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2010高考数学专题复习系列导学案10 立体几何初步



立体几何初步
1.理解平面的基本性质,会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,能够画出空间两 . 条直线,直线和平面的各种位置关系的图形,能根据图形想象它们的位置关系. 2.了解空间两条直线,直线和平面,两个平面的位置关系. . 3.掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理;理解直线和平面垂直的概念;掌握直线和平 . 面垂直的判定定理和性质定理;掌握三垂线定理及其逆定

理. 4.掌握直线和直线,直线和平面,平面和平面所成的角,距离的概念;掌握两个平面平行, . 垂直的判定定理和性质定理. 5.了解多面体,凸多面体,正多面体的概念. . 6.了解棱柱,棱锥的概念;了解棱柱,棱锥的性质;会画其直观图. . 7.了解球的概念;掌握球的性质;掌握球的表面积,体积公式. .

平面

三个公理,三个 公理 4 及 角定理 平行直 面直 直 面直线所成的角 面直线间的距离 概念,判定 性质 垂 斜 距离 两个平面平行的判定 性质 二面角 两个平面垂直的判定 性质 定 及 关概念 用 三垂线定理 直线 平面所成的角

空间两条直
直 线 , 平 面 , 简 单 几

空间直 线

直线 平面 直线 平面平 直线 平面 两个平面平行

空间两 个平面 两个平面

棱柱 棱锥 球

性质 面积公式 体积公式 正多面体 多面体

-1-

本章的定义,定理,性质多,为了易于掌握,可把主要知识系统化.首先,归纳总结,理线 串点,可分为四块:A,平面的三个基本性质,四种确定平面的条件;B,两个特殊的位置关 系,即线线,线面,面面的平行与垂直.C,三个所成角;即线线,线面,面面所成角;D, 四个距离,即两点距,两线距,线面距,面面距. 其次,平行和垂直是位置关系的核心,而线面垂直又是核心中的核心,线面角,二面角,距 离等均与线面垂直密切相关,把握其中的线面垂直,也就找到了解题的钥匙. 再次,要加强数学思想方法的学习,立体几何中蕴涵着丰富的思想方法,化空间图形为平面 图形解决,化几何问题为坐标化解决,自觉地学习和运用数学思想方法去解题,常能收到事 半功倍的效果.

第 1 课时
基础过关

平面的基本性质

公理 1 如果一条直线上的 (证明直线在平面内的依据). 公理 2 如果两个平面有 (证明多点共线的依据). 公理 3 经过不在

在同一个平面内, 那么这条直线上的

都在这个平面内

个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是

的三点,有且只有一个平面(确定平面的依据).

推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面. 推论 2 经过两条 推论 3 经过两条 典型例题 例 1.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 A1C 与平面 BDC1 交于 O,AC,BD 交于点 M. . D1 C1 求证:点 C ,O,M 共线.
1

直线,有且只有一个平面. 直线,有且只有一个平面.

证明: 证明: A1A‖CC1 确定平面 A1C A1C 面 A1C O∈A1C 面 BC1D∩直线 A1C=O
O∈面 BC1D O∈面 A1C

A1

B1

O D M A B C

O 在面 A1C 与平面 BC1D 的交线 C1M 上 ∴C1,O,M 共线

变式训练 1:已知空间四点 A,B,C,D 不在同一平面内,求证:直线 AB 和 CD 既不相交也不 : 平行.

-2-

提示: 提示:反证法. 例 2. 已知直线 l 与三条平行线 a,b,c 都相交.求证: l 与 a,b,c 共面. 证明: 证明:设 a∩l=A b∩l=B a‖b a,b 确定平面 α A∈a, B∈b b‖c b,c 确定平面 β 同理可证 l β 所以 α,β 均过相交直线 b,l α,β 重合 c α a,b,c,l 共面 变式训练 2:如图,△ABC 在平面 α 外,它的三条边所在的直线 AB,BC,CA 分别交平面 α 于 : A P,Q,R 点.求证:P,Q,R 共线. B C 证明: 证明:设平面 ABC∩α=l,由于 P=AB∩α,即 P=平面 ABC∩α=l, α P R Q 即点 P 在直线 l 上.同理可证点 Q,R 在直线 l 上. ∴P,Q,R 共线,共线于直线 l. 例 3. 若△ABC 所在的平面和△A1B1C1 所在平面相交,并且直线 AA1,BB1,CC1 相交于一点 O, 求证: (1) AB 和 A1B1,BC 和 B1C1 分别在同一个平面内; (2) 如果 AB 和 A1B1,BC 和 B1C1 分别相交,那么交点在同一条直线上. O A1 B1 A C1 C c∩l=C


B 证明: (1) ∴AA1 与 BB1 确定平面 α, 又∵A∈a, B∈α, 1∈α, 1∈α, A B ∴AB α, 证明: ∵AA1∩BB1=0, A1B1 α,∴AB,A1B1 在同一个平面内 同理 BC,B1C1,AC,A1C1 分别在同一个平面内 (2) 设 AB∩A1B1=X,BC∩B1C1=Y,AC∩A1C1=Z,则只需证明 X,Y,Z 三点都是平面 A1B1C1 与 ABC 的公共点即可. 变式训练 3:如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AB 中点,F 为 AA1 中点, C1 D1 求证:(1) E,C.D1,F 四点共面; (2) CE,D1F,DA 三线共点. 证明(1) 连结 A1B 则 EF‖A1B ∴EF‖D1C A1B‖D1C F D A E B C A1 B1

∴E,F,D1,C 四点共面
1 D1C 2

(2) 面 D1A∩面 CA=DA ∴EF‖D1C 且 EF=

∴D1F 与 CE 相交 又 D1F 面 D1A,CE 面 AC ∴D1F 与 CE 的交点必在 DA 上
-3-

∴CE,D1F,DA 三线共点. 例 4.求证:两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内. 证明: 证明:(1) 若 a,b,c 三线共点 P,但点 p d,由 d 和其外一点可确定一个平面 α 又 a∩d=A ∴点 A∈α 同理可证:b,c α ∴直线 a α

∴a,b,c,d 共面

(2)若 a,b,c,d 两两相交但不过同一点 ∵a∩b=Q 又 c∩b=E 同理 c∩a=F ∴a 与 b 可确定一个平面 β ∴E∈β ∴F∈β ∴c β

∴直线 c 上有两点E,F在 β 上

同理可证:d β 故 a,b,c,d 共面 由(1) (2)知:两两相交而不过同一点的四条直线必共面 变式训练 4:分别和两条异面直线 AB,CD 同时相交的两条直线 AC,BD 一定是异面直线, 为什么? 解:假设 AC,BD 不异面,则它们都在某个平面 α 内,则 A,B,C,D ∈ α .由公理 1 知

AC α , BD α .这与已知 AB 与 CD 异面矛盾,所以假设不成立,即 AC,BD 一定是异面直 ≠ ≠
线. 小结归纳

1.证明若干点共线问题,只需证明这些点同在两个相交平面. 2.证明点,线共面问题有两种基本方法:①先假定部分点,线确定一个平面,再证余下的点, 线在此平面内;②分别用部分点,线确定两个(或多个)平面,再证这些平面重合. 3.证明多线共点,只需证明其中两线相交,再证其余的直线也过交点.

第 2 课时
基础过关 1.空间两条直线的位置关系为 . 2.相交直线 . 异面直线:不同在任 ,

空间直线

, 没有公共点,

.

一个公共点,平行直线 平面,没有公共点.

3.公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相 .

.

4.等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两 . 角 .

5.异面直线的判定定理 . 过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 的直线是异面直线(作用:判定两条直线是异

-4-

面直线) 6.异面直线的距离:和两条异面直线 . 公垂线在 典型例题 的直线称为异面直线的公垂线.两条异面直线的

的长度,叫两异面直线的距离.

例 1. 如图,在空间四边形 ABCD 中,AD=AC=BC=BD=a,AB=CD=b,E,F 分别是 AB,CD 的中点. (1) 求证:EF 是 AB 和 CD 的公垂线; (2) 求 AB 和 CD 间的距离. 证明: 证明:(1) 连结 CE,DE
AC = BC AD = BD AE = BE

A

E
AB ⊥ CE AB ⊥ DE

AB⊥面 CDE

B 同理 CD⊥EF C =ED F
2

D

∴AB⊥EF

∴EF 是 AB 和 CD 的公垂线 (2) △ECD 中,EC= ∴EF=
a2 b2 2 a2 b 4

变式训练 1:在空间四边形 ABCD 中,AD=BC=2,E,F 分别为 AB,CD 的中点,EF= 3 ,求 : AD,BC 所成角的大小. 解:设 BD 的中点 G,连接 FG,EG.在△EFG 中 EF= ∴∠EGF=120° ∴AD 与 BC 成 60°的角. N C M A B
3

FG=EG=1 S

例 2. S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点,如图 SA=SB=SC, 且 ∠ ASB= ∠ BSC= ∠ CSA= π ,M,N 分别是 AB 和 SC 的中点.
2

求异面直线 SM 与 BN 所成的角. 证明: 证明:连结 CM,设 Q 为 CM 的中点,连结 QN 则 QN‖SM ∴∠QNB 是 SM 与 BN 所成的角或其补角 连结 BQ,设 SC=a,在△BQN 中 BN=
5 a 2

NQ= 1 SM=
2

2 4

a BQ=

14 a 4

∴COS∠QNB=

10 BN 2 + NQ 2 BQ 2 = 2 BN NQ 5
10 5

∴∠QNB=arc cos

变式训练 2:正 ABC 的边长为 a,S 为 ABC 所在平面外的一点,SA=SB=SC=a,E,F 分别 :

-5-

是 SC 和 AB 的中点. (1) 求异面直线 SC 和 AB 的距离; (2) 求异面直线 SA 和 EF 所成角. 答案: 答案:(1)
2 a 2

(2) 45° D1 A1 M D A N C B B1 P C1

例 3. 如图,棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N,P 分别为 A1B1,BB1,CC1 的中点. (1) 求异面直线 D1P 与 AM,CN 与 AM 所成角; (2) 判断 D1P 与 AM 是否为异面直线?若是,求其距离. 解:(1) D1P 与 AM 成 90°的角 CN 与 AM 所成角为 arc cos 2 .
5

(2) 是.NP 是其公垂线段, D1P 与 AN 的距离为 1. 变式训练 3:如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1 和 A1C1 的中点, 若 BC=CA=CC1,求 NM 与 AN 所成的角. 解:连接 MN,作 NG‖BM 交 BC 于 G,连接 AG, 易证∠GNA 就是 BM 与 AN 所成的角. 设:BC=CA=CC1=2,则 AG=AN= 5 ,GN=B1M= 6 ,
30 . cos∠GNA= = 10 2× 6 × 5 6+55

B C1

M N

A

B C

A

例 4.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,PA⊥底 . 面 ABCD,AE⊥PD,EF‖CD,AM=EF. (1) 证明 MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线; (2) 若 PA=3AB,求直线 AC 与平面 EAM 所成角的正弦值. (1)证明 证明:∵EF‖CD AM‖CD 证明 ∴ AM‖EF,又 AM=EF ∴ AMFE 为平行四边形 ∵ AB⊥PA,AB⊥AD ∴ AB⊥面 PAD ∴ AB⊥AE,又 AE‖MF,∴ AB⊥MF 又∵AE⊥PD CD⊥AE ∴ AE⊥PC ∴ AE⊥面 PCD B A M C F D P E

∴ MF⊥PC ∴ MF 为 AB 与 PC 的公垂线.
9 3 , ), 10 10

(2) 设 AB=1,则 PA=3,建立如图所示坐标系.由已知得 AE =(0,
AB =(1,0,0)

面 MFEA 的法向量为 k =(0,1,-3), AC =(1,1,0),cos< AC , k >=

5 .∴ AC 与面 EAM 10

-6-

所成的角为

π
2

-arc cos

5 5 ,其正弦值为 . 10 10

变式训练 4:如图,在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中, : E,F 分别是 BB1 ,CD 的中点. (1)证明 AD⊥D1 F ;

D1 A1 B1 E

C1

(2)求 AE 与 D1 F 所成的角. (1)证明 证明:因为 AC1 是正方体,所以 AD⊥面 DC1 证明 又 DF1 DC1,所以 AD⊥D1F. (2)取 AB 中点 G,连结 A1G,FG, 因为 F 是 CD 的中点,所以 GF‖AD, 又 A1D1‖AD,所以 GF‖A1D1, 故四边形 GFD1A1 是平行四边形,A1G‖D1F. 设 A1G 与 AE 相交于 H,则∠A1HA 是 AE 与 D1F 所成的角.

D A

F B

C

因为 E 是 BB1 的中点,所以 Rt△A1AG≌△ABE, ∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°, 即直线 AE 与 D1F 所成的角为直角. 小结归纳

1.求两条异面直线所成角的步骤:(1)找出或作出有关角的图形;(2)证明它符合定义; (3)求角. 2.证明两条直线异面的常用方法:反证法,定义法(排除相交或平行),定理法. 3.求异面直线间距离的方法:作出公垂线段,向量法.

第 3 课时
基础过关 1.直线和平面的位置关系 . 直线在平面内,有 直线和平面相交,有 直线和平面平行,有 , 公共点. 公共点. 公共点.

直线和平面平行

,

.

直线与平面平行,直线与平面相交称为直线在平面外. 2.直线和平面平行的判定定理 . 如果平面外 和这个平面内 平行,那么这条直线和这个平面平行.

(记忆口诀:线线平行 线面平行) 3.直线和平面平行的性质定理 .

-7-

如果一条直线和一个平面

,经过

平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平

行.(记忆口诀:线面平行 线线平行)

典型例题

P M A B C

例 1.如图,P 是 ABC 所在平面外一点,M ∈ PB, . 试过 AM 作一平面平行于 BC,并说明画法的理论依据. 解:在平面 PBC 内过 M 点作 MN‖BC,交 PC 于 N 点, 连 AN 则平面 AMN 为所求 根据线面平行的性质定理及判定定理

变式训练 1:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 A1B 和 AC 上的点,且 A1M=AN. : 求证:MN‖平面 BB1C1C. 证明: 证明:在面 BA1 内作 MM1‖A1B1 交 BB1 于 M1 在面 AC 内作 NN1‖AB 交 BC 于 N1 易证 MM1 NN1 即可

例 2. 设直线 a‖ α ,P 为 α 内任意一点,求证:过 P 且平行 a 的直线 必在平面 α 内. 证明: 证明:设 a 与 p 确定平面 β,且 α∩β=a' ,则 a'‖a 又 a‖l l∩a'=p ∴a 与 a'重合 ∴l α

变式训练 2:求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行. : 解:已知 α∩β=l a‖α a‖β 求证:a‖l

证明: 证明:过 a 作平面 γ 交平面 α 于 b,交平面 β 于 C, ∵a‖α,∴a‖b 同理,∵a‖β ∴a‖c ∴b‖c

又∵b β 且 c β

∴b‖β

又平面 α 经过 b 交 β 于 l ∴b‖l 且 a‖b ∴a‖l

例 3. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧菱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点. ( 1 ) 证明:PA‖平面 EDB; ( 2 ) 求 EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值. (1 ) 证明:提示,连结 AC 交 BD 于点 O,连结 EO. 证明: E B A P

C
-8-

D

( 2) 解:作 EF⊥DC 交 DC 于 F,连结 BF. 设正方形 ABCD 的边长为 a.∵ PD⊥底面 ABCD,∴PD⊥DC. ∴ EF‖PD,F 为 DC 的中点.∴EF⊥底面 ABCD, BF 为 BE 在底面 ABCD 内的射影, ∠EBF 为直线 EB 与底面 ABCD 所成的角. 在 Rt△BCF 中,BF= BC 2 + CF 2 = ∵ EF= PD= tan∠EBF=
1 2

5 a 2

A E F B G C H D

a ,∴ 在 Rt△EFB 中, 2

5 EF 5 = .所以 EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值为 . BF 5 5

变式训练 3:如图,在四面体中截面 EFGH 平行于对棱 : AB 和 CD,试问:截面在什么位置时,其截面的面积最大? 解:易证截面 EFGH 是平行四边形

设 AB=a CD=b ∠FGH=α(a,b 为定值,α 为异面直线 AB 与 CD 所成的角) 又设 FG=x GH=y 由平几得 ∴
x y + a b x CG = a CB y BG = b BC

=1

∴y= b (a-x)
a

∴S□ EFGH=FGGHsinα=x b (a-x)sinα
a

= b sin α x(a-x)
a

∵x>0

a-x>0 且 x+(a-x)=a 为定值

∴当且仅当 x=a-x 即 x= a 时(S□ EFGH)max= ab sin α
2 4

例 4.已知: ABC 中, ∠ ACB=90°,D,E 分别为 AC,AB 的中点,沿 DE 将 ADE 折起使 A . 到 A'的位置,若平面 A'DE⊥面 BCDE,M 是 A'B 的中点,求证:ME‖面 A'CD. 证明: 证明:取 A'C 的中点 N,连 MN,DN, 则 MN ∴MN
1 2

BC,DE

1 2

BC

DE

∴ME‖ND ND 面 A'CD

又 ME 面 A'CD ∴ME‖面 A'CD

变式训练 4: (2005 年北京)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1 : =4,点 D 是 AB 的中点. ( 1 ) 求证:AC⊥BC1;
-9-

(2) 求证:AC1‖平面 CDB1; (3) 求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值. A1 (1)直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面三边长 AC=3,BC=4, 解: AB=5. ∴AC⊥BC,且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC,∴AC⊥BC1; A

C1

B1

C D

B

(2)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE,∵D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点,∴DE‖AC1 ∴DE 平面 CDB1,AC1 平面 CDB1,∴AC1‖平面 CDB1; (3) ∵DE‖AC1, ∴CED 为 AC1 与 B1C 所成的角, 在△CED 中, ED= AC1= , CD= AB= , CE= CB1=2 2 ,∴cos∠CED =
1 2 1 2 5 2 1 2 5 2

8 5 2× 2 2 × 2

=

2 2 5

∴异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为

2 2 . 5

小结归纳

1.证明直线和平面平行的方法有:(1)依定义采用反证法;(2)判定定理;(3)面面平行性质;(4) 向量法. 2.辅助线(面)是解,证有关线面问题的关键,要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作 用.

第 4 课时
基础过关 1.直线和平面垂直的定义 . 如果一条直线和一个平面的 2.直线和平面垂直的判定定理 . 如果一条直线和一个平面内的 3.直线和平面垂直性质 . 若 a⊥ α ,b α 则 若 a⊥ α ,b⊥ α 则 若 a⊥ α ,a⊥ β 则

直线和平面垂直 直线和平面垂直

直线垂直,那么这条直线和这个平面互相垂直.

直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.

过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 4.点到平面距离 .

- 10 -

过一点作平面的垂线 5.直线到平面的距离 .

叫做点到平面的距离.

一条直线与一个平面平行时,这条直线上 典型例题

到这个平面的距离叫做直线到平面距离.

例 1. OA,OB,OC 两两互相垂直,G 为 ABC 的垂心.求证:OG ⊥ 平面 ABC. 证明: 证明:∵OA,OB,OC 两两互相垂直 ∵OA⊥平面 OBC ∴OA⊥BC 又 G 为△ABC 的垂心 ∴ AG⊥BC, ∴ BC⊥面 OAG ∴BC⊥OG 同理可证:AC⊥OG 又 BC∩AC=C ∴OG⊥平面 ABC 变式训练 1:如图 SA⊥面 ABC,∠ABC=90°,AE⊥SB,且 SB∩AE=E,AF⊥SC,且 AF∩SC=F, : 求证:(1) BC⊥面 SAB;(2) AE⊥面 SBC;(3) SC⊥EF. 证明: 证明:(1) (2) 由(1)有 (3) 由(2)有
BC ⊥ AB BC ⊥ SA BC ⊥ AE AE ⊥ SB AE ⊥ SC AF ⊥ SC

A O B G C

S F E C B

BC⊥面 SAB AE⊥面 SBC SC⊥面 AEF SC⊥EF

A

例 2 如图,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M,N 分别是 AB,PC 中点. (1) 求证:MN⊥CD; (2) 若 ∠ PDA=45°,求证:MN⊥面 PCD. 证明: 证明:(1) 连 AC 取中点 O,连 NO,MO,并且 MO 交 CD 于 R ∵N 为 PC 中点 ∴NO 为△PAC 的中位线 NO‖PA 而 PA⊥平面 ABCD ∴NO⊥平面 ABCD ∴MN 在平面 ABCD 的射影为 MO,又 ABCD 是矩形 M 为 AB 中点,O 为 AC 中点 ∴CD⊥MN (2) 连 NR,则∠NRM=45°=∠PDA 又 O 为 MR 的中点,且 NO⊥MR ∴△MNR 为等腰三角形 且∠NRM=∠NMR=45° ∴∠MNR=90° ∴MN⊥NR 又 MN⊥CD ∴MN⊥平面 PCD 变式训练 2:PD 垂直于平面 ABCD 所在平面,PB⊥AC,PA⊥AB. ∴MO⊥CD B A M C N D P

- 11 -

求证:① ABCD 是正方形;② PC⊥BC. 证明:略 例 3.如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PD⊥底面 ABCD,AD=PD,E,F 分别 . P 为 CD,PB 的中点. (1) 求证:EF⊥平面 PAB; (2) 设 AB= 2 BC,求 AC 与平面 AEF 所成的角的大小. (1) 证明:连结 EP.∵PD⊥底面 ABCD,DE 在 证明: 平面 ABCD 中,∴PD⊥DE,又 CE=ED,PD=AD=BC, ∴Rt△BCE≌Rt△PDE,∴PE=BE ∵F 为 PB 中点,∴EF⊥PB. 由垂线定理得 PA⊥AB,∴在 Rt△PAB 中,PF=AF,又 PE=BE=EA,∴△EFP≌△EFA, ∴EF⊥FA. ∵ PB,FA 为平面 PAB 内的相交直线,∴EF⊥平面 PAB. (2) 解:不防设 BC=1,则 AD=PD=1,AB= 2 ,PA= 2 ,AC= 3 .∴△PAB 为等腰直角 三角形.且 PB=2,F是其斜边中点,BF=1,且 AF⊥PB.∵PB 与平面 AEF 内两条相交直线 EF,AF 都垂直.∴PB⊥平面 AEF.连结 BE 交 AC 于 G,作 GH‖BP 交 EF 于 H,则 GH⊥平面 AEF. ∠GAH 为 AC 与平面 AEF 所成的角. 由△EGC∽△BGA 可知 EG= GB,EG= EB,AG= AC= 由△EGH∽△BGF 可知 GH= BF= ∴sin∠GAH=
GH 3 = AG 6 3 . 6 1 3 1 3
1 2 1 3 2 3

C E B

F D A

2 3 . 3

∴AC 与面 AEF 所成的角为 arc sin

变式训练 3:如图,在三棱锥 A-BCD 中,平面 ABD⊥平面 BCD, ∠ BAD= ∠ BDC=90°,AB= : AD=3 2 ,BC=2CD.求: (1) 求 AC 的长; (2) 求证:平面 ABC⊥平面 ACD; (3) 求 D 点到平面 ABC 的距离 d. A 解:(1)
30

(2)略.
1 1 3 2

(3)因 VA-DBC= ( DC×BD)×OA=6 3 , B C
- 12 -

D

又 VD-ABC= ( AB×AC)×d= 15 d, VA-BCD=VD-ABC,则 15 d=6 3 ,解得 d=
6 5 . 5

1 1 3 2

例 4:如图,棱长为 4 的正方体 AC1,O 是正方形 A1B1C1D1 的中心,点 P 在棱 CC1 上,且 CC1 : =4CP. (1) 求直线 AP 与平面 BCC1B1 所成角的大小; (2) 设 O 点在平面 D1AP 上的射影是 H,求证:D1H ⊥ AP; A1 (3) 求点 P 到平面 ABD1 的距离.
4 17 答案: 答案: (1) ∠APB=arctan 17

D1 O B1 H

C1

P D 又 AC⊥BD A B C

(2) AP 在面 AC 上的射影为 AC

∴PA⊥BD 而 BD‖B1D1 ∴B1D1⊥AP 而 B1D1 在平面 D1AP 上的射影为 D1H ∴D1H⊥AP (3) 面 ABD1⊥面 BC1 过 P 作 PM⊥BC1 于 M 则 PM= 3
2 2

变式训练 4:三棱锥 V-ABC 的三条侧棱 VA,VC 两两垂直,顶点 V 在底面内的射影是 H. : (1) 求证 H 是△ABC 的垂心; (2)
2 S ABV = S ABH S ABC .

V

(1) 证明:连结 AH 交 BC 于 D 点,连接 CH 交 AB 于 E 点, 证明: ∵VA⊥VB,VA⊥VC,VB∩VC=V, ∴VA⊥VBC 面,又 BC VBC 面,∴BC⊥VA. ∵VH⊥ABC 面,BC ABC 面, ∴BC⊥VH,又 VA∩VH=A,∴BC⊥VHA 面. 又 AD VHA 面,∴AD⊥BC,同理可得 CE⊥AB, ∴H 是△ABC 的垂心. (2) 连接 VE,在 Rt△VEC 中,VE2=EH×EC
1 1 AB2×VE2= AB2×EH×EC, 4 4
2 即 S ABV = S ABH S ABC .

C A E H B D

小结归纳

线面垂直的判定方法:(1) 线面垂直的定义; (2)判定定理;

- 13 -

(3) 面面垂直的性质; (4) 面面平行的性质:若 α ‖ β ,a⊥ β 则 a ⊥ α

第 5 课时
基础过关 1.和一个平面相交,但不和这个平面 .

三垂线定理

的直线叫做平面的斜线,斜线和平面的交点叫做 2.射影(1) 平面外一点向平面引垂线的 . (2) 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的 斜线上任意一点在平面上的射影一定在 垂线在平面上的射影只是 . .

. 叫做点在平面内的射影; .

直线和平面平行时,直线在平面上的射影是和该直线 3.如图,AO 是平面 α 斜线,A 为斜足,OB⊥ α ,B . 为垂足,AC α ,∠OAB= θ1 , ∠ BAC= θ 2 , ∠OAC= θ ,则 cos θ = 4.直线和平面所成的角 . 平面的斜线和它在这个平面内的 的 叫做这条直线和平面所成角. 所成 A .

的一条直线. O B C

斜线和平面所成角,是这条斜线和平面内任一条直线所成角中 5.三垂线定理:在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的 . 和 垂直.

. 垂直,那么它也

逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 典型例题

垂直,那么它也和这条

垂直.

例 1. 已知 Rt ABC 的斜边 BC 在平面 α 内,A 到 α 的距离 2,两条直角边和平面 α 所成角分别 是 45°和 30°.求:(1) 斜边上的高 AD 和平面 α 所成的角; (2) 点 A 在 α 内的射影到 BC 的距离. 答案:(1) 60° (2) 2 答案:
3 3

变式训练 1:如图,道旁有一条河,河对岸有电塔 AB,塔顶 A 到道路距离为 AC,且测得∠BCA : =30°,在道路上取一点 D,又测得 CD=30m,∠CDB=45°.求电塔 AB 的高度. 解:BC=30,AB=BC tan30°=10 3 A B C 例 2.如图,矩形纸片 A1A2A3A4,B,C,B1,C1 .
- 14 -

D

分别为 A1 A4,A2A3 的三等分点,将矩形片沿 BB1,CC1 折成三棱柱,若面对角线 A1B1 ⊥ BC1; A2 求证:A2C ⊥ A1B1. 解:取 A2B1 中点 D1 ∵A2C1=B1C1 ∴C1D1⊥A2B1 又 A1A2⊥面 A2B1C1 ∴C1D1⊥A1A2 ∴C1D1⊥面 A1A2B1B ∴BD1 是 BC1 在面 A2B 上的射影 由 A1B1⊥BC1 ∴BD1⊥A1B1 取 A1B 中点 D 同理可证 A2D 是 A2C 在面 A2B 上的射影 ∵A2D BD1 ∴A2DBD1 是平行四边形 A1 B C A1 B C B1 C1 A2 B1 C1

由 BD1⊥A1B1 ∴A1B1⊥A2D ∴A2C⊥A1B1 变式训练 2:如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=3,AA1=4,M 为 AA1 中点,P 是 BC 上 一点,且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到 M 的最短路线长 29 ,设这条最短路线与 CC1 交点 N, C1 A1 求: (1) PC 和 NC 的长; (2) 平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角(锐角)大小. 解:将侧面 BB1C1C 绕棱 CC1 旋转 120°使其与侧面 AA1C1C 在同一平面上,点 P 运动到点 P1 的位置, 连接 MP1,则 MP1 就是由点 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到点 M 的最短路线 设 PC=x,则 P1C=x,在 Rt△MAP1 中,由勾股定理得 x=2 ∴PC=P1C=2 ∵ NC
MA = P1C 2 = P1 A 5

M

B1 N

A B

P

C

∴NC= 4
5

(2) 连接 PP1,则 PP1 就是平面 NMP 与平面 ABC 的交线,作 NH⊥PP1 于 H,又 CC1⊥平面 ABC, 连结 CH,由三垂线定理得 CH⊥PP1 ∴∠NHC 就是平面 NMP 与平面 ABC 所成的平面角(锐角) 在 Rt△PHC 中 ∵∠PCH= 1 ∠PCP1=60°
2

∴CH= PC =1
2

在 Rt△PHC 中

tanNHC= 4
5

A1 B1 C1

D1

故平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角大小为 arctan 4
5

例 3.如图在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 点 E 是棱 BC 的中点,点 F 是棱 CD 上的动点.

A F B E C

D

- 15 -

(1) 试确定点 F 的位置,使得 D1E ⊥ 面 AB1F; (2) 当 D1E ⊥ 面 AB1F 时,求二面角 C1-EF-A 大小. 解:(1) 连结 A1B,则 A1B 是 D1E 在面 ABB1A1 内的射影 ∵AB1⊥A1B ∴D1E⊥AB1


于是 D1E⊥平面 AB1F

D1E⊥AF

连结 DE,则 DE 是 D1E 在底面 ABCD 内的射影 ∴D1E⊥AF DE⊥AF ∵ABCD 是正方形,E 是 BC 的中点 ∴当且仅当 F 是 CD 的中点时,DE⊥AF 即当点 F 是 CD 的中点时,D1E⊥面 AB1F (2) 当 D1E⊥平面 AB1F 时,由(1) 知点 F 是 CD 的中点,又已知点 E 是 BC 的中点,连结 EF,则 EF‖BD 连 AC,设 AC 与 EF 交点 H,则 CH⊥EF,连 C1H,则 CH 是 C1H 在底面 ABCD 内的射影 ∴C1H⊥EF 即∠C1HC 是二面角 C1-EF-C 的平面角 在 Rt△C1HC 中 ∵C1C=1 CH= 1 AC=
4
2 4

∴tan∠C1HC= C1C
CH

=2 2

∴∠C1HC=arctan 2

2 2

∴∠AHC1=π-arctan2

变式训练 3:正方体 ABCD-A1B1C1D1 中棱长 a,点 P 在 AC 上,Q 在 BC1 上,AP=BQ=a, : (1) 求直线 PQ 与平面 ABCD 所成角的正切值; (2) 求证:PQ⊥AD. (1) 解:过 Q 作 QM‖CC1 交 BC 于 M 则 QM⊥面 ABCD ∴∠QPM 就是所求角 ∵
BQ BM = BC1 BC

即 BM
BC

=

a
2a

∴ CM
BC CP AC

=

2a a 2a

CP = AC

2a a 2a

∴ CM
BC

=

∴PM‖AB
a

在 Rt△PQM 中

PM=

2 1 2

QM=

2 2

a

QM ∴tan∠QPM= = PM

2a 2 2 1 2

= 2 +1
a

(2) 由(1) 可知 PM⊥BC PQ 在面 ABCD 内的射影是 PM. ∴PQ⊥BC 又 AD‖BC ∴PQ⊥AD

- 16 -

例 4.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AB 上移动. . (1) 证明:D1E⊥A1D; (2) 当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3) AE 等于何值时,二面角 D1-EC-D 的大小为
π
4

D A1 D A E
1 2

C1 B1 C B
1 2

.

(1) 证明:∵ AE⊥平面 AA1DD1,A1D⊥AD1,∴A1D⊥D1E. 证明: 在△ACD1 中, AC=CD1= 5 , 1= 2 , AD1C = 2 5 AD S (2) 设点 E 到面 ACD1 的距离为 h, = ,而 S ADC = AEBC= . ∴ VD1 ABC =
1 2 3 2 1 1 S ABC DD1= S AD1C h 3 3 1 3 3 2 1 2 1 2

∴ ×1= ×h, ∴h=

(3) 过 D 作 DH⊥CE 于 H, D1H, 则 D1H⊥CE, 连 DE, ∴∠DHD1 为二面角 D1-EC-D 的平面角. 设 AE=x,则 BE=2-x 在 Rt△D1DH 中,∵∠DHD1=
π
4

,∴DH=1

∵在 Rt△ADE 中,DE= 1 + x 2 ,∴在 Rt△DHE 中,EH=x,在 Rt△DHC 中,CH= 3 ,CE=
x 2 4 x + 5 ,则 x+ 3 = x 2 4 x + 5 ,解得 x=2- 3 .

即当 x=2- 3 时,二面角为 D1-EC-D 的大小为

π
4

.

变式训练 4:如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,且 PD=a,PA= : PC= 2 a. (1) 求证:PD⊥面 ABCD; (2) 求直线 PB 与 AC 所成角; (3) 求二面角 A-PB-D 大小. 证明: 证明:(1) ∵PC= ∴PD2+DC2=PC2 ∴△PDC 是直角三角形 ∴PD⊥DC 同理 PD⊥DA 又∵DA∩DC=D ∴PD⊥平面 ABCD (2) 连 BD ∵ABCD 是正方形 ∴AC⊥BD
2

P D C A B

a PD=DC=a

又∵PD⊥平面 ABCD AC⊥PB(三垂线定理) ∴PB 与 AC 所成角为 90°

- 17 -

(3) 设 AC∩BD=0 作 AE⊥PB 于 E,连 OE ∵AC⊥BD PD⊥平面 ABCD AC 面 ABCD ∴PD⊥AC ∴AC⊥平面 PDB 又∵OE 是 AE 在平面 PDB 内的射影 ∴OE⊥PB ∴∠AEO 就是二面角 A-PB-O 的平面角 又∵AB=a PA=
2a

PB=

3a

∵PD⊥面 ABCD DA⊥AB ∴ PA⊥AB 在 Rt△PAB 中 AEPB=PAAB ∴AE=
6 a 3

AO=
3 2

2 a 2

∴sin∠AEO= 小结归纳

∴∠AEO=60°

1.求直线和平面所成的角的一般步骤是一找(作),二证,三算.寻找直线在平面内的射影是 关键,基本原理是将空间几何问题转化为平面几何问题,主要转化到一个三角形内,通过解 三角形来解决. 2.三垂线定理及逆定理,是判定两条线互相垂直的重要方法,利用它解题时要抓住如下几个 环节:一抓住斜线,二作出垂线,三确定射影. 3.证明线线垂直的重要方法:三垂线定理及逆定理;线⊥面 线⊥线;向量法. 基础过关 基础过关 1.两个平面的位置关系: . 2.两个平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条 直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

第 6 课时

平面与平面平行

(记忆口诀:线面平行,则面面平行) 3,两个平面平行的性质定理 , 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它所有的 (记忆口诀:面面平行,则线线平行) 4.两个平行平面距离 . 和两个平行平面同时 叫做两个平面的 典型例题 的直线,叫做两个平面的公垂线,公垂线夹在平行平面间的部分 ,两个平行面的公垂线段的 ,叫做两个平行平面的距离. 平行.

例 1.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N,E,F 分别是棱 A1B1,A1D1,B1C1,C1D1 中点. .
- 18 -

N A1

D1 M D

F

C1 B1 E C

A

(1) 求证:平面 AMN‖平面 EFDB; (2) 求异面直线 AM,BD 所成角的余弦值. 解:(1) 易证 EF‖B1D1 MN‖B1D1 ∴EF‖MN AN‖BE 又 MN∩AN=N EF∩BE=E ∴面 AMN‖面 EFDB (2) 易证 MN‖BD ∴∠AMN 为 AM 与 BD 所成角 易求得 cos∠AMN=
10 10

变式训练 1:如图, α ‖ β ,AB 交 α , β 于 A,B, : CD 交 α , β 于 C,D,AB ∩ CD=O,O 在两平面之间, AO=5,BO=8,CO=6.求 CD. 解:依题意有 AC‖DB ∴OD= 48
5 AO CO = OB OD

α

A O

C

β D 即5=
8 6 OD

B

∴CD= 48 +6= 78
5 5

AB, 是夹在平面 α 和平面 β 间的两条线段, E, 分别在 AB, CD 点 F 例 2 . 已知平面 α ‖平面 β , CD 上,且 AE = CF = m .求证:EF‖ α ‖ β .
EB FD n

证明: 证明:1°若 AB 与 CD 共面,设 AB 与 CD 确定平面 γ,则 α∩γ=AC β∩γ=BD ∵α‖β ∴AC‖BD 又∵
AE CF = EB FD

∴EF‖AC‖BD ∴EF‖α‖β 2°若 AB 与 CD 异面,过 A 作 AA'‖CD 在 AA'截点 O,使
AO AE CF m = = = OA' 1 EB FD n

∴EO‖BA' OF‖A'D ∴平面 EOF‖α‖β ∴EF 与 α,β 无公共点 ∴EF‖α‖β 变式训练 2:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N,P 分别是 CC1,B1C1,C1D1 的中点. : 求证:(1) AP ⊥ MN; (2) 平面 MNP‖平面 A1BD. 证明: 证明:(1) 连 BC1 易知 AP 在 BCC1B1 内射影是 BC1 BC1⊥MN ∴AP⊥MN (2) ∵
PN // BD 面 A1 B // PM

MNP‖面 A1BD

- 19 -

例 3.已知 a 和 b 是两条异面直线. (1) 求证:过 a 和 b 分别存在平面 α 和 β,使 α‖β; (2) 求证:a,b 间的距离等于平面 α 与 β 的距离. (1) 在直线 a 上任取一点 P,过 P 作 b'‖b,在直线 b 上取一点 Q 过 Q 作 a'‖a 设 a, b'确定一个平面 α a', b 确定平面 β a'‖a a α ∴a'‖α

同理 b‖α 又 a',b β ∴α‖β 因此,过 a 和 b 分别存在两个平面 α,β (2) 设 AB 是 a 和 b 的公垂线,则 AB⊥b,AB⊥a ∴AB⊥a' a'和 b 是 β 内的相交直线,∴AB⊥β 同理 AB⊥α 因此,a, b 间的距离等于 α 与 β 间的距离. 变式训练 3:如图,已知平面 α‖平面 β,线段 PQ,PF,QC 分别交平面 α 于 A,B,C,点, 交平面 β 于 D,F,E 点,PA=9,AD=12,DQ=16,△ABC 的面积是 72,试求△DEF 的面积. P 解:平面 α‖平面 β,∴AB‖DF,AC‖DE, ∴∠CAB=∠EDF. 在△PDF 中, AB‖DF, DF= 同理 DE= AC.
1 4 S△DEF= DFDE sin∠EDF= S△ABC=96. 2 3 4 7 PA 7 AB= AB, PA + AD 3

A C B

α

D E F Q

β

平面 α ‖平面 β , ABC. A1B1C1 分别在 α ,β 内, 例 4.如图,

线段 AA1,BB1,CC1 交于点 O,O 在 α , β 之间,若 AB=2AC=2,∠BAC=60°,OA:OA1=3:2. 求 A1B1C1 的面积. A 解:∵α‖β AA1∩BB1=O ∴AB‖A1B1 同理 AC‖A1C1 BC‖B1C1 ∴△ABC∽△A1B1C1 S△ABC= 1 ABACsin60°=
2
AB OA 3 = = A1 B1 OA1 2 3 2

αB O β C1 A1 B1

C



S ABC 9 = S A1 B1C1 4

∴ S A1B1C1 =

2 3 9

变式训练 4:如图,在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD : = 2 a,点 E 是 PD 的中点. (1)证明:PA⊥平面 ABCD,PB‖平面 EAC; E
- 20 -

P

A B

D C

(2)求以 AC 为棱,EAC 与 DAC 为面的二面角 θ 的正切值. (1)证:因为底面 ABCD 是菱形,∠ABC=60°, 证 所以 AB=AD=AC=a, 在△PAB 中,由 PA2+AB2=2a2=PB2 知 PA⊥AB, 同理,PA⊥AD,所以 PA⊥平面 ABCD. 因为 PB = PD + DC + CB =2 ED + DC + DA =( ED + DA )+( ED + DC )= EA + EC ∴ PB , EA , EC 共面. PB 平面 EAC,所以 PB‖平面 EAC. (2) 解:作 EG‖PA 交 AD 于 G,由 PA‖平面 ABCD,知 EG⊥平面 ABCD.作 GH⊥AC 于 H, 连结 EH,则 EH⊥AC,∠EHG 即为二面角 θ 的平面角. 又 E 是 PD 的中点,从而 G 是 AD 的中点,EG= a,AG= a,GH=AG sin 60°= 所以 tanθ= 小结归纳 1.判定两个平面平行的方法:(1)定义法;(2)判定定理. 2.正确运用两平面平行的性质. 3.注意线线平行,线面平行,面面平行的相互转化:线‖线 线‖面 面‖面. 基础过关
2 3 . 3
1 2 1 2

3 a, 4

第 7 课时

两个平面垂直

1.两个平面垂直的定义:如果两个平面相交所成二面角为 . 相垂直. 2.两个平面垂直的判定:如果一个平面 . 面互相垂直. 3. . 两个平面垂直的性质: 如果两个平面垂直, 那么一个平面 直线垂直于另一个平面. 有一条直线

二面角,则这两个平面互

另一个平面,则这两个平

的垂直于它们的



4.异面直线上两点间的距离公式:EF= d 2 + m 2 + n 2 ± 2mn cos θ ,其中:d 是异面直线 a,b . 的 ,θ 为 a,b ,m,n 分别是 a,b 上的点 E,F 到 AA'与 a,b 的交点

A,A'的距离. 例1 如图所示,在四面体 S-ABC 中,SA=SB=SC,∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°. A B S
- 21 -

求证:平面 ABC⊥平面 BSC.

D C

证明: 证明:略 变式训练 1:如图,在三棱锥 S-ABC 中,SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC. : ⑴ 求证:AB⊥BC; ⑵ 若设二面角 S-BC-A 为 45°, SA=BC,求二面角 A-SC-B 的大小. 证明: 证明:(1) 作 AH⊥SB 于 H,则 AH⊥平面 SBC ∴AH⊥BC, 又 SA⊥BC ∴BC⊥平面 SAB ∴BC⊥AB (2) ∠SBA 是二面角 S-BC-A 的平面角, ∠SBA=45°, AE⊥SC 于 E, 作 连结 EH, EH⊥SC, ∠AEH 为所求二面角的平面角,∠AEH=60° 例 2.在 120°的二面角 P-a-Q 的两个面 P 和 Q 内,分别有点 A 和点 B,已知点 A 和点 B 到棱 a 的距离分别是 2 和 4,且线段 AB=10,求: (1) 直线 AB 和棱 a 所成的角; (2) 直线 AB 和平面 Q 所成的角. 答案:(1) arc sin 答案
7 5

S C B

A

(2) arc sin

3 10

变式训练 2:已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面 ABCD,PD= : AD,点 E 为 AB 中点,点 F 为 PD 中点. (1) 证明:平面 PED⊥平面 PAB; (2) 求二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值. (1)证明 )证明:连 BD.∵AB=AD,∠DAB=60°, ∴AB⊥PD. ∴△ADB 为等边三角形, 是 AB 中点. ∴E ∴AB⊥DE, ∵PD⊥面 ABCD, 面 ABCD, AB ∵DE 面 PED,PD 面 PED,DE∩PD=D, ∴AB⊥面 PED,∵AB 面 PAB.∴面 PED⊥面 PAB. (2)解:∵AB⊥平面 PED,PE 面 PED,∴AB⊥PE.连结 EF,∵ EF 面 PED,∴AB⊥EF. ) ∴ ∠PEF 为二面角 P-AB-F 的平面角. 设 AD=2,那么 PF=FD=1,DE= 3 . 在△PEF 中,PE= 7 ,EF=2,PF=1 ∴cos∠PEF=
( 7 ) 2 + 22 1 2× 2 7 = 5 7 14 5 7 . 14

即二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值为

例 3.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形,PA⊥平面 ABCD,E,F 分别是 AB,PD 的中点,又 P 二面角 P-CD-B 为 45°. F ⑴ 求证:AF‖平面 PEC; A D E - 22 B C

⑵ 求证:平面 PEC⊥平面 PCD; ⑶ 设 AD=2,CD=2 2 ,求点 A 到面 PEC 的距离. 证明: 证明:(1) 取 PC 的中点 G,易证 EG‖AF,从而 AF‖平面 PEC (2) 可证 EG⊥平面 PCD (3) 点 A 到平面 PEC 的距离即 F 到平面 PEC 的距离, 考虑到平面 PEC⊥平面 PCD, F 作 FH⊥PC 过 于H,则 FH 即为所求,由△PFH~△PCD 得 FH=1 变式训练 3:如图,在四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形,平 : 面 VAD⊥底面 ABCD. ⑴ 证明:AB⊥平面 VAD; ⑵ 求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小. (1)证明 证明: 证明 平面 VAD⊥平面 ABCD AB⊥AD AB 平面 ABCD AD=平面 VAD∩平面 ABCD (2)解:取 VD 的中点 E,连结 AE,BE. 解 ∵△VAD 是正三角形,∴AE⊥VD,AE= ∵AB⊥平面 VAD,∴AB⊥AE. 又由三垂线定理知 BE⊥VD. 于是 tan ∠AEB=
AB 2 3 = , AE 3
AB⊥平面 VAD

V C D A B

3 AD. 2

即得所求二面角的大小为 arc tan

2 3 3

如图, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 四边形 A1ABB1 是菱形, 四边形 BCC1B1 是矩形, AB⊥BC, 例 4. . CB=3,AB=4,∠A1AB=60°. ⑴ 求证:平面 CA1B⊥平面 A1ABB1; ⑵ 求直线 A1C 与平面 BCC1B1 所成角的正切值; (3) 求点 C1 到平面 A1CB 的距离. 证( 1) 因为四边形 BCC1B1 是矩形, 又∵AB⊥BC,∴BC⊥平面 A1ABB1. (2)过 A1 作 A1D⊥B1B 于 D,连结 DC, ∵BC⊥平面 A1ABB1,∴BC⊥A1D. ∴ A1D⊥平面 BCC1B1, 故∠A1CD 为直线 A1C 与平面 BCC1B1 所成的角, 在矩形 BCC1B1 中,DC= 13 ,因为四边形 A1ABB1 是菱形.
- 23 -

A1 C1

B1

A C

B

∠A1AB=60°,CB=3,AB=4,∴ A1D=2 3 ∴ tan∠A1CD=
A1 D 2 39 = . 13 CD

(3)∵ B1C1‖BC,∴B1C1‖平面 A1BC. ∴ C1 到平面 A1BC 的距离即为 B1 到平面 A1BC 的距离. 连结 AB1,AB1 与 A1B 交于点 O,∵四边形 A1ABB1 是菱形,∴B1O⊥A1B. ∵ 平面 CA1B⊥平面 A1ABB1,∴B1O⊥平面 A1BC, ∴ B1O 即为 C1 到平面 A1BC 的距离. ∵B1O=2 3 ∴ C1 到平面 A1BC 的距离为 2 3 .

变式训练 4:如果在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是∠DAB=60°,且边长为 a 的菱形,侧面 : PAD 为正三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD. ⑴ 若 G 为 AD 边的中点,求证 BG⊥平面 PAD; ⑵ 求证 AD⊥PB; ⑶ 求二面角 A-BC-P 的大小; ⑷ 若 E 为 BC 边的中点,能否在棱 PC 上找到一点 F, 使平面 DEF⊥平面 ABCD,并证明你的结论. 答案 (1) 略 (2) 略 小结归纳 (3) 45° (4) F 为 PC 的中点 A G D B C P

在证明两平面垂直时,一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线;若没有这样的直线,则 可通过作辅助线来解决,而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明,不能随意添加,在 有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然 后再转化为线线垂直."线线垂直","线面垂直","面面垂直"间的转化是解决这类问题的关键.

第 8 课时
基础过关

空间的角

1. . 两异面直线所成的角: 直线 a, 是异面直线, b 经过空间一点 O 分别引直线 a' 把直线 a'和 b'所成的 或

a, b'

b, .

叫做两条异面直线 a, 所成的角, b 其范围是 所成的

2.直线和平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面上的 . 条斜线和平面所成的角. 规定: ① 一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是 或在平面内,我们说它们所成的角是 其范围是 .
- 24 -

角,叫做这

角;② 一条直线与平面平行

角.

公式:cosθ=cosθ1cosθ2,其中,θ1 是 3.二面角:从一条直线出发的 4.二面角的平面角:以二面角的棱上 .

,θ2 是

,θ 是

.

所组成的图形叫做二面角. 一点为端点,在两个面内分别作 P 棱的两

条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,其范围 是 .

典型例题 例 1. 如图,已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P,PA⊥平面 ABCD, B E,F 分别是 AB,PC 的中点. (1)求 EF 与平面 PAD 所成角的大小; (2)求 EF 与 CD 所成角的大小; (3)若∠PDA=45°,求:二面角 F—AB—D 的大小. 解:(1)易知 EF‖平面 PAD,故 EF 与平面 PAD 成角为 0°; (2)易知 EF⊥CD,故 EF 与 CD 成角为 90°;

F A E C D

D1 A1 B1 D B

C1

C

(3)取 AC 中点为 0,则∠FEO 为所求二面角的平面角,易求得∠FEO=45°. A 变式训练 1:如图,ABCD—A1B1C1D1 是正四棱柱,若二面角 C1 : —BD—C 的大小为 60°,求异面直线 BC1 与 AC 所成 的角的大小. 答案:arccos 答案
5 5

例 2. 在等腰梯形 ABCD 中,AB=20,CD=12,它的高为 2 15 ,以底边的中垂线 MN 为折痕, 将梯形 MBCN 折至 MB1C1N 位置,使折叠后的图形成 120°的二面角,求: N C D ⑴ AC1 的长; C ⑵ AC1 与 MN 所成的角; ⑶ AC1 与平面 ADMN 所成的角.
7 答案: 答案:(1) 16 (2) arcsin 8

A
3 16

M

B B

(3) arcsin 3

变式训练 2:已知四边形 ABCD 内接于半径为 R 的⊙O,AC 为⊙O 的直径,点 S 为平面 ABCD : S 外一点,且 SA⊥平面 ABCD,若∠DAC=∠ACB=∠SCA=30°,求: D ⑴ 二面角 S-CB-A 的大小; A C O ⑵ 直线 SC 与 AB 所成角的大小.
2 答案: 答案:(1) arctan 3 3

(2) arccos

3 4

B

例 3. △ABC 和△DBC 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD,∠ABC=∠DBC=120°.求: ⑴ AD 与平面 DBC 所成的角;

- 25 -

⑵ 二面角 A-BD-C 的正切值. 解:(1) 作 AE⊥BC 交 BC 的延长线于 E, 由面 ABC⊥面 BCD 知 AE⊥向 BCD,∠ADE 即为所求,求得∠ADE=45° (2) 作 EF⊥BO 于 F,∠AFE 即为所求,求得 tan∠AFE=2 变式训练 3:正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E 是 AC 中点. ⑴ 求证:平面 BEC1⊥平面 ACC1A1; ⑵ 求证:AB1‖平面 BEC1; ⑶ 若 A1 A = 2 ,求二面角 E-BC1-C 的大小. 2 AB 答案:(1) 略 (2) 略 (3) 45° 答案 A E C B A C B

A B D C

∠ABC=90°, AB=BC=a, 1=2AB, 为 CC1 上的点.(1) AA M 例 4: 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 当 M 在 C1C 上的什么位置时,B1M 与平面 AA1C1C 所成的角为 30°; (2) 在(1)的条件下,求 AM 与 A1B 所成的角. 解(1) 取 A1C1 的中点 N1,连结 B1N1,N1M, 由已知易知 B1N1⊥平面 A1C1CA. ∴∠B1MN1 为 B1M 与平面 A1C1CA 所成的角, 设 C1M=x,B1N1= sin < B1MN1=
2 2

C B

M

C1 B1 A1

a. , 解得 x=a,

A

B1 N1 2 1 = / x2 + a2 = B1M 2 2

B 则 C1M= 1 C1C, ∴M 为 C1C 的中点.
2

C

(2) arccos

15 15

E A

F D

变式训练 4:已知正方形 ABCD,E,F 分别是边 AB, : CD 的中点,将△ADE 沿 DE 折起,如图所示,记二 面角 A—DE—C 的大小为 θ (0 < θ < π ) ,若△ACD 为正三角形,试判断点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 是否在直线 EF 上,证明你的结论,并求角 θ 的余弦值. 解:点 A 在平面 BCDE 内的射影在直线 EF 上, 过点 A 作 AG⊥平面 BCDE,垂足为 G, 连结 GC,GD. ∵△ACD 为正三角形, ∴AC=AD,∴GC=GD, ∴G 在 CD 的垂直平分线上,又∵EF 是 CD 的垂直平分线, E

A B C

F D

∴点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上,过 G 作 GH⊥ED,垂足为 H,连结 AH,则 AH⊥DE.∴∠AHG 是二面角 A—DE—C 的平面角,即∠AHG= θ ,
- 26 -

设原正方形 ABCD 的边长为 2a,由直角三角形的射影定理, 可得 AH= ∴ cosθ =
2a 5
GH 1 = . AH 4

,GH=

a 2 5

,

小结归纳

1.两异面直线所成角的作法: ① 平移法:在异面直线中的一条直线上选择"特殊点",作另一条直线的平行线,常常利用中 位线或成比例线段引平行线; ② 补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体,平行六面体,长方体等,其 目的是容易作出两条异面直线所成的角. 2.作出直线和平面所成角的关键是作垂线,找射影. 3.平面角的作法: ① 定义法;② 三垂线法;③ 垂面法. 4.二面角计算,一般是作出平面角后,通过解三角形求出其大小,也可考虑利用射影面积公 式 S'=Scosθ 来求. 5.空间角的计算有时也可以利用向量的求角公式完成.

第 9 课时
基础过关 1.点与点的距离:两点间 . 2.点与线的距离:点到直线的 的长. 的长.

空间距离

3.平行线间的距离:从两条平行线中一条上 . 间的线段长. 4.点与面的距离:点到平面的 . 的长.

一点向另一条引垂线,这点到



5.平行于平面的直线与平面的距离:直线上 6.两个平行平面间的距离:从其中一个平面上 . 之间的线段长. 7.两条异面直线的距离:与两条异面直线都 . 典型例题

一点到平面的

的长.

一点向另一个平面引垂线,这点到

的直线夹在两

间线段的长.

例 1. 已知正六边形 ABCDEF 的边长为 a,PA⊥平面 AC,PA=a.求: ⑴ P 到直线 BC 的距离; ⑵ P 到直线 CD 的距离.

- 27 -

答案: 答案:(1)

7 a 2

(2) 2a

变式训练 1: 已知平面 α 外不共线的三点 A,B,C 到 α 的距离相 : 等.求证:存在△ABC 的一条中位线平行 α 或在 α 内. 提示:分 A,B,C 在 α 的同侧与异侧讨论 例 2.如图, 直线 l 上有两定点 A,B, 线段 AC⊥l,BD⊥l, . AC=BD=a,且 AC 与 BD 成 120°角,求 AB 与 CD 间的距离. 解:在面 ABC 内过 B 作 BE⊥l 于 B,且 BE=AC, 则 ABEC 为矩形. ∴AB‖CE,∴AB‖平面 CDE. 则 AB 与 CD 的距离即为 B 到 DE 的距离. 过 B 作 BF⊥DE 于 F,易求得 BF= a ,∴AB 与 CD 的距离为 a . 变式训练 2:ABCD 是边长为 a 的正方形,M,N 分别为 DA,BC 边上的点,且 MN‖AB 交 AC : D C 于 O 点,沿 MN 折成直二面角. ⑴ 求证:不论 MN 怎样平行移动(AB‖MN),∠AOC 的大小不变; ⑵ 当 MN 在怎样的位置时,点 M 到平面 ACD 的距离最大? 并求出这个最大值. 解(1) 120°; (2) 当且仅当 MA=MD 时,点 M 到平面 ACD 的距离最大,最大值为 设 MD=x,M 到 AD 的距离 h 即是 M 到平面 ACD 的距离: h=
x(a x) x + (a x )
2 2

l A C B D

1 2

1 2

M

O B

N

A

2 4

a.



x(a x) 2 x(a x)

=

x( a x) 2



2 a a(当 x= 时两不等式同取等号) 4 2

例 3. 已知 ABCD 是边长为 4 的正方形,E,F 分别是 AB,AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,GC=2, G 求点 B 到平面 EFG 的距离. D F 解:连结 AC,BD,AC∩BD=0, C ∵E,F 分别是 AB,AD 的中点, ∴EF‖BD, ∴B 到平面 EFG 的距离即 0 到平面 EFG 的距离,AC∩EF=K,连结 KG, ∵EF⊥KC,∴EF⊥平面 KGC,过 O 作 OH⊥KG 于 H,则 OH⊥平面 EFG, ∴OH 即为 O 到平面 EFG 的距离,KC= 3 AC=3
4
2

A

E

B

,KG=

22

,OK= 1 AC=
4

2

,由

Rt△OHK∽Rt△CKG 得 OH=

2 11 . 11

变式训练 3:正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,E,F 分别是 BB1,CD 的中点. :

- 28 -

⑴ 求证:AD⊥D1F; ⑵ 求证:AE 与 D1F 所成的角; ⑶ 求点 F 到平面 A1D1E 的距离. 答案: 答案:(1) 略 (2) 90° (3)将 F 移至 AB 中点研究
3

D1 A D A B1 E F B

C1

C

5 a. 10

例 4.在正北方向的一条公路上,一辆汽车由南向北行驶,速度为 100 千米/小时,一架飞机 在一定高度上的一条直线上飞行,速度为 100 7 千米/小时,从汽车里看飞机,在某个时刻看 见飞机在正西方向,仰角为 30°,在 36 秒后,又看见飞机在北偏 求飞机飞行的高度.
F C

西 30°, 仰角为 30°处,
D

解:如图 A,C 分别是汽车,飞机开始时的位置, B,D 分别是经过 36 秒后的位置,ABEF 是水平面,
36 CFED 是矩形,且 CD= ×100 7 = 7 (千米), 3600
南 A

30°

30° 30°

E 北

B

G

AB=

36 ×100=1 千米,CF(或 DE)则为飞机的飞行高度,设其为 x 千米,在 Rt△CFA 中,AF 3600

= 3 x;在 Rt△DEB 中,BE= 3 x. 作 EG⊥AB 于 G,EH⊥AF 于 H,则 EG=AH= AG=1+ x ,FH=
3 2

3 x,EH= 2

3 3 2 3 x. 在 Rt△FHE 中,EF2=FH2+EH2,即( 7 )2=( x) +(1+ x )2,∴ x 2 2 2

=1. 故飞机飞行的高度为 1 千米. 变式训练 4:如图,四面体 ABCD 中,△ABC 与△DBC 都是边长为 4 的正三角形. : (1)若点 D 到平面 ABC 的距离不小于 3,求二面角 A—BC—D 的取值范围; (2)当二面角 A—BC—D 的平面角为 π 时,求点 C 到平面 ABD 的距离.
3

解(1) [

π 2

, π ] (提示:D 到平面 ABC 的距离 d∈[3, 2 3 ] ) 3 3

A

(2)取 BC 中点 E,连结 EA,ED,则∠AED= ∴AD=AE= 2 3 ∵ V A BCD= BC S AED = 4 又S
1 3
ABD

π
3

D B
1 3 3 (2 3 ) 2 = 4 3 4

1 3

C

=

1 × 2 3 × 13 = 39 ,设 C 到平面 ABD 的距离为 h. 2

则 39 h = 4 3 小结归纳

∴h =

12 13 13

- 29 -

1.对于空间距离的重点是点到直线,点到平面的距离,对于两异面直线的距离一般只要求会 求给出公垂线段时的距离. 2,求点到平面的距离的方法: ⑴ 确定点在平面射影的位置,要注意利用面面垂直求作线面垂直及某些特殊性质. ⑵ 转化法.即化归为相关点到平面的距离或转化为线面距或转化为面面距来求. (3) 等体积法:利用三棱锥的体积公式,建立体积相等关系求出某底上的高,即点面距. 3.距离问题有时也可以利用向量的模的计算解决.具体见第 11 节的小结 4,5 两点.

第 10 课时
基础过关 一,棱柱 1.定义:如果一个多面体有两个面互相

棱柱 棱锥

,而其余每相邻两个面的交线互相 ,其余各面叫做棱柱

,

这样的多面体叫做棱柱,两个互相平行的面叫做棱柱的 的 的 ,两侧面的公共边叫做棱柱的 . ,侧面是

,两个底面所在平面的公垂线段,叫做棱柱

2.性质:① 侧棱 . 平行的

;② 两个底面与平行于底面的截面是对应边互相 四边形.

多边形;③ 过不相邻的两条侧棱的截面是

3.分类:① 按底面边数可分为 . 棱柱

;② 按侧棱与底面是否垂直可分为:

4.特殊的四棱柱:四棱柱→平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体. . 5.长方体对角线的性质:长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的 二,棱锥 1.定义:如果一个多面体的一个面是 ,其余各面是有一个公共顶点的 , .

那么这个多面体叫做棱锥,有公共顶点的各三角形,叫做棱锥的 叫做棱锥的 做棱锥的 .两个相邻侧面的公共边,叫做棱锥的

;余下的那个多边形, ,各侧面的公共顶点,叫 . ,截面面积与底

;由顶点到底面所在平面的垂线段,叫做棱锥的

2.性质:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面 . 面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 3.正棱锥的定义:如果一个棱锥的底面是 . 的 ,这样的棱锥叫做正棱锥. .

多边形,且顶点在底面的射影是底面

4.正棱锥的性质: ① 正棱锥各侧棱 (它叫做正棱锥的 ,各侧面都是 ) ;
- 30 -

的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高

② 正棱锥的高,斜高和斜高在底面内的射影组成一个 侧棱在底面内的射影组成一个 典型例题 三角形.

三角形,正棱锥的高,侧棱, D1 C1 A1 F B1 E

例 1.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,AB=1,AA1=2, . 点 E 为 CC1 的中点,点 F 为 BD1 的中点. ⑴ 证明:EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线; ⑵ 求点 F 到面 BDE 的距离. 答案(1)略; (2) 答案
3 3

D A B

C

A1 B1 A O C B

C1

变式训练 1:三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB= 2 a, : BC,AC,AA1 长均为 a,A1 在底面 ABC 上的射影 O 在 AC 上. ⑴ 求 AB 与侧面 AC1 所成的角; ⑵ 若 O 点恰是 AC 的中点,求此三棱柱的侧面积. 答案(1) 答案 45°;(2)
1 (2 + 3 + 7 )a 2 2

P E C B A

例 2. 如图,正三棱锥 P—ABC 中,侧棱 PA 与底面 ABC 成 60°角. (1)求侧 PAB 与底面 ABC 成角大小; (2)若 E 为 PC 中点,求 AE 与 BC 所成的角; (3)设 AB= 2 3 ,求 P 到面 ABC 的距离. 解:(1) arctan 2 3 ; (2)取 PB 中点 F,连结 EF,则∠AEF 为所求的角,求得∠AEF= arccos (3)P 到平面 ABC 的距离为 2 3 . 变式训练 2: 四面体 ABCD 中,O,E 分别是 BD,BC 的中点, : CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= 2 . (1)求证:AO⊥平面 BCD; (2)求异面直线 AB 与 CD 所成的角; (3)求点 E 到平面 ACD 的距离. 答案: 答案:(1)易证 AO⊥BD,AO⊥OC,∴AO⊥平面 BCD; (2) arccos
2 21 ;(3)用等体积法或向量法可求得点 E 到平面 ACD 的距离是 . 4 7 30 ; 20

A

O D E C

B

例 3. 四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形,AB‖CD,AB=2,CD=1,∠DAB=45°;侧面 P PAD 是等腰直角三角形,AP=PD,且平面 PAD⊥平面 ABCD. D C
- 31 -

A

B

⑴ 求证:PA⊥BD; ⑵ 求 PB 与底面 ABCD 所成角的正切值; ⑶ 求直线 PD 与 BC 所成的角. 答案:(1)略;(2) 答案
5 5

;(3)60°

变式训练 3:在所有棱长均为 a 的正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 为 BC 的中点. B1 ⑴ 求证:AD⊥BC1; ⑵ 求二面角 A-BC1-D 的大小; ⑶ 求点 C 到平面 ABC1 的距离. 提示:(1)证 AD⊥平面 BB1C1C;(2) arc tan 6 ;(3) 提示
21 a. 7

C1 A A

B D C

例 4.如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ACB=90°,AC=BC=CC1=1,M 为 AB 的中点, . A1D=3DB1. (1)求证:平面 CMD⊥平面 ABB1A1; (2)求点 A1 到平面 CMD 的距离; (3)求 MD 与 B1C1 所成角的大小. 提示(1)转证 CM⊥平面 A1B; 提示 (2)过 A1 作 A1E⊥DM,易知 A1E⊥平面 CMD,∴求得 A1E=1; (3)异面直线 MD 与 B1C1 所成的角为 arccos
2 6

C1 A1 C A M D

B1

B

变式训练 4:在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AD=1,AB= 2 ,O 为对角线 A1C 的中点. ⑴ 求 OD 与底面 ABCD 所成的角的大小; ⑵ P 为 AB 上一动点,当 P 在何处时,平面 POD⊥平面 A1CD?并证明你的结论. 答案(1) 答案 30°;(2) 当 P 为 AB 的中点时,平面 POD⊥平面 A1CD. 小结归纳

柱体和锥体是高考立体几何命题的重要载体,因此,在学习时要注意以下三点. 1.要准确理解棱柱,棱锥的有关概念,弄清楚直棱柱,正棱锥概念的内涵和外延. 2.要从底面,侧面,棱(特别是侧棱)和截面(对角面及平行于底面的截面)四个方面掌握几何性 质,能应用这些性质研究线面关系. 3.在解正棱锥问题时,要注意利用四个直角三角形,其中分别含有九个元素(侧棱,高,侧棱 与斜高在底面上的射影,侧棱与侧面与底面所成角,边心距以及底面边的一半)中的三个,已 知两个可求另一个.

第 11 课时
- 32 -



基础过关 1.球:与定点的距离 2.球的性质 (1) 用一个平面去截一个球,截面是 (2)球心和截面圆心的连线 于截面. . . 或 定长的点的集合.

(3) 球心到截面的距离 d 与球半径 R 及截面的半径 r 有以下关系: (4) 球面被经过球心的平面截得的圆叫 叫 . .被不经过球心的平面截得的圆

(5) 在球面上两点之间的最短连线的长度,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长, 这个弧长叫 . ;球的体积 V

3.球的表面积公式和体积公式:设球的半径为 R,则球的表面积 S= = 典型例题 .

例 1. 如图,A,B,C 是半径为 1 的球面上的三点,B,C 两点间的球面距离为 π ,点 A 与 B,
3

C 两点的球面距离都为 π ,O 为球心,求:
2

(1) ∠BOC , ∠AOB 的大小; (2) 球心 O 到截面 ABC 的距离.
A

O C

B
π
3

解:(1) 因为 B,C 两点的球面距离为 C 两点的球面距离都为
π
2

,即 B,C 两点与球心连线所夹圆心角为
π
2

π
3

,点 A 与 B,

,即 ∠AOC , ∠AOB 均为直角,所以 ∠BOC = π , ∠AOB =
3

(2) 因为⊿BOC,⊿ABC 都是等腰三角形,取 BC 的中点 M,连 OM,AM,过 O 作 OH⊥AM 于 H,可证得 OH 即为 O 到截面 ABC 的距离.
∴ OM =
AM =

3 7 , AM = OA 2 + OM 2 = 2 2

7 21 , OH × AM = AO × OM , OH = 2 7

变式训练 1: 球面上有三点 A,B,C,A 和 B 及 A 和 C 之间的球面距离是大圆周长的 1 ,B :
4

和 C 之间的球面距离是大圆周长的 1 ,且球心到截面 ABC 的距离是 21 ,求球的体积.
6
7

- 33 -

解:设球心为 O,由已知,易得∠AOB=∠AOC=

π
2

,∠BOC=

π
3

,过 O 作 OD⊥BC 于 D,连

AD,再过 O 作 OE⊥AD 于 E,则 OE⊥平面 ABC 于 E,∴OE=
4 4 OA=R=1.∴ V 球= 3 πR3= 3 π. =AOOD

21 . 在 Rt△AOD 中,由 ADOE 7

例 2. 如图,四棱锥 A-BCDE 中, AD ⊥ 底面 BCDE ,且 AC⊥BC,AE⊥BE. (1) 求证:A,B,C,D,E 五点都在以 AB 为直径的同一球面上; (2) 若 ∠CBE = 90 , CE = 3, AD = 1, 求 B,D 两点间的球面距离.
A E B

D C

解:(1) 因 为 AD⊥ 底 面 BCDE, 所 以 AD⊥ BC, AD⊥ BE, 又 因 为 AC⊥ BC, AE⊥ BE, 所 以 BC⊥ CD, BE⊥ ED. 故 B, C, D, E 四 点 共 圆 , BD 为 此 圆 的 直 径 . 取 BD 的 中 点 M,AB 的 中 点 N,连 接 BD,AB 的 中 点 MN,则 MN‖ AD,所 以 MN⊥ 底 面 BCDE,即 N 的 射 影 是 圆 的 圆 心 M,有 AM= BM= CM= DM= EM,故 五 点 共 球 且 直 径 为 AB. (2) 若 ∠ CBE= 90°, 则 底 面 四 边 形 BCDE 是 一 个 矩 形,连接 DN,因为:
CE = 3, AD = 1,∴ BD = 3 , MN = ∴ BN = 1, ∠BNM = 1 2

π
3

2 , ∠BND = π 3 2 3

所以 B,D 两点间的球面距离是 l = α R = π . 变式训练 2:过半径为 R 的球面上一点 M 作三条两两互相垂直的弦 MA,MB,MC. : (1) 求证:MA2+MB2+MC2 为定值; (2) 求△MAB,△MAC,△MBC 面积之和的最大值. 解:(1) 易求得 MA2+MB2+MC2=4R2
2
!

(2) S△MAB+S△MAC+S△MBC= 1 (MAMB+MAMC+MBMC)≤ 1 (MA2+MB2+MC2)=2R2(当且仅当
2

MA=MB=MC 时取最大值). , 例 3.棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面(如图) 则图中三角形(正四面体的截面)的面积是( A.
2 2

)

- 34 -

B.

3 2

C. 2 D. 3 解:设正四面体为正四面体 ABCD,分析截面图可知,截面经过正四面体的一条棱设为 CD,又 过球心,设截面与棱 AB 交于 E 点,则 E 为 AB 的中点,易求得截面三角形的面积为 2 , 故选(C) . 变式训练 3:已知三棱锥 P-ABC 中,E,F 分别是 AC,AB 的中点,△ABC,△PEF 都是正 : 三角形,PF⊥AB. (1) 证明:PC⊥平面 PAB; (2) 求二面角 P-AB-C 的平面角的余弦值; (3) 若点 P,A,B,C 在一个表面积为 12π 的球面上,求△ABC 的边长. 解 (1) 连结 CF,∵PE=EF= 1 BC= 1 AC
2 2

∴AP⊥PC ∵CF⊥AB, PF⊥AB, ∴AB⊥平面 PCF

∵AC 平面 PCF ∴PC⊥AB ∴PC⊥平面 PAB. (2) ∵AB⊥PF, AB⊥CF ∴∠PFC 为所求二面角的平面角 设 AB=a, 则 PF=EF= a , CF=
2
3 a

,

∴cos∠PFC=

a 2 = 3 3 3 a 2

.

(3) 设 PA=x, 球半径为 R ∵PC⊥平面 PAB,PA⊥PB ∵4πR2=12π, ∴R= 得△ABC 的边长为 2 小结归纳
3

, 知△ ABC 的外接圆为球之小圆,由 x2= .

3 x2R. 3

2

1.因为"球"是"圆"在空间概念上的延伸,所以研究球的性质时,应注意与圆的性质类比. 2.球的轴截面是大圆,它含有球的全部元素,所以有关球的计算,可作出球的一个大圆,化 "球"为"圆"来解决问题. 3.球心与小圆圆心的连线,垂直于小圆所在的平面,球的内部结构的计算也由此展开. 4.计算球面上 A,B 两点的球面距离是一个难点,其关键是利用"AB 既是小圆的弦,又是大圆 的弦"这一事实,其一般步骤是: (1) 根据已知条件求出小圆的半径 r 和大圆的半径 R,以及所对小圆圆心角; (2) 在小圆中,由 r 和圆心角求出 AB;

- 35 -

(3) 在大圆中,由 AB 和 R 求出大圆的圆心角; (4) 由圆心角和 R,求出大圆弧长 AB (即球面上 A,B 两点的距离).

- 36 -

立体几何初步单元测试
一,选择题 1. 若直线 a,b 异面,直线 b,c 异面,则 a,c 的位置关系是 A.异面直线 C.平行直线 B.相交直线 D.以上都有可能 ) ( )

2. 设 l,m,n 表示三条直线,α,β,r 表示三个平面,则下面命题中不成立的是 ( A.若 l⊥α,m⊥α,则 l‖m B.若 m β,n 是 l 在 β 内的射影,m⊥l,则 m⊥n C.若 m α,n α,m‖n,则 n‖α D.若 α⊥r,β⊥r,则 α‖β

3. 在空间四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 上分别取 E,F,G,H 四点如果 EF 与 HG 交于 点 M,则( ) A.M 一定在直线 AC 上 B.M 一定在直线 BD 上 C.M 可能在 AC 上,也可能在 BD 上 D.M 不在 AC 上,也不在 BD 上 4. 点 P 到 ΔABC 三边所在直线的距离相等,P 在 ΔABC 内的射影为 O,则 O 为 ΔABC 的( ) A.外心 B.重心 C.内心 D.以上都不对
1 3

5. 已知 ABCD 为四面体,O 为△BCD 内一点(如图) ,则 AO = ( AB + AC + AD) 是 O 为△BCD A 重心的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 6. 已知△ABC 中,AB=9,AC=15,∠BAC=120°,△ABC 所在平面外一点 P 到此三角形三 个顶点的距离都是 14,则点 P 到平面 ABC 的距离是 A.7 B.9 C.11 D.13 ( ) B O C D

7. A,B 两地在同一纬线上,这两地间的纬线长为 πRcosα, 是地球半径,α 是两地的纬度 (R 数) ,则这两地间的球面距离为 A.πR B.πRcosα C.πR2αR ( )

D.πRαR

8. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 BB1,B1C1 的中点,若∠CMN=90°,则异 面直线 AD1 与 DM 所成的角为 A.30° B.45° ( ) C.60° D.90°

- 37 -

9.空间四边形 ABCD 的各边与对角线的长都为 1,点 P 在边 AB 上移动,点 Q 在 CD 上移动, 则点 P 和 Q 的最短距离为 A. 1
2

( ) C. 3
4

B. 2
2

D. 3
2

10.若四面体的一条棱长为 x,其余棱长为 1,体积为 F(x),则函数 F(x)在其定义域上 ( ) A.是增函数但无最大值 B.是增函数且有最大值 C.不是增函数且无最大值 D.不是增函数但有最大值 二,填空题 11.在长方形 ABCD-A1B1C1D1 中,底面是边长为 2 的正方形,高为 4,则点 A1 到截面 AB1D1 的距离是 .

12.正四棱锥 S-ABCD 的侧棱长为 2 ,底面的边长为 3 ,E 是 SA 的中点,则异面直线 BE 与 SC 所成的角为 .

13.已知球的两个平行截面面积分别是 5 π ,8 π ,它们位于球心的同侧,且相距为 1,那么这 个球的半径是 .

14.已知 PA,PB,PC 两两垂直且 PA= 2 ,PB= 3 ,PC=2,则过 P,A,B,C 四点的球的 体积为 .

15.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 2cm,高为 4cm,过 BC 作一个截面,截面与底 面 ABC 成 60°角,则截面的面积是 三,解答题 16.设 P,Q 是单位正方体 AC1 的面 AA1D1D,面 A1B1C1D1 的中心. D C (1) 证明:PQ‖平面 AA1B1B; A (2) 求线段 PQ 的长. B P D1 Q A1 B1 C1 .

17.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AA1=2,AB=3,AD=a,求 (1) 异面直线 B1C 与 BD1 所成的角; (2) 当 a 为何值时,使 B1C ⊥ BD1 ? A1

D1 B1

C1

M D A

C O B

- 38 -

18.如图,正方体 AC1 中,已知 O 为 AC 与 BD 的交点,M 为 DD1 的中点. (1) 求异面直线 B1O 与 AM 所成角的大小. (2) 求二面角 B1-MA-C 的正切值.

19.底面为等腰直角三角形的直三棱柱 ABC A1 B1C1 , ∠C = π , AA1 = AC ,D 为 CC1 上的点,且
2

CC1 = 3C1 D ,求二面角 B B1 D A 的大小.

20.如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点 A 在直线 l 上的射影为 A1,点 B 在 l 上的射影为 B1, 已知 AB=2,AA1=1,BB1= 2 ,求: (1)直线 AB 与平面 β 所成角的大小; (2)二面角 A1—AB—B1 的大小. A A1 β B α B1 l

21.直四棱柱 A1B1C1D1—ABCD 底面是边长为 1 的菱形,侧棱长为 2 . (1) 求证:平面 A1DC1⊥平面 BB1DD1; (2) 若异面直线 B1D 与 A1D1 所成角为 60°,求二面角 A1-DB1-C1 的平面角的余弦值; (3) 判断∠DB1C1 能否为钝角?请说明理由.

- 39 -

D A

C B

D1

C1

A1

B1

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立体几何初步单元测试参考答案: 立体几何初步单元测试参考答案: 参考答案
1.D 2. D 3. D 4. C 5. C 6. A 7. C 8. D 9. B 10.D 11. 15. 2 3cm 2 . 16. (本题考查证明线面平行的方法)
(1)证法一 : 取AA1, A1B1的中点M , N , 连结MN , NQ, MP
∴ MP // ND且MP = ND
∴ 四边形PQNM为平行四边形
4 3

12.

π
3

13. 3 14.

9π 2

∵ MP // AD, MP =

1 1 AD, NQ // A1D1, NQ = A1D1 2 2

∴ PQ // MN ∵ MN 面AA1B1B, PQ 面AA1B1B ∴ PQ // 面AA1 B1B

证法二:连结 AD1,AB1,在△AB1D1 中,显然 P,Q 分别是 AD1,D1B 的中点 ∴PQ‖AB1,且 PQ= AB1 ∵ PQ 面 AA1B1B,AB1 AA1B1B ∴ PQ‖面 AA1B1B 证法三:取 A1D1 的中点 R,则 PR‖DD1‖BB1,OR‖A1B1,平面 PQR‖平面 AA1B1B,PQ‖平面 AA1B1B (2) 方法一:PQ=MN= A1M 2 + A1 N 2 = 方法二:PQ= AB1=
1 2 1 2

2 a 2

2 a 2

评注:本题提供了两种解法,方法一,通过平行四边形的对边平行得到"线线平行",从而证得 "线面平行";方法二,通过三角形的中位线与底边平行得到"线线平行",从而证得"线面平 行".本题证法较多. 17.解:以 D 为坐标原点,以 DA 为 x 轴,DC 为 y 轴, DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系,则有:
B (a,3,0), D1 (0,0,2), B1 (a,3,2), C (0,3,0)

所以 BD1 = (a,3,2) , B1C = ( a,0,2) .从而
cos BD1 , B1C =

BD1 B1C BD1 B1C

=

a2 4 a 2 + 13 a 2 + 4 a2 4 a 2 + 13 a 2 + 4

所以异面直线 B1C 与 BD1 所成的角为 arccos (2) 当 a = 2 时, B1C ⊥ BD1 . 18.(1)

.

- 41 -

方法一 : BO ⊥ AC ,∴ B1O ⊥ AC , 设正方体的棱长为 a , 则 B1O = 6 3 3 a , MO = a , MB1 = a 2 2 2

MB1 2 = B1 D 2 + MO 2 ,∴ MO ⊥ B1O ∴ B1O ⊥ 面 MAO ∴ B1O ⊥ AM

方法二:取 AD 中点 N,连结 A1N,则 A1N 是 B1O 在侧面 ADD1A1 上的射影. 易证 AM⊥A1N ∴AM⊥B1O(三垂线定理) 方法三:建立空间真正坐标系(以 A 为原点,岔以 AB,AD,AA 为 x 轴,y 轴,z 轴,设正方 体棱长为 1) 则 A(0, 0, 0),M(0, 1,
1 1 1 ),O( , ,0),B1(1, 0, 1) 2 2 2

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w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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