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第一讲 正余弦定理



第一讲
一、 知识扫描:

正、余弦定理

1.正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ??? C 的外接

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C 正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R

sin ? , c ? 2 R sin C ; a b c ② sin ? ? , sin ? ? , sin C ? ; 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; a?b?c a b c ? ? ? ④ . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C
圆的半径,则有 2.余弦定理:在 ??? C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? , b ? a ? c ? 2ac cos ? ,
2 2 2 2 2 2

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C .
余弦定理的推论: cos ? ?

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 , cos ? ? , cos C ? . 2bc 2ac 2ab

二、 基础练习:
1、在△ ABC 中,若 ?A ? 60 ? , ?B ? 45? , BC ? 3 2 ,则 AC ? A. 4 3 B. 2 3 C.

3

D.

3 2
) B.60° D.30°或 150°

2、在△ABC 中,a=2 3,b=2 2,B=45°,则 A 等于( A.30° C.60°或 120°

3、三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的长分别为 a,b,c,若 a=2 ,B= 4、边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是( A 60
?

?
6

,c=2 3 ,则 b=



B 120

?

C 135

?

D 150

?

5、已知△ABC 中, b cos C ? c cos B ,试判断△ABC 的形状 → → → → 6、在△ABC 中,若|AB|=2,|AC|=5,AB·AC=-5,则 S△ABC=( A. 5 3 2 B. 3 C. 5 2 D.5

. )

7、一个三角形两条边长分别为 3 cm、5 cm,其夹角的余弦值是方程 5x -7x-6=0 的根,则 此三角形的面积是____________。 8、 已知△ABC 中,AB=6,∠A=30°,∠B= 120? ,则△ABC 的面积为( ).

2

A.9 B.18 C.9 D.18 3 9、在△ABC 中,若 c2 ? a 2 ? b2 ? ab ,则∠C=( ). A. 60° B. 90° C.150° D.120° 1 10、在△ABC 中, a ? 3 2 , b ? 2 3 , cos C ? ,则 S△ABC ? _______ 3

三、 典型例题:
1、已知在 ?ABC中,c ? 10, A ? 450 , C ? 300 , 求a, b和B

2、 ?ABC中,c ? 6, A ? 450 , a ? 2, 求b和B, C

3、在△ABC 中,已知 a ? 3 , b ? 2 , B ? 45? ,求 A, C 和 c .

4、在△ABC 中,已知三边长 a ? 3 , b ? 4 , c ? 37 ,求三角形的最大内角.

5、在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,求 AB ? BC 的值.

??? ??? ? ?

6、在 ? ABC 中,其三边分别为 a、b、c,且满足 ab sin C ?

1 2

a 2 ? b2 ? c 2 ,求角 C. 4

7、在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长.

8、在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsinA= 3 acosB。 (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值.

四、 家庭作业: 1、符合下列条件的三角形有且只有一个的是( A.a=1,b=2,c=3 C.a=1,b=2,A=100°

)

B.a=1,b= 2,A=30° D.b=c=1,B=45°
)

2、在△ABC 中,sin A∶ B∶ C=3∶2∶4,则 cos C 的值为( sin sin A. 2 3 B.- 2 3 C.- 1 4 D. 1 4

3、三角形一边长 14,它对的角为 60°,另两边之比为 8∶5,则此三角形面积 为__________. 4、 在△ABC 中, A、 、 的对边分别为 a、 、 , a2+b2=c2+ab, C=( 角 B C b c 若 则 )
A.60° B.120° C.45° D.30°

5、在△ABC 中,AC= 7 ,BC=2,B =60°,则 BC 边上的高等于( A.
3 2

)

B.

3 3 2

C.

3? 6 2

D.

3 ? 39 4

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