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高二数学必修五 2.3等差数列的前n项和(一)



复习引入
1. 等差数列定义: 即an-an-1 =d (n≥2). 2. 等差数列通项公式: (1) an=a1+(n-1)d (n≥1). d ? a n ? a n?1 (2) an=am+(n-m)d .

3. 几种计算公差d的方法:

an ? a1 d ? (3) an=pn+q p、 是常数 d (? a nq?

a n ?1 ) n?1

d ? a n ? a n ?1

an ? a1 d? n?1

an ? am d? n?m

4. 等差中项 a?b A? ? a , A, b 成等差数列. 2 5. 等差数列的性质 m+n=p+q ? am+an=ap+aq.

(m,n,p,q∈N)
6. 数列的前n项和:

a1 ? a2 ? a3 ? ?? an

称为数列{an}的前n

项和,记作Sn,那么Sn-1表示什么?

高斯(Gauss,1777—1855), 德国著名数学家,他研究的内 容涉及数学的各个领域,被称 为历史上最伟大的三位数学家 之一,他与阿基米德、牛顿齐 名,是数学史上一颗光芒四射 的巨星,被誉为“数学王子”.

创设情景
有一次,老师与高斯去买铅笔,在商店发 现了一个堆放铅笔的V形架, V形架的最下面一层放 一支铅笔,往上每一层 都比它下面一层多放一 支,最上面一层放100支. 老师问:高斯,你知道这 个V形架上共放着多少支铅笔吗? 问题就是: 计算1+ 2+ 3 +… + 99 + 100

高斯的算法
计算: 1+ 2+ 3 +… + 99 + 100 高斯算法的高明之处在于他发现这 100 个数可以分为50组: 中间的一 第一个数与最后一个数一组; 组数是什 首尾 么呢? 第二个数与倒数第二个数一组; 配对 第三个数与倒数第三个数一组,?? 相加 法 每组数的和均相等,都等于101,50个 101 就等于 5050 了。高斯算法将加法问题 转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.

创设情景

平行四 三角形 边形

若V形架的的最下面一层放一支铅笔,往上每 一层都比它下面一层 多放一支,最上面 一层有很多支铅笔, 老师说有n支。问: 这个V形架上共放 着多少支铅笔? 问题就是: 1+ 2+ 3 +… + (n-1) + n 若用首尾配对相加法,需要分类讨论.

倒序相加法
计算: 1 ?
分析:这 其实是求 一个具体 的等差数 列前n项 和.

2

?

3 ? ?? (n ?1) ? n ①
2 +1 ②

n + (n-1) + (n-2) +…+

2 ? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ?1) ? n? ? n ? (n ? 1)
n ? (n ? 1) ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n ? 2

那么,对一般的等差数列,如何求它的 项和呢? 前n项和

如何才能将 等式的右边 已知等差数列{ an }的首项为a1,项数 化简?

问题分析

是n,第n项为an,求前n项和Sn .

? Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an Sn ? an ? a n?1 ?an?2 ? ?? a1

① ②

?2Sn ? ? a1 ? an ? ? ? a2 ? a n?1 ? ? ? a3 ? an?2 ? ? ?? ? an ? a1 ?

又? a1 ? an ? a2 ? a n?1 ? a3 ? an?2 ? ? ? an ? a1
n(a1 ? an ) ?2Sn ? n(a1 ? an ) 即S n ? 2

等差数列的 前n项和等 等差数列的前n项和的公式: 于首末两项 的和与项数 n(a1 ? an ) 乘积的一半。

求和公式

可知三 求一

Sn ?

2

不含d

思考:(1)公式的文字语言; (2)公式的特点;

由于an ? a1 ? ? n ?1? d , 故

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

想 一 想

在等差数列 {an} 中,如果已知 五个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三 个, 请问: 能否求出其余两个量 ?

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

an ? a 1 ? ( n ? 1)d
结论:知 三 求 二

【课中导学】
(2) a1 ? ?10 , d ? 4 , Sn ? 54 ,求 n ; (3) S5 ? 25 , S10 ? 100 ,求 a1 及 d 。

例 1.已知等差数列 {an } 中, (1) a1 ? 75 , a7 ? 105, 求 S7 ;

7 ? (a1 ? a7 ) (1) S 7 ? ? 630 2

n(n ? 1) (2) ? S n ? ?10n ? ? 4 ? 54 2 ? n 2 ? 6n ? 27 ? 0 ? n ? 9或n ? ?(舍) 3

?5a1 ? 10d ? 25 ?a1 ? 1 (3)由题意: ?? ? ?10a1 ? 45d ? 100 ?d ? 2

例 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实

施“校校通”工程的知》。某市据此提出了实施“校
校通”工程的总目标:从2001年起用10年的时间,在

全市中小学建成不同标准的校园网。据测算,2001年
该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保 证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年

增加50万元。那么从2001年起的未来10年内,该市在
“校校通”工程中的总投入是多少?

解:根据题意,从2001~2010年,该市每年投入“校校 通”工程的经费都比上一年增加50万元。所以,可以建 立一个等差数列{an},表示从2001年起各年投入的资金, 其中

a1 ? 500 , d ? 50.

那么,到2010年(n=10),投入的资金总额为
10 ? (10 ? 1) S10 ? 10 ? 500 ? ? 50 ? 7250 (万元 ). 2

答:从2001~2010年,该市在“校校通” 工程中的总投入是7250万元。

例 2:已知一个等差数列 {an } 前 10 项的和是 310, 前 20 项的和是 1220.由这些条件能确定这个等差数列 的前 n 项和的公式吗?并求数列 {an } 前 30 项的和.

解: 由题设:S

a ? 4 10 a ? 45 d ? 310 ? ? 1 1 得: ?? ? ?20 a1 ? 190 d ? 1220 ?d ? 6

10

? 310

S20 ? 1220

n(n ? 1) 2 ? S n ? 4n ? ? 6 ? 3n ? n 2 2 ? S30 ? 3? 30 ? 30 ? 2730

类型 1 与等差数列前 n 项和 Sn 有关的基本运算 [典例 1] 在等差数列{an}中. 5 3 (1)a1= ,an=- ,Sn=-5,求 n 和 d; 6 2 (2)a1=4,S8=172,求 a8 和 d; (3)已知 d=2,an=11,Sn=35,求 a1 和 n.

2 的通项公式,这个数列是等差数列吗?如果是,它的 首项与公差分别是什么?

例3.已知数列{an}的前n项和为Sn

1 2 ? n ? n, 求这个数列

解:Sn ? a1 ? a2 ? ?? an?1 ? an
Sn?1 ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 (n ? 1)
2

1 1 1 2 当n >1时:an ? sn ? sn?1 ? n ? n ? [( n ? 1) ? (n ? 1)] ? 2n ? ① 2 2 2 1 3 2 当n=1时: a1 ? s1 ? 1 ? ?1 ? 也满足①式. 2 2 1 ? 数列{an }的通项公式为an ? 2n ? . 2 3 由此可知:数列{an}是以 为首项,公差为2的等差数列. 2

2 4 例4. 已知等差数列5, 4 ,3 , ....的前n项和为Sn , 7 7 求使得Sn最大的序号n的值.
5 【解析】由题意知,等差数列的公差为 ? 7

n(n ? 1) 5 5 15 2 1125 Sn ? 5n ? (? ) ? ? (n ? ) ? 2 7 14 2 56
15 于是,当n取与 2 最接近的整数即7或8时,S n

取最大值

知识打包 存放 备用
n(a1 ? an ) Sn ? 2
倒序求和法

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

an=a1+(n-1)d

掌握与应用

对于Sn、an 、a1、n、d 五个量,“知三求二”.

方程(组)思想 (待定系数法)

课堂小结
(两个) 1.等差数列前n项和的公式;

n(a1 ? an ) Sn ? 2

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

2.等差数列前n项和公式的推导方法— —倒序相加法; 3.在两个求和公式中,各有五个元素,只要 知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另 两个元素.
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