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任意角和弧度制知识点和练习


知识点一:任意角的表示

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
知识点二:象限角的范围 2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几 象限角.

? ? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ??
第一象限角的集合为 ? k ? 360? ? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

知识点三:终边角的范围 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ? 360? ? ? , k ? ? 4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

?
?
终边

?

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正 n
*

半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即为 所落在的区域. 知识点四:弧度制的转换 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? 7、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360? , 1? ? 知识点五:扇形
l . r

n

? 180 ? ? ,1 ? ? ? ? 57.3 . 180 ? ? ?

?

?

8、若扇形的圆心角为 ? ??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则 l ? r ? ,
1 1 C ? 2r ? l , S ? lr ? ? r 2 . 2 2

例题分析

第 1 页

【例 1】如果 ? 角是第二象限的角,那么

? 角是第几象限的角?说说你的理由。 2

【例 2】如图,圆上一点 A 以逆时针方向作匀速圆周运动,已知点 A 每分钟转过 ? 角( 0 ? ? ≤ π ) , 经过 2 分钟到达第三象限,经过 14 分钟回到原来位置,求 ? 的大小.

【例 3】一扇形周长为 20cm,当扇形的圆心角 ? 等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?并求此 扇形的最大面积?

针对练习 1.下列角中终边与 330°相同的角是( ) Α .30° B.-30° C.630° D.-630° 2.下列命题正确的是( ) Α .终边相同的角一定相等。 B.第一象限的角都是锐角。 C.锐角都是第一象限的角。 D.小于 90 ? 的角都是锐角。 3.如果一扇形的弧长为 2π cm ,半径等于 2 cm ,则扇形所对圆心角为( π 3π A. π B. 2π C. D. 2 2
第 2 页



4.若α 是第四象限角,则 180°+α 一定是( ) Α .第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角 5.一个半径为 R 的扇形,它的周长为 4R ,则这个扇形所含弓形的面积为( )
1 1 A. ? 2 ? sin 2 ? R 2 ? ? 2? 2 ?

B. R2 sin 2 D. R2 ? R2 sin 2
1 2

1 2

C. R2

1 2

6.若 ? 角的终边落在第三或第四象限,则 A.第一或第三象限 C.第一或第四象限

? 的终边落在( 2

) B.第二或第四象限 D.第三或第四象限 )

7.某扇形的面积为 1 cm2 ,它的周长为 4 cm ,那么该扇形圆心角的度数为 ( A.2° 8.下列说法正确的是 A.1 弧度角的大小与圆的半径无关 B.2 C.4° D.4 ( )

B.大圆中 1 弧度角比小圆中 1 弧度角大 D.用弧度表示的角都是正角 ( )

C.圆心角为 1 弧度的扇形的弧长都相等

9.已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2,则这个圆心角所对的弧长是 A.2 B.
2 sin 1

C. 2 sin 1

D. sin 2

二、填空题 10.若三角形的三个内角的比等于 2 : 3 : 7 ,则各内角的弧度数分别为 11.将时钟拨快了 10 分钟,则时针转了 度,分针转了 13.已知 ? 是第二象限角,且 | ? ? 2 |? 4, 则 ? 的范围是 三、解答题 .

. 弧度.

12.若角α 的终边为第二象限的角平分线,则α 的集合为______________________.

14. 在 0? 与 360? 范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角? (1) ?120? (2) 640? (3) ?950?12?

15.写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(用弧度制表示)

第 3 页

(1)

(2)

(3)

16.绳子绕在半径为 50cm 的轮圈上,绳子的下端 B 处悬挂着物体 W,如果轮子按逆时针方向每分 钟匀速旋转 4 圈,那么需要多少秒钟才能把物体 W 的位置向上提升 100cm?

17、绳子绕在半径为 50cm 的轮圈上,绳子的下端 B 处悬挂着物体 W,如果轮子按逆时针方向每分 钟匀速旋转 4 圈,那么需要多少秒钟才能把物体 W 的位置向上提升 100cm?

三、课堂小结 1、理解任意大小的角正角、负角和零角; 2、掌握终边相同的角、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角; 3、 弧度制定义和理解。 四、布置作业 1. 已知两角的和为 1 弧度,两角的差为 1°,求这两个角各是多少弧度?

第 4 页

0) 2.单位圆上两个动点 M,N ,同时从 P (1, 点出发,沿圆周运动, M 点按逆时针方向旋转 弧度/

π 6

秒, N 点按顺时针方向旋转 弧度/秒,试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧 度.

π 3

第 5 页


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