的判定定理,知 ? ? ? ,反之, 若 m 是一条直线且 m ? ? ,当 ? ? ? 时, m 与平面 ? 的位置关系可以为:相交或平行或 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

m ? ? ,故“ ? ? ? ”是“ m ? ? ”的必要不充分条件,选 B.
37. 【2010·吉林市下学期期末质量检测】已知 a,b 表示两条不同的直线,α 、β 表示两个 不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A.若 ? // ? , a ? ? , b ? ? , 则a // b. B.若 a ? ? , a与? 所成角等于 b 与 β 所成角,则 a//b. C.若 a ? ? , a ? b, ? // ? , 则b // ? . D.若 a ? ? , b ? ? , ? ? ? , 则a ? b. 【答案】D 【解析】对于选项 A:直线 a,b 可能平行或异面;对于选项 B:只有当平面 α 与 β 平行时, 才有 a//b,故 B 不对;对于选项 C,有可能直线 b 在平面 β 内,故 C 错;故选 D. 38. 【2010·山东德州五月质检】在空间中,给出下面四个命题: (1)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直; (2)若平面外两点到平面的距离相等,则过两点的直线必平行 于该平面; (3)两条相交直线在同一平面的射影必为相交直线; (4)两个相互垂直的平面,一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线. 其中正确的是( ) A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4) 【答案】D 【解析】对于(2)可能该直线与平面相交;对于(3)可能两相交直线的射影为一条直线或一点 与过该点的一条直线,故选 D. 39. 【2010·江西省重点中学第二次联考】已知一个确定的二面角 ? ? l ? ? , a 和 b 是空间的 两条异面直线, 在下面给出的四个条件中, 能使 a 和 b 所成的角也确定的是 ( ) A.a ∥ ?

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且b ∥ ? C. a ? ? 且 b ? ? 【答案】D

B. a ∥ ? 且 b ? ? D. a ? ? 且 b ? ?

【解析】因为二面角的大小是确定的,所以当 a ? ? 且 b ? ? 时, a 和 b 所成的角与二面角的 大小相等或互补,故而 a 和 b 所成的角也确定,选 D. 40. 【2010·崇文一模】已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确 的为 ( ) A.若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? ∥ ? C.若 m ∥? , n ∥? ,则 m ∥ n B.若 m ∥? , m ∥ ? , 则 ? ∥ ? D.若 m ? ? , n ? ? , 则 m ∥ n

【答案】D 【解析】A 中,垂直于同一平面的平面可能平行或者相交;B 中,平行于同一直线的平面可能 平行或者相交;C 中,平行于同一平面的直线可能是任意关系;D 中,垂直于同一平面的直线 平行,正确. 41. 【2010·上海市长宁区二次模】已知 α ,β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条 直线,则“ ? ? ? ”是“ m ? ? ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】根据是平面与平面垂直的判定定理知:由 m⊥β ? α ⊥β ,反之不成立.故选 B. 42. 【2010·河北省衡水中学一模】正四棱锥 P—ABCD 的底面积为 3,体积为 的中点,则 PA 与 BE 所成的角为( A. ) C.

2 , E 为侧棱 PC 2

? 6

B.

? 3

? 4

D.

? 2

【答案】B 【解析】由 V= 且 OE= 2 1 2 = ×3×h,所以 h= ,从而侧棱长 PA= 2,取 AC 中点 O,连 OE,则 OE∥PA, 2 3 2

2 6 ,于是∠OEB 为异面直线 PA 与 BE 所成的角或其补角.在直角三角形 BOE 中,BO= , 2 2

所以 tan∠OEB= 3,所以∠OEB=

? . 3

43. 【2010·湖北省襄樊五中 5 月调研测试】如图,正三棱锥 A-BCD 中,E 在棱 AB 上,F 在棱 AE CF CD 上.并且 = =λ (0<λ <+∞),设 α 为异面直线 EF 与 AC 所成的角,β 为异面直线 EF EB FD
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与 BD 所成的角,则 α +β 的值是( π A. 6 【答案】C π B. 3

) π C. 2 D.与λ 的值有关

【解析】 利用特殊化思想, 当 λ =1, 即 E、 F 分别为 AB、 CD 中点时, 取 BC 中点 M, 则 EM∥AC,FM∥BD, π 又 AC⊥BD,所以三角形 EMF 为直角三角形,所以 α +β = . 2 44. 【2010·甘肃省兰州市五月实战模拟】二面角 a ? l ? ? 为

?
3

,A,B 是棱 l 上的两点,AC, ( )

BD 分别在平面 ? , ? 内,AC⊥l,BD⊥l,且 AC=AB=1,BD=2,则 CD 的长等于 A.2 【答案】A B. 5 C. 2 2
2

D. 3
2

【解析】过 B 作 BE∥AC,且 BE=1,则∠DBE=60°,从而 DE= 1 +2 -2×1×2×cos60°= 3, 2 在三角形 CDE 中,CD= 1 +3=2. 45. 【2010·泸州二诊】如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? 1 .若二面角 C ? AB ? C1 的大小为 60 ,则点 C 到平面 C1 AB 的距离为( )

A.

3 4

B.

1 2

C.

3 2

D. 1

【答案】A 【解析】取 AB 中点 D ,连结 CD , C1D ,则 ?CDC1 是二面角 C ? AB ? C1 的平面角. ∵ AB ? 1 , ∴ CD ?

3 3 3 ? 3? , , ∴ 在 Rt ?DCC1 中 , CC1 ? CD ? tan 60 ? 2 2 2

C1D ?

CD ? 3 ,设点 C 到平面 C1 AB 的距离为 h ,则由 VC ?C1AB ? VC1 ? ABC 得, cos ?CDC1

3 1 1 1 1 3 3 ? ?1 ? 3h ? ? ? 1? ? ,解得 h ? ,选A. 4 3 2 3 2 2 2
46. 【2010·湖 北 省年普通高等学校招生全国统一考试模拟训练(二) 】 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=1,AC=2,BC= 3 ,D,E 分别 是 AC1 和 BB1 的中点,则直线 DE 与平面 BB1C1C 所成的角为 ( A. )
C A C1 A1 D E B1

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

B

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【答案】A 【解析】取 AC 中点 F,连 DF,BF,则易知 BF∥DE,过 F 作 FH⊥BC 于 H,则 FH⊥平面 BCC1B1, 1 1 则角∠FBH 为所求,在直角三角形 FHB 中,FH= ,BF= AC=1,所以∠FBH=30°. 2 2 47. 【2010·湖南师大附中第二次月考试卷】如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 M 为侧棱 AA1 上一动点,已知△BCM 面积的最大值是 2 3 ,二面角 M―BC―A 的最大值是 体积等于( ) A. 3 3 【答案】A 【解析】当点 M 与点 A1 重合时,△BCM 的面积为最大值,此时二面角 M―BC―A 也为最大. 由已知可得, S?ABC ? 2 3 cos 而正三棱柱的高 AA1= 3 tan B. 2 3 C.

? ,则该三棱柱的 3

3

D. 3 2

?
3

? 3 ,所以底面正三角形 ABC 的边长为 2,高为 3 ,从

?
3

? 3 .所以正三棱柱的体积 V ? 3 3 ,故选 A.

48. 【2010·曲靖一中高考冲刺卷数学(八) 】 如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,M,N 分别 为 AB,DC 中点,则直线 MC 与 D1 N 所成角的余弦值为( ) D1 A1 B1 D

1 A. 2
【答案】B

1 B. 5

1 C. ? 5

1 D. ? 3

C1

【解析】连 NA,D1A,则∠D1NA 为所求,在三角形 D1NA 中由余弦定

N

C

1 B M A 理可求得 cos∠D1NA= . 5 49. 【2010·曲靖一中高考冲刺卷数学(四) 】一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面 都相切,已知这个球的体积是 A. 96 3 【答案】D B. 16 3

32 ? , 那么这个三棱柱的体积是( 3 C. 24 3 D. 48 3



32 【解析】因为球的体积为 π ,柱体的高为 2r=4,又正三棱柱的底面三角形内切圆半径与球 3 3 2 ×(4 3) ×4= 48 3 . 4 50.【2010·内蒙古赤峰市四月统一考试】已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的 2 倍,则侧棱 与底面所成角的余弦值等于( ) 半径相等,r=2,所以底面边长 a=4 3,所以 V 柱= A.

3 6

B.

3 4

C.

2 2

D.

3 2

【答案】A 【解析】设底面边长 AB=1,则侧棱长 SA=2,过顶点 S 作底面的垂线,垂足 O 为底面中心,连
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结 AO,则∠SAO 为所求,因为 AO=

3 AO 3 ,所以 cos∠SAO= = . 3 SA 6

2π 51. 【2010·上海市奉贤区 4 月调研】已知一球半径为 2,球面上 A、B 两点的球面距离为 , 3 则线段 AB 的长度为( A.1 【答案】C 2π π π 【解析】 由 l=α R=α ×2= 得, α = , 从而知∠AOB= , 即△AOB 为正三角形, 所以 AB=OA=R=2. 3 3 3 52. 【2010·石家庄市教学质量检测(二) 】如图,在正三棱锥 A-BCD 中,E、F 分别是 AB、BC 的中点,EF⊥DE,且 BC=1,则正三棱锥 A-BCD 的体积是( A. ) B. 3 ) C.2 D. 2 3

2 12

B.

2 24

C.

3 12

D.

3 24

【答案】B 【解析】 EF∥AC, 所以 AC⊥DE, 又 AC⊥BD, 所以 AC⊥平面 ABD, 所 以 侧 面 三 角 形 为 等 腰 直 角 三 角 形 , AB=AC=AD= ×( 2 1 , V= 2 6

2 3 2 )= . 2 24 53.【2010·甘肃省部分普通高中高三第二次联合考试】如图,在半径为 3 的球面上有 A, B, C 三点, ?ABC ? 90 , BA ? BC , 球心 O 到平面 ABC 的距离是 距离是( ) A.
?

3 2 ,则 B、C 两点的球面 2

? 3

B. ?

C.

4? 3

D. 2?

【答案】B 【解析】取 AC 中点 H,连 OH,则 OH 垂直于平面 ABC,又 OA=3, 所 以 AC=2AH=CH=2× 3 2 ? =3 2 , 又 ?ABC ? 90 , BA ? BC , 2

O A

.
C

B

π BC=3,从而三角形 OBC 为正三角形,∠BOC=60°,所以球面距离为 l= ×3= ? . 3 54. 【2010·成都石室中学高三“三诊”模拟考试 】如图所示,在 正三棱锥 S—ABC 中,M、N 分别是 SC、BC 的中点,且 MN ? AM , 若侧棱 SA ? 2 3, 则正三棱锥 S—ABC 外接球的表面积是(
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A.12π 【答案】C

B.32π

C.36π

D.48π

【解析】因为 MN⊥AM,所以 SB⊥AM,又 SB⊥AC,所以侧面三角形为等腰直角三角形,所以 SA=SB=SC=2 3,所以 2R= 3×(2 3)=6,所以 S=π (2R) =36π . 55. 【河南省郑州市 2010 年高中毕业班第二次质量预测】过球的一条半径的中点作垂直于这 条半径的球的截面,则此截面面积是球表面积的( ) A.
2

1 16

B.

3 16

C.

1 12

D.

1 8

【答案】B 3 2 R) 2 3 S1 3 【解析】易求得截面圆半径为球半径的 倍,所以 = = . 2 2 S2 4π R 16 π( 56. 【2010·唐山三模】一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 4π ,则球的表面 积为( A.5π 【答案】C 【解析】截面圆的半径为 2,所以球半径 R= 1 +2 = 5,所以 S=20π . 57. 【2010·成都市第 37 中学五月考前模拟】如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长 为 1 的正方形,且 ?ADE 、?BCF 均为正三角形,EF∥AB, EF=2,则该多面体的体积为( )
E
F D A
2 2

) B.17π C.20π D.68π

C
B

2 A. 3

3 B. 3

4 C. 3

3 D. 2

【答案】A 【解析】 过 A、 B 两点分别作 AM、 BN 垂直于 EF, 垂足分别为 M、 N, 连结 DM、 CN, 可证得 DM⊥EF、 CN⊥EF , 多 面 体 ABCDEF 分 为 三 部 分 , 多 面 体 的 体 积 V 为

V ABCDEF ? VAMD? BNC ? VE ? AMD ? VF ? BNC , ∵ NF ?
BF ? 1 ,∴ BN ?

1 , 2 E

M

N

F

3 ,作 NH 垂直于点 H,则 H 为 BC 的中 2
A

D

C
H
B

点 , 则 NH ?

1 2 2 , ∴ S ?BNC ? ? BC ? NH ? , 2 4 2




1 2 VF ? BNC ? ? S ?BNC ? NF ? 3 24

VE ? AMD ? VF ? BNC ?

2 24



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VAMD? BNC ? S ?BNC ? MN ?

2 2 ,∴ V ABCDEF ? ,故选 A. 4 3

58.【2010·内蒙古赤峰市一模】四面体 ABCD 的外接球球心在 CD 上,且 CD=2, AB ? 3 .在 外接球球面上 A、B 两点间的球面距离是( A. )

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

【答案】C 【解析】由题意知半径 R=1,所以∠AOB=

2? 2? 2? ,从而球面距离为 l= ×1= . 3 3 3

59. 【2010·江西赣州十一县(市)第二学期期中联考】棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上,E、F 分别是棱 AB、 A1D1 的中点,则经过 E、F 的球截面的面 积最小值是( A. ? 【答案】C 【解析】当截面圆的圆心在直线 EF 上时,其面积最小.因为 EF= 可 求 得 球 心 O 到 直 线 EF 的 距 离 为 2 2 )= 4 3 2 2 2 ) -( ) = 2 4 6 , 2 ) B.

3 8

? 2

C. ?

5 8

D.

7 ? 8

2 ,所以截面圆的半径 4

r=

R -(

2

(

5 5 ,所以 S= ? . 8 8

60.【2010·上海文数】已知四棱椎 P ? ABCD 的底面是边长为 6 的正方形,侧棱 PA ? 底面

ABCD ,且 PA ? 8 ,则该四棱椎的体积是
【答案】96 【解析】考查棱锥体积公式 V ?

.

1 ? 36 ? 8 ? 96 . 3
2

61.【2010·湖南文数】图 2 中的三个直角三角形是一个体积为 20cm 的几何体的三视图,则 h= cm.

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【答案】4 62.【2010·浙江理数】若某几何体的三视图(单位:cm)如上图(右)所示,则此几何体的 体积是___________ cm . 【答案】144 【解析】图为一四棱台和长方体的组合体的三视图,由卷中所给公式计算得体积为 144,本题 主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算,属容易题. 63.【2010·辽宁理数】如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出了某多面体 的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为___ ___.
3

【答案】 2 3 【解析】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题,考查了同学们的识图能力以及由 三视图还原物体的能力.由三视图可知,此多面体是一个底面边长为 2 的正方形且有一条长为 2 的侧棱垂直于底面的四棱锥,所以最长棱长为 22 ? 22 ? 22 ? 2 3 . 64. 【2010· 江西理数】 如图, 在三棱锥 O ? ABC 中, 三条棱 OA ,OB ,

OC 两两垂直,且 OA > OB > OC ,分别经过三条棱 OA ,OB ,OC 作
一个截面平分三棱锥的体积, 截面面积依次为 S1 ,S2 ,S3 , 则 S1 ,S2 ,

S3 的大小关系为

.

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【答案】 S3 ? S2 ? S1 【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力,通过补形,借助长方体验证结论, 特殊化,令边长为 1,2,3 得 S3 ? S2 ? S1 . 65.【2010·北京文数】如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动.设顶点 p(x,y)的 纵坐标与横坐标的函数关系是 y ? f ( x) ,则 f ( x ) 的最小正周期为 其两个相邻零点间的图像与 x 轴 所围区域的面积为 . ? ?1 【答案】4 【解析】 “正方形 PABC 沿 x 轴滚动”包含沿 x 轴正方向和沿 x 轴 负方向滚动.沿 x 轴正方向滚动是指以顶点 A 为中心顺时针旋转, 当顶点 B 落在 x 轴上时,再以顶点 B 为中心顺时针旋转,如此继 续,类似地,正方形 PABC 可以沿着 x 轴负方向滚动. 66.【2010`四川理数】如图,二面角 ? ? l ? ? 的大小是 60°,线段 AB ? ? . B ? l , AB 与 ; y ? f ( x) 在

l 所成的角为 30°.则 AB 与平面 ? 所成的角的正弦值是

.

?
?
B

?A
?

?
?
B
D

?A
C
?

【答案】

3 4

【解析】过点 A 作平面 β 的垂线,垂足为 C,在 β 内过 C 作 l 的垂线.垂足为 D,连结 AD, 由三垂线定理可知 AD⊥l,故∠ADC 为二面角 ? ? l ? ? 的平面角,为 60°,又由已知,∠ABD =30°, 连结 CB, 则∠ABC 为 AB 与平面 ? 所成的角, 设 AD=2, 则 AC= 3 , CD=1, AB=

AD sin 300

=4,∴sin∠ABC=

AC 3 ? . AB 4

67.【2010·天津文数】一个几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的体积为 . 【答案】3 【解析】本题主要考查三视图的基础知识,和主题体积的 计算,属于容易题. 正视图和侧视图的高是几何体的高, 由俯视图可以确定几何体底面的形状, 本题也可以将几何 体看作是底面是长为 3,宽为 2,高为 1 的长方体的一半. 由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形, 则正视图和俯 视图可知该几何体的高为 1,结合三个试图可知该几何体 是底面为直角梯形的直四棱柱,所以该几何题的体积为
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1 (1+2) ? 2 ? 1=3 . 2
68.【2010·天津理数】一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 【答案】 .

10 3

【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体积 的计算,属于容易题 .利用俯视图可以看出几何体底面 的形状,结合正视图与侧视图便可得到几何体的形状, 求锥体体积时不要丢掉

1 哦.由三视图可知,该几何体 3

为一个底面边长为 1,高为 2 的正四棱柱与一个底面边 长为 2,高为 1 的正四棱锥组成的组合体,因为正巳灵 珠的体积为 2, 正四棱锥的体积为 ? 4 ? 1 ? 几何体的体积 V=2+

1 3

4 , 所以该 3

4 10 = . 3 3

69.【2010·湖北文数】圆柱形容器内盛有高度为 3cm 的水,若放入三个相 同的珠(球的半么与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如 图所示) ,则球的半径是__ __cm. 【答案】4
4 【解析】 设球半径为 r, 则由 3V球 ? V水 ? V柱 可得 3 ? ? r 3 ? ? r 2 ? 8 ? ? r 2 ? 6r , 3 解得 r=4.

70.【2010·湖南理数】图 3 中的三个直角三角形是一个体积为 20 cm 的几何体的三视图,则

3

h?

cm .

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71. 【 2010 ·福建理数】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示 , 则其表面积等 于 .

【答案】 6+2 3 【解析】本题考查立体几何中的三视图,考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力. 由正视图知:三棱柱是以底面边长为 2,高为 1 的正三棱柱,所以底面积为

2?

3 ? 4 ? 2 3 ,侧面积为 3 ? 2 ?1 ? 6 ,所以其表面积为 6+2 3 . 4

72. 【2010·甘肃省兰州市五月实战模拟】已知 S—ABC 是正四面体,M 为 AB 之中点,则 SM 与 BC 所成的角为 . 【答案】arccos 3 6

【解析】设正四面体边长为 1,取 AC 中点 N,则 MN∥BC,∠SMN 为异面直线 SM 与 BC 所成的 1 3 3 角或其补角,且 MN= ,SM=SN= ,由余弦定理可得 cos∠SMN= . 2 2 6 73. 【2010·石家庄市质量检测(二) 】如图,在底面边长为 2 的正三 棱柱 ABC-A1B1C1 中,若二面角 C1-AB-C 的大小为 60 ,则点 C 到平面 ABC1 的距离为 3 【答案】 2 【解析】过点 C 作 CD⊥AB 交 AB 于 D,连结 C1D,则由三垂线定理知∠CDC1 为二面角的平面角, 则∠CDC1=60°.过点 C 作 CH⊥C1D, 交 C1D 于 H, 则 CH⊥平面 ABC1, 故 CH 为所求, 在三角形 CC1D 3 中,CD= 3,从而 CC1=3,从而 CH= . 2 74. 【2010·云南曲靖一中高考冲刺卷六】正四面体 ABCD 外接球的体积为 4 3? ,则点 A 到平面 BCD 的距离为__________________. 4 3 【答案】 3
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0



【解析】V= 4 3? ,所以 R= 3,过 A 作 AH⊥平面 BCD,则垂足为底面中心,则 AH 为所求.又 4 4 3 由正四面体与外接球的关系知,AH= R= . 3 3 75. 【2010·上海市长宁区二模】 棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面 上,E、F 分别是棱 AA1、DD1 的中点,则直线 EF 被球 O 截得的线段长是_________. 【答案】 2a 【解析】由题意知球心为正方体对角线的中点,球半径为 3 a a,球心到直线 EF 的距离为 ,所 2 2

以直线 EF 被球 O 截得的线段长 l=2

(

3 2 a 2 a) -( ) = 2a. 2 2

76.【2010·邯郸市二模】三棱锥 A—BCD,AB=a,CD=b,∠ ABD=∠ BDC,M,N 分别为 AD,BC 的中 点,P 为 BD 上一点,则 MP+NP 的最小值是 . a+b 【答案】 2 【解析】如图,将三棱锥的两个侧面 ABD 与 BCD 展成一个平面, 由∠ABD=∠BDC 知此时 AB∥CD, 连接 MN 交 BD 于一点 P, 此即为最 a+b 小值点.此时,MN 为梯形 ABCD 的中位线,所以 MN= . 2 77.【2010·上海市普陀区四月调研】一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中 底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是 【答案】 3 4 . A N B P D M C

【解析】因为底面的三个顶点在该球的一个大圆上,所以底面边长为 a= 3,又顶点在球面上, 1 3 3 2 所以三棱锥的高为半径,所以 V= × ×( 3) ×1= . 3 4 4 78.【2010·甘肃省兰州市五月实战模拟】已知 S—ABC 是正四面体,M 为 AB 之中点,则 SM 与 BC 所成的角为 . 【答案】 arccos

3 6
3 3 .∠SMN= arccos 即 6 6

【解析】取 AC 中点 N,连结 SN,在三角形 SMN 中,易求得 cos∠SMN= 为所求.

79.【2010·上海市卢湾区 4 月高考模拟】若体积为 8 的正方体的各个顶点均在一球面上,则 该球的体积为 (结果保留 π ) .

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【答案】4 3π 【解析】因为正方体的体积为 8,所以边长为 2,又各个顶点在一球面上,所以正方体的体对 4 3 角线为球的直径,即 2R=2 3,所以 R= 3,所以 V 球= π R =4 3π . 3 80.【2010·浙江五校四月联考】四面体 ABCD 中,共顶点 A 的三条棱两两相互垂直,且其长 分别为 1, 6,3 ,若四面体的四个顶点同在一个球面上,则这个球的表面积为 【答案】 16? 【解析】由题可知该四面体内接于球,且球的直径为 2R= 1 +( 6) +3 =4,所以 S= 16? .
2 2 2

.

81. 【2010·上海市卢湾区 4 月模拟】在正四面体 ABCD 中,E、F 分别是 BC、AD 中点,则异面直线 AE 与 CF 所成的角是________________.(用反 三角值表示) 2 【答案】arccos 3 B E

A F M C D

【解析】如图所示,连结 DE,取 DE 中点 M,连结 CM,FM,则 FM∥AE,所以∠CFM 为异面直线 所成的角或其补角,设正四面体的棱长为 1,在三角形 CFM 中,CF= 2 弦定理,可求得 cos∠CFM= . 3 82. 【2010·年抚州市高三年级教学质量检测】 在矩形 ABCD 中,已知 AB ? 4 , BC ? 3 , 将 该 矩 形 沿 对 角 线 AC 折 成 直 二 面 角 D ? AC ? B , 则 四 面 体 ABCD 的 外 接 球 的 体 积 为 . 3 3 7 , FM= ,CM= ,由余 2 4 4

125? 【答案】 6
1 5 4 5 3 【解析】外接球的球心为对角线 AC 的中点,半径 r= AC= ,V= π ( ) = 2 2 3 2 83.【2010·上海文数】如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼, 先要制作 4 个全等的矩形骨架, 总计耗用 9.6 米铁丝, 再用 S 平 方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面). (1)当圆柱底面半径 r 取何值时, S 取得最大值?并求出该 最大值(结果精确到 0.01 平方米); (2)若要制作一个如图放置的,底面半径为 0.3 米的灯笼,请作 出用于灯笼的三视图(作图时,不需考虑骨架等因素).

125? 6 .

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解:(1) 设圆柱形灯笼的母线长为 l,则 l?1.2?2r(0<r<0.6),S??3?(r?0.4) ?0.48?,
2

所以当 r?0.4 时,S 取得最大值约为 1.51 平方米; (2) 当 r?0.3 时,l?0.6,作三视图略. 84. 【2010· 湖南文数】 如图所示, 在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点, (Ⅰ)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值; (Ⅱ)证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M1

85. 【 2010 · 浙 江 理 数 】 如 图 , 在 矩 形 ABCD 中 , 点 E , F 分 别 在 线 段 AB, AD 上 ,

A E ? E B? A F?

2 F D?4 . 沿 直 线 EF 将 3

V AEF 翻 折 成 V A' E F, 使 平 面

A' EF ? 平面BEF .
(Ⅰ)求二面角 A ? FD ? C 的余弦值;
'

(Ⅱ)点 M , N 分别在线段 FD, BC 上,若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折,使 C 与 A

'

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重合,求线段 FM 的长.

解:本题主要考察空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同事考 查空间想象能力和运算求解能力. (Ⅰ) 解: 取线段 EF 的中点 H, 连结 A H , 因为 A E = A F 及 H 是 EF 的中点, 所以 A H ? EF ,
' ' ' '

又因为平面 A EF ? 平面 BEF .如图建立空间直角坐标系 A-xyz,则 A (2,2, 2 2 ) ,C(10,
' '
?

8,0) ,F(4,0,0) ,D(10,0,0). 故 FA =(-2,2,2 2 ) , FD =(6,0,0). 设 n =(x,y,z)为平面 A FD 的一个法向量, -2x+2y+2 2 z=0 所以 6x=0. 取z?
?
'

'

?

2 ,则 n ? (0, ?2, 2) .

又平面 BEF 的一个法向量 m ? (0,0,1) ,故 cos? n, m? ?

nm 3 . ? n m 3

所以二面角的余弦值为

3 . 3

(Ⅱ)解:设 FM ? x, 则 M (4 ? x,0,0) ,因为翻折后, C 与 A 重合,所以 CM ? A ' M ,
2 2 故 (6 ? x)2 ? 82 ? 02 =(? 2 ? x) ,得 x ? ? 22 ? (2 2)

21 , 经检验,此时点 N 在线段 BC 4

上,所以 FM ? 方法二:

21 . 4

( Ⅰ ) 解 : 取 线 段 EF 的 中 点 H , AF 的 中 点 G , 连 结

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A ' G, A ' H , GH . 因 为 A ' E = A ' F 及 H 是 EF 的 中 点 , 所 以 A ' H ? EF , 又 因 为 平 面
A ' EF ? 平面 BEF ,所以 A ' H ? 平面 BEF ,又 AF ? 平面 BEF ,故 A ' H ? AF ,又因为

G 、 H 是 AF 、 EF 的中点,易知 GH ∥ AB ,所以 GH ? AF ,于是 AF ? 面 A ' GH ,
所以 ?A ' GH 为二面角 A '? DH ? C 的平面角,在 Rt A ' GH 中, A ' H = 2 2 , GH =2,

A ' G = 2 3 所以 cos ?A ' GH ?

3 3 .故二面角 A '? DF ? C 的余弦值为 . 3 3

(Ⅱ)解:设 FM ? x ,因为翻折后, C 与 A ' 重合,所以 CM ? A ' M , 而 CM 2 ? DC 2 ? DM 2 ? 82 ? (6 ? x)2 , A ' M ? A ' H ? MH ? A ' H ? MG ? GH
2 2 2 2 2 2

? (2 2)2 ,得 x ?

21 21 ,经检验,此时点 N 在线段 BC 上,所以 FM ? . 4 4

AC ? BC , AA1 ? AB , D 86.【2010·全国卷 2 理数】如图,直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,
为 BB1 的中点, E 为 AB1 上的一点, AE ? 3EB1 . (Ⅰ)证明: DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线; (Ⅱ)设异面直线 AB1 与 CD 的夹角为 45°,求二面角

A1 ? AC1 ? B1 的大小.
【解析】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解,考查考生的空间想象与推理计算 的能力. 解:解法一: (I)连接 A1B,记 A1B 与 AB1 的交点为 F.因为面 AA1BB1 为正方形,故 A1B⊥AB1,且 AF=FB1,又 AE=3EB1, 所以 FE=EB1, 又 D 为 BB1 的中点, 故 DE∥BF,DE⊥AB1.作 CG⊥AB, G 为垂足,由 AC=BC 知,G 为 AB 中点.又由底面 ABC⊥面 AA1B1B.连接 DG,则 DG∥AB1,故 DE⊥DG,由三垂线定理, 得 DE⊥CD.所以 DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线. (II) 因为 DG∥AB1, 故∠CDG 为异面直线 AB1 与 CD 的夹角, ∠CDG=45°, 设 AB=2, 则 AB1= DG= , CG= , AC= ,

.作 B1H⊥A1C1, H 为垂足, 因为底面 A1B1C1⊥面 AA1CC1, 故 B1H⊥面 AA1C1C.

又作 HK⊥AC1, K 为垂足, 连接 B1K, 由三垂线定理, 得 B1K⊥AC1, 因此∠B1KH 为二面角 A1-AC1-B1 的平面角.

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【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一,是高考的的热点,它是处理线线垂直问 题的有效方法,同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量,用向量代数 形式来处理立体几何问题,淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法,从而降低了思 维难度,使解题变得程序化,这是用向量解立体几何问题的独到之处. 87.【2010·陕西文数】如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形 PA⊥平面 ABCD,AP=AB, BP=BC=2,E,F 分别是 PB,PC 的中点. (Ⅰ)证明:EF∥平面 PAD; (Ⅱ)求三棱锥 E—ABC 的体积 V. 解:(Ⅰ)在△PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中点,∴EF∥BC.又 BC ∥AD,∴EF∥AD,又∵AD ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD,∴EF∥平面 PAD. (Ⅱ)连接 AE,AC,EC,过 E 作 EG∥PA 交 AB 于点 G,则 BG⊥平面 ABCD,且 EG=

1 2 PA.在△PAB 中,AD=AB, ? PAB°,BP=2,∴AP=AB= 2 ,EG= . 2 2 1 1 1 1 2 1 AB·BC= × 2 ×2= 2 ,∴VE-ABC= S△ABC·EG= × 2 × = . 2 2 3 3 2 3

∴S△ABC=

88.【2010·辽宁文数】如图,棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形, B1C ? A1B , (Ⅰ)证明:平面 AB1C ? 平面 A 1 BC1 ; (Ⅱ)设 D 是 AC 1 1 上的点,且 A 1B // 平面 B 1CD ,求 A 1 D : DC1 的值.

解: (Ⅰ)因为侧面 BCC1B1 是菱形,所以 B1C ? BC1 ,又已知 B1C ? A1 B, 且A1 B ? BC1 ? B ,
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所以 B1C ? 平面 A1BC1,又 B1C ? 平面 AB1C ,所以平面 AB1C ? 平面 A1BC1 . (Ⅱ)设 BC1 交 B1C 于点 E,连结 DE,则 DE 是平面 A1BC1 与平面 B1CD 的交线,因为 A1B//平面 B1CD,所以 A1B//DE.又 E 是 BC1 的中点,所以 D 为 A1C1 的中点.即 A1D:DC1=1. 89.【2010·辽宁理数】已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=?AB,N 为 AB 上一 点,AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点. (Ⅰ)证明:CM⊥SN; (Ⅱ)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.

证明:设 PA=1,以 A 为原点,射线 AB,AC,AP 分别为 x,y,z 轴正向建立空间直角坐标系如 图.则 P(0,0,1) ,C(0,1,0) ,B(2,0,0) ,M(1,0, (Ⅰ) CM ? (1, ?1, ), SN ? (? 因为 CM ? SN ? ? 所以 CM⊥SN. (Ⅱ) NC ? ( ?

1 1 1 ) ,N( ,0,0) ,S(1, ,0). 2 2 2

1 2

1 1 , ? , 0) , 2 2

1 1 ? ?0 ? 0, 2 2

1 ,1, 0) , 2

设 a=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量,

1 ? x ? y ? z ? 0, ? ? 2 令x ? 2,得a=(2,1,-2). 则? ?? 1 x ? y ? 0. ? ? 2 1 2 ? 2 ,所以 SN 与片面 CMN 所成角为 45°. 因为 cos a, SN ? 2 2 3? 2 ?1 ?
90.【2010·全国卷 2 文数】如图,直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中, AC=BC, AA 1 =AB, D 为 BB 1 的中点, E 为 AB 1 上的一点, AE=3 EB 1 (Ⅰ)证明:DE 为异面直线 AB 1 与 CD 的公垂线; (Ⅱ) 设异面直线 AB 1 与 CD 的夹角为 45°,求二面角 A 1 -AC 1 -B 1

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的大小. 【解析】本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础 知识.(1)要证明 DE 为 AB1 与 CD 的公垂线,即证明 DE 与它们都垂直,由 AE=3EB1,有 DE 与 BA1 平行,由 A1ABB1 为正方形,可证得,证明 CD 与 DE 垂直,取 AB 中点 F.连结 DF、FC,证 明 DE 与平面 CFD 垂直即可证明 DE 与 CD 垂直. (2)由条件将异面直线 AB1,CD 所成角找出即为 ? FDC,设出 AB 连长,求出所有能求出的边 长,再作出二面角的平面角,根据所求的边长可通过解三角形求得. 91.【2010·江西理数】如图△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形,平面 MCD ? 平面 BCD , AB ? 平面 BCD ,

AB ? 2 3 .
(1) 求点 A 到平面 MBC 的距离; (2) 求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值. 【解析】 本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形 的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角 平面角的判断有关知识, 同时也考查了空间想象能力和推 理能力. 解: (1)取 CD 中点 O,连 OB,OM,则 OB⊥CD, OM⊥CD.又平面 MCD ? 平面 BCD ,则 MO⊥平面 BCD , 所以 MO∥AB,A、B、O、M 共面.延长 AM、BO 相交于 E,则 ∠AEB 就是 AM 与平面 BCD 所成的角.OB=MO= 3 ,MO∥AB, MO//面 ABC,M、O 到平面 ABC 的距离相等,作 OH ? BC 于 H,连 MH,则 MH ? BC,求得: OH=OCsin60 =
0

2 15 3 15 ,MH= ,利用体积相等得: VA? MBC ? VM ? ABC ? d ? . 5 2 2

(2)CE 是平面 ACM 与平面 BCD 的交线.由(1)知,O 是 BE 的中点,则 BCED 是菱形. 作 BF⊥EC 于 F,连 AF,则 AF⊥EC,∠AFB 就是二面角 A-EC-B 的平面角,设为 ? .因为∠BCE= 120°,所以∠BCF=60°. BF ? BC ? sin 60 ? 3 , tan ? ? 所以,所求二面角的正弦值是

2 5 . 5

AB 2 5 ? 2 , sin ? ? BF 5

【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理,一般采用射影、垂线、平行线等特殊位 置的元素解决. 92. 【 2010·安徽文数】如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形, AB=2EF=2, EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H 为 BC 的中点, (Ⅰ)求证:FH∥平面 EDB; (Ⅱ)求证:AC⊥平面 EDB; (Ⅲ)求四面体 B—DEF 的体积.

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E

F

D

C

H A B

【解析】本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明,考查体积的计算等基 础知识,同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.(1)设底面对角线交点为 G,则 可以通过证明 EG∥FH,得 FH ∥平面 EDB ; (2)利用线线、线面的平行与垂直关系,证明 FH⊥平面 ABCD,得 FH⊥BC,FH⊥AC,进而得 EG⊥AC, AC ? 平面 EDB ; (3)证明 BF⊥平面 CDEF,得 BF 为四面体 B-DEF 的高,进而求体积.
(1)证:设AC与BD交于点G,则G为AC的中点,连EG , GH,由于H 为BC的中点,故 1 GH / / AB, 2 1 又EF / / AB,?四边形EFGH 为平行四边形 2 ? EG / / FH,而EG ? 平面EDB, ? FH / / 平面EDB

【规律总结】本题是典型的空间几何问题,图形不是规则的空间几何体,所求的结论是线面 平行与垂直以及体积,考查平行关系的判断与性质.解决这类问题,通常利用线线平行证明线 面平行,利用线线垂直证明线面垂直,通过求高和底面积求四面体体积. 93.【2010·重庆文数】如题(20)图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 底 面 ABCD , PA ? AB ? 2 ,点 E 是棱 PB 的中点. (Ⅰ)证明: AE ? 平面 PBC ; (Ⅱ)若 AD ? 1 ,求二面角 B ? EC ? D 的平面角的余弦值.

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94.【2010·重庆理数】如题(19)图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA ? 底面 ABCD, PA=AB= 6 ,点 E 是棱 PB 的中点. (I) 求直线 AD 与平面 PBC 的距离;

(II) 若 AD= 3 ,求二面角 A-EC-D 的平面角的余弦值.

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95.【2010·北京文数】如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直. EF//AC,AB= 2 ,CE=EF=1, (Ⅰ)求证:AF//平面 BDE; (Ⅱ)求证:CF⊥平面 BDF.

证明: (Ⅰ)设 AC 于 BD 交于点 G.因为 EF∥AG,且 EF=1,AG=

四边形,所以 AF∥EG,因为 EG ? 平面 BDE,AF ? 平面 BDE,所以 AF∥平面 BDE. (Ⅱ)连接 FG.因为 EF∥CG,EF=CG=1,且 CE=1,所以平行四边形 CEFG 为菱形.所以 CF⊥EG.因 为四边形 ABCD 为正方形,所以 BD⊥AC.又因为平面 ACEF⊥平面 ABCD,且平面 ACEF∩平面 ABCD=AC,所以 BD⊥平面 ACEF.所以 CF⊥BD.又 BD∩EG=G,所以 CF⊥平面 BDE. 96.【2010·北京文数】 设定函数 f ( x) ? 的两个根分别为 1,4. (Ⅰ)当 a=3 且曲线 y ? f ( x) 过原点时,求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 (??, ??) 无极值点,求 a 的取值范围. 解:由 f ( x) ?

1 AG=1,所以四边形 AGEF 为平行 2

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d (a 3

0) ,且方程 f ' ( x) ? 9 x ? 0

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d 得 f ?( x) ? ax2 ? 2bx ? c ,因为 3

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?a ? 2b ? c ? 9 ? 0 (*) f ?( x) ? 9x ? ax2 ? 2bx ? c ? 9x ? 0 的两个根分别为 1,4,所以 ? ?16a ? 8b ? c ? 36 ? 0
(Ⅰ)当 a ? 3 时,又由(*)式得 ?

?2b ? c ? 6 ? 0 ?8b ? c ? 12 ? 0

解得 b ? ?3, c ? 12 ,又因为曲线 y ? f ( x) 过原点,所以 d ? 0 ,故 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 12 x . (Ⅱ)由于 a>0, 所以“ f ( x) ?

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d 在( - ∞, + ∞)内无极值点”等价于 3

“ f ?( x) ? ax2 ? 2bx ? c ? 0 在(-∞,+∞)内恒成立”.由(*)式得 2b ? 9 ? 5a, c ? 4a . 又 ? ? (2b)2 ? 4ac ? 9(a ?1)(a ? 9) ,解 ? 得 a ??1,9? ,即 a 的取值范围 ?1,9? . 97.【2010·北京理数】如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF ∥AC,AB= 2 ,CE=EF=1. (Ⅰ)求证:AF∥平面 BDE; (Ⅱ)求证:CF⊥平面 BDE; (Ⅲ)求二面角 A-BE-D 的大小. 证明: (I) 设 AC 与 BD 交与点 G.因为 EF//AG,且 EF=1,AG=

?a ? 0 ?? ? 9(a ? 1)(a ? 9) ? 0

1 AC=1.所以四边形 AGEF 为平行 2

四边形.所以 AF//平面 EG,因为 EG ? 平面 BDE,AF ? 平面 BDE,所以 AF//平面 BDE. (II) (II)因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面相 互垂直,且 CE ? AC,所以 CE ? 平面 ABCD.如图,以 C 为原 点,建立空间直角坐标系 C- xyz .则 C(0,0,0) ,A( 2 ,

2 ,0) , B ( 0 , 2 , 0 ) . 所以 CF ? (

2 2 , ,1) , 2 2

BE ? (0, ? 2,1) , DE ? (? 2,0,1) .
所 以 CF BE? 0 ? 1 ? 1 ? 0, CF DE ? ?1 ? 0 ? 1 ? 0 , 所 以 C F ? B E, CF ? DE . 所 以

CF ? BDE.
(III) 由( II )知, CF ? (

2 2 , ,1) 是平面 BDE 的一个法向量 . 设平面 ABE 的法向量 2 2

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? ( x, y , z ) ( 2,0,0)?0 所以 x ? 0, 且 z ? 2 y, n ? ( x, y, z ) ,则 n BA ? 0 , n BE ? 0 .即 ? ? ( x, y , z ) (0,? 2,1)?0
令 y ? 1, 则 z ?

2 .所以 n ? (0,1, 2) .

从而 cos? n, CF ? ?

n CF 3 .因为二面角 A ? BE ? D 为锐角,所以二面角 A ? BE ? D ? | n || CF | 2

的大小为

? . 6

98.【2010·四川理数】已知正方体 ABCD-A'B'C'D'的棱长为 1,点 M 是棱 AA'的中点,点 O 是对角线 BD'的中点. (Ⅰ)求证:OM 为异面直线 AA'和 BD'的公垂线; (Ⅱ)求二面角 M-BC'-B'的大小; (Ⅲ)求三棱锥 M-OBC 的体积. 【解析】本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础 知识,并考查空间想象能力和逻辑推理能力,考查应用向量知识解决数学问题的能力. 解: (1)连结 AC,取 AC 中点 K,则 K 为 BD 的中点,连结 OK,因为 M 是棱 AA’的中点,点 O 是 BD’的中点,所以 AM //

1 DD ' //OK ,所以 MO // AK ,由 AA’ 2

⊥ AK ,得 MO⊥AA’,因为 AK⊥BD,AK⊥BB’,所以 AK⊥平面 BDD’B’,所以 AK⊥BD’,所以 MO⊥BD’,又因为 OM 是异面直 线 AA’和 BD’都相交,故 OM 为异面直线 AA'和 BD'的公垂线. (2)取 BB’中点 N,连结 MN,则 MN⊥平面 BCC’B’,过点 N 作 NH⊥BC’于 H,连结 MH,则由三垂线定理得 BC’⊥MH,从而,∠MHN 为 二 面 角 M-BC’-B’ 的 平 面 角 .MN=1,NH=Bnsin45 ° =

1 2 2 , 在 Rt △ MNH 中 , ? 2 2 4

tan∠MHN=

MN 1 ? ? 2 2 ,故二面角 M-BC’-B’的大小为 arctan2 2 . NH 2 4

(3)易知,S△OBC=S△OA’D’,且△OBC 和△OA’D’都在平面 BCD’A’内,点 O 到平面 MA’D’距离 h=

1 1 1 ,VM-OBC=VM-OA’D’=VO-MA’D’= S△MA’D’h= . 2 3 24

99.【2010·天津文数】如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ADEF 是正方形,FA⊥平面 ABCD, BC∥AD,CD=1,AD= 2 2 ,∠BAD=∠CDA=45°. (Ⅰ)求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值; (Ⅱ)证明 CD⊥平面 ABF; (Ⅲ)求二面角 B-EF-A 的正切值. 【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面 角等基础知识,考查空间想象能力,运算能力和推理论证能力.
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(I)解:因为四边形 ADEF 是正方形,所以 FA//ED.故 ?CED 为异面直线 CE 与 AF 所成的角. 因 为 FA ? 平 面 ABCD , 所 以 FA ? CD. 故 ED ? CD. 在 Rt △ CDE 中 , CD=1 , ED= 2 2 , CE= CD2 ? ED2 =3,故 cos ?CED =

ED 2 2 = .所以异面直线 CE 和 AF 所成角的余弦值为 CE 3

2 2 . 3
(Ⅱ)证明:过点 B 作 BG//CD,交 AD 于点 G,则 ?BGA ? ?CDA ? 45 .由 ?BAD ? 45 ,可得 BG ? AB,从而 CD ? AB,又 CD ? FA,FA ? AB=A,所以 CD ? 平面 ABF. (Ⅲ)解: 由 (Ⅱ) 及已知, 可得 AG= 2 , 即 G 为 AD 的中点.取 EF 的中点 N, 连接 GN, 则 GN ? EF, 因为 BC//AD,所以 BC//EF.过点 N 作 NM ? EF,交 BC 于 M,则 ?GNM 为二面角 B-EF-A 的平面 角 . 连接 GM ,可得 AD ? 平面 GNM, 故 AD ? GM. 从而 BC ? GM. 由已知,可得 GM= NG//FA,FA ? GM,得 NG ? GM.在 Rt△NGM 中,tan ?GNM ? 切值为

2 .由 2

GM 1 ? ,所以二面角 B-EF-A 的正 NG 4

1 . 4

E F 分别是棱 BC , CC1 上 100.【2010·天津理数】如图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, 、
的点, CF ? AB ? 2CE , AB : AD : AA1 ? 1: 2 : 4 (1) 求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值; (2) 证明 AF ? 平面

A1ED

(3) 求二面角 A1 ? ED ? F 的正弦值.

【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识,考查用

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空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 解: (1)解:设 AB=1,可得 AD=2,AA1=4,CF=1.CE=

1 ,连接 B1C,BC1,设 B1C 与 BC1 交于点 M, 2

易知 A1D∥B1C,由

CE CF 1 = = ,可知 EF∥BC1.故 ?BMC 是异面直线 EF 与 A1D 所成的角, CB CC1 4

易知 BM=CM=

1 BM 2 ? CM 2 ? BC 2 3 B1C= 5 ,所以 cos ?BMC ? ? ,所以异面直线 FE 与 2 2 BM CM 5

A1D 所成角的余弦值为

3 . 5

(2)证明:连接 AC,设 AC 与 DE 交点 N 因为

CD EC 1 ? ? ,所以 Rt ?DCE BC AB 2

Rt ?CBA ,

从而 ?CDE ? ?BCA ,又由于 ?CDE ? ?CED ? 90? ,所以 ?BCA ? ?CED ? 90? ,故 AC ⊥DE,又因为 CC1⊥DE 且 CC1 ? AC ? C ,所以 DE⊥平面 ACF,从而 AF⊥DE.连接 BF,同理可 证 B1C⊥平面 ABF,从而 AF⊥B1C,所以 AF⊥A1D 因为 DE ? A 1D ? D ,所以 AF⊥平面 A1ED (3)解:连接 A1N.FN,由(2)可知 DE⊥平面 ACF,又 NF ? 平面 ACF, A1N ? 平面 ACF,所以 DE⊥

R t? C N E NF,DE ⊥ A1N, 故 ?A 1 NF 为 二 面 角 A1-ED-F 的 平 面 角 , 易 知

R ?t C B A所 以 ,

CN EC 5 ? ,又 AC ? 5 所以 CN ? ,在 BC AC 5 Rt ?NCF中,NF ? CF 2 ? CN 2 ? 30 在Rt A1 AN中 NA1 ? 5
A1C12 ? C1 F 2 ? 14

A1 A2 ? AN 2 ?

4 30 5

连接 A1C1,A1F 在 Rt ?A1C1 F中,A1 F ?

在Rt ?A1 NF中, cos ?A1 NF ?

5 A1 N 2 ? FN 2 ? A1F 2 2 ? .所以 sin ?A1 NF ? 3 2 A1 N ? FN 3
5 3

所以二面角 A1-DE-F 正弦值为

101.【2010·广东理数】如图, ? ABC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径,点 E 为 ? AC 的中点,点 B 和点 C 为线段 AD 的三 等 分 点 . 平 面 AEC 外 一 点 F 满 足 FB ? DF? 5 a,

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FE= 6 a . (1)证明:EB⊥FD; (2)已知点 Q,R 分别为线段 FE,FB 上的点,使得 BQ ? 面 RQD 所成二面角的正弦值.

2 2 FE , FR ? FB ,求平面 BED 与平 3 3

(2)设平面 BED 与平面 RQD 的交线为 DG . 由 BQ=

2 2 FE,FR= FB 知, QR || EB . 3 3

而 EB ? 平面 BDF ,∴ QR || 平面 BDF , 而平面 BDF 平面 RQD = DG ,

∴ QR || DG || EB . 由(1)知, BE ? 平面 BDF ,∴ DG ? 平面 BDF , 而 DR ? 平面 BDF , BD ? 平面 BDF , ∴ DG ? DR, DG ? DQ , ∴ ? RDB 是平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的平面角. 在 Rt ?BCF 中, CF ?

BF 2 ? BC 2 ? ( 5a) 2 ? a 2 ? 2a ,

sin ?RBD ?

FC 2a 2 1 2 ? ? , cos ?RBD ? 1 ? sin ?RBD ? . BF 5a 5 5

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5 2 a? 3 5 ? 2 29 . sin ?RDB ? 29 29 a 3

故平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的正弦值是

2 29 . 29

102.【2010·全国卷 1 理数】如图,四棱锥 S-ABCD 中,SD ? 底面 ABCD,AB//DC,AD ? DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E 为棱 SB 上的一点, 平面 EDC ? 平面 SBC . (Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角 A-DE-C 的大小 .

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103. 【2010 山东理数】如图,在五棱锥 P—ABCDE 中,PA⊥平面 ABCDE, AB∥CD,AC∥ED,AE∥BC, ? ABC=45°,AB=2 2 ,BC=2AE=4,三角形 PAB 是等腰三角形. (Ⅰ)求证:平面 PCD⊥平面 PAC; (Ⅱ)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥 P—ACDE 的体积. 解: (Ⅰ)证明:因为 ? ABC=45 °, AB=2

2 , BC=4 ,所以在 ?ABC 中,由余弦定理得:

AC2 =(2 2)2 +42 -2 ? 2 2 ? 4cos 45 =8 ,解得 AC=2 2 ,
所以 AB +AC =8+8=16=BC ,即 AB ? AC ,又 PA⊥平面 ABCDE,所以 PA⊥ AB ,
2 2 2

又 PA ?AC ? A ,所以 AB ? 平面PAC ,又 AB∥CD,所以 CD ? 平面PAC ,又因为

CD ? 平面PCD ,所以平面 PCD⊥平面 PAC;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面 PCD⊥平面 PAC,所以在平面 PAC 内,过点 A 作 AH ? PC 于 H,则

AH ? 平面PCD ,又 AB∥CD,AB ? 平面 PCD 内,所以 AB 平行于平面 PCD ,所以点 A 到平
面 PCD 的距离等于点 B 到平面 PCD 的距离,过点 B 作 BO⊥平面 PCD 于点 O,则 ?PBO 为所 求角,且 AH=BO ,又容易求得 AH=2 ,所以 sin ?PBO= 与平面 PCD 所成角的大小为 30 ; (Ⅲ)由(Ⅰ)知 CD ? 平面PAC ,所以 CD ? AC ,又 AC∥ED,所以四边形 ACDE 是直角

1 ,即 ?PBO = 30 ,所以直线 PB 2

? 2 ? 3, 梯形,又容易求得 DE ? 2 ,AC= 2 2 ,所以四边形 ACDE 的面积为 ( 2 ? 2 2)
所以四棱锥 P—ACDE 的体积为 ? 2 2 ? 3 = 2 2 . 104. 【2010 江苏卷】如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥ DC,∠BCD=90 . (1)求证:PC⊥BC; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离. [解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几 何体的体积, 考查空间想象能力、 推理论证能力和运算能力.满分 14 分.
0

1 2

1 3

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解: (1)证明:因为 PD⊥平面 ABCD,BC ? 平面 ABCD,所以 PD⊥BC. 由∠BCD=90 ,得 CD⊥BC, 又 PD DC=D,PD、DC ? 平面 PCD,
0

所以 BC⊥平面 PCD. 因为 PC ? 平面 PCD,故 PC⊥BC. (2) (方法一)分别取 AB、PC 的中点 E、F,连 DE、DF,则: 易证 DE∥CB,DE∥平面 PBC,点 D、E 到平面 PBC 的距离相等. 又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍. 由(1)知:BC⊥平面 PCD,所以平面 PBC⊥平面 PCD 于 PC, 因为 PD=DC,PF=FC,所以 DF⊥PC,所以 DF⊥平面 PBC 于 F. 易知 DF=

2 ,故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 . 2
0 0

(方法二)体积法:连结 AC.设点 A 到平面 PBC 的距离为 h. 因为 AB∥DC,∠BCD=90 ,所以∠ABC=90 . 从而 AB=2,BC=1,得 ?ABC 的面积 S?ABC ? 1. 由 PD⊥平面 ABCD 及 PD=1,得三棱锥 P-ABC 的体积 V ? 因为 PD⊥平面 ABCD,DC ? 平面 ABCD,所以 PD⊥DC. 又 PD=DC=1,所以 PC ?

1 1 S ?ABC ? PD ? . 3 3

PD2 ? DC2 ? 2 .
2 . 2

由 PC⊥BC,BC=1,得 ?PBC 的面积 S?PBC ? 由 VA? PBC ? VP? ABC , S

1 3

PBC

?h ?V ?

1 ,得 h ? 2 , 3

故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 . 105 . 【2010·宁波市二模】如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为一直角梯形,其中

BA ? AD, CD? AD, CD ? AD ? 2 AB, PA ? 底面
ABCD , E 是 PC 的中点.
(1)求证: BE //平面 PAD ; (2)若 BE ? 平面 PCD , ①求异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值;

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②求二面角 E ? BD ? C 的余弦值. 解:设 AB ? a, PA ? b ,建立如图的空间坐标系, A(0,0,0), B(a,0,0) , P(0, 0, b) ,

b C ((2a, 2a,0), D(0, 2a,0) , E (a, a, ) . 2 b 1 1 (1) BE ? (0, a, ) , AD ? (0, 2a,0), AP ? (0,0, b) ,所以 BE ? AD ? AP , 2 2 2
BE ? 平面 PAD ,? BE / / 平面 PAD .
(2)

BE ? 平面 PCD ,? BE ? PC ,即 BE ? PC ? 0
2

b2 PC ? (2a, 2a, ?b) ,? BE ? PC ? 2a ? ? 0 ,即 b ? 2a . 2
① PD ? (0,2a,?2a), BC ? (a,2a,0) , cos ? PD, BC ??

4a 2 10 , ? 5 2 2a ? 5a

所以异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值为

10 ; 5

②平面 BDE 和平面 BDC 中, BE ? (0, a, a), BD ? (?a, 2a,0) BC ? (a, 2a,0) , 所以平面 BDE 的一个法向量为 n1 ? (2,1, ?1) ;平面 BDC 的一个法向量为 n2 ? (0,0,1) ;

cos ? n1 , n2 ??

?1 6 ,所以二面角 E ? BD ? C 的余弦值为 . 6 6
D1 C1

106. 【2010·上海市卢湾区 4 月二模】在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,

A1

AB ? BC ? 2 ,过 A1 、 C1 、 B 三点的平面截去长方体的一个角后,得到
1C 1D 1 ,且这个几何体的体积为 10 . 如图所示的几何体 ABCD ? A (1)求

D
A B

C

棱 A1 A 的长;

(2)若 A1C1 的中点为 O1 ,求异面直线 BO1 与 A1 D1 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) . 解: (1)设 A1 A ? h ,由题设

VABCD? A1C1D1 ? VABCD? A1B1C1D1 ? VB? A1B1C1 ? 10



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1 1 1 S ABCD ? h ? ? S?A1B1C1 ? h ? 10 2 ? 2 ? h ? ? ? 2 ? 2 ? h ? 10 3 3 2 得 ,即 ,解得 h ? 3 .
故 A1 A 的长为 3 . (6 分) (2)因为在长方体中 A1 D1 // BC ,所以 ?O1 BC 即为异面直线 BO1 与 A1 D1 所成的角(或其补 角) . (8 分)

11 O BC ? O BC O B ? O C ? 11 1 1 在△ 1 中,计算可得 1 ,则 的余弦值为 11 , arc cos 11 11 . (14 分)

故异面直线 BO1 与 A1 D1 所成角的大小为

107. 【2010·北京宣武一模】如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为 直角梯形, ?ABC ? ?BAD ? 90? , AD ? BC , E , F 分别为棱 AB , PC 的中点.⑴求证:
PE ? BC ;⑵求证: EF ∥平面 PAD .
P

A E B

F D

C

解:⑴∵ PA ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,∴ PA ? BC ,∵ ?ABC ? 90? ,∴ BC ? AB , ∴ BC ? 平面 PAB ,又 E 是 AB 中点,∴ PE ? 平面 PAB ,∴ BC ? PE . ⑵证明:取 CD 中点 G ,连结 FG , EG ,
P

A E B

F D G C

∵ F 为 PC 中点,∴ FG ∥ PD .∵ FG ? 平面 PAD , PD ? 平面 PAD ,∴ FG ∥ 平面 PAD ; 同理, EG ∥ 平面 PAD .∵ FG EC ? G ,∴平面 EFG ∥ 平面 PAD .∴ EF ∥平面 PAD .

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108 .【 2010· 广 东 省 四 月 调 研 】 在 直 四 棱 柱

ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 2 ,底面是边长为 1 的正
方形, E 、 F 分别是棱 B1B 、 DA 的中点. (Ⅰ)求二面角 D1 ? AE ? C 的大小; (Ⅱ)求证:直线 BF // 平面 AD1E . 解:(Ⅰ)以 D 为坐标原点,DA、DC、DD1 分别为 X、Y、 Z 轴建立空间直角坐标系如图. 则相应点的坐标分别为 D1 (0,0, 2) , A(1, 0, 0) , A

D1

C1 B1

A1

E D F B C

C (0,1, 0)



E (1,1,1)





ED1 ? (0,0, 2) ? (1,1,1) ? (?1, ?1,1)


AE ? (1,1,1) ? (1,0,0) ? (0,1,1) , AC ? (0,1,0) ? (1,0,0) ? (?1,1,0)

设平面 AED1 、平面 AEC 的法向量分别为 m ? (a, b,1), n ? (c, d ,1) , D1 由?

C1 B1

? ? ED1 m ? 0 ? ? AC n ? 0

??a ? b ? 1 ? 0 ? a ? 2 ?? ?? , b ? 1 ? 0 b ? ? 1 AE m ? 0 ? ? ? ? ??c ? d ? 0 ? c ? ?1 ?? ?? , d ? 1 ? 0 d ? ? 1 AE n ? 0 ? ? ? ?

A1

由?

E D C

F mn ?2 ? 1 ? 1 ∴ m ? (2, ?1,1), n ? (?1, ?1,1) ,∴ cos ? m, n ?? ? ?0 | m| | n| 6? 3 A ∴二面角 D1 ? AE ? C 的大小为 90 .
0

B

方法二:

AA1 ? 2 , ∴ AD1 ? A1 A2 ? A1 D12 ? 5 ,同理 AE ? 2, D1E ? 3

∴ AD12 ? D1E 2 ? AE 2 ,∴ D1E ? AE 同理可证 D1E ? CE 又 AC

AE ? A , AC ? 面 AEC , AE ? 面 AEC

∴ D1E ? 面 AEC

D1

?????5 分

C1

∵ D1 E ? 平面 AED1 ,∴平面 AED1 ? 平面 AEC , ∴二面角 D1 ? AE ? C 的大小为 90 .
0

A1
G

B1

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E D F C

(Ⅱ)证明:取 DD1 的中点 G ,连接 GB, GF

? E , F 分别是棱 BB1 , AD 中点
∴ GF ∥ AD1 , BE / / D1G且BE ? D1G , ∴四边形 BED1F 为平行四边形,∴ D1E / / BF , 又 D1E, D1 A ? 平面AD1E , BG, GF ? 平面AD1E ∴ BG / /平面AD1E , GF / / 平面 AD1E , ∵ GF , GB ? 平面BGF ,∴平面 BGF // 平面 AD1E ∵ BF ? 平面AD1E ,∴直线 BF // 平面 AD1E ,

(或者:建立空间直角坐标系,用空间向量来证明直线 BF // 平面 AD1E ,亦可.) 109. 【2010·东城一模】三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,CC1 ? 平面 ABC , ?ABC 是边长为 2 的等边 三角形, D 为 AB 边中点,且 CC1 ? 2 AB . ⑴求证:平面 C1CD ? 平面 ABC ; ⑵求证: AC1 ∥平面 CDB1 ;
C B D A C1 A1 B1

⑶求三棱锥 D ? CBB1 的体积. 解:⑴因为 CC1 ? 平面 ABC ,又 CC1 ? 平面 C1CD ,

C1

B1 A1 O

所以平面 C1CD ? 平面 ABC . ⑵证明:连结 BC1 交 B1C 于 O ,连结 DO ,则 O 是 BC1 的中点, DO 是
?BAC1 的中位线. 所以 DO ∥ AC1 . 因为 DO ? 平面 CDB1 , 所以 AC1 ∥平
C

B D A

面 CDB1 ; ⑶因为 CC1 ? 平面 ABC ,所以 BB1 ? 平面 ABC ,所以 BB1 为三棱锥 D ? CBB1 的高.
1 1 1 3 2 3 VD ?CBB1 ? VB1 ?CBD ? S?BCD ? BB1 ? ? ? ? 22 ? 4 ? . 3 3 2 4 3

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所以三棱锥 D ? CBB1 的体积为

2 3 . 3

110. 【2010·石家庄市质检(二) 】如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为矩形,PA=AD=1,AB=2,且 PA⊥平面 ABCD,E,F 分别为 AB,PC 的中点. (I)求证:EF⊥PD; (II)求二面角 C-PD-E 的大小.

解:法一: (Ⅰ) 取 PD 的中点 M ,连结 AM 、 FM . 因为 E、F 分别为 AB,PC 的中点. 所以 AE 平行且等于

1 1 CD , FM 平行且等于 CD ,所以四边形 AEFM 为平行四边形, 2 2
则 EF//AM. 又 PA ? 平面 ABCD,PA=AD,

所以在等腰 Rt ?PAD 中, AM ? PD , 所以 EF ? PD . (Ⅱ)连结 ME. 因为底面 ABCD 为矩形,所以 CD ? DA ,

因 为 PA ? 平 面 A B C D, 所 以 CD ? PA . 又 FM//CD, 所 以 FM ? 平 面 PAD , 则

F M ? P D.

可知 PD ? 平面 EM ,所以 ?EMF 为二面角 C ? PD ? E 的平面

角.由 FM ? 平面 PAD , 可 知 F M?

t A M , 四 边 形 AEFM 为 矩 形 . 那 么 在 R ?

E F中 M,

t a? n EMF ?

EF 2 2 ? ,二面角 C—PD—E 的大小为 arctan .. FM 2 2


法二: (Ⅰ)建立如图所示的坐标系,因为 E、F 分别为 AB,PC 的中点,

E (1,0,0) ,

1 1 F (1, , ) 2 2 , P(0,0,1) , D(0,1,0) .那么 EF ? PD ? (0, 1 , 1 ) ? (0,1,?1) ? 0 . 2 2

所以 EF ? PD . (Ⅱ)由图可知 C (2,1,0) ,

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则 CD(?2,0,0) , PE ? (1,0, ?1) , PD ? (0,1, ?1) . 设平面 PED 的一法向量为 n ? ( x, y, z ) 则?

? ?n ? PE ? 0; ? ?n ? PD ? 0.

因此 ?

? x ? z ? 0; ? y ? z ? 0.

取 z ? 1 ,则 n ? (1,1,1)

1 1 EF ? (0, , ) 2 2 , EF ? CD ? 0 ,所以 EF ? CD , EF ? 平面 PCD . 又
则 EF 为平面 PCD 的一法向量. 所以 cos ? n, EF ??

n ? EF | n | ? | EF |

?

1 3? 1 2

?

6 3

所以所求二面角 C ? PD ? E 的大小 arccos

6 . 3

?ABC ? 60? ,PA ? 111. 【2010·海淀一模】 如图: 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, 平面 ABCD ,点 M 、 N 分别为 BC 、 PA 的中点,且 PA ? AB ? 2 .
P

N

A

B

M

C

(I)证明: BC ? 平面 AMN ; (II)求三棱锥 N ? AMC 的体积; (III)在线段 PD 上是否存在一点 E ,使得 NM ∥ 平面 ACE ;若存在,求出 PE 的长;若不 存在,说明理由. 解: (Ⅰ)因为 ABCD 为菱形,所以 AB ? BC ,又 ?ABC ? 60? ,所以 AB ? BC ? AC , 又 M 为 BC 中点,所以 BC ? AM ,而 PA ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,所以 PA ? BC , 又 PA AM ? A ,所以 BC ? 平面 AMN
1 1 3 AM ? CM ? ? 3 ? 1 ? ,又 PA ? 底面 ABCD , PA ? 2 ,所以 AN ? 1 , 2 2 2 1 3 3 1 ?1 ? 所以,三棱锥 N ? AMC 的体积 V ? S?AMC ? AN ? ? 3 2 6 3 (III)存在,取 PD 中点 E ,连结 NE , EC , AE ,因为 N , E 分别为 PA 、 PD 中点,所以 1 1 NE ∥ AD 且 NE ? AD ,又在菱形 ABCD 中, CM ∥ AD , CM ? AD ,所以 NE ∥ MC , 2 2 NE ? MC ,即 MCEN 是平行四边形,所以 NM / / EC ,又 EC ? 平面 ACE , NM ? 平面 ACE ,

(II)因为 S ?AMC ?

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1 所以 MN / / 平面 ACE , 即在 PD 上存在一点 E , 使得 NM ∥ 平面 ACE , 此时 PE ? PD ? 2 . 2
112. 【2010·吉林市下学期期末质量检测】已知四棱锥 S—ABCD 中, ?SAD 是边长为 2 的正 三角形,平面 SAD⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为菱形, ?DAB ? 60? ,O 为 AD 的中点,Q 为 SB 的中点,H 为 OQ 的中点. (1)求证:OQ//平面 SCD; (2)求二面角 D—OC—Q 的余弦值; (3)证明:在 ?AOB 内存在一点 M,使 HM ? 平面QOC.

C

解: (1)取 SC 中点 R,连接 QR,DR,由题意知

OD // BC , OD ?

1 1 BC , QR // BC , QR ? BC , QR // OD, QR ? OD , 所以 OQ//DR, 又 OQ ? 2 2

平面 SCD,DR ? 平面 SCD,所以 OQ//平面 SCD; (2)连结 SO,BO,在 ?OAB 中, OB ? OA ,又因为平面 SAD ? 平面 ABCD, 所以 OS⊥AD,所以 OS⊥平面 ABCD 所以 OA,OB,OS 两两垂直, 如图,建系 O(0,0,0), S (0,0, 3 ), B(0, 3,0), C (?2, 3,0)Q(0,

3 3 , ) 2 2

平面 OCD 的法向量为 OS ? (0,0, 3) ,设 n ? ( x, y, z) 为平面 OQC 的一个法向量

? 3 3 ? y? z?0 n ?OS 2 22 ?n ? OQ ? 0 ? ? 得? 2 由? 取 z=1 得, cos ? n, OS ?? 2 11 | n | ? | OS | ? ?n ? OC ? 0 ?? 2 x ? 3 y ? 0 ?
面角 D—OC—Q 的余弦值为 ?

,二

2 11 ; 11 3 3 3 3 , ), HM ? ( x, y ? ,? ) 4 4 4 4

(3)设点 M ( x, y,0) , H (0,

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? 3 3 3 ? x ? (? )(? ) ? ? 2 4 8, HM ? 平面QOC, 所以? ?y ? 3 ? 3 ? 3 ? 4 4 2 ?

? ?x ? 0 ? ? 在 ?AOB 内部区域满足不等式组 ? y ? 0 ,经检验 M 坐标满足 ? y ?x ? ?1 ? 3 ?
在 ?AOB 内存在一点 M,使 HM ? 平面 QOC; 113. 【2010·西城一模】 在四棱锥 P ? ABCD 中, 侧面 PCD ? 底面 ABCD ,PD ? CD ,E 为 PC 中点,底面 ABCD 是直角梯形, AB ∥ CD , ?ADC =90°, AB ? AD ? PD ? 1, CD ? 2 . ⑴求证: BE ∥ 平面 PAD ; ⑵求证: BC ? 平面 PBD ; ⑶设 Q 为侧棱 PC 上一点, PQ ? ? PC ,试确定 ? 的值,使得二面角 Q ? BD ? P 为 45°.
P E D C

A

B

1 解:⑴取 PD 的中点 F ,连结 EF , AF ,因为 E 为 PC 中点,所以 EF ∥ CD ,且 EF ? CD ? 1, 2 在梯形 ABCD 中, AB ∥ CD , AB ? 1 ,所以 EF ∥ AB , EF ? AB ,四边形 ABEF 为平行四边 形,所以 BE ∥ AF , BE ? 平面 PAD , AF ? 平面 PAD ,所以 BE ∥平面 PAD . ⑵平面 PCD ? 底面 ABCD , PD ? CD ,所以 PD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? AD .如图,以 D 0 ) B(1, 1, 0) , C (0, 2, 0) , 为原点建立空间直角坐标系 D? xyz . 则 A( 1 , 0 , ,
P(0, 0, 1) . DB ? (1, 1, 0), BC ? (?1, 1, 0) .所以 BC ? DB ? 0, BC ? DB .又由 PD ? 平面
ABCD ,可得 PD ? BC ,所以 BC ? 平面 PBD .

⑶ 平 面 PBD 的 法 向 量 为 BC ? (?1, 1, 0) , PC ? (0, 2, ? 1), PQ ? ? PC , ? ? (0, 1) , 所 以
Q( 0 , 2 ? , ? 1 ? ,设平面 ) QBD 的法向量为 n ? (a , b , c) ,
P z Q F D
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?a ? b ? 0 由 n ? DB ? 0 , n ? DQ ? 0 , 得 ? 1? c ? ) ?2?b ? ( ?

, 所 以 0

E y C

A x

B

2? ? n ? BC ? n ? ? ?1, 1, ? ? ,所以 cos 45? ? ? ?1? ? | n || BC |

2 2? 2?( 2? 2 ) ? ?1

?

2 ,注意到 ? ? (0 , 1),得 2

? ? 2 ?1 .
114. 【2010·绵阳南山中学五月考热身考试】在三棱锥 P ? ABC 中,?PAC 和 ?PBC 是边长 为 2 的等边三角形, AB ? 2 , O 是 AB 中点. (Ⅰ)在棱 PA 上求一点 M ,使得 OM ∥平面 PBC ; (Ⅱ)求证:平面 PAB ⊥平面 ABC ; (Ⅲ)求二面角 P ? BC ? A 的余弦值. 解: (Ⅰ)当 M 为棱 PA 中点时, OM ∥平面 PBC . 证明如下:

M , O 分别为 PA, AB 中点, ? OM ∥ PB

又 PB ? 平面 PBC , OM ? 平面 PBC

? OM ∥平面 PBC .
(Ⅱ)连结 OC , OP ,

AC ? CB ? 2 , O 为 AB 中点, AB ? 2 ,
PO ⊥
AB


?OC ⊥ AB

, OC ? 1 . 同 理 ,

PO ? 1 . 又

PC ? 2 ,? PC 2 ? OC 2 ? PO2 ? 2 , ??POC ? 90 . ? PO ⊥ OC .
PO ⊥ OC , PO ⊥ AB , AB ? OC ? O , ? PO ⊥平面 ABC .
? 平面 PAB ⊥平面 ABC ;
(Ⅲ)如图,建立空间直角坐标系 O ? xyz . 则 B(1, 0, 0) , C (0,1, 0) , P(0, 0,1) ,? BC ? (?1,1,0) , PB ? (1,0, ?1) . 由(Ⅱ)知 OP ? (0,0,1) 是平面 ABC 的一个法向量. 设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

PO ? 平面 PAB

则?

? ?n ? BC ? 0

?? x ? y ? 0 ?? .令 z ? 1 ,则 x ? 1, y ? 1 , ? ?n ? PB ? 0 ? x ? z ? 0

? 平面 PBC 的一个法向量 n ? (1,1,1) .

? cos ? OP, n ??

OP ? n 1 3 . ? ? 3 | OP | ? | n | 1? 3

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二面角 P ? BC ? A 的平面角为锐角,? 所求二面角 P ? BC ? A 的余弦值为

3 . 3

115. 【2010·巢湖市期末质检】如图,已知正方形 ABCD 的边长为 1,
FD ? 平面ABCD ,EB ? 平面ABCD ,FD ? BE ? 1,M 为

BC 边上的动点.

(Ⅰ)证明: ME∥平面 FAD ; (Ⅱ)试探究点 M 的位置,使 平面AME⊥平面AEF . 解:(I) ∵ FD ? 平面ABCD, EB ? 平面ABCD 又 AD∥ BC 且 AD FD ? D , BC
ME ? 平面EBC BE ? B ∴ FD∥ EB

∴ 平面FAD∥平面EBC ,

∴ ME∥平面FAD .

??????????6 分

(Ⅱ)以 D 为坐标原点,分别以 DA, DC , DF 所在直线为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标 D ? xyz , 依题意,得 D(0, 0, 0), A(1, 0, 0), F (0, 0,1), C (0,1, 0), B(1,1, 0), E (1,1,1) 设 M (? ,1, 0) , 平 面 AEF 的 法 向 量 为 n1 ? ? x ,1y , z 1? ,1 平 面 A M E 的 法 向 量 为
n2 ? ? x2 , y2 , z2 ?
? ?y ? z ? 0 ?n ? AE ? 0 取 z1 ? 1 AE ? (0,1,1), AF ? (?1,0,1) ,∴ ? 1 ∴ ? 1 1 ? z1 ? x1 ? 0 ? ?n1 ? AF ? 0

得 x1 ? 1, y1 ? ?1 ∴ n1 ? ?1, ?1,1? 又
?n ? AE ? 0 ? AM ? (? ? 1,1,0), AE ? (0,1,1) ,∴ ? 2 ∴ ?n2 ? AM ? 0 ? ? ? y2 ? z2 ? 0 ? ? ? x2 ? ? ? 1? ? y2 ? 0

取 x2 ? 1 得 y2 ? 1 ? ? , z2 ? ? ? 1 ∴ n2 ? ?1,1 ? ?, ? ?1? 若平面 AME ? 平面 AEF ,则 n1 ? n2 , ∴ n1 ? n2 ? 0 ,∴ 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 0 ,解得 ? ? 此时 M 为 BC 的中点.所以当 M 在 BC 的中点时, 平面AME⊥平面AEF . 116. 【2010·丰台一模】如图,在底面是正方形的四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 面 ABCD , BD 交 AC 于点 E , F 是 PC 中点, G 为 AC 上一点. (I)求证: BD ? FG ; (II)确定点 G 在线段 AC 上的位置,使 FG //平面 PBD ,并说明理由.
1 , 2

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P

F

A E G B C

D

P

【解答】 (I)∵ PA ? 面 ABCD ,四边形 ABCD 是正方形,其对角线 BD 、 AC 交于点 E ,∴ PA ? BD , AC ? BD .∴ BD ? 平面 APC , ∵ FG ? 平面 PAC ,∴ BD ? FG 3 (II)当 G 为 EC 中点,即 AG ? AC 时, FG ∥ /平面 PBD ,理由 4 如下:连结 PE ,由 F 为 PC 中点, G 为 EC 中点,知 FG ∥ PE , 而 FG ? 平面 PBD , PB ? 平面 PBD ,故 FG //平面 PBD . 117. 【2010·崇文一模】 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱与底面垂

F

A E G B C

D

A

?ABC ? 90 , AB ? BC ? BB1 ? 2 , M , N 分别是 AB , 直, A1C

M B C

的中点. ⑴求证: MN ∥ 平面 BCC1 B1 ; ⑵求证: MN ? 平面 A1 B1C ; ⑶求三棱锥 M ? A1 B1C 的体积. 解 : ⑴ 连 结 BC1 , AC1 , ∵ M , N 是 AB , A1C 的 中 点 , ∴ MN ∥ BC1 . 又∵ MN ? 平面 BCC1 B1 , ∴ MN ∥ 平面 BCC1 B1 . ⑵∵三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱与底面垂直,∴四边形 BCC1 B1 是 正 方 形 . ∴ BC1 ? B1C . ∴ MN ? B1C . 连 结 A1 M, C M, ?AMA1 ? ?AMC . ∴ A1M ? CM , 又 N 中 A1C 的 中 点 , ∴ MN ? A1C .∵ B1C 与 A1C 相交于点 C ,∴ MN ? 平面 A1 B1C .

N

A1 B1 C1

⑶ 由 ⑵ 知 MN 是 三 棱 锥 M ? A1 B1C 的 高 . 在 直 角 ?MNC 中 , M C ? 5 , A , ? 2 3 1 C 1 4 ∴ MN ? 2 .又 S A1B1C ? 2 2 . VM ? A1B1C ? MN ? S A1B1C ? . 3 3 118 . 【 2010· 海 淀 一 模 】 如 图 , 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , 侧 面 AA1C1C ? 底 面 ABC , AA1 ? A1C ? AC ? 2 , AB ? BC ,且 AB ? BC , O 为 AC 中点. ? 平面 ABC ; (Ⅰ)证明: AO 1 (Ⅱ)求直线 A1C 与平面 A1 AB 所成角的正弦值;

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解: (Ⅰ)证明:因为 A1 A ? AC ,且 O 为 AC 的中点,所以 AO ? AC .又由题意可知,平面 1 1 AA1C1C ? 平面 ABC ,交线为 AC ,且 AO ? 平面 AA1C1C ,所以 AO ? 平面 ABC . 1 1 (Ⅱ)如图,以 O 为原点, OB , OC , OA1 所在直线分别为 x , y , z 轴建立空间直角坐标 系 . 由 题 意 可 知 , , 又 A1 A ? A1C ? AC ? 2 1 A ?B , B ? C ∴ OB A ? B , AC ? B1 . C 所以得: O ? 0 , 0 , 0? , A? 0 , ? 1 , 0? , 2
A1 0 , 0 , 3 , C ? 0 , 1 , 0 ? , C1 0 , 2 , 3
A1C ? 0 , 1 ?,

?

?

?

3 AA ? ? 0 , 1 , ?,
1

? ? , B ?1 , 0 , 0? , 则 有 : 3 ? , AB ? (1 , 1 , 0) . 设平面 AA B 的一
1

? ?n ? AA1 ? 0 ? ? y ? 3z ? 0 个法向量为 n ? ? x , y , z ? ,则有 ? ,令 y ? 1 ,得 ?? ? x? y?0 ? n ? AB ? 0 ? ?
x ? ?1



z??

3 3





? n?? ? ?1 ?

?

n ? A1C 21 3? ? , .因为直线 A1C 与平面 A1 AB 所成角 ? 和 . ,cos ? n , A1C ?? 1 ? ? 7 3 ? | n || A1C |

21 . 7 119. 【2010·湖北省武汉市四月调研测试】在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ACB=90°,AC=BC=1,

向量 n 与 A1C 所成锐角互余,所以 sin ? ?

侧棱 AA1= 2 ,M,N 分别为棱 AA1、BC 的中点,点 P 在边 A1B1 上,且 A1P=2PB1. (1)求证:MN⊥AP; (2)求二面角 M—AN—P 的正切值. 解: (1)过点 N 作 NH⊥AB 于 H,连结 MN. ∵ABC—A1B1C1 为直三棱柱,且 NH⊥AB, ∴NH⊥面 ABB1A1, ∴MH 为 MN 在面 ABB1A1 内的射影,且 AH=

3 2 4

AH 3 ? , AM 2 AA 3 在Rt ?AA1 P中, tan ?APA1 ? 1 ? , A1 P 2 在Rt ?MAH中, tan ?AMH ? ??AMH ? ?APA1 , ?A1 AP ? ?AMH ? ?A1 AP ? ?APA1 ? 90 , ? MH ? AP.
由三垂线定理知 MN⊥AP. (2)取 B1C1 的中点 D,连结 DN、DA1 过点 P 作 PF⊥AD 于 E,过 E 作 EF⊥AN 于 F,连结 PF, 由三垂线定理知:∠PFE 为二面角 M—AN—P 的平面角.

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在?A1 B1 D中, cos ?B1 A1 D ?

A1 B12 ? A1 D 2 ? B1 D 2 3 10 ? , 2 A1 B1 ? A1 D 10 2 5 , 15

在Rt ?PEA1中, PE ? A1 P ? sin ?B1 A1 D ? 2 5 PE 10 ? tan ?PFE ? ? 15 ? . EF 15 2
故二面角 M—AN—P 的正切值为

10 . 15
F

120. 【2010·湖北省普通高等学校招生全国统一考试模拟训 练(二) 】如图,矩形 ABCD 和直角梯形 BEFC 所在平面 互相垂直, ∠BCF=90°, BE∥CF, CE⊥EF, AD= 3 , EF=2. (1)求异面直线 AD 与 EF 所成的角; (2)当二面 角 D—EF—B 的大小为 45°时,求二面角 A—EC—F 的 大小. 解: ( 方 法 一) ( 1 )作 EM⊥CF 于 M, 则 EM∥BC∥AD, 计 0 算:∠MEF=30 ,即为所求. 0 0 (2)当二面角 D—EF—B 的大小为 45 ,即∠DEC=45 .计 算:CE=CD=AB= 2 3 . 作 BN⊥CE 于 N,则∠ANB 即为二面角 A—EC—F 的平面角的补角,计算:BN= E

B

C D

A

3 , 2

tan∠ANB=

AB 4 3 4 3 ? , ∴二面角 A—EC—F 的大小为 ? ? arctan . BN 3 3
C ? xyz.

(方法二)如图,以点 C 为坐标原点,以 CB,CF 和 CD 分别为作 x 轴,y 轴和 z 轴,建立 空间直角坐标系

设AB ? a, BE ? b, CF ? c, (b ? c) 则C (0,0,0), A( 3,0, a), B( 3,0,0), E ( 3, b,0),
F (0, c,0), D(0,0, a)
(I) DA ? ( 3,0,0),CB ? ( 3,0,0), FE ? ( 3, b ? c,0), 由 | FE |? 2, 得3 ? (b ? c) ? 4,?b ? c ? ?1.
2

所以 FE ? ( 3,?1,0).
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所以 cos ? DA, FE ??

DA ? FE | DA | ? | FE |

?

3 3?2

?

3 , 2

所以异面直线 AD 与 EF 成 30° ( II ) 当 二 面 角 D—EF—B 的 大 小 为 45 , 即 ∠DEC=45 . 设
0

n ? (1, y, z)为平面AEC的法向量 , 则n ? AE ? 0, n ? EC ? 0 , 求 得 n ? (1,?
又因为 BA⊥平面 BEFC, BA ? (0,0,1), 所以 cos ? n, BA ?

3 1 ,? ). 3 2
所以二

n ? BA | n | ? | BA |

??

57 19

面角 A—EC—F 的大小为 ? ? arccos

57 19

121. 【2010·江西省重点中学第二次联考】在右图所示的多面体中, 下部 ABCD ? A B C D
' ' '

'

为正方体, 点 P 在 DD 的延长线上,且 PD ? D D , M 、 N 分别为
' ' '

?PA B 和 ?PB C 的
' '

P

'

'

重心. (1)已知 R 为棱 PD 上任意一点,求证: MN ∥ 面 RAC ; (2)求二面角 M ? BC ? D 的大小. 解:连 PM 并延长交 A?B ? 于点 E ,连 PN 并延长交 B?C ? 于点 F ,则易知,
A' M N D' B' C'

R

E 、 F 分别为 A?B ? 、 B?C ? 的中点,连 A?C ? 、 EF ,则 EF //A?C ? , MN //EF , D
∴ MN //A?C ? ∴ MN //AC ,又 A?C ?//AC ,
A B

C

MN ? 面 ACR
面 ACR

? MN //面ACR

P

AC ?
D′ M N F B′ C′

(2)取 AB 的中点 G ,连 EG 、 DG ,则得直角梯形 PDGE 及面 PDGE ? 面 BCDG ,交线为 DG 过 M 作 MH ? DG 于点 H ,则 MH ? 面 BCDG 过 H 作 HQ ? BC 于 Q ,连 MQ ,则 MQ ? BC ∴ ?HQM 为二面角 M — BC — D 的平面角,
A R D H G E

C B Q

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设正方体的棱长为 a ,易求: MH ? ∴ tan ?HQM ?

4 2 a , HQ ? a 3 3

MH ?2 HQ

∴ ?HQM ? arctan 2

二面角 M — BC — D 的大小为 arctan 2 . 122. 【2010·邯郸市高三摸底考试】如图,四面体 ABCD 中, O 是 BD 的中点, ?ABD 和

?BCD 均为等边三角形, AB ? 2, AC ? 6 .
(I)求证: AO ? 平面 BCD ; (Ⅱ)求二面角 A ? BC ? D 的余弦值; (Ⅲ)求点 O 到平面 ACD 的距离. 解:法一(I)连结 OC , ?ABD 和 ?CBD 为等边三角形, O 为 BD 的中点, O 为 BD 的中点, A ? AO ? BD , CO ? BD ,又 AB ? 2, AC ? 6 , ? AO ? CO ? 3 , D O B E C

在 ?AOC 中,

AO2 ? CO2 ? AC 2 ,

??AOC ? 90? ,即 AO ? OC
BD OC ? O ,∴ AO ? 平面 BCD ;
(Ⅱ)过 O 作 OE ? BC 于 E , 连结 AE ,

AO ? 平面 BCD ,

? AE 在平面 BCD 上的射影为 OE , ? AE ? BC ??AEO 为二面角 A ? BC ? D 的平面角. , 在 Rt?AEO 中,

AO ? 3, OE ?

3 AO 5 , tan ?AEO ? ? 2, cos ?AEO ? , 2 OE 5 5 5


? 二面角

A ? BC ? D 的余弦值为

(Ⅲ)设点 O 到平面 ACD 的距离为 h ,

VO? ACD ? VA ?OCD ,

1 1 ? S ?ACD ? h ? S ? OCD ? AO , 3 3
2

在 ?ACD 中, AD ? CD ? 2, AC ? 6 ,

S?ACD

? 6? S?OCD 3 15 1 15 , 而 AO ? 3, S?OCD ? , ? h ? ? AO ? ? 6 ? 22 ? ? ? ? ? 2 ? 2 S?ACD 5 2 2 ? ?

? 点 O 到平面 ACD 的距离为

15 . 5

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法二: (I)同解法一??????????????????????4 分 (Ⅱ)以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系, z ?O(0, 0, 0), A(0, 0, 3) ? 则? A

? ? B(0, ?1, 0), C ( 3, 0, 0), D(0,1, 0) AO ? 平面 BCD ,

y D O B C

? 平面 BCD 的法向量 AO ? (0,0, 3) ????6 分

x

设平面 ABC 的法向量 n ? ( x, y, z)

AB ? (0, ?1, ? 3), BC ? ( 3,1,0)
由?

? ?n ? AB ? 0

? ?? y ? 3 z ? 0 ?? ? n ? (1, ? 3,1) ?n ? BC ? 0 ? ? 3x ? y ? 0 ?
n ? AO 5 ? 5 | n | ? | AO |

设 n 与 AO 夹角为 ? ,则 | cos ? |?

∴二面角 A ? BC ? D 的余弦值为

5 .????????8 分 5

(Ⅲ)设平面 ACD 的法向量为 m ? ( x, y, z ), 又 DA ? (0, ?1, 3), DC ? ( 3, ?1,0)

? ?m ? DA ? 0 ? ? y ? 3z ? 0 ?? ? m ? (1, 3,1) ????10 分 ? ?m ? DC ? 3x ? y ? 0 ? ?
设 OA 与 m 夹角为 ? , 则 cos ? ?

m ? OA 5 ? 5 | m | ? | OA |

设 O 到平面 ACD 的距离为 h ,

h 5 15 15 ? ?h? ,? O 到平面 ACD 的距离为 ??12 分 OA 5 5 5

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123 . 【 2010·江西省抚州市第二次质检】在斜三棱柱

ABC ? A 1B 1C 1 中, AB ? BC ? 2 ,

A AA1 与底面 ABC 成 60 0 角, ?ABC ? 1200 , 又顶点 1 在底面 ABC 上的射影落在 AC 上, 侧棱
D 为 AC 的中点.
(1)求证:

BD ? AA1 ; A1 ? BD ? C1 为直二面角,

(2)如果二面角 试求侧棱 解:

CC1 与侧面 A1 ABB1 的距离.

? BA ? BC ? ? ? ? ? BD ? AC ? D为AC的中点? ? ? ? 平面A1 ACC1 ? 底面ABC ? ? BD ? 平面A1 ACC1 ? ? ? ? BD ? AA1 ? 平面A1 ACC1 ? 底面ABC ? AC ? ? ? ? ? ? AA1 ? 平面A1 ACC1 ? ? ⑴

(2) 故

?A1DC1 为二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角,

?A1DC1 ? 900 ,又 ?A1 AD 为 AA1 与底面
0

ABC 所成的角,从而 ?A1 AD ? 60 ,设侧棱
长为 a ,由于

AC ? AB2 ? BC2 ? 2 AB ? BC cos1200 ? 2 3 ,


A1 D 2 ? a 2 ? AD 2 ? 2a ? AD cos 600 ? a 2 ? 3 ? 2 3a ?

1 ? a 2 ? 3a ? 3 2 ,类似地

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2 2a2 ? 6 ? 2 3 DC12 ? a2 ? 3a ? 3 .在 Rt ?A1DC1 中, A1D2 ? DC12 ? AC 1 1 ,即

?

?

2

?a? 3.
这样

?A1 AD 为等边三角形,取 AD 的中点 O ,以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系.易知

3 3 3 3 3 3 3 A1 (0,0, ), A(0, ? ,0), B(1, ,0) A1 A ? (0, ? , ? ), A1B ? (1, ,? ) 2 2 2 2 2 2 2 ,设面 ,故

? 3 3 y? z ?0 ?? ? 2 2 ? ?x ? 3y ? 3 z ? 0 ? A1 ABB1 的 法 向 量 为 n ? ( x, y, z) , 2 2 ,则 ? , 可 取 n ? ( 3?
C (0,

3,1 )又 ,

3 3 ,0) A1 ABB1 的 距 离 为 2 , CB ? (1, ? 3,0) , 故 点 C 到 侧 面

d?

CB ? n n

?

3?3 13

?

6 13 13

,而

CC1 // 侧 面 A1 ABB1 , 故 CC1 与 侧 面 A1 ABB1 的 距 离 为

6 13 13 .
124. 【2010·湖北省襄樊五中5月调研】如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2点E 在棱AB上移动. (1)证明:D1E⊥A1D; (2)若E为AB中点,求E到面ACD1的距离; (3)AE等于何值时,二面角D1—EC—D的大小为

? . 4

解:法一: (1) AE ? 平面AA1D1D, A1D ? AD1 ,?D1E ? A1D.
1 的距离为h,由题设可得 (2)设点E到平面 ACD

AC ? CD1 ? 5, AD1 ? 2,
DD1 ? AA1 ? 1. 算得

3 1 S?AD 1C ? , S?ACE ? , S?ABC ? 2S?ACE . 2 2

1 1 1 ?VD1? ABC ? DD1 ? S?ABC ? h ? S?AD1C , h ? . 3 3 3 则

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(3)过D作 DH ? CE ,垂足为H,连 D1H , DE , 则 D1H ? CE ,

??DHD1 为二面角 D1 ? EC ? D 的平面角.

设 AE ? x, BE ? 2 ? x ,在直角 ?DHD1 中,

?DHD1 ?

?
4

,?DH ? 1.

2 在直角 ?ADE 中, DE ? 1 ? x ,?在直角 ?DHE 中, EH ? x. 2 在直角 ?DHC 中, CH ? 3 ,在直角 ?CBE 中, CE ? x ? 4 x ? 5,

? x ? 3 ? x 2 ? 4 x ? 5 ? x ? 2 ? 3.
因为以上各步步步可逆,所以当 AE ? 2 ? 3 时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为 4 法二:以DA,DC,DD1建立空间坐标系,设 AE ? x ,有

?

.

A1 (1,0,1), D1 (0,0,1), E (1, x,0), A(1,0,0), C (0,2,0),
(1)因为 DA1 ? D1E ? (1,0,1) ? (1, x, ?1) ? 0 ,所以, DA1 ? D1E. (2)E是AB中点,有 E(1,1,0), D1 E ? (1,1, ?1), AC1 ? (?1,2,0), AD1 ? (?1,0,1) ,

? ? n ? AC ? 0 ? ? a ? 2b ? 0 , ? ? ? n ? AD1 ? 0 ?a ? c ? 0 设平面 ACD1 的法向量为 n ? ( a, b, c ), 则 ? 也即 ? ,

?a ? 2b | D E?n| 1 d? 1 ? . ? a ? c 3 ACD n ? (2,1,2) | n | ? 1 得 ,从而 ,点E到平面 的距离
(3)设平面 D1EC 的法向量为 n ? (a, b, c), CE ? (1, x ? 2,0), D1G ? (0,2, ?1),
? ?n ? D1C ? 0 ?2b ? c ? 0 ?? . ? DD1 ? (0,0,1). 由 ? ?a ? b( x ? 2) ? 0 令 b ? 1 ,得 c ? 2, a ? 2 ? x, ?n ? CE ? 0

则 n ? (2 ? x,1, 2), 于是

cos

?
4

?

n ? DD1 2 2 2 ? ? ? . 2 | n | ? | DD1 | 2 ( x ? 2)2 ? 5

. ? x1 ? 2 ? 3 (不合,舍去) , x2 ? 2 ? 3
即 AE ? 2 ? 3 时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为 4

?

.

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125. 【2010·内蒙古赤峰市一模】如图,平面 EAD ? 平面 ABCD, ?AED 为正三角形,四边 形 ABCD 为矩形,F 是 CD 中点,EB 与平面 ABCD 成 30°角. (1)当 AD 长度为何值时,点 A 到平面 EFB 的距离为 2? (2)二面角 A—BF—E 的大小是否与 AD 的长度有关?请说明. 解:法一: (1)设 AD ? a ,过点 E 向 AD 引垂线交 AD 于点 O,

? 平面 EAD ? 平面 ABCD,
且 EO ?

3 a, 2

连结 OB,OF,

则 ?EBO ? 30?, OB ?

3 a, EB ? 3a 2

1 1 3 6 3 ? AB ? 2a , VE ? ABF ? ? ? 2a ? a ? a? a 3 2 2 12 ? FB ? EF ?
3 6 a, BF ? EF, ? S ?BEF ? a 2 ,又?VE ? ABF ? V A? EFB 4 2


?a ? 6,? AD ? 6
(2)? OF ?

3 a, OF 2 ? BF 2 ? OB 2 2

? ?OFE 为二面角 A—BF—E 的平面角, ? tan ?OFE ? 1 即 ?OFE ? 45? ,故与 AD 无关 12 分
法二: (1)取 AD 的中点 O,连结 OE、OB, 则 EO ? AD , EO ? 平 面 ABCDD , 于 是 ?EBO ? 30
0

, 设 AD ? 2 a , 则

EO ? 3a, AB ? 2 2a, OB ? 3a ,建立如图所示的直角坐标系,
则 A(a,0,0), B(a,2 2a,0), E(0,0, 3a), F (?a, 2a,0)

? EF ? (?a,2 2a,? 3a), EB ? (a,2 2a,? 3a), AE ? (?a,0, 3a).
? 可求得平面 EFB 的法向量 m ? (1,? 2,? 3),| m |? 6 ,?
(2)平面 ABCD 的一个法向量 n ? (0,0,1)

| m ? AE | ? 2,? AD ? 6. |m|

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设二面角 A—BF—E 的大小为 ? ,cos ? ?

| m?n | 2 ? | m|?| n | 2

? AD 长度不影响二面角 A—BF—E 的大小 12 分

126. 【2010·河南省郑州市第二次质量预测】

如图 1,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠BAD

=90°,AB=2,AD=3,CD=1,点 E、F 分别在 AD、BC 上,且 AE= 将此梯形沿 EF 折至使 AD= 3 的位置(如图 2) . (Ⅰ)求证:AE⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求点 B 到平面 CDEF 的距离; (Ⅲ)求直线 CE 与平面 BCF 所成角的正弦值.

1 1 AD,BF= B C.现 3 3

解: (I)由题意: AE ? 1, DE ? 2, AD ? 3 ,

? ?EAD ? 90 ,即 EA ? AD ,
又 EA ? AB , AB ? AD ? A ,

? AE ? 平面 ABCD .????3 分
(Ⅱ)作 AK ? DE 于点 K ,

1 1 AD, BF ? BC , 3 3 ? AB / / EF . 又 AB ? 平面 CDEF , EF ? 平面 CDEF , ? AB / / 平面 CDEF . 故点 A 到平面 CDEF 的距离即为点 B 到平面 CDEF 的距离.????5 分 AE ?
由图 1, EF ? AE, EF ? ED, ED ? EA ? E ,
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? EF ? 平面 AED , AK ? 平面 AED , ? AK ? EF ,又 AK ? DE,DE ? EG=E . ? AK ? 平面 CDEF . 故 AK 的长即为点 B 到平面 CDEF 的距离.????7 分
在 Rt ADE 中, AK ?

3 , 2 3 .????8 分 2

所以点 B 到平面 CDEF 的距离为

(用等体积法做,可根据实际情况分步给分) (Ⅲ)以点 A 为坐标原点,建立如图空间直角坐标系, 则 B(0, 2, 0), C ( 3,1, 0), E (0, 0,1), F (0, ,1) ,

5 3

1 BF ? (0, ? ,1), BC ? ( 3, ?1, 0), CE ? (? 3, ?1,1) , 3
设平面 BCF 的法向量 n ? (1, y, z) , 由?

? ? BF ? n ? 0

? ? BC ? n ? 0 记直线 CE 与平面 BCF 所成的角为 ? ,
5 3 | CE ? n | 65 3 ? ? 则 sin ? ? . 13 | CE | ? | n | 13 ? 3 ? 5 3
所以,直线 CE 与平面 BCF 所成角的正弦值为

得 n ? (1, 3,

3 ). 3

65 . 13

127. 【2010·河北省邯郸市二模】如图所示,在正三棱柱

ABC ? A1B1C1 中,底面边长为 a ,
C1 D A1 C B1

2 a AC 侧棱长为 2 , D 是棱 1 1 的中点.
(Ⅰ)求证: BC1 // 平面 AB1D ; (Ⅱ)求二面角 A 1 ? AB 1 ? D 的大小; (Ⅲ)求点 C1 到平面 AB1D 的距离.

A

B

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E, 解:(Ⅰ) 连结 A 1B 与 AB1 交于
则E 为A 1B 的中点,

D 为 AC DE 为 ?A1BC1 的中位线,? BC1 // DE . 又 1 1 的中点, ?

DE ? 平面 AB1D , BC1 ? 平面 AB1D ? BC1 //平面 AB1D ;
(Ⅱ)解法一:过 D 作 DF ? A1B1 于 F ,由正三棱柱的性质可知,

DF ? 平面 AB1 ,连结 EF, DE ,在正 ?A1 B1C1 中, ? B1 D ?

3 3 A1 B1 ? a, 2 2

在直角三角形 AA 1 D 中,? AD ?

AA12 ? A1 D 2 ?

3 a, ? AD ? B1 D. ? DE ? AB1 , 2

由三垂线定理的逆定理可得 EF ? AB1 .则 ? DEF 为二面角 A1 ? AB1 ? D 的平面角, 又得 DF ?

3 a, 4

? ?B1 FE ∽ ?B1 AA1 ,?
∴ ?DEF ?

EF B1E 3 ? ? EF ? a AA1 A1B1 4

?
4

.故所求二面角 A1 ? AB1 ? D 的大小为

? .; 4

解法二: (向量法) 建立如图所示空间直角坐标系,则 A(0,?

1 a,0), 2
D

z
C1 B1
E A

1 2 3 2 1 2 B1 (0, a, a), C1 (? a,0, a), A1 (0,? a, a) 2 2 2 2 2 2 D(? 3 1 2 a , ? a, a). 4 4 2 2 3 3 a), B1 D ? (? a,? a,0) . 2 4 4

A1
C

? AB1 ? (0, a,

O

B

y

x

设 n1 ? ( x, y, z) 是平面 AB1 D 的一个法向量,则可得

? 2 ? 2 ay ? az ? 0 ? ? n ? AB ? 0 z?0 ?y ? ? 1 ? 1 2 ,所以 ? 即? 取 2 ? 3 3 ? ? ?? ?n1 ? B1 D ? 0 ax ? ay ? 0 ? x ? 3 y ? 0 ? 4 ? 4
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y ? 1 可得 n1 ? (? 3,1,? 2 ).
又平面 AB1 的一个法向量 n2 ? OC ? (?

3 则 a,0,0), 设 n1与n2的夹角是 ?, 2

cos? ?


n1 ? n2 n1 ? n2

?

2 . 又知二面角 A1 ? AB1 ? D 是锐角,所以二面角 A1 ? AB1 ? D 的大小 2

? .; 4

h ; 因 AD2 ? DB12 ? AB1 2 , 所 以 AD ? DB ( Ⅲ ) 设 求 点 C1 到 平 面 AB 1 D的 距 离 1 ,故

1 3 3 1 3 2 S?ADB1 ? ( a)2 ? a 2 ,而 S?C1B1D ? S?A1B1C1 ? a , 2 2 8 2 8
由 VC1 ? AB1D ? VA?C1B1D ? S?AB1D ? h ?

1 3

1 6 S?C1B1D ? AA1 ? h ? a. 3 6

128 . 【 2010· 年 广 东 省 四 月 调 研 】 在 直 四 棱 柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 2 ,底面是边长为 1 的正 方形, E 、 F 分别是棱 B1B 、 DA 的中点. (Ⅰ)求二面角 D1 ? AE ? C 的大小; (Ⅱ)求证:直线 BF // 平面 AD1E . 解:(Ⅰ)以 D 为坐标原点,DA、DC、DD1 分别为 X、Y、 Z 轴建立空间直角坐标系如图. 则相应点的坐标分别为 D1 (0,0, 2) , A(1, 0, 0) ,

D1

C1 B1

A1

E D F A B C

C (0,1, 0) , E (1,1,1) ,
∴ ED1 ? (0,0, 2) ? (1,1,1) ? (?1, ?1,1)

AE ? (1,1,1) ? (1,0,0) ? (0,1,1) , AC ? (0,1,0) ? (1,0,0) ? (?1,1,0)
? ? ED1 m ? 0 ? AC n ? 0 ? ??a ? b ? 1 ? 0 ? a ? 2 ?? ?? , ? b ?1 ? 0 ?b ? ?1 ? ? AE m ? 0 ??c ? d ? 0 ? c ? ?1 ?? ?? , d ? 1 ? 0 d ? ? 1 AE n ? 0 ? ? ? ?

设平面 AED1 、平面 AEC 的法向量分别为 m ? (a, b,1), n ? (c, d ,1) , 由?

由?

∴ m ? (2, ?1,1), n ? (?1, ?1,1) ,∴ cos ? m, n ?? ∴二面角 D1 ? AE ? C 的大小为 90 .
0

mn ?2 ? 1 ? 1 ? ?0 | m| | n| 6? 3

方法二:

AA1 ? 2 , ∴ AD1 ? A1 A2 ? A1 D12 ? 5 ,同理 AE ? 2, D1E ? 3

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∴ AD12 ? D1E 2 ? AE 2 ,∴ D1E ? AE 同理可证 D1E ? CE 又 AC

AE ? A , AC ? 面 AEC , AE ? 面 AEC
0

∴ D1E ? 面 AEC

∵ D1 E ? 平面 AED1 ,∴平面 AED1 ? 平面 AEC , ∴二面角 D1 ? AE ? C 的大小为 90 . (Ⅱ)证明:取 DD1 的中点 G ,连接 GB, GF

D1

C1

A1
G

B1

? E , F 分别是棱 BB1 , AD 中点 ∴ GF ∥ AD1 , BE / / D1G且BE ? D1G ,
∴四边形 BED1F 为平行四边形,∴ D1E / / BF 又 D1E, D1 A ? 平面AD1E , BG, GF ? 平面AD1E ∴ BG / /平面AD1E , GF / / 平面 AD1E ∵ GF , GB ? 平面BGF ,∴平面 BGF // 平面 AD1E ∵ BF ? 平面AD1E ,∴直线 BF // 平面 AD1E A F

E D C

B

(或者:建立空间直角坐标系,用空间向量来证明直线 BF // 平面 AD1E ,亦可.) 129. 【2010·湖南师大附中三月模拟仿真(一) 】 如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC= 90°,CD∥AB,AB=2, AD=CD=1.将△ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,如 图 2. (I)求证:BC⊥AD; (II)设 M 为线段 AB 的中点,直线 AD 与平面 CDM 所成的角 为 θ ,求 sinθ 的值. 解: (I)在 Rt△ADC 中,因为 AD=CD=1,则 AC= 2 . 在图 1 中,取 AB 的中点 M,则四边形 AMCD 为正方形,从而 CM⊥AB,所以 BC=AC= 2 又 AB=2,则 AC +BC =AB ,所以 AC⊥BC. 因为平面 ADC 上平面 ABC,且平面 ADC ? 平面ABC ? AC, BC ? 平面ABC 所以 BC ? 平面 ADC, 故 BC ? AD (II)法 1:过点 A 作 AE⊥平面 CDM,垂足为 E,连结 DE, 则∠ADE 为直线 AD 与平面 CDM 所成的角,即∠ADE=θ . 取 AC 的中点 O,连结 DO,MO,则 DO⊥AC,MO∥BC. 因为平面 ADC⊥平面 ABC,则 DO⊥平面 ABC 因为 DO ? 则 DM ?
2 2 2



1 2 1 2 AC ? , MO ? BC ? , 2 2 2 2

DO2 ? MO 2 ? 1, 又CM ? CD ? 1, 则?CMD 为正三角形
1 3 1 S ?CMD ? AE . 3

由 VD ? AMC ? V A?CMD , 得 S ?AMC ? DO ?

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1 2 2 ? 2? ? S ?AMC ? DO 2 2 2 ? 6. ? 所以 AE ? S ?CMD 3 1 3 ?1? 1? 2 2
在 Rt?AED中, sin ? ?

AE 6 ? . AD 3

法 2:取 AC 的中点 O,连结 DO,MO,则 DO⊥AC,MO∥BC. 因为平面 ADC⊥平面 ABC,则 DO⊥平面 ABC,因为 AC⊥BC,则 AC⊥OM. 如图所示建立空间直角坐标系, 则点 A(

2 2 2 2 ,0,0), M (0, ,0), C (? ,0,0), D(0,0, ). 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,0, ), CM ? ( , ,0), CD ? ( ,0, ). 2 2 2 2 2 2
n ? CM ? 0 n ? CD ? 0

所以 AD ? (?

设 n ? ( x, y, z ) 为平面 CDM 的一个法向量,则

, 即

2 2 x? y?0 2 2 . 2 2 x? z?0 2 2

取 x ? ?1, 则 n ? (?1,1,1).

于是 cos(

?
2

??) ?

AD ? n AD n

?

6 6 ,即sin ? ? . 3 3

130. 【2010·铜鼓中学三月模拟】如图,平面 VAD⊥平面 ABCD,△VAD 是等边三角形,ABCD 是矩形,AB∶AD= 2 ∶1,F 是 AB 的中点.

(1)求 VC 与平面 ABCD 所成的角; (2)求二面角 V-FC-B 的度数; (3)当 V 到平面 ABCD 的距离是 3 时,求 B 到平面 VFC 的距离.
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解: (甲)取 AD 的中点 G,连结 VG,CG.

(1)∵ △ADV 为正三角形,∴ VG⊥AD. 又平面 VAD⊥平面 ABCD.AD 为交线, ∴ VG⊥平面 ABCD,则∠VCG 为 CV 与平面 ABCD 所成的角. 设 AD=a,则 VG ? 在 Rt△GDC 中,

3 a , DC ? 2a . 2

a2 3 GC ? DC ? GD ? 2a ? ? a. 4 2
2 2 2

在 Rt△VGC 中, tan?VCG ? 即 VC 与平面 ABCD 成 30°. (2)连结 GF,则 GF ?
2 2

VG 3 . ? GC 3



?VCG ? 30? .

AG 2 ? AF 2 ?
2

3 a. 2



FC ? FB2 ? BC 2 ?

6 a. 2

在△GFC 中, GC ? GF ? FC .

∴ GF⊥FC.

连结 VF,由 VG⊥平面 ABCD 知 VF⊥FC,则∠VFG 即为二面角 V-FC-D 的平面角. 在 Rt△VFG 中, VG ? GF ?

3 a. 2

∴ ∠VFG=45°. 二面角 V-FC-B 的度数为 135°. (3)设 B 到平面 VFC 的距离为 h,当 V 到平面 ABCD 的距离是 3 时,即 VG=3. 此时 AD ? BC ? 2 3 , FB ? ∴

6 , FC ? 3 2 , VF ? 3 2 .
S ?BFC ? 1 FB ? BC ? 3 2 . 2 1 ?VG ? S ?FBC ? 1 ? h ? S ?VFC . ∴ 3 3

1 S ?VFC ? VF ? FC ? 9 , 2


VV ?FCB ? VB?VCF ,



1 1 ? 3? 3 2 ? ? h? 9 . 3 3


h? 2

即 B 到面 VCF 的距离为 2 .

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? 1 A1 BC 1 D 1 131 . 【 2010· 上 海 市 卢 湾 区 4 月 高 考 模 拟 】 在 长 方 体 A B C D 中,
D1

A B ? B C? 2 ,过 A1 、C1 、 B 三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几
1 1D 1 ,且这个几何体的体积为 10 . 何体 ABCD ? AC

C1

A1

(1)求棱 A1 A 的长; (2)求点 D 到平面 A1BC1 的距离. 解: (1)设 A1 A ? h ,由题设

D

C
B

VABCD? A1C1D1 ? VABCD? A1B1C1D1 ? VB? A1B1C1 ? 10



A

1 1 1 S ABCD ? h ? ? S?A1B1C1 ? h ? 10 2 ? 2 ? h ? ? ? 2 ? 2 ? h ? 10 3 3 2 得 ,即 ,解得 h ? 3 .
故 A1 A 的长为 3 . (2)以点 D 为坐标原点,分别以 DA , DC , DD1 所在的直线为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间 直角坐标系. 由已知及(1) ,可知 D(0,0,0) , A1 (2,0,3) , B(2, 2,0) , C1 (0, 2,3) , 设平面 A1BC1 的法向量为 n ? (u, v, w) ,有 n ? A1B , n ? C1B ,

? ?n ? A1 B ? 0, ?2v ? 3w ? 0, 3 3 ? ? v? w u? w n ? C1 B ? 0, ?2u ? 3w ? 0. ? C B ? (2,0, ? 3) A B ? (0,2, ? 3) ? 1 1 2 , 2 , 其中 , , 则有 即 解得
取 w ? 2 ,得平面的一个法向量 n ? (3,3,2) ,且 | n |? 22 . 在 平 面 A1BC1 上 取 点 C1 , 可 得 向 量 DC1 ? (0,2,3) , 于 是 点 D 到 平 面 A1BC1 的 距 离

d?

| n ? DC1 | |n|

?

6 22 11 .

132. 【2010·北京市海淀区高三第二学期期末练习】已知四棱锥 P—ABCD,底面 ABCD 为矩形, 侧棱 PA⊥底面 ABCD,其中 BC=2AB=2PA=6,M,N 为侧棱 PC 上的两个三等分点,如图所示. (Ⅰ)求证:AN//平面 MBD; (Ⅱ)求异面直线 AN 与 PD 所成角的余弦值; (Ⅲ)求二面角 M-BD-C 的余弦值. 解: (Ⅰ)连结 AC 交 BD 于 O ,连结 OM , 底面ABCD为矩形 , ? O为AC中点 , M 、N 为侧棱PC的三等分点 , ? CM ? MN ,

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? OM // AN , OM ? 平面MBD, AN ? 平面MBD ,

? AN / / 平面MBD . (Ⅱ)如图所示,以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz ,

则 A(0,0,0) , B(3,0,0) , C (3,6,0) , D(0,6,0) , P(0,0,3) , M (2, 4,1) , N (1, 2, 2) ,

z

P
N

AN ? (1, 2, 2), PD ? (0,6, ?3) ,

? cos ? AN , PD ??

AN ? PD AN PD

?

0 ? 12 ? 6 3? 3 5

?

2 5 , 15
2 5x B . 15

A

M

D y
C

? 异面直线 AN 与 PD 所成角的余弦值为

(Ⅲ) 侧棱 PA ? 底面ABCD ,?平面BCD的一个法向量为AP ? (0,0,3) , 设 平面MBD 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,

BD ? (?3,6,0), BM ? (?1,4,1) ,并且 m ? BD, m ? BM ,
??3x ? 6 y ? 0 ?? ,令 y ? 1 得 x ? 2 , z ? ?2 , ?? x ? 4 y ? z ? 0

? 平面MBD 的一个法向量为 m ? (2,1, ?2) .
cos ? AP, m ?? AP ? m 2 ?? , 3 AP m

由图可知二面角 M ? BD ? C 的大小是锐角,

2 . 3 133. 【2010·北京市东城区综合练习(二)如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,

? 二面角 M ? BD ? C 大小的余弦值为

∠DAB=90°,AD//BC,AD⊥侧面 PAB,△PAB 是等边三角形,DA=AB=2,BC= 的中点.(I)求证:PE⊥CD; (II)求四棱锥 P—ABCD 的体积; (III)求 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值. 解: (I)证明:因为 AD⊥侧面 PAB,PE ? 平面 PAB, 所以 AD⊥PE. 又因为△PAB 是等边三角形,E 是线段 AB 的中点, 所以 PE⊥AB.因为 AD∩AB=A,所以 PE⊥平面 ABCD.而 CD ? 平面 ABCD, 所以 PE⊥CD.

1 AD,E 是线段 AB 2

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(II)由(I)知:PE⊥平面 ABCD,所以 PE 是四棱锥 P—ABCD 的高.由 DA=AB=2,BC=

1 AD, 2

可得 BC=1.因为△PAB 是等边三角形,可求得 PE ? 3. 所以 VP ? ABCD ?

1 1 1 S ABCD ? PE ? ? (1 ? 2) ? 2 ? 3 ? 3. 3 3 2

(III)以 E 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 E—xyz.

则E (0, 0, 0), C (1, ?1, 0), D(2,1, 0), P(0, 0, 3). DE ? (2,1, 0), EP ? (0, 0, 3), PC ? (1, ?1, ? 3). 设n ? ( x, y, z )为平面PDE的法向量. ? ?n ? ED ? 0, ? ?2 x ? y ? 0, 由? 即? ? 3z ? 0. ? ?n ? EP ? 0. ?
令 x ? 1, 可得n ? (1, ?2,0). 设 PC 与平面 PDE 所成的角为 ? .

sin ? ?| cos ? PC, n ?|?

3 ? . | PC || n | 5
3 5

| PC ? n |

所以 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值为 . 134. 【2010·海淀区高三年级第二学期期末练习】 已 知 四 棱 锥 P ? ABCD , 底 面 ABCD 为 矩 形 , 侧 棱 PA ? 底面ABCD , 其 中 P BC ? 2 AB ? 2 PA ? 6 , M ,N 为侧棱 PC 上的两个三等分点,如图所示. (Ⅰ)求证: AN // 平面MBD ; (Ⅱ)求异面直线 AN 与 PD 所成角的余弦值; (Ⅲ)求二面角 M ? BD ? C 的余弦值. 解: (Ⅰ)证明:连结 AC 交 BD 于 O ,连结 OM , 底面ABCD为矩形 ,? O为AC中点 , M 、N 为侧棱PC的三等分点 ,? CM ? MN , ? OM // AN , OM ? 平面MBD, AN ? 平面MBD , ? AN / / 平面MBD .
N

A B

M D
C

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(Ⅱ)如图所示,以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz , 则 A(0,0,0) , B(3,0,0) , C (3,6,0) , D(0,6,0) , z P(0,0,3) , M (2, 4,1) , N (1, 2, 2) , P

AN ? (1, 2, 2), PD ? (0,6, ?3) ,

N

? cos ? AN , PD ??

AN ? PD AN PD

?

0 ? 12 ? 6 3? 3 5

?

2 5 , 15

A

M

D y
C

2 5 . x B ? 异面直线 AN 与 PD 所成角的余弦值为 15

(Ⅲ) 侧棱 PA ? 底面ABCD ,?平面BCD的一个法向量为AP ? (0,0,3) ,

设 平面MBD 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,

BD ? (?3,6,0), BM ? (?1,4,1) ,并且 m ? BD, m ? BM ,
??3x ? 6 y ? 0 ?? ,令 y ? 1 得 x ? 2 , z ? ?2 , ?? x ? 4 y ? z ? 0

? 平面MBD 的一个法向量为 m ? (2,1, ?2) .

cos ? AP, m ??

AP ? m

2 ?? , 3 AP m
2 3
.

由图 可知二面

角 M ? BD ? C 的大小是锐角,? 二面角 M ? BD ? C 大小的余弦值为 135. 【2010·成都石室中学五月考前模拟】如图,在五面体 FA ? ABCDEF 中 , 平 面

A

B ,

C /

D/

?A / D / EC 的中 B , 为
1 AD . 2

C

F , E

A

B

A

D

M

点, AF ? AB ? BC ? FE ?

(Ⅰ)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (Ⅱ)证明:平面 AMD ? 平面 CDE ; (Ⅲ)求二面角 A ? CD ? E 的余弦值. 解:如图建立空间直角坐标系,设 AF ? 1, 则

F (0,0,1), A(0,0,0), B(1,0,0), D(0, 2,0), E(0,1,1),
1 1 C (1,1, 0) 因为 M 为 EC 的中点,则 M ( ,1, ) 2 2
(Ⅰ) BF ? (?1,0,1), DE ? (0, ?1,1),cos ? ?

BF ? DE 1 ? ,? ? 60 | BF || DE | 2

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(Ⅱ) AM ? ( ,1, ), AD ? (0, 2, 0), CE ? BF ? ( ?1, 0,1) , 则C EA M ?

1 2 所以 CE ? 平面 ADM ,得平面 AMD ? 平面 CDE ;

1 2

?C E0 ,A M?

? 0

(Ⅲ)由图可得平面 ACD 的法向量为 n1 ? (0,0,1) ,设平面 CDE 的法向量为 n2 ? ( x, y, z)

CE ? BF ? (?1,0,1), DC ? (1, ?1,0), 列方程组的
n1 ? n2 3 ? | n1 || n2 | 3

?x ? z ? 0 得 n2 ? (1,1,1) x? y ?0

cos ? ?

136. 【2010·青岛市四月质检】如图 1,直角梯形 ABCD 中, AD / / BC, ?ABC ? 90 , E , F

A? 4 FC ? 4 . D 2 AE ? 2 AB EFCD 分别为边 AD 和 BC 上的点, 且 EF / / AB ,AD ? B 将四边形
沿 EF 折起成如图 2 的位置,使 AD ? AE . (Ⅰ)求证: BC // 平面 DAE ; (Ⅱ)求四棱锥 D ? AEFB 的体积;

C
F E
B A E
图2

C
D
图1

F

(Ⅲ)求面 CBD 与面 DAE 所成锐二面角的余弦值. 解:(Ⅰ)证:

CF // DE, FB // AE, BF

CF ? F , AE

DE ? E

? 面 CBF // 面 DAE
又 BC ? 面 CBF 所以 BC // 平面 DAE (Ⅱ)取 AE 的中点 H ,连接 DH

z
D

C
B A E

EF ? ED, EF ? EA? EF ? 平面 DAE
又 DH ? 平面 DAE ? EF ? DH

F

H

y

AE ? ED ? DA ? 2? DH ? AE, DH ? 3
? DH ? 面 AEFB
所以四棱锥 D ? AEFB 的体积 V ?

x

1 4 3 ? 3 ? 2? 2 ? 3 3

(Ⅲ)如图以 AE 中点为原点, AE 为 x 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(?1, 0, 0) , D(0,0, 3) , B(?1, ?2,0) , E (1, 0, 0) 所以 DE 的中点坐标为 ( , 0,

1 2

3 ) 2

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因为 CF ?

1 1 3 DE ,所以 C ( , ?2, ) 2 2 2

易知 BA 是平面 ADE 的一个法向量, BA ? n1 ? (0, 2,0) 设平面 BCD 的一个法向量为 n2 ? ( x, y, z )

? 3 3 3 3 z?0 ? n2 ? BC ? ( x, y, z ) ? ( , 0, ) ? x ? 由? 2 2 2 2 ?n ? BD ? ( x, y, z ) ? (1, 2, 3) ? x ? 2 y ? 3 z ? 0 ? 2
令 x ? 2, 则 y ? 2 , z ? ?2 3 ,?n2 ? (2,2, ?2 3)

cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 n1 n2

?

2?0 ? 2? 2 ? 2 3 ?0 5 ? 5 2? 2 5

所以面 CBD 与面 DAE 所成锐二面角的余弦值为

5 5

137. 【2010·浙江省杭州市第二次质量检测】已知如图四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是平行四 边形, PG ? 平面ABC,垂足G在AD上,且

1 AG ? GD, GB ? GC.GB ? GC ? 2, PG ? 4 3 ,E是BC的中
点. (1)求证:PC ? BG; (2)求异面直线GE与PC所成角的余弦值;

DF ? GC , 求
(3)若F是PC上一点,且

CF CP 的值.

解: (Ⅰ)因为PG⊥底面ABCD, 所以 PG⊥ BG, 又BG⊥CG, 所以BG⊥面PGC,所以PC⊥BG. (Ⅱ)建立如图空间直角坐标系,各点坐标如图所示,

GE ? (1,1,0), PC ? (0,2,?4)
| cos ? GE , PC ?|?|
∴ (Ⅲ)设 ,
? ?? ? ??

???

???

GE ? PC | GE || PC |
? ?? ? ??

??? ???

|?

10 10

..

4分

则点

3 3 F (0, 2 ? 2?, 4?) ,又D(– 2 , 2 ,0 ) ,

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??? 3 1 DF ? ( , ? 2? ,4? ), 2 2 ∴

3 2? 3 4 ? DF ? ( , ? , ) (0,2,0) 2 1 ? ? 2 1 ? ? , GC ? ,
1 2( ? 2? ) ? 0 由 DF ? GC 得 DF ? GC ? 0 ,∴ 2 .
??? ???



??

1 CF 1 4 ,所以 CP = 4

138. 【2010·上海市卢湾区 4 月模拟】在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,过 A1、C1、B 三点 的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体 ABCD-A1C1D1, 且这个几何体的体积为 10. (1)求棱 AA1 的长; (2)求点 D 到平面 A1BC1 的距离. 解: (1)设 A1 A ? h ,由题设
A1 D1 C1

VABCD? A1C1D1 ? VABCD? A1B1C1D1 ? VB? A1B1C1 ? 10


D
A B

1 1 1 S ABCD ? h ? ? S?A1B1C1 ? h ? 10 2 ? 2 ? h ? ? ? 2 ? 2 ? h ? 10 3 3 2 得 ,即 ,
解得 h ? 3 . 故 A1 A 的长为 3 .

C

(2)以点 D 为坐标原点,分别以 DA , DC , DD1 所在的直线为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间 直角坐标系. 由已知及(1) ,可知 D(0,0,0) , A1 (2,0,3) , B(2, 2,0) , C1 (0, 2,3) , 设平面 A1BC1 的法向量为 n ? (u, v, w) ,有 n ? A1B , n ? C1B ,

? ?n ? A1 B ? 0, ?2v ? 3w ? 0, 3 3 ? ? v? w u? w n ? C B ? 0, 2 u ? 3 w ? 0. ? C1B ? (2,0, ?3) , 1 2 , 2 , 其中 A1B ? (0,2, ?3) , 则有 ? 即? 解得
取 w ? 2 ,得平面的一个法向量 n ? (3,3,2) ,且 | n |? 22 . 在 平 面 A1BC1 上 取 点 C1 , 可 得 向 量 DC1 ? (0,2,3) , 于 是 点 D 到 平 面 A1BC1 的 距 离

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d?

| n ? DC1 | |n|

?

6 22 11 .

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