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几何(理)



(11 年)18. (本小题满分 13 分) ABCD 是边长为 1 的菱形, 如图 5, 在锥体 P-ABCD 中, 且 ?DAB ? 60? ,PA ? PD ? 2 , PB=2,E,F 分别是 BC,PC 的中点. (1) 证明:AD⊥平面 DEF; (2) 求二面角 P-AD-B 的余弦值.

(12)18.(本小题满分 13 分) 如图 5 所示,

在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD ,点 E 在线段 PC 上, PC ? 平面 BDE . (1)证明: BD ? 平面 PAC ; P (2)若 PA ? 1 , AD ? 2 ,求二面角 B ? PC ? A 的正切值.

A E B

D

C

图5

(13 年)18. (本小题满分 14 分) 如图 5,在等腰直角三角形 ABC 中,∠A ? 90? , BC ? 6 ,D,E 分别是 AC,AB 上 的点, CD ? BE ? 2 ,O 为 BC 的中点.将△ADE 沿 DE 折起,得到如图 6 所示的四棱 椎 A '? BCDE ,其中 A ' O ? 3 O C D E C D A 图5 (1)证明: A ' O ? 平面 BCDE ; (2)求二面角 A '? CD ? B 平面角的余弦值. 图6 O B E

B

A'

(14 年)18. (本小题满分 13 分)如图 4,四边形 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD ,

?DPC ? 300 , AF ? PC 于点 F , FE / / CD ,交 PD 于点 E . (1)证明: CF ? 平面ADF (2)求二面角 D ? AF ? E 的余弦值。 A

B

D E P F

C

(15 年)18. (本小题满分 14 分) 如图 2,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直, PD = PC = 4 ,

AB = 6 , BC = 3 .点 E 是 CD 边的中点,点 F,G 分别在线段 AB,BC 上,且 AF = 2FB ,
CG = 2GB .

(1)证明: PE ? FG ; (2)求二面角 P - AD - C 的正切值; (3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值.
D E C G A H

图2

F

B



答案

(12 年)18. 解: (1)证明:因为 PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD BD ? PA 所以 因为 PC ? 平面 BDE , BD ? 平面 BDE 所以 BD ? PC P 因为 PA ? PC ? P 所以 BD ? 平面 PAC (2)方法一:设 AC ? BD ? O ,连结 OE 因为 PC ? 平面 BDE , OE , BE ? 平面 BDE 所以 PC ? OE , PC ? BE 所以 ?BEO 是二面角 B ? PC ? A 所成的平面角 因为 BD ? 平面 PAC , AC ? 平面 BDE 所以 BD ? AC 因为底面 ABCD 是矩形 所以底面 ABCD 是正方形 所以 AD ? AB ? 2 , BO ? 2
A E

D

O
B

C

由 PA ? 1 , AC ? 2 2 , PC ? 3 ,求得 OE ? 因为 BD ? 平面 PAC , OE ? 平面 BDE 所以 BD ? OE 所以在 Rt △ BOE 中, tan ?BEO ?

2 3

BO ? OE

2 ?3 2 3

所以二面角 B ? PC ? A 的正切值为 3 方法二:如图所示,以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A ? xyz 因为 BD ? 平面 PAC , AC ? 平面 BDE 所以 BD ? AC 因为底面 ABCD 是矩形 所以底面 ABCD 是正方形 所以 AD ? AB ? 2 , 所以 P(0, 0,1) , B(2, 0, 0) , C (2, 2,0) , D(0, 2,0) 所以 DB ? (2, ?2,0) 是平面 PAC 的一个法向量

z
P

A E B

D y

??? ?

??? ? ??? ? BC ? ( 0 , 2 , , 0 )BP ? (?2,0,1) ,设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , ??? ? ? ?n ? BC ? 2 y ? 0 则 ? ??? ,令 x ? 1 ,则 y ? 0 , z ? 2 ,取 n ? (1,0, 2) ? ? ?n ? BP ? ?2 x ? z ? 0
设二面角 B ? PC ? A 的平面角为 ? 所 以

x

C

??? ? DB ? n 2 1 cos ? ? ??? ? ? ? 8? 5 10 DB ? n



sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

3 10



tan ? ?

sin ? ?3 cos ? 所以二面角 B ? PC ? A 的正切值为 3

(13 年)18. (1)折叠前连接 OA 交 DE 于 F, ∵折叠前△ABC 为等腰直角三角形,且斜边 BC=6, 所以 OA⊥BC,OA=3,AC=BC= 3 2 又 CD ? BE ? 2 ∴BC∥DE, AD ? AE ? 2 2 ∴OA⊥DE, AD ? AE ? 2 2 ∴AF=2,OF=1

折叠后 DE⊥OF,DE⊥A′F,OF∩A′F=F ∴DE⊥面 A′OF,又 A?O ? 面A?OF ∴DE⊥A′O 又 A′F=2,OF=1,A′O= 3 ∴△A′OF 为直角三角形,且∠A′OF=90° ∴A′O⊥OF, 又 DE ? 面BCDE , OF ? 面BCDE ,且 DE∩OF=F, ∴A′O⊥面 BCDE. (2)过 O 做 OH⊥交 CD 的延长线于 H,连接 A?H ,

2 3 2 3 2 2 30 AO= A?H ? A?O 2 ? OH 2 ? ( ) ? ( 3) 2 ? , 2 2 2 2 OH 3 2 15 ∵∠A′HO 即为二面角 A? ? CD ? B 的平面角,故 cos∠A′HO= . ? ? A?H 5 30
∴OH=

(14 年)18.(1)? PD ? 平面 ABCD , ? PD ? AD ,又 CD ? AD , PD ? CD ? D , ? AD ? 平面 PCD , ? AD ? PC ,又 AF ? PC , ? PC ? 平面 ADF ,即 CF ? 平面ADF ; 0 (2)设 AB ? 1 ,则 Rt ?PDC 中, CD ? 1 ,又 ?DPC ? 30 , ? PC ? 2 , PD ? 3 ,由(1)知 CF ? DF

z A B

? DF ? 3 , AF ? 2

AD 2 ? DF 2 ? 7 , 2 ?CF ? AC 2 ? AF 2 ? 1 ,又 FE / /CD , 2 ? DE ? CF ? 1 ,? DE ? 3 ,同理 EF ? 3 CD ? 3 , 4 PD PC 4 4 4 如图所示,以 D 为原点,建立空间直角坐标系,则 A(0, 0,1) ,
P

D E F

C

y

E ( 3 , 0, 0) , F ( 3 , 3 , 0) , P( 3,0,0) , C (0,1, 0) , x 4 4 4 ? ? ??? ? ? ??? AE ? ( 3 , 0, 0) ?m ? AE ? ? ? ,又 ? ??? 设 m ? ( x, y, z ) 是平面 AEF 的法向量,则 ? ? ??? , ? 43 m ? EF ? ? EF ? (0, , 0) ? 4 ? ? ? ??? 3 ? ? m ? AE ? 4 x ? z ? 0 所以 ? ??? ,令 x ? 4 ,得 z ? 3 , m ? (4,0, 3) , ? 3 ? ? m ? EF ? y ? 0 ? 4 ??? ? 由(1)知平面 ADF 的一个法向量 PC ? (? 3,1,0) , 设二面角 D ? AF ? E 的平面角为 ? ,可知 ? 为锐角, ? ? ??? ? ? ??? | m ? PC | ? ? 4 3 ? 2 57 ,即所求. cos ? ?| cos ? m, PC ?|? ? ???? 19 | m | ?| PC | 19 ? 2

15 年



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