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2011年江苏四星级高中高三数学一轮复习资料06 第六章 数列


第六章 数 列
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? ?有穷数列 ?分类 ? ?无穷数列 ? ? ?列表法 ? ? ?通项公式法 ? ?表示方法?解析法? ? ?递推公式法 ? ? ? ?图像法 ? ?性质?单调性 ? ? ?周期性 ? ?定义 ? ?通项公式 — 性质 — 应用 ? ? ? 数列? ?等差中项 ?等差数列? ?定义 ? ? ? ? ? ? ?等比数列的前n项和?公式推导? — 性质 — 应用 ? ? ?基本运算? ? ? ? ? ? ?定义 ? ?通项公式 — 性质 — 应用 ? ? ? ?等比中项 ?等比数列? ?定义 ? ? ? ? ? ? ?等比数列的前n项和?公式推导? — 性质 — 应用 ? ? ?基本运算? ? ? ? ? ?

第 1 讲 数列的概念
★ 知 识 梳理 ★
1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项. 2.通项公式:如果数列 项公式,即 an

?a n ?的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通

? f (n) .

3.递推公式:如果已知数列

?a n ?的第一项(或前几项) ,且任何一项 a n 与它的前一项 a n ?1 (或前几项)
? f (an ?1 ) 或 an ? f (an ?1 , an ?2 ) ,那么这个式子叫做数列 ?a n ?

间的关系可以用一个式子来表示,即 a n 的递推公式. 如数列

?a n ?中, a1 ? 1, an ? 2an ? 1 ,其中 an ? 2an ? 1 是数列 ?a n ?的递推公式.

4.数列的前 n 项和与通项的公式

用心

爱心

专心

① S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ; ② a n ? ?

? S1 ( n ? 1) . ? S n ? S n ?1 ( n ? 2)

5. 数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界数 列. ①递增数列:对于任何 n ? N ? ,均有 a n ?1 ②递减数列:对于任何 n ? N ? ,均有 a n ?1 ③摆动数列:例如:

? an . ? an .

? 1,1,?1,1,?1, ?.

④常数数列:例如:6,6,6,6,??. ⑤有界数列:存在正数 M 使

an ? M , n ? N ? . an ? M
.

⑥无界数列:对于任何正数 M ,总有项 a n 使得

★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点:理解数列的概念和几种简单表示方法;掌握数列的通项公式的求法. 2.难点:用函数的观点理解数列. 3.重难点:正确理解数列的概念,掌握数列通项公式的一般求法. 求数列的通项、判断单调性、求数列通项的最值等通常应用数列的有关概念和函数的性质. 问题 1:已知 S n 是数列 A.递增数列

?a n ?的前 n 项和, Sn ? Sn?1 ? an?1 (n ? N ? ) ,则此数列是(
B.递减数列 C.常数数列 D.摆动数列

)

分析:将已知条件转化为数列项之间的关系,根据数列单调性作出判定. 解析:? S n 两式相减,得 a n 当n

? S n ?1 ? an ?1 ,? S n ?1 ? S n ? an (n ? 2) ? an ?1 ? an ?1 ? an ,? a n ? 0( n ? 2)

? 1 时, a1 ? (a1 ? a2 ) ? a2 ? a1 ? 0 ,? an ? 0(n ? N ? ) ,选 C.

问题 2:数列

?a n ?中, an ? n ?
B.

2006 n ? 2007
C.

,则该数列前 100 项中的最大项与最小项分别是(

)

A. a1 , a50

a1 , a44

a45 , a44

D.

a45 , a50

分析:由已知条件判定数列单调性,注意 n 的取值范围. 解析:? a n

?

n ? 2006 2007 ? 2006 ? 1? n ? 2007 n ? 2007



?

n ? ?1,44? 时, a n 递减; n ? ?45,?? ? 时, a n 递减.结合图象,选 C.

用心

爱心

专心

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点 1 数列的通项公式 题型 1 已知数列的前几项,求通项公式
【例 1】求下列数列的一个通项公式: ⑴ 3,5,9,17,33, ?,

1 1 1 ,0, ,0,? ,0, ?, 3 5 7 2 4 6 8 10 ⑶ , , , , , ?, 3 15 35 63 99 ⑷ 1,3,6,10,15,21,?,
⑵ 1,0,? 【解题思路】写出数列的通项公式,应注意观察数列中 a n 和 n 的联系与变化情况,应特别注意:自然数 列、正奇数列、正偶数列, ( ?1) 和相关数列,等差、等比数列,以及由它们组成的数列,从中找出规律性,
n

并分别写出通项公式. 【解析】⑴联想数列 2,4,8,16,32,?, 即数列 ⑵将原数列改写为

?2 ?,可得数列的通项公式 a
n

n

? 2n ? 1 ;

1 0 1 0 1 0 1 0 , ,? , , , ,? , ,?, 分母分别为 1,2,3,4,5, ?, 分子分别为 1 2 3 4 5 6 7 8

1,0,1,0,1,?, 呈周期性变化,可以用 sin

n? 2

,或 cos

(n ? 1)? 2

,或

( ?1) n ?1 ? 1 表示. 2

an ?

sin

n? 2 n

(或 a n

?

cos

n ?1 ? 2 n

( ?1) n ?1 ? 1 ,或 a n ? ) 2n an ? 2n (2n ? 1)( 2n ? 1)

⑶分子为正偶数列,分母为 1 ? 3,3 ? 5,5 ? 7,7 ? 9,9 ? 11, ?, 得

⑷观察数列可知: a1

? 1, a2 ? 1 ? 2, a3 ? 1 ? 2 ? 3, a4 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4, ?,

a4 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4, a5 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5,? an ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
本题也可以利用关系式 an

n(n ? 1) 2

? an?1 ? n 求解.

【名师指引】⑴联想和转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法. ⑵求数列的通项公式,应运用观察、分析、归纳、验证的方法.易错之处在于每个数列由前几项找规律 不准确,以及观察、分析、归纳、验证这四个环节做的不够多,应注意对每一数列认真找出规律和验证.

题型 2 已知数列的前 n 项和,求通项公式
【例 2】已知下列数列 ⑴ Sn

?a n ?的前 n 项和 S n ,分别求它们的通项公式 a n .
⑵ Sn

? 2n 2 ? 3n ;

? 3n ? 1 .

用心

爱心

专心

【解题思路】利用 a n

(n ? 1) ?S ?? 1 ,这是求数列通项的一个重要公式. ?S n ? S n ?1 ( n ? 2)

【解析】⑴当 n 当n 当n

? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ? 12 ? 3 ? 1 ? 5 ,

? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? (2n 2 ? 3n) ? ?2(n ? 1) 2 ? 3(n ? 1)? ? 4n ? 1 . ? 1 时, 4 ? 1 ? 1 ? 5 ? a1 ,? an ? 4n ? 1 .
⑵当 n

? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ? 1 ? 4 ,

当n

? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? (3n ? 1) ? (3n ?1 ? 1) ? 2 ? 3n ?1 .
?4(n ? 1) . ? 1 时, 2 ? 31?1 ? 2 ? a1 ,? an ? ? n ?1 ?2 ? 3 ( n ? 2 )

当n

【名师指引】任何一个数列,它的前 n 项和 S n 与通项 a n 都存在关系: a n

? S ( n ? 1) ?? 1 ? S n ? S n ?1 ( n ? 2)

若 a1 适合 a n ,则把它们统一起来,否则就用分段函数表示.

题型 3 已知数列的递推式,求通项公式
【例 3】数列

?a n ?中, a1 ? 1, an

?

2a n ?1 ( n ? 2) ,求 a2 , a3 , a4 , a5 ,并归纳出 a n . 2 ? a n ?1

【解题思路】已知

?a n ?的递推公式 an ?

f (an ?1 ) 求前几项,可逐步计算.

【解析】? a1

? 1, a n ?

2a n ?1 ( n ? 2) , 2 ? a n ?1
, a4

? a2 ?


2a1 2a 2 2 2 ? ? , a3 ? 2 ? a2 4 2 ? a1 3

?

2a 3 2 ? 2 ? a3 5

, a5

?

2a 4 2 ? 2 ? a4 6



2 2 2 2 2 2 . , , , , , ? ,可以归纳出 an ? 2 3 4 5 6 n ?1
【名师指引】由递推公式求通项,可以考虑“归纳—猜想—证明”的方法,也可以构造新数列. 【新题导练】

1.已知有穷数列: 5,7,11, ?,2n ? 7 ,其中后一项比前一项大 2. ⑴求此数列的通项公式; ⑵ 4n ? 9 是否为此数列的项? 【解析】⑴设数列的第 k 项为 a k ,则 ak 令 2n ? 3 ? 2k

? 5 ? 2(k ? 2) ? 2k ? 3

? 3 ? k ? n ? 2 ,故该数列的通项公式 ak ? 2k ? 3(k ? 1,2,3, ?, n ? 2)

用心

爱心

专心

⑵令 4n ? 9 ? 2k

? 2n ? 3 ? n ? 2 ,
2.数列

? 3 ,解得 k ? 2n ? 3 , ? 4n ? 9 不是有穷数列的项.

?a n ?中, a1 ? a2 ? a3 ? an ? n 2 (n ? N ? ) ,求 a3 ? a5 的值.
? a 2 ? a3 ? an ? n 2 (n ? N ? ) ,得

【解析】由 a1 当n

? 1 时, a1 ? 1 ;当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? a3 ? an ?1 ? (n ? 1) 2
? n2 9 25 61 ( n ? 2 ) .? a 3 ? , a 5 ? ,? a 3 ? a5 ? . 2 ( n ? 1) 4 16 16

两式相除,得 a n

3.数列

?a n ?中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1 ,求 a2 , a3 , a4 , a5 ,并归纳出 a n .
? 1, an ?1 ? 2an ? 1

【解析】? a1

? a2 ? 2a1 ? 1 ? 3 , a3 ? 2a2 ? 1 ? 7 , a4 ? 2a3 ? 1 ? 15 , a5 ? 2a4 ? 1 ? 31
由1 ?

21 ? 1,3 ? 2 2 ? 1,7 ? 23 ? 1,15 ? 2 4 ? 1,31 ? 25 ? 1, ? ,可以归纳出 an ?

2 n ?1

考点 2 与数列的通项公式有关的综合问题 题型 1 已知数列通项公式,求项数及最大(最小)项
【例 4】数列

?a n ?中, an ? n 2 ? 5n ? 4 .

⑴ 18 是数列中的第几项? ⑵ n 为何值时, a n 有最小值?并求最小值. 【解题思路】数列的通项 a n 与 n 之间构成二次函数,可结合二次函数知识去探求. 【解析】⑴由 n
2

? 5n ? 4 ? 18 ? n 2 ? 5n ? 14 ? 0 ,解得 n ? 7 ,

? 18 是数列中的第 7 项. 5 2 9 2 ⑵? a n ? n ? 5n ? 4 ? ( n ? ) ? , n ? N ? 2 4 ? n ? 2 或 n ? 3 时, (an ) min ? 2 2 ? 4 ? 2 ? 5 ? ?2 .
【名师指引】利用二次函数知识解决数列问题时,必须注意其定义域 n 为正整数.

题型 2 已知数列通项公式,判断数列单调性及有界性
【例 5】数列

?a n ?中, an

?

n2 . n2 ? 1

⑴求数列

?a n ?的最小项; ?a n ?是否有界,并说明理由.
用心 爱心 专心

⑵判断数列

【解题思路】⑴转化为判断数列的单调性,即证 a n 义入手. 【解析】⑴? a n ?1

? a n ?1 ,或 a n ? a n ?1 ;⑵从“数列的有界性”定

? an ?

( n ? 1) 2 n2 ? ( n ? 1) 2 ? 1 n 2 ? 1

( n ? 1) 2 ( n 2 ? 1) ? n 2 ( n ? ) 2 ? 1 2n ? 1 ? ? ?0 2 2 ( n ? 1) ? 1 ( n ? 1) ( n ? 1) 2 ? 1

?

?

?

?

?

?

? a n ? a n ?1 ,?数列 ?a n ?是递增数列,数列 ?a n ?的最小项为 a1 ?
⑵?

1 . 2

an ?

n2 1 ? 1 ? 2 ? 1 ,?数列 ?a n ?有界. 2 n ?1 n ?

【名师指引】数列是特殊的函数,判断函数的单调性、有界性的方法同样适用于数列. 【新题导练】 4.数列

?a n ?中, an ? 3n 2 ? 28n ? 1 ,求 a n 取最小值时 n 的值.
2 2

14 ? 193 ? 【解析】 a n ? 3n ? 28 n ? 1 ? 3? n ? ,? n ? 5 时, a n 取最小值. ? ? 3? 3 ?
5.数列

?a n ?中, a n

? n ? n 2 ? 2 ,求数列 ?a n ?的最大项和最小项.

an?1 n ? 1 ? (n ?) 2 ? 2 n ? n2 ? 2 【解析】? ? ? ? 1, an n ? n2 ? 2 n ? 1 ? (n ? 1) 2 ? 2
又? a n

? n ? n 2 ? 2 ? 0 ,? a n ? a n ?1 ,数列 ?a n ?是递增数列

?数列 ?a n ?的最小项为 a1 ? 1 ? 3 ,没有最大项.
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1.设数列

2 , 5,2 2 , 11, 14 , ? ,则 4 2 是这个数列的(
B.第 10 项 C.第 11 项



A.第 9 项 【解析】C. 4

D.第 12 项

2 ? 32 ? 2 ? 3(11 ? 1) ,?选 C.

2.(2008 年华师附中)数列 ( ) A. 1 或 ? 2 【解析】D. S n

?a n ?的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? 2Sn?1 ? an2 , a2 ? ?1 ,则数列 ?a n ?的首项为
B. ? 1 C. ? 2 D. ? 1 或 2

2 ? 2 S n ?1 ? an , a2 ? ?1 中令 n ? 1 ,得 a1 ? 2(a1 ? 1) ? a12 , a1 ? ? 1 或 2

用心

爱心

专心

3.(2009 恩城中学)已知定义在正整数集上的函数

f ( x) 满足条件: f (1) ? 2 , f (2) ? ?2 ,
) D.-4

f (n ? 2) ? f (n ? 1) ? f (n) ,则 f (2009) 的值为(
A.-2 B. 2 C.4

【解析】B.利用数列的周期性,周期为 4,

f (2009 ) ? f (505 ? 4 ? 1) ? f (1) ? 2.
项.

4.数列

?? 2n

2

? 13n ? 1?中数值最大的项是第

【解析】3 5.(2009 恩城中学文)观察下式:1=1 ,2+3+4=3 ,3+4+5+6+7=5 ,4+5+6+7+8+9+10=7 ,?,则可得出一般结 论 .
2 2 2 2

【解析】 n ? ( n ? 1) ? ( n ? 2) ? ? ? (3n ? 2) 6.数列

? (2n ? 1) 2 .


?a n ?中, an?2 ? an?1 ? an , a1 ? 2, a2 ? 5 ,则 a 2009 的值是(
A.

?2

B. 2

C. ? 5

D. 5

【解析】C.利用数列的周期性,除前 4 项后,周期为 6,? a 2009

? a4?338?6?1 ? a5 ? ?5.

综合拔高训练
7.(2009 恩城中学 ? 节选)已知数列 通项公式. 【解析】由 a1

?an ? 的首项 a1 ?
∴ S n ?1

1 2 , 其前 n 项和 Sn ? n an ? n ? 1? . 求数列 ? an ? 2
? (n ? 1) 2 an ?1 ,②



?

1 2 , S n ? n an ,① 2

①-②得: an

? Sn ? Sn ?1 ? n 2 an ? (n ? 1) 2 an ?1 ,即,

an n ?1 ? ? n ? 2? , an ?1 n ? 1



n ?1 n ? 2 2 1 2 1 an a a a a ,∴ an ? . ? ? ? ? ? n ? n ?1 ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ? 2 a2 a1 n ? 1 n 4 3 n(n ? 1) n(n ? 1)

8.设数列

?a n ?的第 n 项 a n 是二次函数, a1 ? 5, a2 ? 15, a3 ? 35 ,求 a 4 .
2

?a ? b ? c ? 5 ? 【解析】设 a n ? an ? bn ? c ,由 ?4a ? 2b ? c ? 15 ? a ? 5, b ? ?5, c ? 5 ?9a ? 3b ? c ? 35 ?

? an ? 5n 2 ? 5n ? 5 , a4 ? 5 ? 4 2 ? 5 ? 4 ? 5 ? 65 .
9.数列

?a n ?中, an

?

9n 2 ? 9n ? 2 . 9n 2 ? 1

⑴求这个数列的第 10 项;

用心

爱心

专心



99 100

是否为该数列的项,为什么?

⑶求证: a n

? (0,1) ;

⑷在区间 ?

?1 2? , ? 内有无数列的项,若有,有几项?若无,说明理由. ?3 3?

【解析】⑴? a n

?

9n 2 ? 9n ? 2 3n ? 2 28 ,? a10 ? ; ? 2 9n ? 1 3n ? 1 31

3n ? 2 99 99 不是该数列的项. ? ? 3n ? 299 ,无整数解,? 3n ? 1 100 100 3n ? 2 3 3 ⑶? a n ? , n ? N ? ,? 0 ? ? 1? ? 1 , an ? (0,1) 3n ? 1 3n ? 1 3n ? 1 1 2 1 3n ? 2 2 ⑷由 ? a n ? ,得 ? ? 3 3 3 3n ? 1 3
⑵令 a n

? ?2 ?

?3n ? 1 ? 9n ? 6 7 8 ?1 2? ? ? n ? ,?当且仅当 n ? 2 时,在区间 ? , ? 内有数列的项. ?? 6 3 ?3 3? ?9n ? 6 ? 6n ? 2

第2讲

等差数列

★ 知 识 梳理 ★
1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数 d ,这个数列叫做等差数列,常数 d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式 a n

? a1 ? (n ? 1)d , a1 为首项, d 为公差.

⑵前 n 项和公式 S n 3.等差中项

?

n(a1 ? an ) 1 或 S n ? na1 ? n( n ? 1)d . 2 2

如果 a, A, b 成等差数列,那么 即:

A 叫做 a 与 b 的等差中项.

A 是 a 与 b 的等差中项 ? 2 A ? a ? b ? a , A , b 成等差数列.

4.等差数列的判定方法 ⑴定义法: an ?1

? an ? d

( n ? N ? , d 是常数) ?

?a n ?是等差数列;

⑵中项法: 2a n ?1

? a n ? a n ?2 ( n ? N ? ) ? ?a n ?是等差数列.

5.等差数列的常用性质 ⑴数列

?a n ?是等差数列,则数列 ?an ? p?、 ?pan ?( p 是常数)都是等差数列;
用心 爱心 专心

⑵在等差数列

?a n ?中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即 an , an?k , an?2k , an?3k ,? 为等差

数列,公差为 kd . ⑶ an

? a m ? ( n ? m) d

; an

? an ? b ( a , b 是常数); S n ? an2 ? bn ( a , b 是常数, a ? 0 )

⑷若 m ? n

? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则 am ? a n ? a p ? a q ;
Sn ? ?a n ?的前 n 项和 S n ,则 ? ? ? 是等差数列; ?n?

⑸若等差数列

⑹当项数为 2n( n ? N ? ) ,则 S 偶

? S奇 ? nd ,

S偶 S奇

? S偶 S奇

a n ?1 an ?



当项数为 2n ? 1( n ? N ? ) ,则 S 奇

? S偶 ? an ,

n ?1 . n

★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点:理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式、前 n 项和公式并能解决实际问题;理解等差中 项的概念,掌握等差数列的性质. 2.难点:利用等差数列的性质解决实际问题. 3.重难点:正确理解等差数列的概念,灵活运用等差数列的性质解题. ⑴求等差数列的公差、求项、求值、求和、求 S n 最值等通常运用等差数列的有关公式及其性质. 问题 1:已知 m ? n ,且 m, a1 , a 2 , a3 , n 和 m, b1 , b2 , b3 , b4 , n 都是等差数列,则

a3 ? a1 ? b3 ? b2

分析:问题转化为:在 m, n 插入若干个数,使其成等差,利用等差数列公差的求法公式解答. 解析:设等差数列 m, a1 , a 2 , a3 , n 和 m, b1 , b2 , b3 , b4 , n 的公差分别是 d 1 , d 2 则 a3

? a1 ? 2d1 , n ? m ? 4d1 ,? a3 ? a1 ?

n?m , 2

同理,得 b3

? b2 ? d 2 ?

a ? a1 5 n?m ,? 3 ? . b3 ? b2 2 5

⑵求“首末项和为常数”的数列的和,一般用倒序相加法.

问题 2:已知函数

4x f ( x) ? .则 2 ? 4x



1 2 f( )? f( )? 3 3
.





f(

1 2 2008 )? f( ) ??? f ( )? 2009 2009 2009

分析:①可以直接代入计算,也可以整体处理;②寻找规律,整体处理.

用心

爱心

专心

解析:?

f ( x) ?

4x 2 ? 4x

,经计算,得

f ( x) ? f (1 ? x) ? 1 ,

? f(

1 2 2008 )? f( ) ??? f ( ) ? 1004 ? 1 ? 1004 . 2009 2009 2009
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点 1 等差数列的通项与前 n 项和 题型 1 已知等差数列的某些项,求某项
【例 1】已知

?a n ?为等差数列, a15 ? 8, a60 ? 20 ,则 a75 ?
?a15 ? a1 ? 14 d ? 8 64 4 ? a1 ? ,d ? 15 15 ?a60 ? a1 ? 59 d ? 20

【解题思路】可以考虑基本量法,或利用等差数列的性质 【解析】方法 1:? ?

64 4 ? 74 ? ? 24 15 15 a ? a15 20 ? 8 4 方法 2:? d ? 60 ? ? , 60 ? 15 45 15 4 ? a75 ? a60 ? (75 ? 60)d ? 20 ? 15 ? ? 24 15

? a75 ? a1 ? 74 d ?

方法 3:令 a n ? an ? b ,则 ?

?15a ? b ? 8 16 8 ? a ? ,b ? 45 3 ?60 a ? b ? 20

? a75 ? 75a ? b ? 75 ?

16 8 ? ? 24 45 3

方法 4:? ?a n ?为等差数列,

? a15 , a30 , a45 , a60 , a75 也成等差数列,设其公差为 d 1 ,则 a15 为首项, a60 为第 4 项. ? a60 ? a15 ? 3d1 ? 20 ? 8 ? 3d ? d1 ? 4 ? a75 ? a60 ? d1 ? 20 ? 4 ? 24
方法 5:? ?a n ?为等差数列,? (15, a15 ), (60, a60 ), (75, a75 ) 三点共线

?

a60 ? a15 a75 ? a60 20 ? 8 a75 ? 20 ? ? ? ? a75 ? 24 60 ? 15 75 ? 60 45 15
【名师指引】给项求项问题,先考虑利用等差数列的性质,再考虑基本量法.

题型 2 已知前 n 项和 S n 及其某项,求项数.
【例 2】⑴已知 S n 为等差数列

?a n ?的前 n 项和, a4 ? 9, a9 ? ?6, Sn ? 63 ,求 n ;
用心 爱心 专心

⑵若一个等差数列的前 4 项和为 36,后 4 项和为 124,且所有项的和为 780,求这个数列的项数 n . 【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式 a n ⑵利用等差数列的前 4 项和及后 4 项和求出 a1

? a1 ? (n ? 1)d 求出 a1 及 d ,代入 S n 可求项数 n ;

? an ,代入 S n 可求项数 n .

【解析】⑴设等差数列的首项为 a1 ,公差为 d ,则 ?

?a1 ? 3d ? 9 ? a1 ? 18, d ? ?3 ?a1 ? 8d ? ?6

? S n ? 18n ?
⑵? a1

3 n(n ? 1) ? 63 ? n1 ? 6, n2 ? 7 2

? a2 ? a3 ? a4 ? 36, an ? an ?1 ? an ?2 ? an ?3 ? 124

a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? a4 ? an?3

? 4(a1 ? an ) ? 160 ? a1 ? an ? 40 ? Sn ?
n(a1 ? an ) ? 780 ? 20n ? 780 ? n ? 39 2

【名师指引】解决等差数列的问题时,通常考虑两种方法:⑴基本量法;⑵利用等差数列的性质.

题型 3 求等差数列的前 n 项和
【例 3】已知 S n 为等差数列 ⑴求 ⑵求 ⑶求

?a n ?的前 n 项和, S n

? 12 n ? n 2 .

a1 ? a 2 ? a 3

; ; .

a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a10 a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n

【解题思路】利用 S n 求出 a n ,把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题. 【解析】4.? S n

? 12 n ? n 2 ,

?当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 12 ? 1 ? 11 ,
当n 当n 由 an ⑴ ⑵

? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? (12 n ? n 2 ) ? 12(n ? 1) ? (n ? 1) 2 ? 13 ? 2n , ? 1 时, 13 ? 2 ? 1 ? 11 ? a1 , ? an ? 13 ? 2n .
13 ,?当 1 ? n ? 6 时, a n ? 0 ;当 n ? 7 时, a n ? 0 . 2

? 13 ? 2n ? 0 ,得 n ?

a1 ? a 2 ? a3 ? a1 ? a 2 ? a3 ? S 3 ? 12 ? 3 ? 32 ? 27 ; a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a10 ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a6 ? (a7 ? a8 ? a9 ? a10 )

用心

爱心

专心

? 2S6 ? S10 ? 2(12 ? 6 ? 6 2 ) ? (12 ? 10 ? 10 2 ) ? 52 ;
⑶当 1 ? 当n

n ? 6 时, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 12 n ? n 2 ,

? 7 时, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a6 ? (a7 ? a8 ? ? ? an )
? 2S6 ? Sn ? 2(12 ? 6 ? 62 ) ? (12 n ? n 2 ) ? n 2 ? 12 n ? 72.

【名师指引】含绝对值符号的数列求和问题,要注意分类讨论. 【新题导练】 1.已知

?a n ?为等差数列, am ? p, an ? q ( m, n, k 互不相等) ,求 a k .
am ? an ak ? an p ? q ak ? q p ( k ? n ) ? q( m ? k ) ? ? ? ? ak ? m?n k ?n m?n k ?n m?n

【解析】

2.已知 S n 为等差数列

?a n ?的前 n 项和, a1 ? 1, a4 ? 7, Sn ? 100 ,则 n ?
? a 4 ? a1 7 ? 1 ? ?2 4 ?1 3

.

【解析】设等差数列的公差为 d ,则 d

1 n(n ? 1) ? 2 ? 100 ? n ? 10 . 2 3.已知 5 个数成等差数列,它们的和为 5 ,平方和为 165 ,求这 5 个数. 【解析】设这 5 个数分别为 a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d . 则 Sn ? n ?

?( a ? 2d ) ? ( a ? d ) ? a ? ( a ? d ) ? ( a ? 2d ) ? 5 ?a ? 1 ?? 2 ? 2 2 2 2 2 2 ?( a ? 2d ) ? ( a ? d ) ? a ? ( a ? d ) ? ( a ? 2d ) ? 165 ?5a ? 10 d ? 165

? 1, d ? ?4 当 a ? 1, d ? 4 时,这 5 个数分别为: ? 7,?3,1,5,9 ; 当 a ? 1, d ? ?4 时,这 5 个数分别为: 9,5,1,?3,?7.
解得 a 4.已知 S n 为等差数列

?a n ?的前 n 项和, S10 ? 100, S100 ? 10 ,求 S110 .

11 ? ?a1 ? ? 50 ?10 a1 ? 45d ? 100 ?? 【解析】方法 1:设等差数列的公差为 d ,则 ? 1099 ?100 a1 ? 4950 d ? 10 ?d ? 100 ? 1 ? S110 ? 110 a1 ? ? 110 ? 109 d ? ?110 ; 2 90(a11 ? a100 ) 方法 2:? S100 ? S10 ? ? ?90 ? a11 ? a100 ? ?2 2 110 (a1 ? a110 ) 110 (a11 ? a100 ) ? ? ?110 . ? S110 ? 2 2
考点 2 证明数列是等差数列
【例 4】已知 S n 为等差数列 求证:数列

?a n ?的前 n 项和, bn ? S n (n ? N ? ) .
n

?bn ?是等差数列.
用心 爱心 专心

【解题思路】利用等差数列的判定方法⑴定义法;⑵中项法. 【解析】方法 1:设等差数列

?a n ?的公差为 d , Sn ? na1 ? 1 n(n ? 1)d ,
2

S 1 ? bn ? n ? a1 ? (n ? 1)d n 2 1 1 d ? bn ?1 ? bn ? a1 ? nd ? a1 ? (n ? 1)d ? (常数) 2 2 2

?数列 ?bn ?是等差数列.
Sn 1 ? a1 ? (n ? 1)d , n 2 1 1 ? bn?1 ? a1 ? nd , bn ?2 ? a1 ? (n ? 1)d 2 2 1 1 ? bn ?2 ? bn ? a1 ? (n ? 1)d ? a1 ? (n ? 1)d ? 2a1 ? nd ? 2bn ?1 , 2 2
方法 2:? bn

?

?数列 ?bn ?是等差数列.
【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有: ⑴定义法: an ?1

? an ? d

( n ? N ? , d 是常数) ?

?a n ?是等差数列;

⑵中项法: 2a n ?1

? a n ? a n ?2 ( n ? N ? ) ? ?a n ?是等差数列;

⑶通项公式法: a n

? kn ? b ( k , b 是常数) ? ?a n ?是等差数列;
? An 2 ? Bn ( A, B 是常数, A ? 0 ) ? ?a n ?是等差数列.

⑷前 n 项和公式法: S n 【新题导练】 5.设 S n 为数列 ⑴求常数

?a n ?的前 n 项和, Sn ? pnan (n ? N ? ) , a1 ? a2 .

p 的值;

⑵求证:数列

?an ?是等差数列.
? pnan , a1 ? a2 ,? a1 ? pa1 ? p ? 1

【解析】⑴? S n ⑵由⑴知: S n 当n

? nan ,

? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? nan ? (n ? 1)an?1 ? (n ? 1)( an ? an ?1 ) ? 0 ,

? an ? an ?1 ? 0(n ? 2) ,?数列 ?an ?是等差数列.
考点 3 等差数列的性质
【例 5】⑴已知 S n 为等差数列 ⑵已知 S n 为等差数列

?a n ?的前 n 项和, a6 ? 100 ,则 S11 ?

; .

?a n ?的前 n 项和, Sn ? m, Sm ? n(n ? m) ,则 Sm?n ?
用心 爱心 专心

【解题思路】利用等差数列的有关性质求解. 【解析】⑴ S11

?

11(a1 ? a11 ) 11 ? 2a6 ? ? 11a6 ? 1100 ; 2 2
? An 2 ? Bn ,则

⑵方法 1:令 S n

? An 2 ? Bn ? m ? A( n 2 ? m 2 ) ? B ( n ? m ) ? m ? n . ? 2 ? Am ? Bm ? n

? n ? m ,? A(n ? m) ? B ? ?1 , ? S m?n ? A(m ? n) 2 ? B(m ? n) ? ?(m ? n) ;
方法 2:不妨设 m ? n

S m ? S n ? an ?1 ? an ?2 ? an ?3 ? ? ? am?1 ? am ?

(m ? n)( an ?1 ? am ) ? n ? m. 2

? a1 ? am?n ? an ?1 ? am ? ?2 , ? S m?n ?
方法 3:?

(m ? n)( a1 ? am?n ) ? ?(m ? n) ; 2
Sn ? ?a n ?是等差数列,? ? ? ? 为等差数列 ?n?

S ? S ?? S ?? ? ? ? n, n ?, ? m, m ?, ? m ? n, m?n ? 三点共线. m?? m?n? ? n ??

S m?n n m n ? ? ? m n ? m ? n m ? S m ? n ? ?( m ? n ) . m?n n
【名师指引】利用等差数列的有关性质解题,可以简化运算. 【新题导练】 6.含 2n ? 1 个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为( )

A.

2n ? 1 n

B.

n ?1 n

C.

n ?1 n

D.

n ?1 2n

【解析】 (本两小题有多种解法)? S奇

? a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2 n ?1 ?

(n ? 1)( a1 ? a2 n ?1 ) 2

S偶 ? a 2 ? a 4 ? a6 ? ? ? a 2 n ?

S奇 n ? 1 n( a 2 ? a 2 n ) ? , a1 ? a 2 n ?1 ? a 2 ? a 2 n ? .?选 B. S偶 n 2
? a5 7n ? 2 ,则 ? n?3 b5
.

7.设 S n 、 Tn 分别是等差数列

?a n ?、 ?a n ?的前 n 项和, S n
Tn

【解析】

a n S 2 n ?1 7(2n ? 1) ? 2 14 n ? 5 a 14 ? 5 ? 5 65 65 ? ? ? ? 5 ? ? ?填 . bn T2 n ?1 ( 2n ? 1) ? 3 2n ? 2 b5 2 ? 5 ? 2 12 12

用心

爱心

专心

考点 4 等差数列与其它知识的综合
【例 6】已知 S n 为数列

?a n ?的前 n 项和, Sn ? 1 n 2 ? 11 n ;数列 ?bn ?满足: b3 ? 11 ,
2 2

bn ?2 ? 2bn?1 ? bn ,其前 9 项和为 153 .
⑴求数列

?a n ?、 ?bn ?的通项公式;
?cn ?的前 n 项和,cn
? 6 k , 求使不等式 Tn ? 对 ?n ? N ? 都 ( 2a n ? 11)( 2bn ? 1) 57

⑵设 Tn 为数列

成立的最大正整数 k 的值. 【解题思路】⑴利用 a n 与 S n 的关系式及等差数列的通项公式可求;⑵求出 Tn 后,判断 Tn 的单调性. 【解析】⑴? S n

?

1 2 11 n ? n, 2 2

?当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 6 ;
当n 当n

? 2 时, an ? S n ? S n?1 ?

1 2 11 1 11 n ? n ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? n ? 5 2 2 2 2

? 1 时, 1 ? 5 ? 6 ? a1 ,? an ? n ? 5 ;
bn ? bn ?2 2
,?

? bn ?2 ? 2bn ?1 ? bn ? bn ?1 ?
则?

?bn ?是等差数列,设其公差为 d .

?b1 ? 2d ? 11 ? b1 ? 5, d ? 3 , ?9b1 ? 36 d ? 153

? bn ? 5 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 .
⑵? cn

?

6 6 ? ( 2a n ? 11)( 2bn ? 1) ?2( n ? 5) ? 11??2(3n ? 2) ? 1?

?

2 1 1 ? ? (2n ? 1)( 2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? 1? ? Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 3 3 5 5 7 2n ? 1 2 n ? 1 2n ? 1

? n ? N ? ,? Tn 是单调递增数列. ?当 n ? 1 时, ?Tn ?min ? T1 ? 1 ? ? Tn ?
1 2 ? 3 3

k k 2 k 对 ?n ? N ? 都成立 ? ?Tn ?min ? ? ? ? k ? 38 57 57 3 57 ?所求最大正整数 k 的值为 37 .
【名师指引】本题综合考察等差数列、通项求法、数列求和、不等式等知识,利用了函数、方程思想,

用心

爱心

专心

这是历年高考的重点内容. 【新题导练】 8.已知 S n 为数列 ⑴求数列 ⑵数列

?a n ?的前 n 项和, a1 ? 3 , Sn Sn?1 ? 2an (n ? 2) .

?a n ?的通项公式;
? ak ?1 对任意不小于 k 的正整数都成立?若存在,求最小

?a n ?中是否存在正整数 k ,使得不等式 ak

的正整数 k ,若不存在,说明理由. 【解析】⑴当 n

? 2 时, Sn Sn?1 ? 2an ? Sn Sn ?1 ? 2( Sn ? Sn ?1 )
,且

?

1 1 1 ? ?? S n S n ?1 2

1 1 1 1 ? ,? ?a n ?是以 ? 为公差的等差数列,其首项为 . S1 3 3 2

?

1 1 1 5 ? 3n 6 ? ? (n ? 1) ? ? Sn ? S n S1 2 6 5 ? 3n

?当 n ? 2 时, a n ?

1 18 S n S n ?1 ? 2 (3n ? 8)( 3n ? 5)

?3( n ? 1) 18 18 ? 18 当 n ? 1 时, ; ? ? a1 ,? ? ( n ? 2) (3 ? 8)( 3 ? 5) 10 ? ? (3n ? 8)( 3n ? 5)
⑵ ak

? ak ?1 ?

18 2 5 8 ? 0 ,得 ? k ? 或 k ? , (3k ? 8)( 3k ? 5)( 3k ? 2) 3 3 3

?当 k ? 3 时, ak ? ak ?1 恒成立,所求最小的正整数 k ? 3.
★ 抢 分 频 道 ★ 基础巩固训练
1.(2009 广雅中学)设数列 A. S10

?an ? 是等差数列,且 a2 ? ?8 , a15 ? 5 , S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,则
B. S10

? S11

? S11

C. S 9

? S10

D. S 9

? S10

a2 ? a16 a2 ? a15 ? d (a ? d ) ? a15 ? , S10 ? 2 ? S9 ? S10 2 2 2 5 ? ( ?8) 13 69 另法:由 a2 ? ?8 , a15 ? 5 ,得 d ? ,计算知 S9 ? S10 ? , a1 ? a 2 ? d ? 15 ? 8 7 7
【解析】C. S 9

?

2.在等差数列

?a n ?中, a5 ? 120 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ?
a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? 4a5 ? 480 .
用心 爱心 专心

.

【解析】 480

3.数列

?a n ?中, an ? 2n ? 49 ,当数列 ?a n ?的前 n 项和 S n 取得最小值时, n ?
由 an

.

【解析】 24 4.已知等差数列

? 2n ? 49 知 ?a n ?是等差数列, a n ? 0 ? n ? 25. ? n ? 24.
.

?a n ?共有 10 项,其奇数项之和为 10 ,偶数项之和为 30 ,则其公差是
? 20 ? d ? 4.
.

【解析】 4 已知两式相减,得 5d 5.设数列

?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? n ? 1,则通项 an ?

1 ,也可以用归纳—猜想—证明的方法. n(n ? 1) ? 1 利用迭加法(或迭代法) 2 6.从正整数数列 1,2,3,4,5, ? 中删去所有的平方数,得到一个新数列,则这个新数列的第 1964 项是 【解析】 2008
【解析】

.

综合拔高训练
7.(2009 广雅中学)已知等差数列 ⑴求数列 ⑵若数列

?an ? 中, a2 ? ?20, a1 ? a9 ? ?28 .

?an ? 的通项公式;
?bn ? 满足 an ? log 2 bn ,设 Tn ? b1b2 ?bn ,且 Tn ? 1 ,求 n 的值.

【解析】⑴设数列

?an ? 的公差为 d ,则 ?

?a1 ? d ? ?20 ? a1 ? ?22, d ? 2 ?2a1 ? 8d ? ?28

? an ? ?22 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 24
⑵? log 2

bn ? 2n ? 24 ,? bn ? 2 2 n ?24

? Tn ? b1b2 b3 ? bn ? 2 2(1?2?3???n )?24n ? 2 n ( n ?1)?24n
令 n(n ? 1) ? 24n ? 0 ,得 n 8.已知 S n 为等差数列

? 23 ∴当 n ? 23 时, Tn ? 1.

?a n ?的前 n 项和, a1 ? 25, a4 ? 16.

⑴当 n 为何值时, S n 取得最大值; ⑵求 a 2

? a4 ? a6 ? a8 ? ? ? a20 的值;

⑶求数列

?a ?的前 n 项和 T .
n
n

【解析】⑴?等差数列

?a n ?中, a1 ? 25, a4 ? 16. ?公差 d ? a4 ? a1
4 ?1

? ?3

? a n ? ?3n ? 28 ,令 an ? ?3n ? 28 ? 0 ? n ? 9 ?当 n ? 9 时, an ? 0 ;当 n ? 9 时, an ? 0 .?当 n ? 9 时, S n 取得最大值; ⑵?数列 ?a n ?是等差数列
用心 爱心 专心

? a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? ? ? a20 ?

10(a2 ? a20 ) ? 10a11 ? 10(25 ? 3 ? 9) ? ?20 ; 2 ⑶由⑴得,当 n ? 9 时, a n ? 0 ;当 n ? 9 时, a n ? 0 .

? Tn ? a1 ? a2 ? ? ? a9 ? (a10 ? a11 ? ? ? an ) ? 2S9 ? S n 3 53 ? ? 3 ? 2(9 ? 25 ? 36 ? 3) ? ?25n ? n(n ? 1)? ? n 2 ? n ? 234 2 2 ? ? 2
9.(2009 执信中学)已知数列 ⑴证明:数列 ⑵求数列 ⑶若数列

?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ).

?an?1 ? an ? 是等比数列;

?an ? 的通项公式;
?bn ? 满足 4b ?14b ?1...4b ?1 ? (an ? 1)b (n ? N * ), 证明 ?bn ? 是等差数列.
1 2 n n

【解析】⑴证明:? an ? 2

? 3an ?1 ? 2an ,
a n ?2 ? a n ?1 ? 2( n ? N ? ) a n ?1 ? a n

? an ?2 ? an ?1 ? 2(an ?1 ? an ) ,? a1 ? 1, a2 ? 3 ,?

??an ?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
⑵解:由(I)得 an ?1 ? an

? 2n (n ? N * ),

? an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1

? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? ... ? 2 ? 1 ? 2n ? 1(n ? N * ).
⑶证明:? 4 1
b ?1 b2 ?1

4

...4bn ?1 ? (an ? 1)bn , ? 4(b1 ?b2 ?...?bn )?n ? 2nbn ,
① ②

? 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn ,

2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn ?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn ?1.

②-①,得 2(bn ?1 ? 1) ? (n ? 1)bn ?1 ? nbn , 即, (n ? 1)bn ?1 ? nbn

? 2 ? 0.



nbn? 2 ? (n ? 1)bn ?1 ? 2 ? 0.
④-③,得 nbn ? 2

④ 即, bn ? 2

? 2nbn ?1 ? nbn ? 0,

? 2bn?1 ? bn ? 0,

? bn ? 2 ? bn ?1 ? bn ?1 ? bn (n ? N * ), ??bn ? 是等差数列.
10.(2008 北京)数列

?a n ?满足 a1 ? 1, an?1 ? (n 2 ? n ? ? )an (n ? 1,2, ?) , ? 是常数.
用心 爱心 专心

? 1 时,求 ? 及 a 3 的值; ⑵数列 ?a n ?是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由; ⑶求 ? 的取值范围,使得存在正整数 m ,当 n ? m 时总有 a n ? 0 .
⑴当 a 2 【解析】⑴由于 a1 所以当 a 2 由 a1

? 1, an ?1 ? (n 2 ? n ? ? )an (n ? 1,2, ?) ,且 a1 ? 1 ,

? 1 时,得 ? 1 ? 2 ? ? , 故 ? ? 3 .从而 a3 ? (2 2 ? 2 ? 3) ? ( ?1) ? ?3 . ⑵数列 ?a n ?不可能为等差数列.证明如下:

? 1 , an ?1 ? (n 2 ? n ? ? )an 得 a2 ? 2 ? ? , a3 ? (6 ? ? )( 2 ? ? ), a4 ? (12 ? ? )( 6 ? ? )( 2 ? ? ).

若存在 ? ,使

(5 ? ? )( 2 ? ? ) ? 1 ? ? ? ? ? 3. 于是 a2 ? a1 ? 1 ? ? ? ?2, a4 ? a3 ? (11 ? ? )( 6 ? ? )( 2 ? ? ) ? ?24.
这与

?a n ?为等差数列,则 a3 ? a2 ? a2 ? a1 ,即

?a n ?为等差数列矛盾,所以,对任意 ? , ?a n ?都不可能是等差数列.
n

⑶记 bn

? n 2 ? n ? ? ( n ? 1,2, ?) 根据题意可知, b1 ? 0 且 bn ? 0 ,即 ? ? 2 且

? ? n 2 ? n(n ? N ? ) ,这时总存在 n? ? N ? ,满足:当 n ? n? 时,b >0;当 n ? n? ? 1 时, bn ? 0. 所以,由 a n ?1 ? bn a n 及 a1 ? 1 ? 0 可知,若 n ? 为偶数,则 a n ? 0 ,从而当 n ? n? 时 a n ? 0 ;
?

若 n ? 为奇数,则 a n

?

? 0 ,从而当 n ? n? 时 an ? 0.

因此“存在 m ? N ? ,当 n ? m 时总有 a n 记 n?

? 0 ”的充分必要条件是: n? 为偶数,

?b ? ( 2k ) 2 ? 2k ? ? ? 0 ? 2k (k ? 1,2, ?) ,则 ? 满足: ? 2 k 2 ?b2 k ?1 ? ( 2k ? 1) ? 2k ? 1 ? ? ? 0
2

故 ? 的取值范围是 4k

? 2k ? ? ? 4k 2 ? 2k (k ? N ? ).

第3讲

等比数列

★ 知 识 梳理 ★
1.等比数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数 q( q 列,常数 q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式: a n

? 0) ,这个数列叫做等比数

? a1q n ?1 , a1 为首项, q 为公比 .
? 1 时, S n ? na1 ? 1 时, S n ?

⑵前 n 项和公式:①当 q

②当 q 3.等比中项

a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? . 1? q 1? q

如果 a, G, b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 即: G 是 a 与 b 的等差中项 ? a ,

A , b 成等差数列 ? G 2 ? a ? b .
用心 爱心 专心

4.等比数列的判定方法 ⑴定义法:

a n ?1 ? q ( n ? N ? , q ? 0 是常数) ? ?a n ?是等比数列; an
2

⑵中项法: a n ?1

? a n ? a n ?2 ( n ? N ? )且 an ? 0 ? ?a n ?是等比数列.

5.等比数列的常用性质 ⑴数列

?a n ?是等比数列,则数列 ?pan ?、 ?pan ?( q ? 0 是常数)都是等比数列; ?a n ?中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 an , an?k , an?2k , an?3k ,? 为等比

⑵在等比数列 数列,公比为 q . ⑶ an
k

? a m ? q n ? m ( n, m ? N ? )

⑷若 m ? n

? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则 am ? an ? a p ? a q ;

⑸若等比数列

?a n ?的前 n 项和 S n ,则 S k 、 S 2 k ? S k 、 S3k ? S2k 、 S4k ? S3k 是等比数列.
★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点:理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式、前 n 项和公式并能解决实际问题;理解等比中 项的概念,掌握等比数列的性质. 2.难点:利用等比数列的性质解决实际问题. 3.重难点:正确理解等比数列的概念,灵活运用等比数列的性质解题. ⑴求等比数列的公比、 、求值、判定等比数列等通常运用等比数列的概念、公式及其性质. 问题 1:已知等比数列 A.等差数列

?a n ?的前 n 项和 S n ? p n ? 1 ( p 是非零常数),则数列 ?a n ?是(
B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.非等差数列

)

分析:先由 S n 求出 a n ,再根据等差、等比数列定义作出判定. 解析:? S n

? p n ? 1 ,? an ? S n ? S n ?1 ? ( p ? 1) p n ?1 (n ? 2)

?当 p ? 1, 且 p ? 0 时, ?a n ?是等比数列;?当 p ? 0 时, ?a n ?是等差数列,选 C.
⑵求实数等比数列的中项要注意符号,求和要注意分类讨论. 问题 2:若实数数列 1, a1 , a2 , a3 ,4 是等比数列,则 a 2 分析:本题容易错认为,由等比数列的等比中项公式 a 2 解析:? 1, a1 , a2 , a3 ,4 是等比数列,? a 2 又 1, a1 , a2 是等比数列,? a1
2 2 2

?

.

? 1 ? 4 ,得 a2 ? ?2.

? 1 ? 4 ,得 a2 ? ?2.

? 1 ? a2 , a1 ? R ,? a2 ? 2 .
用心 爱心 专心

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点 1 等比数列的通项与前 n 项和 题型 1 已知等比数列的某些项,求某项
【例 1】已知

?a n ?为等比数列, a2 ? 2, a6 ? 162 ,则 a10 ?
?a 2 ? a1q ? 2 ? q 4 ? 81 5 ?a6 ? a1q ? 162

【解题思路】可以考虑基本量法,或利用等比数列的性质 【解析】方法 1:? ?

? a10 ? a1q 9 ? a6 q 4 ? 162 ? 81 ? 13122
方法 2:? q
4

?

a6 162 ? ? 81 ,? a10 ? a6 q 4 ? 162 ? 81 ? 13122 a2 2

方法 3:?

?a n ?为等比数列
2

? a 2 ? a10 ? a6 ? a10 ?

a6 162 2 ? ? 13122 a2 2

2

【名师指引】给项求项问题,先考虑利用等比数列的性质,再考虑基本量法.

题型 2 已知前 n 项和 S n 及其某项,求项数.
【例 2】⑴已知 S n 为等比数列

?a n ?前 n 项和, S n

? 93 , a n ? 48 ,公比 q ? 2 ,则项数 n ?

.

⑵已知四个实数, 前三个数成等差数列, 后三个数成等比数列, 首末两数之和为 37 , 中间两数之和为 36 , 求这四个数. 【解题思路】⑴利用等比数列的通项公式 a n

? a1q n ?1 及 S n ?

a1 (1 ? q n ) 求出 a1 及 q ,代入 S n 可求 1? q

项数 n ;⑵利用等差数列、等比数列设出四个实数代入已知,可求这四个数.

?a1 ( 2 n ? 1) ? 93 ? 2 n ? 32 ? n ? 5 . 【解析】⑴由 S n ? 93 , a n ? 48 ,公比 q ? 2 ,得 ? n ?1 a ? 2 ? 48 ? 1
? 2b ? a ? c ?c 2 ? bd ? ⑵方法 1:设这四个数分别为 a, b, c, d ,则 ? ; a ? b ? 37 ? ? ?b ? c ? 36
方法 2:设前 2 个数分别为 a, b ,则第 3、 4 个数分别为 36 ? b, 37 ? a ,则

用心

爱心

专心

99 ? ? 2b ? (36 ? b) ? a ?a ? 12 ?a ? 4 ,解得 ? 或? ; ? 2 ?(36 ? b) ? b(37 ? a ) ? b ? 16 ? b ? 81 ? 4
方法 3:设第 2、 3 个数分别为 b,c ,则第 1 个数为 2b ? c ,第 1 个数为

c2 b

,则

? ? c2 b ? 16 ? ?b ? ?2b ? c ? 或 ? ? ? ? b c ? 20 ?c ? ? ? b ? c ? 36 ? ?

81 4 ; 63 4
a ? c 2c 2 , 2 a?c


方法 4:设第 2、 3 个数分别为 b,c ,设第 1,4 个数分别为

方法 5:设第 3、 4 个数分别为 c, d ,则设第 1,2 个数分别为 37 ? d ,36 ? c ,则

?2(36 ? c ) ? (37 ? d ) ? c ?c ? 20 ? 16 63 49 ?? 或c ? ,d ? . ? 2 4 4 ?c ? d (36 ? c ) ?d ? 25
【名师指引】平时解题时,应注意多方位、多角度思考问题,加强一题多解的练习,这对提高我们的解题 能力大有裨益.

题型 3 求等比数列前 n 项和
【例 3】等比数列 1,2,4,8,? 中从第 5 项到第 10 项的和. 【解题思路】可以先求出 S10 ,再求出 S 4 ,利用 S10 由 a5 , a6 , a7 , ?, a10 成等比数列求解. 【解析】由 a1

? S 4 求解;也可以先求出 a 5 及 a10 ,

? 1, a2 ? 2 ,得 q ? 2 ,

1(1 ? 210 ) 1(1 ? 2 4 ) ? 1023 , S 4 ? ? 15 ,? S10 ? S4 ? 1008 . ? S10 ? 1? 2 1? 2
【例 4】已知 S n 为等比数列

?a n ?前 n 项和, an ? 1 ? 3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n?1 ,求 S n

【解题思路】可以先求出 a n ,再根据 a n 的形式特点求解.

【解析】? a n

? 1 ? 3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ?1 ?

1(1 ? 3n ) 3n 1 ? ? , 1? 3 2 2

1 1 1 3(1 ? 3n ) 1 2 3 n ? n ? S n ? (3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ) ? n ? ? 2 2 2 1? 3 2
即 Sn

?

3n 1 3 ? n? . 4 2 4

用心

爱心

专心

【例 5】已知 S n 为等比数列

?a n ?前 n 项和, an ? (2n ? 1) ? 3n ,求 S n .

【解题思路】分析数列通项形式特点,结合等比数列前 n 项和公式的推导,采用错位相减法求和. 【解析】? an

? (2n ? 1) ? 3n

? S n ? 1 ? 3 ? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n ,----------------①
3S n ? 1 ? 32 ? 3 ? 33 ? 5 ? 34 ? ? ? (2n ? 3) ? 3n ? (2n ? 1) ? 3n ?1 -------------②
①—②,得 ? 2 S n

? 3 ? 2(32 ? 33 ? 34 ? ? ? 3n ) ? (2n ? 1) ? 3n ?1

? 3? 2?

9(1 ? 3n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 3n ?1 ? (2 ? 2n ) ? 3n ?1 ? 6 1? 3

? S n ? (n ? 1) ? 3n ?1 ? 3.
【名师指引】根据数列通项的形式特点,等比数列求和的常用方法有:公式法、性质法、分解重组法、错 位相减法,即数列求和从“通项”入手. 【新题导练】 1.已知

?a n ?为等比数列, a1 ? a2 ? a3 ? 3, a6 ? a7 ? a8 ? 6 ,求 a11 ? a12 ? a13 的值. ?a n ?的公比为 q ,
a 4 ? a5 ? a 6 ? 2 ,? a11 ? a12 ? a13 ; a1 ? a 2 ? a3
.

【解析】设等比数列

? a1 ? a2 ? a3 ? 3, a6 ? a7 ? a8 ? 6 ,? q 5 ?

2.如果将 20,50,100 依次加上同一个常数后组成一个等比数列,则这个等比数列的公比为

x,50 ? x,100 ? x 成等比数列, 5 50 ? 5 4 ? 205 ? 41 . ? (50 ? x ) 2 ? (20 ? x )(100 ? x ) ,解得 x ? ,? q ? 5 4 85 17 20 ? 4
3.已知 S n 为等比数列 【解析】 ? 当 a1

【解析】设这个常数为 x ,则 20 ?

?a n ?的前 n 项和, a2 ? 3, a6 ? 243, Sn ? 364 ,则 n ?



?a 2 ? a1q ? 3 ? a1 ? 1, q ? 3 或 a1 ? ?1, q ? ?3 , 5 ?a 6 ? a1q ? 243

1(1 ? 3n ) ? 364 ? n ? 6 ; 1? 3 ? 1 1 ? ( ?3) n ? 364 ? n 无整数解. 当 a1 ? ?1, q ? ?3 时, S n ? 1? 3

? 1, q ? 3 时, S n ?

?

?

4.已知等比数列

?a n ?中, a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是

.

用心

爱心

专心

? 1? 1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a2 ?1 ? q ? ? ? 1 ? q ? q? q ? 1 1 ∴当公比 q ? 0 时, S3 ? 1 ? q ? ? 1 ? 2 q ? ? 3 ; q q
【解析】∵等比数列

? an ? 中 a2 ? 1

∴ S3

当公比 q

? ? 1? 1? ? 0 时, S3 ? 1 ? ? ? q ? ? ? 1 ? 2 ? q ? ? ? ? ? ?1 , q? ? ? q?

∴ S3 ?

? ??, ?1? ? ?3, ?? ?

5.已知 S n 为等比数列 54,求 S100 . 【解析】由 a n

?a n ?前 n 项和, an ? 0 , S n

? 80 , S 2 n ? 6560 ,前 n 项中的数值最大的项为

? 0 , S n ? 80 , S 2 n ? 6560 ,知 q ? 1 ,

? Sn ?

a1 (1 ? q n ) a (1 ? q 2 n ) ? 80, S 2 n ? 1 ? 6560 . 1? q 1? q

?

Sn 1 ? q 2n ? ? 82 ? q n ? 81 ,? q ? 1 ,又?前 n 项中的数值最大的项为: n S2n 1 ? q

an ? a1q n?1 ? 54 ,?

a1 2 ? ,? a1 ? 2, q ? 3 ? S100 ? 3100 ? 1. q 3

考点 2 证明数列是等比数列
【例 6】已知数列

?a n ?和 ?bn ?满足: a1 ? ? , an?1 ? 2 an ? n ? 4 , bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21) ,
3

其中 ? 为实数, n ? N ? .

⑴ 对任意实数 ? ,证明数列 ?a n ?不是等比数列;

⑵ 试判断数列

?bn ?是否为等比数列,并证明你的结论.

【解题思路】⑴证明数列 常用:①定义法;②中项法.

?a n ?不是等比数列,只需举一个反例;⑵证明数列 ?bn ?是等比数列, ?a n ?是等比数列,则有 a22 ? a1 ? a3 ,

【解析】⑴ 证明:假设存在一个实数 ? ,使 即(

2 4 4 4 ? ? 3) 2 ? ? ( ? ? 4) ? ?2 ? 4? ? 9 ? ?2 ? 4? ? 9 ? 0, 矛盾. 3 9 9 9 所以 ?a n ?不是等比数列.
? ( ?1) n (an ? 3n ? 21) ? ( ?1) n ?1 ?an ?1 ? 3(n ? 1) ? 21? 2 ? ( ?1) n ?1 ?an ?1 ? 3n ? 18? ? ( ?1) n ?1 ( an ? 2n ? 14 ) 3 2 2 ? ( ?1) n ?1 (an ? 3n ? 21) ? ? bn 3 3 又 b1 ? ?1(? ? 18) ,所以 bn ?不是等比数列; 当 ? ? ?18, bn ? 0( n ? N ? ) ,此时 ?
⑵ 解:因为 bn 用心 爱心 专心

当?

? ?18, b1 ? ?(? ? 8) 时,由上可知 bn ? 0,?
【名师指引】等比数列的判定方法: ⑴定义法:

bn ?1 2 ? ? (n ? N ? ) ,此时 ?bn ?是等比数列. bn 3

a n ?1 ? q ( n ? N ? , q ? 0 是常数) ? ?a n ?是等比数列; an
2

⑵中项法: a n ?1 【新题导练】

? a n ? a n ?2 ( n ? N ? )且 an ? 0 ? ?a n ?是等比数列.

2an 1 2 , an ?1 ? , n ? 1, 2,3, ?.证明:数列 { ? 1} 是等比数列; an ? 1 an 3 2an a ?1 1 1 1 1 【解析】? an ?1 ? ,? ? n ? ? ? , an ?1 2an 2 2 an an ? 1 1 1 1 1 1 2 ? 1 ? ( ? 1) ,又 a1 ? ,? ? 1 ? , ? an ?1 2 an a1 2 3 1 1 1 ?数列 { ? 1} 是以 为首项, 为公比的等比数列. an 2 2
6.已知数列 {an } 的首项 a1

?

考点 3 等比数列的性质
【例 7】已知 S n 为等比数列

?a n ?前 n 项和, S n

? 54 , S 2 n ? 60 ,则 S 3n ?

.

【解题思路】结合题意考虑利用等比数列前 n 项和的性质求解. 【解析】?

?a n ?是等比数列,? Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n 为等比数列,
182 3
.

? 54( S3n ? 60) ? 36 ? S3n ?
【新题导练】 7.已知等比数列 【解析】?

【名师指引】给项求项问题,先考虑利用等比数列的性质,再考虑基本量法.

?a n ?中, an ? 0, (2a4 ? a2 ? a6 )a4 ? 36 ,则 a3 ? a5 ?

.

?a n ?是等比数列, an ? 0

? (2a4 ? a2 ? a6 )a4 ? 36 ? (a3 ? a5 ) 2 ? 36 ? a3 ? a5 ? 6 .
考点 4 等比数列与其它知识的综合
【例 8】设 S n 为数列 ⑴证明:当 b ? 2 时, ⑵求

?a

?a n ?的前 n 项和,已知 ban ? 2n ? ? b ? 1? Sn
n

? n ? 2n ?1? 是等比数列;

?an ? 的通项公式
?Sn , an , n? ? 0 求数列的通项公式 an ?
f (n) ,主要利用:

【解题思路】由递推公式

?S ( n ? 1) an ? ? 1 ,同时注意分类讨论思想. ?S n ? S n ?1 ( n ? 2)

用心

爱心

专心

【解析】由题意知 a1 两式相减,得 b

? 2 ,且 ban ? 2n ? ? b ? 1? Sn , ban ?1 ? 2n ?1 ? ? b ? 1? S n ?1
an ?1 ? ban ? 2n


? an?1 ? an ? ? 2n ? ? b ? 1? an?1 ,即
an ?1 ? 2an ? 2n

⑴当 b ? 2 时,由①知 于是

an?1 ? ? n ? 1? ? 2n ? 2an ? 2n ? ? n ? 1? ? 2n
n ?1

又 a1 ? 1 ? 2

? 1 ? 0 ,所以 ?an ? n ? 2n ?1? 是首项为 1 ,公比为 q ? 2 的等比数列。
? n ? 2n ?1 ? 2n ?1 ,即 an ? ? n ? 1? 2n ?1

? 2 ? an ? n ? 2n ?1 ?

⑵当 b ? 2 时,由(Ⅰ)知 an 当 b ? 2 时,由①得



1 1 ? 2n?1 ? ban ? 2n ? ? 2n ?1 2?b 2?b 1 b ? ? ? 2n ? ? ban ? ? 2n ? b ? an ? 2?b 2?b ? ? 1 1 ? ? 2 ?1 ? b ? n 因此 an ?1 ? ?b ? 2n ?1 ?? b ? an ? ? 2n ? ? 2?b 2?b 2?b ? ? n ?1 ? 2 ? an ? ? 1 ? 2n ? ? 2 ? 2b ? b n ?1 ? n?2 ? ? ? ?2 ? b an ?1 ?
【名师指引】退一相减是解决含有 S n 的递推公式的重要手段,使其转化为不含 S n 的递推公式,从而针对

性的解决;在由递推公式求通项公式时,重视首项是否可以吸收是易错点,同时重视分类讨论,做到条理清 晰是关键. 【新题导练】 8.设 S n 为数列

?a n ?的前 n 项和, a1 ? a , an?1 ? Sn ? 3n , n ? N* . n ⑴ 设 bn ? S n ? 3 ,求数列 ?bn ? 的通项公式;
⑵ 若 a n ?1

? an (n ? N ? ) ,求 a 的取值范围.
? an ?1 ? Sn ? 3n ,即 Sn ?1 ? 2Sn ? 3n ,

【解析】⑴依题意, Sn ?1 ? S n 由此得 Sn ?1 ? 3
n ?1

? 2( Sn ? 3n ) .因此,所求通项公式为


bn ? Sn ? 3n ? (a ? 3)2n ?1 , n ? N ? .
⑵ 由①知 当n

Sn ? 3n ? (a ? 3)2n?1 , n ? N ? ,于是,

? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 3n ? (a ? 3) ? 2n?1 ? 3n?1 ? (a ? 3) ? 2n?2
? 2 ? 3n ?1 ? (a ? 3)2n ?2 ,
n ?2 ? ? ? 3? ?12 ? ? ? ? a ? 3? , ?2? ? ? ? ?

an ?1 ? an ? 4 ? 3
n ?2

n ?1

? (a ? 3) ? 2

n ?2

?2

n ?2

n ?2 ? ? ? 3? 当 n ? 2 时, an ?1 ? a n ? 2 ?12 ? ? ? ? a ? 3? ? 0 ? a ? ?9 ,又 a2 ? a1 ? 3 ? a1 . ?2? ? ? ? ? ? ?? . 综上,所求的 a 的取值范围是 ? ?9,

用心

爱心

专心

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1.设

?a n ?是公比为正数的等比数列,若 a1 ? 1, a5 ? 16 ,则数列 ?a n ?前 7 项的和为(
A. 63
B. 64



C. 127 D. 128 a1 (1 ? q 7 ) a5 4 ? 127 . 【解析】C. 由 a1 ? 1, a5 ? 16 ,得 q ? ? 16 , q ? 2 , S 7 ? 1? q a1 S 2.设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 , 前 n 项和为 S n ,则 4 ? ( ) a2 15 17 A. 2 C. B. 4 D. 2 2 4 4 S4 1 a1 (1 ? q ) 1? 2 15 ? ? ? ? . 【解析】C. a 2 a1q 1? q 2 ? ( ?1) 2 3.已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 3,a2 ? a3 ? 6 ,则 a7 ? ( ) A. 64 C. 128 B. 81 D. 243 a 2 ? a3 【解析】A. q ? ? 2 ,? a1 ? a1q ? 3 ? a1 ? 1 , a7 ? 1 ? 2 7?1 ? 64. a1 ? a 2
4.已知等比数列

?an ? 的前三项依次为 a ? 1, a ? 1 , a ? 4 ,则 an ? (
n



?3? A. 4 ? ? ? ?2?
【解析】C. ( a 5.已知

?2? B. 4 ? ? ? ?3?

n

?3? C. 4 ? ? ? ?2?

n ?1

?2? D. 4 ? ? ? ?3?

n ?1

? 1) 2 ? (a ? 1)( a ? 4) ? a ? 5 , a1 ? 4, q ?

3 3 ,? a n ? 4 ? ( ) n ?1 2 2


4 ?n A. 16(1 ? 4 ) B. 16(1 ? 2 ? n ) 32 32 C. (1 ? 4 ?n ) (1 ? 2 ?n ) D. 3 3 1 1 32 【解析】C.? a 2 ? 2,a5 ? ,? a1 ? 4, q ? . a1a 2 ? a 2 a3 ? ? ? an a n ?1 ? (1 ? 4 ?n ) 2 3 4 6.(2009 广雅中学)在等比数列中,已知 a9 ? a10 ? a(a ? 0) , a19 ? a20 ? b ,则 a99 ? a100 ? .
【解析】

?a n ?是等比数列, a2 ? 2,a5 ? 1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 =(

b9 a8

.利用 a9

? a10 , a19 ? a20 , ?, a99 ? a100 成等比数列,得 a99 ? a100 ?
综合拔高训练

b9 a8

7.(2009 执信中学) 等差数列

?an ? 中, a4 ? 10 且 a3,a6,a10 成等比数列,求数列 ?an ? 前 20 项的和 S 20 . ?an ? 的公差为 d ,则
a6 ? a4 ? 2d ? 10 ? 2d , a10 ? a4 ? 6d ? 10 ? 6d


【解析】解:设数列

a3 ? a4 ? d ? 10 ? d ,

用心

爱心

专心

由 a3,a6,a10 成等比数列得 a3 a10 整理得 10d 当d
2

2 , ? a6

即 (10 ? d )(10 ? 6d ) ? (10 ? 2d ) ,
2

? 10d ? 0 ,

解得 d

? 0 或 d ? 1.

? 0 时, S20 ? 20a4 ? 200 ;当 d ? 1 时, a1 ? a4 ? 3d ? 10 ? 3 ?1 ? 7 ,
? 20a1 ? 20 ?19 d ? 20 ? 7 ?190 ? 330 . 2

于是 S20

8.(2009 金山中学)已知数列 ⑴求 a1 , a 2 的值; ⑵证明数列

?an ? 的前 n 项和为 S n , Sn ?

1 (an ? 1) ? n ? N ? ? ; 3

?an ? 是等比数列,并求 S n .
1 S1 ? (a1 ? 1) 3


【解析】⑴由 由 S2

a1 ? ?

1 2

1 1 1 1 1 ? (a2 ? 1) 即 a1 ? a2 ? (a2 ? 1) ? - ? a2 ? (a2 ? 1) ,得 a2 ? 3 3 2 3 4 1 1 1 1 ⑵? S n ? ( an ? 1) ? an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? ( an ?1 ? 1) ? (an ? 1) ? (an?1 ? an ) 3 3 3 3
?0 ? an ?1 1 1 1 1 1 ? ? ,所以, ?an ? 是以 ? 为公比的等比数列, Sn ? ? (? )n ?1 ? ?( )n an 2 2 2 2 2
? ( ?1) n (an ? 3n ? 21) ,

显然 an

9.(2008 湖北) 已知数列

?a n ?和 ?bn ?满足: a1 ? ? , an?1 ? 2 an ? n ? 4 , bn
3

其中 ? 为实数, n ? N ? .

?a n ?不是等比数列; ⑵ 证明:当 ? ? ?18 ,数列 ? bn ?是等比数列; bn ?的前 n 项和,是否存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都有 S n ? ?12 ? ⑶设 S n 为数列 ?
⑴ 对任意实数 ? ,证明数列

若存在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由. 【解析】⑴证明:假设存在一个实数 ? ,使 即(

?a n ?是等比数列,则有 a22 ? a1 ? a3 ,

2 4 4 4 ? ? 3) 2 ? ? ( ? ? 4) ? ?2 ? 4? ? 9 ? ?2 ? 4? ? 9 ? 0, 矛盾. 3 9 9 9 所以 ?a n ?不是等比数列.
? ( ?1) n (an ? 3n ? 21) ? ( ?1) n ?1 ?an ?1 ? 3(n ? 1) ? 21? 2 ? ( ?1) n ?1 ?an ?1 ? 3n ? 18? ? ( ?1) n ?1 ( an ? 2n ? 14 ) 3 2 2 ? ( ?1) n ?1 (an ? 3n ? 21) ? ? bn 3 3 又 b1 ? ?1(? ? 18) ,所以,当 ? ? ?18, b1 ? ?(? ? 8) 时, bn ?1 2 由上可知 bn ? 0,? ? ? (n ? N ? ) , bn 3
⑵ 解:因为 bn

用心

爱心

专心

此时

?bn ?是以 ? (? ? 8) 为首项, ? 2 为公比的等比数列.
3

2 ? ?18 时,由⑵得 bn ? ?(? ? 8) ? ( ? ) n?1 ,于是 3 3 2 ? ? S n ? ? (? ? 8) ? ?1 ? ( ? ) n ? , 5 3 ? ? 当 ? ? ?18 时, bn ? 0 ,从而 Sn ? 0. 上式仍成立.要使对任意正整数 n
⑶当 ?

, 都有 S n

? ?12 .即

3 2 ? 20 ? ? (? ? 8) ? ?1 ? ( ? ) n ? ? ?12 ? ? ? ? 18. 2 n 5 3 ? ? 1 ? (? ) 3 2 n 5 令 f ( n ) ? 1 ? ( ? ) ,则 ? f ( n ) ? 1 3 9 5 5 当 n 为正奇数时, 1 ? f ( n ) ? ;当 n 为正偶数时, ? f ( n ) ? 1 . 3 9 3 5 ? f ( n ) 的最大值为 f (1) ? . 于是可得 ? ? 20 ? ? 18 ? ?6 . 3 5
综上所述,存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都有 S n

? ?12 , ? 的取值范围为 ?? ?,?6? .

第4讲

数列的通项的求法
★ 知 识 梳理 ★

数列通项的常用方法: ⑴利用观察法求数列的通项. ⑵利用公式法求数列的通项:① a n

(n ? 1) ?S ?? 1 ;② ?a n ? 等差、等比数列 ?a n ? 公式. ?S n ? S n ?1 ( n ? 2)
? an ? f (n) ;② an ?1 ? an f (n ).

⑶应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项:① an ?1 ⑶构造等差、等比数列求通项: ①

an ?1 ? pan ? q ;② an ?1 ? pan ? q n ;③ an ?1 ? pan ? f (n) ;④ an ?2 ? p ? an ?1 ? q ? an .
★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点:掌握由常见数列递推关系式求通项公式的方法. 2.难点:由数列递推关系式的特点,选择合适的方法.

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点 求数列的通项公式 题型 1 利用公式法求通项

用心

爱心

专心

【例 1】已知 S n 为数列 ⑴

?a n ?的前 n 项和,求下列数列 ?a n ?的通项公式:
⑵ Sn

S n ? 2n 2 ? 3n ? 1 ;

? 2n ? 1.

【解题思路】已知关系式 个重要公式. 【解析】⑴当 n 当n

( ?S 1 n ? 1) ,这是求数列通项的一 f ( S n , an , n) ? 0 ,可利用 a n ? ? ?S n ? S n ?1 ( n ? 2)

? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ? 12 ? 3 ? 1 ? 1 ? 4 ,

? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? (2n 2 ? 3n ? 1) ? ?2(n ? 1) 2 ? 3(n ? 1) ? 1? ? 4n ? 1 .
?4( n ? 1) . ? 1 时, 4 ? 1 ? 1 ? 5 ? a1 ,? a n ? ? ?4n ? 1( n ? 2)
⑵当 n

而n

? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ? 1 ? 3 ,

当n

? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? (2 n ? 1) ? (2 n ?1 ? 1) ? 2 n ?1 .
?3( n ? 1) . ? 1 时, 21?1 ? 1 ? a1 ,? an ? ? n ?1 ?2 ( n ? 2 )

而n

【名师指引】任何一个数列,它的前 n 项和 S n 与通项 a n 都存在关系: a n

? S ( n ? 1) ?? 1 ? S n ? S n ?1 ( n ? 2)

若 a1 适合 a n ,则把它们统一起来,否则就用分段函数表示.

题型 2 应用迭加(迭乘、迭代)法求通项
【例 2】⑴已知数列 ⑵已知 S n 为数列

?a n ?中, a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 1(n ? 2) ,求数列 ?a n ?的通项公式;

?a n ?的前 n 项和, a1 ? 1 , S n ? n 2 ? an ,求数列 ?a n ?的通项公式.
? an ? f (n) ,可利用迭加法或迭代法;
? an ? f (n) ,可利用迭乘法.

【解题思路】⑴已知关系式 an ?1 ⑵已知关系式 an ?1 【解析】⑴方法 1: (迭加法)

? a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 1(n ? 2) ,? an ? an ?1 ? 2n ? 1 ? an ? (an ? an ?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? (an ?2 ? an?3 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1
? (2n ? 1) ? (2n ? 3) ? (2n ? 5) ? ? ? 5 ? 3 ? 1 ?
方法 2: (迭代法)? a1

n(2n ? 1 ? 1) ? n2 2

? 2, an ? an?1 ? 2n ? 1(n ? 2) ,
用心 爱心 专心

? an ? an ?1 ? 2n ? 1 ? an ?2 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1
? an?3 ? 2(n ? 2) ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 2(n ? 2) ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ? n 2 ,? a n ? n 2 .
⑵? a1

? 1 , S n ? n 2 ? a n ,?当 n ? 2 时, S n ?1 ? (n ? 1) 2 ? an ?1
an n ?1 . ? a n ?1 n ? 1

? a n ? S n ? S n ?1 ? n 2 a n ? ( n ? 1) 2 a n ?1 ?

? an ?

n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1 2 a n a n ?1 a n ?2 a a ? ? ??? ? ?1 ? . ? ? ? ? ? 3 ? 2 ? a1 ? a n ?1 a n ?2 a n ?3 a 2 a1 n ?1 n n ?1 4 3 n(n ? 1)
; ? an ? f (n ) ” 迭乘法适用于求递推关系形如

【名师指引】⑴迭加法适用于求递推关系形如“ an ?1 “ an ?1 ①

? an ? f (n) “;⑵迭加法、迭乘法公式: an ? (an ? an ?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? (an ?2 ? an?3 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1
an ? a n a n ?1 a n ?2 a a ? ? ? ? ? 3 ? 2 ? a1 . a n ?1 a n ?2 a n ?3 a2 a1



题型 3 构造等比数列求通项
【例 3】已知数列

?a n ?中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3 ,求数列 ?a n ?的通项公式.
? pan ? q ”是一种常见题型,适当变形转化为等比数列.

【解题思路】递推关系形如“ a n ?1 【解析】? a n ?1

? 2a n ? 3 ,? an?1 ? 3 ? 2(an ? 3)

? ?a n ? 3?是以 2 为公比的等比数列,其首项为 a1 ? 3 ? 4 ? an ? 3 ? 4 ? 2 n ?1 ? an ? 2 n ?1 ? 3.
【名师指引】递推关系形如“ a n ?1

? pan ? q ”

适用于待定系数法或特征根法:

①令 an ?1 ? ? ? p( an ? ? ) ;
② 在 a n ?1

? pan ? q 中令 a n ?1 ? a n ? x ? x ?

q ,? a n ?1 ? x ? p( a n ? x ) ; 1? p

③由 a n ?1

? pan ? q 得 an ? pan ?1 ? q ,? an ?1 ? an ? p(an ? an ?1 ) .

【例 4】已知数列

?a n ?中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3n ,求数列 ?a n ?的通项公式.
用心 爱心 专心

【解题思路】递推关系形如“ a n ?1 【解析】方法 1:? a n ?1 则

? pan ? q n ”

适当变形转化为可求和的数列.

? 2a n ? 3n ,?

an ?1 a a 3 ? nn ? ( ) n ,令 nn ? bn n ?1 2 2 2 2 ?1

3 bn ?1 ? bn ? ( ) n , 2

? bn ? (bn ? bn?1 ) ? (bn ?1 ? bn ?2 ) ? ? ? (b2 ? b1 ) ? b1
3 3 3 3 3 3 ? ( ) n ?1 ? ( ) n ?2 ? ( ) n ?3 ? ? ? ( ) 2 ? ? 1 ? 2 ? ( ) n ? 2 2 2 2 2 2 2

? an ? 3n ? 2 n
方法 2:? a n ?1 则

? 2a n ? 3n ,?

an ?1 2 an a ? ? n ?1 ? 1 ,令 nn ? bn n 3 3 3 3 ?1
(解法略)

bn ?1 ?

2 bn ? 1 ,转化为“ an ?1 ? pan ? q “ 3

【名师指引】递推关系形如“ a n ?1 “ a n ?1

? pan ? q n ”通过适当变形可转化为:

? pan ? q ”或“ a n ?1 ? a n ? f ( n ) n 求解.

【例 5】已知数列

?a n ?中, a1 ? 1, a2 ? 2, an?2 ? 3an?1 ? 2an ,求数列 ?a n ?的通项公式.
? p ? an ?1 ? q ? an ”可用待定系数法或特征根法求解.

【解题思路】递推关系形如“ a n ? 2 【解析】令 an ?2

? ? ? an?1 ? ? (an?1 ? ? ? an )

由?

?? ? ? ? 3 ?? ? ?1 ?? ? ?2 ?? 或? ,? an ?2 ? an ?1 ? 2( an ?1 ? an ) ?? ? ? ? ?2 ?? ? 2 ?? ? 1

?数列 ?an?1 ? an ?是等比数列,? an ?1 ? an ? 2 n ?1 ? an ? (an ? an ?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? (an ?2 ? an?3 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1
? 2n?2 ? 2n?3 ? 2n?4 ? ? ? 2 ? 1 ? 1 ? 2n?1 .
【名师指引】递推关系形如“ a n ? 2 【新题导练】 1.已知 S n 为数列

? p ? an ?1 ? q ? an ” ,通过适当变形转化为可求和的数列. S n ? 3an ? 2(n ? N ? , n ? 2) ,求数列 ?a n ?的通项公式.

?a n ?的前 n 项和,

【解析】当 n

? 1 时, a1 ? S1 ? 3a1 ? 2 ? a1 ? ?1 ,
an 3 ? a n ?1 2

当n

? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (3an ? 2) ? (3an?1 ? 2) .? 2a n ? 3a n ?1 ?
用心 爱心 专心

? ?a n ?是以
2.已知数列

3 3 n ?1 为公比的等比数列,其首项为 a1 ? ?1 ,? a n ? ?1 ? ( ) . 2 2

?a n ?中, a1 ? 2, (n ? 2)an?1 ? (n ? 1)an ? 0(n ? N ? ) ,求数列 ?a n ?的通项公式.
? (n ? 1)an ? 0 得,

【解析】由 ( n ? 2)a n ?1

a n ?1 n ? 1 ? an n?2

? an ?

a n a n ?1 a n ?2 a a n n ?1 n ? 2 3 2 4 . ? ? ? ? ? 3 ? 2 ? a1 ? ? ? ??? ? ? 2 ? a n ?1 a n ?2 a n ?3 a 2 a1 n ?1 n n ?1 4 3 n ?1

3.⑴已知数列

?a n ?中, a1 ? 1, an?1 ? 2 an ? 2 ,求数列 ?a n ?的通项公式;
3

⑵已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? n ,求数列 ?a n ?的通项公式.
【解析】⑴ a n ?1

?

2 2 2 an ? 2 ? an ?1 ? 6 ? (an ? 6) ,? an ? 7 ? ( ) n ?1 ? 6 ; 3 3 3

⑵令 an ?1 ? ? ? n ? 2(an ? ? ? n) ,得 ? ? ?1

? an?1 ? n ? 2(an ? n) ,? an ? n ? 2 ? 2 n ?1 , ? a n ? 2 n ? n
4.已知数列

?a n ?中, a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 3n ,求数列 ?a n ?的通项公式.
? 3an ? 3n ,?

【解析】? a n ?1

a n ?1 a a ? nn ? 1 ,令 nn ? bn n ?1 3 3 3 ?1

?数列 ?bn ?是等差数列, bn ? 1 ? 1(n ? 1) ? n ,? a n ? n ? 3n ?1 .
5.(2008 全国Ⅱ卷理 ? 节选) 设数列

?a n ?的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? a, an?1 ? Sn ? 3n (n ? N ? ) ,设 bn ? S n ? 3n , 求数列 ? bn ?的通项公式.
【解析】依题意, a n ?1 由此得 S n ?1

? S n ?1 ? S n ? S n ? 3n ,即 S n ?1 ? 2 S n ? 3n ,

6.(2008 广东文 ? 节选) 已知数列

? 3n ?1 ? 2( S n ? 3n ) ,

? bn ? S n ? 3n ? (a ? 3) ? 2 n ?1.

?a n ?中, a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 1 an?1 ? 2 an?2 (n ? 3) ,求数列 ?a n ?的通项公式.
3 3
得 an

2 ? an ?1 ? ? (an ?1 ? an ?2 )( n ? 3) 3 2 an?1 ? an ?是以 1 为首项,公比为 ? 的等比数列, 又 a 2 ? a1 ? 1 ? 0 ,所以数列 ? 3 2 ? an?1 ? an ? ( ? ) n?1 3

1 2 【解析】由 a n ? an ?1 ? a n ?2 3 3

? an ? (an ? an ?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? (an ?2 ? an?3 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1

用心

爱心

专心

2 2 2 2 8 3 2 ? ( ? ) n ?2 ? ( ? ) n ?3 ? ? ? ( ? ) 2 ? ( ? ) ? 1 ? 1 ? ? ( ? ) n ?1 . 3 3 3 3 5 5 3
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1.若数列

?an ?的前 n 项和 S n

,则此数列是( ? a n ? 1 ( a ? R ,且 a ? 0 )

)

A. 等差数列 B. 等比数列 C. 等差数列或等比数列 D. 既不是等差数列,也不是等比数列 n n ?1 【解析】C. ? S n ? a ? 1 ,? a n ? S n ? S n ?1 ? ( a ? 1)a ( n ? 2) ?当 a ? 1 时, an ? 0 , ?an ?是等差数列; a ? 0 且 a ? 1 时, ?an ?是等比数列.选 C.
2.数列

?an ?中, a1 ? 1, an
B. n 2

? n(an ?1 ? an ) ,则数列 ?an ?的通项 a n ? (

)

A. 2n ? 1

n ? 1 n ?1 ) D. n n a n ?1 【解析】 D a1 ? 1, a n ? n ( a n ?1 ? a n ) ? n ?1 ? ,使用迭乘法,得 an ? n. an n

C. (

3.数列

?an ?中, an?1 ? 3an ? 2(n ? N ? ) ,且 a10 ? 8 ,则 a 4
B. ?

?(

)

80 1 26 C. D. ? 81 27 27 n ?10 【解析】 B 由 a n ?1 ? 3a n ? 2( n ? N ? ) ,得 an ?1 ? 1 ? 3( an ? 1) , a n ? 1 ? ( a10 ? 1)3 80 ? an ? 3n ?8 ? 1 , a4 ? 3?4 ? 1 ? ? . 81

A.

1 81

4.设

?an ?是首项为 1 的正项数列,且 (n ? 1)an2?1 ? nan2 ? an?1an

? 0(n ? N ? ) ,

则数列

?an ?的通项 a n
?

?

.

【解析】 an

1 n 2 2 (n ? 1)an an ) ? 0 ?1 ? nan ? a n ?1a n ? 0 ? ( a n ?1 ? a n )( a n ?1 ? n n ?1
2a n ( n ? N ? ) ,则 ?an ?的通项 a n ? 2 ? an
.

5.数列

?an ?中, a1 ? 1, an?1 ?
? 2 2n ? 1

【解析】 a n

由 a n ?1

?

2a n 2 ? an

,得

1 a n ?1

?

1 1 ? an 2
.

6.数列

?an ?中, a1 ? 1,
? 1 . n2


a n ? a n ?1 ? a n a n ?1 ( n ? N ? ) ,则 ?an ?的通项 a n ? a n ? a n ?1 ? a n a n ?1
,得

【解析】 a n

1 1 ? ?1 a n ?1 an

用心

爱心

专心

?

1 1 ? 1 ? 1 ? ( n ? 1) ? n ,? an ? 2 . n an
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7.数列

?an ?中, a1 ? 2, an?1 ?
? 2a n 4 ? an

2a n ( n ? N ? ) ,求数列 ?an ?的通项公式. 4 ? an

【解析】? a n ?1

,?

1 a n ?1

?

4 ? an 1 1 1 1 2 1 ? ? 2( ? ) . ? ? ,? a n ?1 2 an 2 2a n an 2

? 1 1? 1 1 ?数列 ? ? ? 是以 2 为公比的等比数列,其首项为 ? ? 1. a1 2 ? an 2 ?

?

1 1 2 ? ? 2 n ?1 ? an ? n an 2 2 ?1

8.已知数列

?a n ?中, a1 ? 2, a2 ? 1, an?2 ? 5an?1 ? an ? 0(n ? N ? ) ,求数列 ?a n ?的通项公式.
? 5an ?1 ? an ? 0 ,? an ?2 ? 2an ?1 ? 3(an ?1 ? 2an ) .

【解析】? a n ? 2

?数列 ?a n ?1 ? 2a n ?是以 3 为公比的等比数列,其首项为 a2 ? 2a1 ? ?3 ? an ?1 ? 2an ? ?3 ? 3n ?1 ? ?3n ,?


an?1 an 3 ? n?1 ? ?( ) n . n 2 2 2

an 3 ? bn ,则 bn ?1 ? bn ? ?( ) n , n ?1 2 2

? bn ? (bn ? bn?1 ) ? (bn ?1 ? bn ?2 ) ? ? ? (b2 ? b1 ) ? b1
3 3 3 3 3 3 ? ?( ) n?1 ? ( ) n?2 ? ( ) n?3 ? ? ? ( ) 2 ? ? 2 ? ?2 ? ( ) n ? 5 ,? a n ? 5 ? 2 n ?1 ? 3n . 2 2 2 2 2 2

第5讲
1.基本数列的前 n 项和

数列求和

★ 知 识 梳 理 ★



? n( a1 ? a n ) ? 2 ? 1 ? an ?的前 n 项和: S n ? ?na1 ? n( n ? 1)d 等差数列 ? 2 ? 2 ?a ? n ? b ? n ? ?

⑵ 等比数列

?an ?的前 n 项和 S n :

用心

爱心

专心

①当 q

? 1 时, S n ? na1 ;②当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? ; 1? q 1? q

⑶ 基本数列

?n ?的前 n 项和: S
2

n

?

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) . 6

2. 数列求和的常用方法:公式法;性质法;拆项分组法;裂项相消法;错位相减法;倒序相加法.

★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点:掌握由数列通项公式求数列的前 n 项之和的方法; 2.难点:利用裂项相消法、错位相减法求数列的前 n 项之和. 3.重难点:灵活选择数列求和的方法,注意裂项相消法求和中项数及项的处理. ⑴抓住等差,等比数列的项的性质,整体代值可简化解题过程. 问题 1:⑴已知 S n 为等比数列 则 a3

?a n ?的前 n 项和,公比 q ? 2, S99 ? 7 ,


? a6 ? a9 ? ? ? a99 ?

⑵等差数列 则 a1

?a n ?中,公差 d ? 1 ,且 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a99 ? 60 ,
2
.

? a2 ? a3 ? ? ? a100 ?

分析:利用(或转化为)等差、数列等比前 n 项和公式是最基本的方法;⑴要求前 99 项中序号为 3 的倍 数项的和可进行整体考虑;⑵把 a1 解析:⑴? S 99

? a3 ? a5 ? ? ? a99 当作一个整体考虑.

? (a1 ? a4 ? ? ? a97 ) ? (a2 ? a5 ? ? ? a98 ) ? (a3 ? a6 ? ? ? a99 )

?(

1 1 4 ? ? 1) ? (a3 ? a6 ? ? ? a99 ) ,? a3 ? a6 ? a9 ? ? ? a99 ? ? 77 ? 44. 2 q q 7
⑵? d

?

1 ,且 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a99 ? 60 , 2

? a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a100 ? (a1 ? d ) ? (a3 ? d ) ? (a5 ? d )
? (a1 ? a3 ? a5 ? ? a99 ) ? 60 ? 25 ? 85. ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? 60 ? 85.
⑵裂项相消法求和中注意项数及项的处理. 问题 2:数列

1 1 1 1 , , , ?, , ? 的前 n 项和 S n ? 2 2 ? 3 2 ? 3? 4 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (k ? 1) ? 2 2 (注意不是 a n ? ?) ,裂项求和时注意项数. n ( n ? 3) n(n ? 1)

分析:此数列的第 n 项应为 a n

用心

爱心

专心

解析:?此数列的第 n 项 a n

?

2 2 1 1 ? ( ? ), n(n ? 3) 3 n n ? 3

1 ? ?1 ?数列 ? ? ? 的前 n 项和 ?n n ? 3?

1 1 1 1 1 1 1 Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 4 2 5 3 6 n n?3 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ? ) ? ( ? ? ? ? ? ) 2 3 n 4 5 6 n?3 1 1 1 1 1 11 1 1 1 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? . 2 3 n ?1 n ? 2 n ? 3 6 n ?1 n ? 2 n ? 3 2 11 2 1 1 1 S n ? Tn ? ? ( ? ? ). 3 9 3 n ?1 n ? 2 n ? 3 ?
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点 已知数列的通项公式,求数列前 n 项之和 题型 1 公式法、性质法求和

, 2, 2, 2 , ? 中的第 5 项到第 10 项的和为: 【例 1】⑴等比数列 1
⑵等差数列

2

3

?an ?的前 n 项和为 18,前 2n 项为和 28,则前 3n 项和为
? S 4 求解;也可以先求出 a 5 及 a10 ,

【解题思路】⑴可以先求出 S10 ,再求出 S 4 ,利用 S10

由 a5 , a6 , a7 , ?, a10 成等比数列求解;⑵利用等差数列的性质求解. 【解析】⑴利用等比数列前 n 项和公式求解.

由 a1 ? 1, a2 ? 2 ,得 q ? 2 ,

? S10 ?

1(1 ? 210 ) 1(1 ? 2 4 ) ? 1023 , S 4 ? ? 15 ,? S10 ? S4 ? 1008 . 1? 2 1? 2

⑵利用等差数列的性质求解.

S ?? S ? ?S ? ? S ?? ? ?a n ?是等差数列,? ? n ? 为等差数列,? ? n, n ?, ? 2n, 2 n ?, ? 3n, 3n ? 三点共线. 2n ? ? 3n ? ?n? ? n ??

28 18 S 3n 28 ? ? ? 2n n ? 3n 2n ? S 3n ? 30 . 2n ? n 3n ? 2n
【名师指引】利用等差(等比)数列的有关性质解题,可以简化运算.

题型 2 拆项分组法求和
【例 2】求数列

?(2n ? 1) ?的前 n 项和 S
2

n.

用心

爱心

专心

【解题思路】根据通项公式,通过观察、分析、研究,可以分解通项公式中的对应项,达到求和的目的. 【解析】? ( 2n ? 1)
2

? 4 n 2 ? 4n ? 1

? S n ? 12 ? 32 ? 52 ? ? ? ( 2n ? 1) 2
? 4(12 ? 2 2 ? 32 ? ? ? n 2 ) ? 4(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? n

1 1 1 ? 4 ? n(n ? 1)( 2n ? 1) ? 4 ? n(n ? 1) ? n ? n( 4n 2 ? 1) . 6 2 3
【名师指引】若数列的通项公式可分解为若干个可求和的数列,则将数列通项公式分解,分别求和,最终 达到求和目的.

题型 3 裂项相消法求和
【例 3】求和:

1 1 1 1 . ? ? ??? 1? 2 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) ? 1 1 1 . ? ? n(n ? 1) n n ? 1

【解题思路】观察通项公式的特点,发现 a n

【解析】?

1 1 1 ? ? n( n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 n . ) ?1? ? ?原式 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1 n ?1
【名师指引】数列的常见拆项有:

1 1 1 1 ; ? ? ? n ?1 ? n ; n( n ? 1) n n ? 1 n ? n ?1

? 1 1? 1 1 n 1 1 ? ? ? ; . ? ? ? n( n ? 1)( n ? 2) 2 ? n( n ? 1) ( n ? 1)( n ? 2) ? (n ? 1)! n! (n ? 1)!
题型 4 错位相减法求和 【例 4】若数列 ?an ?的通项 an ? (2n ? 1) ? 3 ,求此数列的前 n 项和 S n .
n

【解题思路】利用等比数列前 n 项和公式的推导方法求和,一般可解决形如一个等差数列与一个等比数列 对应项相乘所得数列的求和问题. 【解析】? S n

? 1 ? 3 ? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n ,

① ②

? 3S n ? 1 ? 32 ? 3 ? 33 ? 5 ? 34 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n ?1
①-②,得

? 2S n ? 1 ? 3 ? 2 ? 32 ? 2 ? 33 ? 2 ? 34 ? ? ? 2 ? 3n ? (2n ? 1) ? 3n ?1

? 1 ? 3 ? 2(32 ? 33 ? 34 ? ? ? 3n ) ? (2n ? 1) ? 3n ?1 ? (2 ? 2n) ? 3n?1 ? 6 .

? S n ? (n ? 1) ? 3n ?1 ? 3 .
用心 爱心 专心

【名师指引】若一个数列是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所得数列,求和问题适用错位相 减法.

题型 5 倒序相加法求和 【例 5】设 f ( x ) ?

x2 1 ? x2

,求:

⑴ ⑵

1 1 f (1 4 ) ? f ( 3 ) ? f ( 2 ) ? f ( 2) ? f (3) ? f ( 4) ; 1 1 1 f ( 2010 ) ? f ( 2009 ) ??? f (1 3 ) ? f ( 2 ) ? f ( 2) ? ? ? f ( 2009 ) ? f ( 2010 ).

【解题思路】观察

1 ?1? f ( x ) 及 f ? ? 的特点,发现 f ( x ) ? f ( ) ? 1 . x ? x?

【解析】?

f ( x) ?

x2 1 ? x2

,?

1 f ( x) ? f ( ) ? 1 . x



1 1 f (1 4 ) ? f ( 3 ) ? f ( 2 ) ? f ( 2) ? f (3) ? f ( 4) ? 1 ? 4 ? 4

⑵原式 ? 1 ? (2010

? 1) ? 2009 .

【名师指引】通过分析对应的通项,可结合等差数列前 n 项和的推导方法求解. ☆ ⑴ 数列求和应该从通项入手; ⑵ 数列求和的常用方法:公式法、性质法、拆项分组法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法. 【新题导练】 1.已知等比数列

?a n ?中, an ? 0, a1 , a9 为 x 2 ? 10 x ? 16 ? 0 的两个根,则 a4 ? a5 ? a6 ?
3 ? 64 . ? 0 , a1a9 ? 16 ,? a4 ? a5 ? a6 ? a5

.

【解析】由已知得, a n

2.设函数 f ( x) 定义如下表,数列 {xn } 满足 x?

? 5 且 xn ?1 ? f ( xn )( n ? N ) ,则 x2010 ?
3 3 4 5 5 2

.

x

1 4

2 1

f ( x)
【解析】经计算 x0

? 5, x1 ? 4, x2 ? 1, x3 ? 2 得, {xn } 是一个以 4 为周期的周期数列,

x2010 ? x1 ? 4. 注意项数的处理.
3.求数列 1

1 1 1 1 , 2 , 3 , ?, (n ? n ), ? 的前 n 项和 S n . 2 4 8 2 1 1 1 1 【解析】 S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ( n ? n ) 2 4 8 2
1 ? ?1 1 1 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ? ? ? ? ? ? n ? 2 ? ?2 4 8

用心

爱心

专心

1 1 (1 ? n ) 1 2 ? 1 n(n ? 1) ? 1 ? 1 ? n(n ? 1) ? 2 1 2 2n 2 1? 2
4.求数列 1,1 ? 2,1 ? 2 ? 3, ?,1 ? 2 ? 3 ? ? ? n, ?的前 n 项和 S n .

.

1 1 1 n(n ? 1) ? n 2 ? n 2 2 2 1 1 ? S n ? (12 ? 2 2 ? 32 ? ? ? n 2 ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) 2 2 1 1 1 1 1 ? ? n(n ? 1)( 2n ? 1) ? ? n(n ? 1) ? n(n ? 1)( n ? 2) . 2 6 2 2 6
【解析】? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n

?

5.⑴ 求和:

1 1 1 1 ; ? ? ??? 1? 3 2 ? 4 3? 5 n ( n ? 2) 1 1 1 1 ; ? ? ??? 1 ? 4 4 ? 7 7 ? 10 (3n ? 2)( 3n ? 1) 1 1 1 1 ? ? ??? 2 ?1 3? 2 4? 3 n ?1 ? n 1 1 1 1 ? ( ? ) n ( n ? 2) 2 n n ? 2
.

⑵ 求和:

⑶ 求和:

【解析】⑴?

?原式 ?

1? 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2? 3 2 4 3 5 n n?2 ? ?
1? 1 1 ? 1?3 1 ? ?1 ? ? ?? ? ? ?. 2? 2 n ? 1? 2 ? 2 n ? 2 ? 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? (3n ? 2)( 3n ? 1) 3 ? 3n ? 2 3n ? 1 ?

?



?

?原式 ?

1? 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 3? 4 4 7 7 10 3n ? 2 3n ? 1 ? ?

n 1? 1 ? . ? ?1 ? ?? 3 ? 3n ? 1 ? 3n ? 1
⑶?

1 ? n ?1 ? n n ?1 ? n 1 1 1 1 ? ? ??? 2 ?1 3? 2 4? 3 n ?1 ? n
用心 爱心 专心

?

?

?

2 ?1 ?
2

? ?

3? 2 ?

? ?

4 ? 3 ???

?

?

n ?1 ? n ? n ?1 ?1.

?

6.求数列 1,3a,5a 【解析】 S n

, ?, (2n ? 1)a n ?1 (a ? 0) 的前 n 项和 S n .
① ②

? 1 ? 3a ? 5a 2 ? ? ? (2n ? 1)a n ?1 ? a ? 3a 2 ? 5a 3 ? ? ? (2n ? 1)a n

① ? a 得, aSn

①-②得, (1 ? a ) S n 当a

? 1 ? 2a ? 2a 2 ? ? ? 2a n ?1 ? (2n ? 1)a n

? 1 时, S n ? n 2 ;

当a

? 1 时, (1 ? a ) S n ? 1 ?

2a (1 ? a n ?1 ) ? (2n ? 1)a n 1? a
.

1 ? a ? ( 2n ? 1)a n ? ( 2n ? 1)a n ?1 ? Sn ? (1 ? a ) 2
7.求和: S n

? ln x ? ln x 3 ? ln x 5 ? ? ? ln x 2 n ?1 . ? ln x ? ln x 3 ? ln x 5 ? ? ? ln x 2 n ?1
? ln x ? 3 ln x ? 5 ln x ? ? ? (2n ? 1) ln x ,
① ②

【解析】 S n



S n ? (2n ? 1) ln x ? (2n ? 3) ln x ? ? ? 5 ln x ? 3 ln x ? ln x

①+②得, 2 S n

? 2n ln x ? 2n ln x ? 2n ln x ? ? ? 2n ln x ? S n ? n 2 ln x .

★ 抢 分 频 道 ★ 基础巩固训练
1.数列

?an ?中, a1 ? ?60, an?1 ? an ? 3 ,则数列 ?an ?的前 30 项的绝对值之和为(
B. 495

)

A. 120
【解析】C. a n

C. 765

D. 3105
1 n(3n ? 123) ,?所求绝对值之和为 2

? ?60 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 63 , S n ?

T30 ? S30 ? 2S 20 ?

1 1 ? 30 ? ( ?33) ? 2 ? ? 20 ? ( ?63) ? 765 . 2 2
2

2. n ? ( n ? 1) ? 2 ? ( n ? 2) ? 2

? (n ? 3) ? 23 ? ? ? 2 ? 2 n?2 ? 1 ? 2 n?1 的结果为(

)

A. 2 n ?1 ? n
n ?1 n

B. 2 n?1 ? n ? 2

C. 2 n?1 ? n ? 2
2n ? 1 n
爱心 专心

D. 2n ? n ? 2
)

【解析】C.用错位相减法 3.在项数为 2n ? 1 的等差数列中,所有奇数项和与偶数项和的比是(

A.

B.

n ?1 2n

C.
用心

D.

2n ? 1 2n

【解析】A.利用等差数列的性质 4.数列

?an ?中, an ?

1 n(n ? 1)
B. 2009

,若

?an ?的前 n 项和为 2009 ,则项数 n 为(
2010

)

A. 2008
【解析】B.

C. 2010

D. 2011
,n

an ?

1 1 1 1 2009 ,? S n ? 1 ? ? ? ? n(n ? 1) n n ? 1 n ? 1 2010

? 2009 .

5. 1 ?

1 1 1 的结果为 . ? ??? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n 1 2 1 1 2n 【解析】 ? ? 2( ? ) ,用裂项相消法. n n ?1 n ? 1 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n n( n ? 1)

6.数列

?an ?中, a1 ? 2, an?1 ? an2 (n ? N ? ) ,则数列 ?an ?的前 n 项和 S n 为
2n ?1 ?1

.

【解析】 2

?2

由 a n ?1

2 ? an ,得 ln a n ?1 ? 2 ln a n ?
n ?1

ln a n ?1 ? 2, ln a n
n ?1

? ln an ? 2 n ?1 ln 2 , a n ? 2 2
7.数列

,? S n

? 2 ? 22 ? 24 ? ? ? 22

? 22

n ?1

?1

?2
.

?an ?中, an

? ?2n ? 2 ? ( ?1) n (n ? N ? ) ,则数列 ?an ?的前 n 项和 S n 为

【解析】 S n

?? n( n ? 1)( n为正偶数) ?? 2 ?? n ? n ? 2( n为正奇数)
综合拔高训练

8.设 S n 是数列

1? ?an ?的前 n 项和, a1 ? 1 , S n2 ? an ? ? S n ? ?( n ? 2 ) . ? 2?

⑴求

?an ?的通项;
? Sn ,求数列 ? bn ?的前 n 项和 Tn . 2n ? 1
2

⑵设 bn

【解析】⑴? S n

1? 1? ? ? 2 ? a n ? S n ? ? ,? n ? 2 时, S n ? ( S n ? S n ?1 )? S n ? ? , 2? 2? ? ? 1 1 ? ? 2, S n S n ?1

整理得, S n ?1

? S n ? 2 S n ?1 S n ?

?数列 ?an ?是以 2 为公差的等差数列,其首项为

1 ? 1. S1


?

2 2Sn 2 1 1 ? ,? a n ? ? 1 ? 2(n ? 1) ? S n ? 2 S n ? 1 ( 2n ? 1) 2 Sn 2n ? 1

⑵由⑴知, bn

?

Sn 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? 2n ? 1 (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
用心 爱心 专心

? Tn ? ? Tn ?

1? 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2? 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 ? ?

1 1 n (1 ? )? . 2 2n ? 1 2n ? 1
1 3 7 13 15 9 17 5 11 19

9.(2009 恩城中学)观察下面由奇数组成的数阵,回答下列问题: ⑴求第六行的第一个数; ⑵求第 20 行的第一个数; ⑶求第 20 行的所有数的和. 【解析】解:⑴第六行的第一个数为 31; ⑵∵第 n 行的最后一个数是 n 行的第一个数是 an1 ,∴ n
2
2

? ? ? ? ? ? ?

? n ? 1 ,第 n 行共有 n 个数,且这些数构成一个等差数列,设第 n

? n ? 1 ? an1 ? 2(n ? 1) ,∴ an1 ? n 2 ? n ? 1 ,∴第 20 行的第一个数为 381

⑶第 20 行构成首项为 381,公差为 2 的等差数列,且有 20 个数,设第 20 行的所有数的和为 S 20 , 则 S20

? 381? 20 ?

20(20 ? 1) ? 2 ? 8000 . 2

第6讲

数列的综合问题

★ 知 识 梳理 ★
1.等差数列的补充性质 ⑴若 a1

?a n ? 0 ? 0, d ? 0, S n 有最大值,可由不等式组 ? 来确定 n ; ?a n ?1 ? 0 ?a n ? 0 ? 0, d ? 0, Sn 有最小值,可由不等式组 ? 来确定 n . ?a n ?1 ? 0

⑵若 a1

2.若干个数成等差、等比数列的设法 ⑴三个数成等差的设法: x ? d , x, x ? d ;四个数成等差的设法: x ? 3d , x ? d , x ? d , x ? 3d . ⑵三个数成等比的设法: x

q , x, x ? q ;四个数成等比的设法: x, xq, xq 2 , xq 3 .

3.用函数的观点理解等差、等比数列 ⑴等差数列 当d 当d 当d

?an ?中, an

? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d ,

? 0 时, ?an ?是递增数列, a n 是 n 的一次函数; ? 0 时, ?an ?是常数列, a n 是 n 的常数函数; ? 0 时, ?an ?是递减数列, a n 是 n 的一次函数.
用心 爱心 专心

⑵等比数列 当 a1 当 a1 当q

?an ?中, an

? a1q n ?1 ,

? 0, q ? 1 或 a1 ? 0,0 ? q ? 1 时, ?an ?是递增数列; ? 0,0 ? q ? 1 或 a1 ? 0, q ? 1 时, ?an ?是递减数列;
? 1 时, ?an ?是一个常数列;当 q ? 0 时, ?an ?是一个摆动数列.

4.解答数列综合问题的注意事项 ⑴ 认真审题、展开联想、沟通联系; ⑵ 将实际应用问题转化为数学问题; ⑶ 将数列与其它知识(如函数、方程、不等式、解几、三角等)联系起来.

★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点:掌握常见数列应用问题的解法;掌握数列与其它知识的综合应用. 2.难点:如何将实际应用问题转化为数学问题,综合运用所学知识解决数列问题.

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点 数列的综合应用 题型 1 等差、等比数列的综合应用
【例 1】已知等差数列

?a n ?与等比数列 ?bn ?中, b1 ? a2 ? 1, b2 ? a3 , b3 ? a6 ,求 ?bn ?的通项.
?bn ?知: b1 , b2 , b3 成等比,从而找出 a1 , d 的关系.

【解题思路】由等比数列 【解析】设等差数列

?a n ?的公差为 d ,等比数列 ?bn ?的公比为 q ,

? ?bn ?是等比数列,? b1 , b2 , b3 成等比,则
2 a3 ? a2 ? a6 ? (a1 ? 2d ) 2 ? (a1 ? d )( a1 ? 5d ) ,解得 d ? 0 或 d ? ?2a1 ? ?2 .

当d

? 0 时, q ? 1 , b1 ? 1 , ? bn ? 1 ;

当d

? ?2 时, b1 ? 1 , q ?

a3 a1 ? 2d ? ? 3 , ? bn ? 3n ?1 . a2 a1 ? d

【名师指引】综合运用等差、等比数列的有关公式和性质是解决等差、等比数列综合问题的关键. 【例 2】已知 S n 为数列 ⑴设数列

?a n ?的前 n 项和, a1 ? 1 , Sn ? 4an ? 2 .
? an ?1 ? 2an ,求证: ?bn ?是等比数列;

?bn ?中, bn
?cn ?中, cn

⑵设数列 ⑶求数列

?

an 2n

,求证:

?cn ?是等差数列;

?a n ?的通项公式及前 n 项和.
用心 爱心 专心

【解题思路】由于 系作为切入点.

?bn ?和 ?cn ?中的项与 ?a n ?中的项有关,且 Sn?1 ? 4an ? 2 ,可利用 a n 、 S n 的关
? 4an ? 2 ,? Sn ?2 ? 4an?1 ? 2 ,两式相减,得

【解析】⑴? S n ?1

S n?2 ? S n?1 ? 4an ?1 ? 4an ? an?2 ? 4an?1 ? 4an ,? an ?2 ? 2an ?1 ? 2(an ?1 ? 2an )
又? bn

? an ?1 ? 2an ,? bn ?1 ? 2bn ,由 a1 ? 1 , S n ? 4an ? 2 ,得 a2 ? 5

? b1 ? a2 ? 2a1 ? 3 ,? ?bn ?是等比数列, bn ? 3 ? 2 n ?1 .
⑵由⑴知, a n ? 2

? 4an ?1 ? 4an ,且 cn ?

an 2n

? cn ?1 ? cn ?

an ?1 an a n ?1 ? 2an bn 3 ? 2 n ?1 3 ? ? ? ? ? . 2 n ?1 2 n 2 n ?1 2 n ?1 2 n ?1 4

? ?cn ?是等差数列, cn ?

3 1 n? . 4 4 a a 3 1 3 1 ⑶? cn ? n ,且 cn ? n ? ,? n ? n ? ? an ? (3n ? 1) ? 2 n ?2. n n 2 4 4 2 4 4

当n

? 1 时, (3 ? 1) ? 21?2 ? 1 ? a1 ,

? an ? (3n ? 1) ? 2 n ?2 , S n ? (3n ? 4) ? 2 n ?1 ? 2.
【名师指引】⑴等差、等比数列的证明方法主要有定义法、中项法;⑵将“ S n

? 4an ? 2 ”化归为

an ?1 ? f (an ) 是解题的关键.
题型 2 数列与函数、方程、不等式的综合应用
【例 3 】 ( 2008 韶关模拟)设函数

f ( x ) 的定义域为 R ,当 x ? 0 时, f ( x ) ? 1 ,且对任意的实数

x, y ? R ,有 f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ) .
⑴求

f (0) ,判断并证明函数 f ( x ) 的单调性;

⑵数列

?a n ?满足 a1 ?

f (0) ,且 f (a n ?1 ) ?

1 (n ? N * ) f (?2 ? a n )

①求

?a n ?通项公式;
? 1 时,不等式
1 a n ?1 ? 1 an? 2 ? ... ? 1 12 ? (log a ?1 x ? log a x ? 1) 对不小于 2 的正整 a 2 n 35

②当 a

数恒成立,求 x 的取值范围.

用心

爱心

专心

【解题思路】从已知得到递推关系式,再由等差数列的定义入手;恒成立问题转化为左边的最小值. 【解析】⑴

f (0) ? 1 , f ( x ) 在 R 上减函数(解法略)

⑵ ① a1

? f (0) ? 1, f (a n ?1 ) ?

1 ? f (2 ? a n ) f (?2 ? a n )



f ( x ) 单调性

an?1 ? an ? 2 ? an?1 ? an ? 2 ,故 ?a n ?等差数列 ? an ? 2n ? 1 ② bn ?
1 a 2 n ?1 1 a n ?1 1 a2n?2 ? 1 an?2 1 a n ?1 ? ... ? 1 1 1 1 , 则bn ?1 ? ? ? ... ? a2n a n ? 2 a n ?3 a2n? 2

bn ?1 ? bn ?

?

?

?

1 1 1 ? ? 4n ? 1 4n ? 3 2n ? 1

?

1 ? 0,{bn } 是递增数列 (4n ? 1)( 4n ? 3)( 2n ? 1)
1 1 1 1 12 ? ? ? ? a3 a 4 5 7 35
即 log a ?1

当n

? 2 时, (bn ) min ? b2 ?

?

12 12 ? (log a ?1 x ? log a x ? 1) , 35 35

x ? log a x ? 1 ? 1 ? log a ?1 x ? log a x

而a

? 1 ,∴ x ? 1 ,故 x 的取值范围是 ?1,?? ?

【名师指引】数列与函数、方程、不等式的综合问题,要注意将其分解为数学分支中的问题来解决.

题型 3 数列的应用问题
【例 4】在一直线上共插有 13 面小旗,相邻两面之距离为 10 m ,在第一面小旗处有某人把小旗全部集中 到一面小旗的位置上,每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短,应集中到哪一面小旗的位置上?最短路程是 多少? 【解题思路】 本题求走的总路程最短,是一个数列求和问题,而如何求和是关键,应先画一草图,研究他从第 一面旗到另一面旗处走的路程,然后求和. 【解析】设将旗集中到第 x 面小旗处,则从第一面旗到第 x 面旗处,共走路程为 10( x ? 1) ,然后回到第二 面处再到第 x 面处是 20( x ? 2), ? ,从第 x 面处到第 ( x ? 1) 面处路程为 20,从第 x 面处到第 ( x ? 2) 面 取旗再到第 x 面处,路程为 20 ? 2 ?,总的路程:

S ? 10( x ? 1) ? 20( x ? 2) ? 20( x ? 3) ? ? ? 20 ? 2 ? 20 ? 1 ? 20 ? 20 ? 2 ? ? ? 20 ? (13 ? x)

? 10( x ? 1) ? 20 ?

( x ? 1)( x ? 2) (13 ? x )(14 ? x ) ? 20 ? 2 2

? 10?( x ? 1) ? ( x ? 2)( x ? 1) ? (13 ? x )(14 ? x )?
用心 爱心 专心

? 10(2 x 2 ? 29 x ? 183) ? 20( x ?
由于 x ? N ? ,当 x

29 2 315 . ) ? 4 4

? 7 时, S 有最小值 S ? 780 (m) .

答: 将旗集中以第 7 面小旗处,所走路程最短. 【名师指引】本例题是等差数列应用问题. 应用等差数列前 n 项和的公式,求和后,利用二次函数求最短 距离时,要特别注意自变量 n 的取值范围. 【例 5】用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,? 依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完,问共用了多少块? 【解题思路】建立上层到底层砖块数 a n 与 S n 的关系式是关键,应分清它是等差,还是数列等比数列. 【解析】设从上层到底层砖块数分别为 a1 , a 2 , ?, a n ,则 an 易得 a1

?

1 Sn ? 1 , 2

? 2, an ? a n ?1 ?

1 an ,即 an ? 2an?1 2

因此,每层砖块数构成首项为 2,公比为 2 的等比数列,则 答:共用 2046 块.

S10 ?

2(1 ? 210 ) ? 2046 (块) 1? 2

【名师指引】建立 a n 与 S n 的关系式后,转化为求数列通项的问题. 【例 6】2002 年底某县的绿化面积占全县总面积的 40 %,从 2003 年开始,计划每年将非绿化面积的 8%绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的 2%被非绿化. ⑴设该县的总面积为 1,2002 年底绿化面积为 a1

?

4 ,经过 n 年后绿化的面积为 a n ?1 ,试用 a n 表示 10

an ?1 ;
⑵求数列

?an ?的第 n ? 1 项 an?1 ;
? 0.3010 , lg 3 ? 0.4771 )

⑶至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过 60%(参考数据: lg 2

【解题思路】当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积. 【解析】⑴设现有非绿化面积为 b1 ,经过 n 年后非绿化面积为 bn ?1 . 于是 a1 部分

? b1 ? 1, an ? bn ? 1 .依题意, an ?1 是由两部分组成,一部分是原有的绿化面积 a n 减去被非绿化

2 98 8 an 后剩余的面积 an ,另一部分是新绿化的面积 bn , 100 100 100 98 8 98 8 9 2 于是 an ?1 ? an ? bn ? an ? (1 ? an ) ? an ? 100 100 100 100 10 25 9 2 4 9 4 ⑵ an ?1 ? an ? , an?1 ? ? (an ? ) . 10 25 5 10 5
数列 ?a n

? ?

4? 9 ? ? 是公比为 5? 10

,首项 a1

?

4 4 4 2 ? ? ? ? 的等比数列. 5 10 5 5
爱心 专心

用心

∴ a n ?1 ⑶ a n ?1

4 2 9 ? ( ? )( ) n . 5 5 10 4 2 9 3 9 1 ? 60%, ? ( ? )( ) n ? , ( ) n ? , 5 5 10 5 10 2 ?

n(lg 9 ? 1) ? ? lg 2, n ?

lg 2 ? 6.5720 . 1 ? 2 lg 3

答:至少需要 7 年的努力,才能使绿化率超过 60%. 【名师指引】解答数列应用性问题,关键是如何建立数学模型,将它转化为数学问题. 【新题导练】 1.四个实数,前三个数成等比数列,其和为 19,后三个数成等差数列,其和为 12,求原来的四个数. 【解析】设后三个数分别为 x ? d , x, x ? d ,则 ( x ? d ) ?

x ? ( x ? d ) ? 12 ? x ? 4

(4 ? d ) 2 (4 ? d ) 2 ? (4 ? d ) ? 4 ? 19 , ,? ?前三个数成等比数列,?第一个数为 4 4 (4 ? d ) 2 (4 ? d ) 2 ?9. 解得 d1 ? 14, d 2 ? ?2 ,当 d ? 14 时, ? 25 ;当 d ? ?2 时, 4 4 ?原来的四个数分别为 25,?10,4,18 或 9,6,4,2 .
2.已知 S n 为数列 ⑴若数列 ⑵求数列 ⑶数列

?a n ?的前 n 项和,点 ?an , S n ? 在直线 y ? 2 x ? 3n 上.

?a n ? c?成等比,求常数的值;

?a n ?的通项公式;

?a n ?中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,请求出一组适合条件的项;
? 2a n ? 3n , S n?1 ? 2an?1 ? 3(n ? 1) ,得 a n ?1 ? 2a n ? 3 ,

若不存在,请说明理由. 【解析】⑴由题意知 S n

?

a n ?1 ? 3 ? 2 ,? c ? 3 ; an ? 3
⑵? a1

? S1 ? 2a1 ? 3 ,? a1 ? 3 ,由⑴知: an ? 3 ? (a1 ? 3) ? 2 n ?1 ? an ? 3 ? 2 n ? 3

an ? 3 ? (a1 ? 3) ? 2 n ?1 ? an ? 3 ? 2 n ? 3 ;
⑶设存在 s, 即

p, r ? N ? ( s ? p ? r ) ,使 a s , a p , a r 成等差数列,? 2a p ? a s ? a r
(※) ,

2(3 ? 2 p ? 3) ? (3 ? 2 s ? 3) ? (3 ? 2 r ? 3) ,? 2 p?1 ? 2 s ? 2 r , 2 p?s?1 ? 1 ? 2 r ?s

因为 s,

p, r ? N ? ( s ? p ? r ) ,? 2 p?s?1 ,2 r ?s 为偶数, 1 ? 2r?s 为奇数,这与(※)式产生矛盾.

所以这样的三项不存在.

用心

爱心

专心

2Sn 2 ( n ? 2) 3.(2009 金山中学)数列 ? an ? 首项 a1 ? 1 ,前 n 项和 S n 与 an 之间满足 an ? 2Sn ? 1
(1)求证:数列 ?

?1? ? 是等差数列 ? Sn ?

(2)求数列

?an ? 的通项公式
2n ? 1 对于一切 n ? N ? 都成立,求 k 的最大

(3)设存在正数 k ,使 值。

?1 ? S1 ??1 ? S2 ?? ?1 ? Sn ? ? k
? S n ? S n ?1

【解析】 (1)因为 n ? 2 时, an

2Sn 2 ? S n ? S n ?1 ? 得 Sn ?1 ? Sn ? 2Sn ? Sn ?1 2Sn ? 1

由题意

Sn ? 0 (n ? 2) ?

1 1 ? ? 2 ? n ? 2? Sn S n ?1

又 S1

?1? 1 ? a1 ? 1 ? ? ? 是以 ? 1 为首项, 2 为公差的等差数列. S1 ? Sn ?
1 1 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ? Sn ? n? N? ? ? Sn 2n ? 1

(2)由(1)有

?n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ?

1 1 2 . ? ?? 2n ? 1 2(n ? 1) ? 1 (2n ? 1)(2n ? 3)

又 a1

? S1 ? 1

(n ? 1) ?1 ? ? an ? ? 2 ?? (2n ? 1)(2n ? 3) (n ? 2) ?

(3)设 F ( n)

?

?1 ? S1 ??1 ? S2 ?? ?1 ? Sn ?
2n ? 1

F (n ? 1) (1 ? S n ?1 ) 2n ? 1 2n ? 2 4 n 2 ? 8n ? 4 ? ? ? ?1 则 F ( n) 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 3 4 n 2 ? 8n ? 3
? F (n) 在 n ? N ? 上递增
又 F (n) min 故使 F (n) ? k 恒成立只需 k

? F (n) min

? F (1) ?

2 3 3

又k

?0

? 0?k ?

2 3 2 3 ,所以, k 的最大值是 . 3 3

4.夏季高山上的温度从脚起,每升高 100 m ,降低 0.7 ℃,已知山顶处的温度是 14 .8 ℃,山脚处的温度为

26 ℃,问此山相对于山脚处的高度是多少米. 【解析】?每升高 100 m 米温度降低 0.7 ℃,∴该处温度的变化是一个等差数列问题.
山底温度为首项 a1 解之可得 n

? 26 ,山顶温度为末项 an ? 14.8 ,所以 26 ? (n ? 1)( ?0.7) ? 14.8 ,

? 17 ,此山的高度为 (17 ? 1) ? 100 ? 1600 (m) .
用心 爱心 专心

5.由原点 O 向三次曲线

y ? x 3 ? 3ax2 ? bx(a ? 0) 引切线,切于不同于点 O 的点 P1 ( x1 , y1 ) ,再由 P1 引此曲线的切线,切于不同于 P1 的点 P2 ( x2 , y2 ) ,如此继续地作下去,??,得到点 列 ?Pn ( x n , y n )?,试回答下列问题: ⑴求 x1 ; (2)求 x n 与 xn ?1 的关系式;

(3)若 a

? 0 ,求证:当 n 为正偶数时, xn ? a ;当 n 为正奇数时, xn ? a .
y ? x 3 ? 3ax2 ? bx(a ? 0)
① 得 y′=3x -6ax+b.
2

【解析】⑴由

过曲线①上点 P 1 ( x1 ,

y1 ) 的切线 l1 的方程是:

y ? ( x13 ? 3ax12 ? bx1 ) ? (3x12 ? 6ax1 ? b)( x ? x1 ), ( x1 ? 0). 由它过原点,有
3 ? x13 ? 3ax12 ? bx1 ? ? x1 (3x12 ? 6ax1 ? b), ? 2 x1 ? 3ax12 ( x1 ? 0),? x1 ?

3a . 2

⑵ 过曲线①上点 Pn ?1 ( x n ?1 ,

y n ? ) 的切线 ln+ 的方程是:
1

3 2 2 y ? ( xn n ( xn , y n ) ,有 ?1 ? 3axn ?1 ? bxn ?1 ) ? (3 xn ?1 ? 6axn ?1 ? b)( x ? xn ?1 ). , 由 l n ?1 过曲线①上点 P

3 2 2 2 xn ? 3axn ? bxn ? ( x3 )( x n ?1 ? 3 ax n ?1 ? bx n ?1 ) ? (3 x n ?1 ? 6 ax n ?1 ? b n ? x n ?1 ),

∵ xn

? xn ?1 ? 0 ,以 xn ? xn ?1 除上式,得

2 2 2 xn ? xn xn ?1 ? xn ?1 ? 3a ( xn ? xn ?1 ) ? b ? 3xn ?1 ? 6axn ?1 ? b, 2 2 xn ? xn xn ?1 ? 2 xn ?1 ? 3a ( xn ? xn ?1 ) ? 0, 以 x n ? x n ?1 除之,得 xn ? 2 xn ?1 ? 3a ? 0.

(3)方法 1 由(2)得 xn ?1

1 3 1 ? ? xn ? a,? xn?1 ? a ? ? ( xn ? a). 2 2 2

a 1 故数列{x n-a}是以 x 1-a= 为首项,公比为- 的等比数列, 2 2

a 1 n?1 1 (? ) ,? xn ? [1 ? (? ) n ]a. 2 2 2 1 n 1 n ∵ a ? 0 ,∴当 n 为正偶数时, xn ? [1 ? (? ) ]a ? [1 ? ( ) ]a ? a; 2 2 1 n 1 n 当 n 为正奇数时, xn ? [1 ? (? ) ]a ? [1 ? ( ) ]a ? a. 2 2 1 3 1 3 1 1 3 3 方法 2 ? xn ?1 ? ? xn ? a,? xn ? ? xn ?1 ? a ? ? (? xn ? 2 ? a) ? a 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 1 n ?1 3 1 1 2 1 n ?2 = (? ) xn ? 2 ? a(1 ? ) ? (? ) x1 ? a[1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ? ( ? ) n ?1 1 n ?1 3 3 1 ? ? 2 ? (? ) ? a ? a ? ? ?1 ? ( ? ) n ?a. 以下同解法 1. 1 2 2 2 2 ? ? 1? 2 ? xn ? a ?

用心

爱心

专心

★ 抢 分 频 道 ★ 基础巩固训练
1.首项为 a 的数列 A. a
n ?1

?a n ?既是等差数列,又是等比数列,则这个的前 n 项和 S n 为(
B.



an

C. ( n

? 1)a

D. na

【解析】D.由题意,得数列 2.等差数列 A. an

?a n ?是非零常数列,? S n ? na.

?a n ?及等比数列 ?bn ?中, a1 ? b1 ? 0, a2 ? b2 ? 0, 则当 n ? 3 时有
B.

? bn

a n ? bn

C.

an ? bn

D.

an ? bn

【解析】D.特殊法,

?a n ?及 ?bn ?为非零常数列时, a n

? bn ;取 an : 1,2,3 , bn : 1,2,4 时, a n ? bn .

3. 已知 a, b, c 成等比数列, m 是 a, b 的等差中项, n 是 b, c 的等差中项,则 【解析】2. 特殊法,取 a 4.⑴ S n 为等差数列

a c ? ? m n

.

? 1, b ? 2, c ? 4 ,

a c ? ? 2. m n

?a n ?的前 n 项和, a1 ? 0 , S3 ? S11 ,问数列的前几项和最大? ?a n ?中, a3 ? 15 , a2 , a5 , a14 成等比数列,求数列 ?a n ?的前 n 项和 S n .
? An 2 ? Bn( A ? 0) ,由 S 3 ? S11 ,得 9 A ? 3B ? 121 A ? 11B ,

⑵公差不为零的等差数列

【解析】⑴方法 1:设 S n 即

B ? ?14 A ,? S n ? An 2 ? Bn ? An 2 ? 14 An ? A(n ? 7) 2 49 A ,

?当 n ? 7 时, S n 有最大值为 S 7 .
方法 2:由 S 3

? S11 ,得 a4 ? a5 ? a6 ? ? ? a11 ? 0 ,? ?a n ?是等差数列,

? 4(a7 ? a8 ) ? 0 ? a7 ? a8 ? 0 .由 a1 ? 0 , ?a n ?是等差数列,? a7 ? ?a8 ? 0, a8 ? 0 , ?当 n ? 7 时, S n 有最大值为 S 7 .
⑵设 an

? An ? B ,? a 3 ? 15 , a2 , a5 , a14 成等比数列,

?3 A ? B ? 15 ?A ? 6 ?? ,? a n ? 6n ? 3. ?? 2 ?(5 A ? B ) ? ( 2 A ? B )(14 A ? B ) ? B ? ?3

? S n ? 6(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ) ? 3n ? 3n 2 .
5.已知 a

bn ?的前 n 项和 S n ? 数列 ? ? 0, a ? 1 ,
用心

a lg a bn ? 1 ? (1 ? n ? na)a n (n ? N ? ) , 若数列 ? 2 (1 ? a )
爱心 专心

?

?

的每一项总小于它后面的项,求 a 的取值范围. 【解析】当 n

? 1 时, b1 ? a lg a. 当 n ? 2 时, bn ? S n ? S n ?1

?

a lg a a lg a ?a ? n(1 ? a )?a n?1 ? nan lg a ,? bn ? nan lg a 1 ? (1 ? n ? na)a n ? 2 2 (1 ? a ) (1 ? a )
? bn ? 0 ,即 bn lg a ? ?(n ? 1) ? n? ? 0.

?

?

由题意,得 bn ?1 ⑴当 a

n 1 ,? a ? 1 ; ? 1? n ?1 n ?1 n 1 n ⑵当 0 ? a ? 1 时, a lg a ? 0 ,? a ? ,? 0 ? a ? 1 ? 1? n ?1 n ?1

? 1 时, a n lg a ? 0 ,? a ?

综上, a 的取值范围 ? 0,

? ?

1? ? ? ?1,?? ?. 2?

6.等差数列 ⑴若 a1 ⑵若 a1

?a n ?中, an ? 0 ,其公差 d ? 0 ;数列 ?bn ?是等比数列, bn ? 0 ,其公比 q ? 1.

? b1 , a2 n ?1 ? b2 n?1 ,试比较 an ?1 与 bn ?1 的大小,说明理由;

? b1 , a2 ? b2 ,试比较 an?1 与 bn ?1 的大小,说明理由.

【解析】方法 1: a n , bn 的图象大致如下图所示:

y

y

an

an

O

1

n+1
图⑴

2n+1

x

O

1
图⑵

2

x

⑴ 由图⑴可知, an ?1

? bn ?1 ;

⑵ 由图⑵可知, an ?1

? bn?1 .

方法 2: (用作差比较法,略).

综合拔高训练
7.某养渔场,据统计测量,第一年鱼的重量增长率为 200﹪,以后每年的增长率为前一年的一半. ⑴饲养 5 年后,鱼重量预计是原来的多少倍? ⑵如因死亡等原因,每年约损失预计重量的 10﹪,那么,经过几年后,鱼的总质量开始下降? 【解析】⑴设鱼原来的产量为 a , q

? 200﹪ ? 2

q q a1 ? a (1 ? q), a2 ? a1 (1 ? ) ? a(1 ? q)(1 ? ) , 2 2 1 1 1 405 ? 12.7a ? a5 ? a(1 ? 2)(1 ? 1)(1 ? )(1 ? 2 )(1 ? 3 ) ? 2 2 2 32
用心 爱心 专心

⑵由⑴可知, a n

? an ?1 (1 ? q

q 2
n ?1

) ,而鱼每年都损失预计产量的 10﹪,即实际产量只有原来的

9 . 10

9 ? an ? an?1 (1 ? n?1 ) ? 2 10
设底年鱼的总量开始减少,则
q 9 ?a 1 1 1 ?a n ? a n ?1 ? n ? 1 (1 ? 2 n ? 1 ) ? 10 ? a n ? 1 ? ? ? ,即 ? ? q 9 36 2 n 18 a ? a n (1 ? n ) ? 10 ?a n ? a n ?1 ? ? n 2

? 18 ? 2n ? 32 ,解得, n ? 5 ?经过 5 年后,鱼的总量开始减少. an ?的前 n 项和为 S n (n ? N ? ) ,点 ( a n , S n ) 在直线 y ? 2 x ? 3n . 8.数列 ?
⑴若数列 {a n

? c} 成等比数列,求常数 C 的值;

⑵求数列 {a n } 的通项公式; ⑶数列 {a n } 中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,请求出一组适合条件的项; 若不存在,请说明理由. 【解析】⑴由题意知 S n

? 2an ? 3n, S n?1 ? 2an ?1 ? 3(n ? 1) ,

得 an ?1

? 2an ? 3 ,∴

a n ?1 ? 3 ?2 an ? 3

?c ? 3

⑵? a1

? S1 ? 2a1 ? 3 ,? a1 ? 3 ,由⑴知: an ? 3 ? (a1 ? 3) ? 2 n ?1

? an ? 3 ? 2 n ? 3(n ? N ? )
⑶设存在 S,P,r ? N
*

, 且S ? P ? r使as , a p , ar 成等差数列 ,

? 2a p ? a s ? a r



2(3 ? 2 p ? 3) ? (3 ? 2 s ? 3) ? (3 ? 2 r ? 3) ? 2 p ? s ?1 ? 1 ? 2 r ? s 且s ? p ? r
(*)

? 2 p ?1 ? 2 s ? 2 r
因为 s、p、r ? N 1+2
r ?s
*

? 2 p ?2?1、 2r ? s 为偶数

为奇数 , (*)式产生矛盾.所以这样的三项不存在.

9.(2001 ? 全国)从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据

1 ,本年度当地旅游业收入估计 400 万元,由于 5 1 该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 . 4
规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少 用心 爱心 专心

⑴设 n 年内(本年度为第一年)总收入为 a n 万元,旅游业总收入为 bn 万元,写出表达式 ⑵至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? 【解析】3.⑴第一年投入为 800 万元,第二年投入为 800 (1 ? 万元.所以,年内的总投入为:

1 1 ) 万元,第 n 年的投入为 800 (1 ? ) n ?1 5 5

1 1 4 an ? 800 ? 800 (1 ? ) ? ? ? 800 (1 ? ) n ?1 ? 4000 ? 4000 ( ) n ; 5 5 5 1 第一年旅游业收入为 400 万元,第二年旅游业收入为 400 (1 ? ) 万元, 4 1 n?1 第 n 年旅游业收入为 400 (1 ? ) 万元.所以, n 年内的旅游业总收入为 4 1 1 5 bn ? 400 ? 400 (1 ? ) ? ? ? 400 (1 ? ) n ?1 ? 1600 ( ) n ? 1600 . 4 4 4
⑵设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此 bn 即 1600 (

? an ? 0 ,

4 5 n ) ? 1600 ? 4000 ? 4000 ( ) n ? 0 4 5 5 n 4 n 4 n 2 化简得 2( ) ? 5( ) ? 7 ? 0 ,设 ( ) ? x ,代入上式得, 5x ? 7 x ? 2 ? 0 4 5 5 2 4 n 2 解此不等式,得 x ? ,或 x ? 1 (舍去)即 ( ) ? ,由此得 n ? 5. 5 5 5
答:至少经过 5 年旅游业的总收入能超过总投入.

10.(2009 执信中学)设函数

f ?x ? ?

x2 ? a ?b, c ? N ? ? .若方程 f ?x ? ? x 的根为 0 和 2 , bx ? c



f ?? 2? ? ?

1 . 2

(1)求函数

f ? x ? 的解析式;

(2)已知各项均不为零的数列

?a n ?满足:

4Sn f (

1 ) ? 1 ( S n 为该数列前 n 项和),求该数列的通项 a n . an

【解析】

c ? 2 ? 0 ? ? a?0 ? x ?a 1 ? b ,? ? ? x, 得?1 ? b ?x 2 ? cx ? a ? 0,? ? ⑴设 ?b ? 1 ? c a bx ? c ? ?2 ? 0 ? 2 ? 1? b ?
2

f ( x) ?

x2 ?2 1 , f ( ?2) ? ? ? ? c ? 3, c (1 ? 2 )x ? c 1? c 2



b, c ? N ? ,? c ? 2, b ? c ,? f ? x ? ?

x2 ?x ? 1? 2? x ? 1?

用心

爱心

专心

⑵由已知得 2S n 两式相减得 当n

? an ? an ,? 2S n?1 ? an?1 ? an?1 ,

2

2

?a n ?an?1 ??an ? an?1 ? 1? ? 0 , ? an ? ?an?1 或 an ? an?1 ? ?1 .

2 ? 1 , 2a1 ? a1 ? a1 ? a1 ? ?1 ,若 a n ? ?an ?1 ,则 a2 ? 1 ,这与 an ? 1 矛盾.

? a n ? a n?1 ? ?1,? a n ? ?n .
⑶由 a n ?1

? f ?a n ? ? a n ?1

2 ? 1 1? an 1 1 1 ? ? ? ?2? ? ? ? ? ? ? 2a n ? 2 a n ?1 2 2 ? an 2 ?

2

,

? an?1 ? 0 或 a n ?1 ? 2 .
若 a n ?1

? 0 ,则 a n ?1 ? 3 ;若 a n ?1 ? 2 ,则 a n ?1 ? a n ?

? a n ?a n ? 2 ? ?0 2?a n ? 1?

? ?an ?在 n ? 2 时单调递减. ? a2 ?
a1 42 8 8 ? ? ,? an ? a2 ? ? 3 在 n ? 2 时成立. 2a1 ? 2 2 ? 4 ? 2 3 3
2

第十章综合检测
(120 分钟,150 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.等差数列 A.

?a n ?中, a5 ? 15 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 的值为(
B.



30

45

C.

60

D.

120

【解析】C. 2.等比数列 A.

a 2 ? a4 ? a6 ? a8 ? 4a5 ? 60.


?a n ?的前 4 项和为 240 ,第 2 项与第 4 项的和为 180 ,则数列 ?a n ?的首项为(
B.

2

4

C.

6

D.

8
a2 ? a4 ? 3, a1 ? 6. a1 ? a3


【解析】C.

S 4 ? (a2 ? a4 ) ? 60 ? a1 ? a3 ? 60 ,? q ?

3.设 S n 为数列 A.

?a n ?的前 n 项和, an ? 2n ? 49 ,则 S n 达到最小值时, n 的值为(
B.

12

【解析】C. 4.设 S n 为数列

C. 24 D. 25 13 n(a1 ? an ) Sn ? ? (n ? 24 ) 2 ? 24 2 ,? n ? 24 时, S n 达到最小值. 2

?a n ?的前 n 项和, an ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2 n?1 ,则 S n 的值为(
用心 爱心 专心



A.

2n ? 1

B.

2 n ?1 ? 1

C.

2n ? n ? 2

D.

2 n?1 ? n ? 2

【解析】D. 5.等比数列 A.

an ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n ? 1 ,? S n ? 2 n?1 ? n ? 2


?a n ?中, a1 ? a2 ? a3 ? 2 , a4 ? a5 ? a6 ? 4 ,则 a10 ? a11 ? a12 ? (
B.

32

16

C.

12

D.

8

【解析】B. 由题意,得

q 3 ? 2 , a10 ? a11 ? a12 ? (a4 ? a5 ? a6 )q 6 ? 16.

6.数列

?a n ?中, an

?
B.

1 n ? n ?1

,若前 n 项和 S n C.

? 9 ,则项数 n 等于(
D.



A.

96
an ?

97
1 n ? n ?1

98

99

【解析】D.

? n ? 1 ? n ,得 S n ? n ? 1 ? 1 ? 9 ? n ? 99.

7.某工厂去年的产值为 P ,计划在 5 年内每年比上一年产值增长 10 %,则从今年起 5 年内该工厂的总 产值为( A. 11(1.1
5



? 1) P

B. 11(1.1

4

? 1) P

C. 10(1.1

5

? 1) P

D. 10(1.1

4

? 1) P

【解析】A. 8.已知 S n 为等比数列 A.

?a n ?的前 n 项和, a1 ? 2 ,若数列 ?1 ? a n ?也是等比数列,则 S n 等于(
3n
C.



2n

B.

2 n ?1 ? 2

D.

3n ? 1

【解析】A.

1 ? a n ?是等比数列,? (1 ? 2q) 2 ? 3(1 ? 2q 2 ) ? q ? 1 , S n ? 2n. ?数列 ?

二、填空题:(本大题共 7 小题,其中 13—15 小题是选做题;每小题 5 分,共 30 分) 9.已知 S n 是数列

?a n ?的前 n 项和, Sn ? n 2 ? 5n, 则 a n
? S n ? S n ?1 (n ? 2).

?

.

【解析】 2n ? 4 .利用 a n 10.在等差数列

?a n ?中, an ? 0 ,且 a1 , a3 , a4 成等比数列,则其公比 q ?

.

【解析】 1 或

1 1 2 2 3 .由 a1 , a3 , a 4 成等比数列,得 ( a1q ) ? a1 ? a1q ( a1 ? 0) , q ? 1 或 . 2 2

11.已知 4 个实数 ? 9, a1 , a2 ,?1 成等差数列, 5 个实数 ? 9, b1 , b2 , b3 ,?1 成等比数列, 则 b2

? (a2 ? a1 )

.

【解析】 ? 8 .? ? 9, a1 , a2 ,?1 成等差数列,? a 2

? a1 ?

? 1 ? ( ?9) 8 ? 4 ?1 3

? ? 9, b1 , b2 , b3 ,?1 成等比数列,? b2 ? ?3 ( b2 ? ?3 不合)? b2 ? (a2 ? a1 ) ? ?8 .

用心

爱心

专心

12.已知等比数列 【解析】 64 .

?a n ?中, an ? 0, a1 , a99 为 x 2 ? 10 x ? 16 ? 0 的两个根,则 a40 ? a50 ? a60 ?

.

选做题(从 13 题、14 题、15 题任选 2 题 ) 13.设数列

?a n ?中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? (n ? 1)( n ? N ? ) ,则 ?a n ?的通项 a n
1 2 1 n ? n ? 1. 2 2

?

.

【解析】 14.已知

4 1 32 1 1 【解析】 (1 ? n ). 由 a 2 ? 2,a5 ? ,得公比 q ? , a1 ? 4 , an ? 2 3?n 3 4 2 4 32 1 (1 ? n ). ? a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an ?1 ? a12 ( q ? q 2 ? ? ? q 2 n ?1 ) ? 3 4
y ? x n (1 ? x ) 在 x ? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则数列
.

?a n ?是等比数列, a2 ? 2,a5 ? 1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 ?

.

15.对正整数 n ,设曲线

? an ? ? ? 的前 n 项和 S n ? ? n ? 1?
【解析】 2
n ?1

? 2. y ? x n (1 ? x ) ? x n ? x n ?1 , y ? ? nxn ?1 ? (n ? 1) x n ,

y ? x ?2 ? ?(n ? 2) ? 2 n ?1 ,当 x ? 2 时, y ? ?2 n ,切线: y ? 2 n ? ?(n ? 2) ? 2 n ?1 ( x ? 2)
令x

? 0 ,得 a n ? (n ? 1)2 n ,?

2(1 ? 2 n ) an ? 2 n ?1 ? 2. ? 2 n ,? S n ? 1? 2 n ?1

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (13 分)已知等差数列

?a n ?中, S n 是其前 n 项和, a9 ? 7, S 20 ? 155 ,求: a11 及 S10 .
?a9 ? a1 ? 8d ? 7 ? S 20 ? 20 a1 ? 190 d ? 155
(4 分)

【解析】设等差数列

?a n ?的公差为 d ,则 ?
1 , 2
(8 分)

解得, a1

? 3, d ?

? a11 ? 3 ? 10 ?

1 1 1 105 . ? 8 , S10 ? 10 ? 3 ? ? 10 ? 9 ? ? 2 2 2 2

(13 分)

17. (12 分)已知等比数列 求

?a n ?各项为正数, S n 是其前 n 项和,且 a1 ? a5 ? 34, a2 ? a4 ? 64 .

?a n ?的公比 q 及 S n . ?a n ?是等比数列,? a2 ? a4 ? a1 ? a5 ? 64 ,
(2 分) (4 分)

【解析】?数列 又? a1

? a5 ? 34, ? a1 ? 2, a5 ? 32 或 a1 ? 32, a5 ? 2 ,

用心

爱心

专心

由 an 当 a1

? 0 ,当 a1 ? 2, a5 ? 32 时, q ? 2, S n ? 2 n ,
? 32, a5 ? 2 时, q ?

(8 分) (12 分)

1 1 , S n ? ( ) n?4 2 2

18. (14 分)已知:公差不为零的等差数列 ⑴求数列 S1 , S 2 , S 4 的公比 q ; ⑵若 S 2

?a n ?中, S n 是其前 n 项和,且 S1 , S2 , S4 成等比数列.

? 4 ,求等差数列 ?a n ?的通项公式.

【解析】⑴设等差数列

?a n ?的公差为 d ,则 S 22 ? S1 ? S 4
?q ?

,即 ( 2a1

? d ) 2 ? a1 (4a1 ? 6d ) (2 分)
(7 分)

(5 分) ? d ? 0 ,? d ? 2a1 ,

S 2 2a1 ? d ? ?4 S1 a1


⑵由⑴知, d

? 2a1 ,



S2 ? 4 ? 2a1 ? d ? 4

(9 分) (14 分)

由①②解得, a1

? 1, d ? 2 ,? an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 .

19.(13 分) (2009 广雅中学)已知等差数列 ⑴求数列 ⑵若数列

?an ? 中, a2 ? ?20, a1 ? a9 ? ?28 .

?an ? 的通项公式;
?bn ? 满足 an ? log 2 bn ,设 Tn ? b1b2 ?bn ,且 Tn ? 1 ,求 n 的值.

【解析】解:⑴设数列

?an ? 的公差为 d ,则 ?

? a1 ? d ? ?20 ? a ? ?22 ?? 4 分 ?? 2 分,解得 ? 1 ?d ? 2 ? 2a1 ? 8d ? ?28

? an ? ?22 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 24?? 6 分
⑵? log 2 bn

? 2n ? 24 ? bn ? 22 n ?24 ?? 8 分

?Tn ? b1b2 ?bn ? 22(1? 2??? n )?24 n ? 2n ( n?1)?24 n ?? 10 分
令 n(n ? 1) ? 24n ? 0 ,得 n ? 23?? 12 分 ∴当 n ? 23 时, Tn

? 1?? 13 分

20. (14 分)(2009 年金山中学)

数列

?an ? 首项 a1 ? 1 ,前 n 项和 S n 与 an 之间满足 an ?
?1? ? 是等差数列; ? Sn ?
用心 爱心

2Sn 2 ( n ? 2) . 2Sn ? 1

⑴求证:数列 ?

专心

?an ? 的通项公式; ⑶设存在正数 k ,使 ?1 ? S1 ??1 ? S 2 ?? ?1 ? S n ? ? k
⑵求数列 【解析】⑴因为 n ? 2 时, an

2n ? 1 对 ?n ? N ? 都成立,求 k 的最大值.

? S n ? S n ?1 ? S n ? S n ?1 ?

2Sn 2 得 Sn ?1 ? Sn ? 2Sn ? Sn ?1 2Sn ? 1

由题意

Sn ? 0 (n ? 2) ?

1 1 ? ? 2 ? n ? 2? Sn S n ?1
(4 分)

又 S1

?1? 1 ? a1 ? 1 ? ? ? 是以 ? 1 为首项, 2 为公差的等差数列. S1 ? Sn ?

⑵由⑴有

1 1 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ? Sn ? n? N? ? ? Sn 2n ? 1

?n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ?

1 1 2 ? ?? 2n ? 1 2(n ? 1) ? 1 (2n ? 1)(2n ? 3)

又 a1

? S1 ? 1

(n ? 1) ?1 ? ? an ? ? 2 ?? (2n ? 1)(2n ? 3) (n ? 2) ?

(8 分)

⑶ 设 F ( n)

?

?1 ? S1 ??1 ? S2 ?? ?1 ? Sn ?
2n ? 1

F (n ? 1) (1 ? S n ?1 ) 2n ? 1 2n ? 2 4 n 2 ? 8n ? 4 ? ? ? ?1 则 F ( n) 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 3 4 n 2 ? 8n ? 3
? F (n) 在 n ? N ? 上递增
又 F (n) min 故使 F (n) ? k 恒成立,只需 k

? F (n) min .

? F (1) ?

2 3 3

又k

?0

? 0?k ?

2 3 2 3 ,所以, k 的最大值是 .(14 分) 3 3

21. (14 分) (2009 广雅中学 ? 节选) 已知数列 ⑴求数列

?an ? 满足 a1 ?

?an ? 的通项公式; ⑵求数列 ?nan ? 的前 n 项和 S n ;
【解析】⑴方法一:由 an ? 2

7 4 1 1 * , a2 ? , an ? 2 ? an ?1 ? an (n ? N ) . 9 3 3 3

4 1 1 1 an ?1 ? an ,得 an ? 2 ? an ?1 ? an ?1 ? an , 3 3 3 3 1 1 7 1 1 2 1 ? ? ∴数列 ?an ?1 ? an ? 是常数列, an ?1 ? an ? a2 ? a1 ? ? ? ? , 3 ? 3 3 9 3 3 3 ? 1 2 1 即 an ?1 ? an ? ,得 an ?1 ? 1 ? (an ? 1) . 3 3 3 ?
用心 爱心 专心

∴数列 ∴ an

?an ? 1? 是首项为 a1 ? 1 ? ?

2 1 ,公比为 的等比数列, 3 3

2 1 2 ????7 分 ? 1 ? (? ) ? ( )n?1 ,故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 1 ? n . 3 3 3 4 1 1 方法二:由 an ? 2 ? an ?1 ? an ,得 an ? 2 ? an ?1 ? (an ?1 ? an ) , 3 3 3 7 1 4 1 ∴数列 ?an ?1 ? an ? 是首项为 a2 ? a1 ? ? ? ,公比为 的等比数列, 9 3 9 3 4 1 n?1 ∴ an ?1 ? an ? ? ( ) . 9 3 1 4 4 1 4 1 n?2 ∴ an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an ?1 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ( ) 3 9 9 3 9 3 4 1 (1 ? n ?1 ) 1 9 1 2 1 2 3 ? ? ? ? (1 ? n ?1 ) ? 1 ? n (n ? 2) (*) 1 3 3 3 3 3 1? 3 2 1 当 n ? 1 时, a1 ? 也适合(*) ,故数列 ? an ? 的通项公式为 an ? 1 ? n . ????7 分 3 3 4 1 1 1 1 方法三:由 an ? 2 ? an ?1 ? an ,得 an ? 2 ? an ?1 ? an ?1 ? an , an ? 2 ? an ?1 ? (an ?1 ? an ) . 3 3 3 3 3 1 ? 7 1 4 1 ? ∴ ?an ?1 ? an ? 是常数列, ?an ?1 ? an ? 是首项为 a2 ? a1 ? ? ? ,公比为 的等比数列. 3 ? 9 3 9 3 ? 1 1 7 1 1 2 4 1 n?1 ∴ an ?1 ? an ? a2 ? a1 ? ? ? ? ,且 an ?1 ? an ? ? ( ) . 3 3 9 3 3 3 9 3 2 由上式联立消去 an ?1 ,解得: an ? 1 ? n 为数列 ? an ? 的通项公式. ???7 分 3 2 n ⑵解: nan ? n(1 ? n ) ? n ? 2 ? n . 3 3 1 2 3 n 1 2 n ?1 n 1 设 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n , ① 则 Tn ? 2 ? 3 ? ? n ? n ?1 . ② 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 (1 ? n ) 2 1 1 1 1 n 3 3 ? n ? 1 ? 2n ? 3 , ① ? ②得: Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ? 1 3 3 3 3 3 3 3n ?1 2 2 ? 3n ?1 1? 3 3 2n ? 3 ∴ Tn ? ? . 4 4 ? 3n n(n ? 1) 3 2n ? 3 (n 2 ? n ? 3) ? 3n ? 2n ? 3 ? ? ? 故 S n ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? 2Tn ? .??14 分 2 2 2 ? 3n 2 ? 3n

用心

爱心

专心



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