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第二章《平面向量》(提高)



高中数学必修④第二章水平测试(A)
一、选择题 1.下面四个式子中正确的是( A. AB ? BA ? 0 B. AB ? OA ? OB
·b ?b ·a ? 0 C. a



D. AB ? MB ? BC ? OM ? CO ? AB
· b ? 0 ,则向量 a 与 b 的夹角 ? 的取值范围是( 2.若 a ) ?π ? ?π ? A. ? , π ? B. ? , π ? ?2 ? ?2 ? ?π ? ?π ? C. ? , π ? D. ? , π ? ?2 ? ?2 ? 3.设 O 为等边三角形 ABC 的中心,则向量 AO,OB,OC 是(



A.有相同起点的向量 B.平行向量 C.模相等的向量 D.相等向量

3 4.若 O 为 ABCD 对角线的交点, AB ? 2e1, BC ? 3e2 ,则 e2 ? e1 等于( 2
A. AO C. CO B. BO D. DO



· BC ? 0 且 BC · CD ? 0 ,则该四边形一定是( 5.在平面四边形 ABCD 中,若 AB



A.平行四边形 B.矩形 C.直角梯形 D.矩形或直角梯形 ,,b ? (1 , ? 1),c ? (?1 , 2) ,则 c 等于( 6.若向量 a ? (11)



1 3 A. ? a ? b 2 2

1 3 B. a ? b 2 2

3 1 3 1 C. a ? b D. ? a ? b 2 2 2 2 C ,, 7) B(7, 1) ,点 在 x 轴上,且∠ACB=90°,则点 C 的坐标为( 7.已知点 A(?1
A. (0,0) B. (6,0) C. (0,0)或(6,0) D. (6,0)或(8,0) 4) B(1 ,a),O 为坐标原点,且∠ABO 为钝角,则 a 的取值范围是( 8.若 A(?2,, A. (0,3) 0) (2, ? ∞) B. (?∞, 3) C. (1, 1) (3, ? ∞) D. (?∞,





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? 2),N (?5, ? 1) 且 2MP ? MN ,则 P 点坐标为( 9.若点 M (3, ? 1) A. (?8,



3? ? , ? ? B. ? ?1 2? ?

? 3? ? 1) C. ? 1, ? D. (8, ? 2? 10. 已知向量 a 和 b 不共线, 实数 x, y 满足向量等式 (2 x ? y)a ? 4b ? 5a ? ( x ? 2 y)b , 则x? y

的值等于( ) A. ?1 B.1

C.0

D.3 )

11.已知 a ? (1 ,3),a ∥b 且 b ? 4 ,则 b 的坐标是( A. (2, 2 3) B. (2, 2 3) 或 (?2,- 2 3) C. (2 3, 2) 或 (?2 3, ? 2) D. (2, ? 2 3) 或 (?2, ? 2 3)

12.一只鹰正以水平偏下 45°的方向飞行直扑猎物,太阳光从头上直照下来,鹰在地面上 影子的速度大小是 40 米/秒,则鹰的飞行速度大小是( ) A. 40 3 米/秒 C.40 米/秒 二、填空题 13.若 b ? (11) ,,a · b ? 2, (a ? b)2 ? 3 ,则 a ? . . . B. 20 2 米/秒 D. 40 2 米/秒

14.已知 OA ? (k, 12), OB ? (4,, 5) OC ? (10,k ) 且 A,B,C 三点共线,则 k ?
,,F2 ? (2, 3) ,为使它们平衡,需加力 F3 ? 15.作用于原点的两个力 F1 ? (11)

16 .在四边形 ABCD 中,已知 AB ? (4 , ? 2) , AC ? (7 ,, 4) AD ? (3 , 6),则四边形 ABCD 的面积 为 三、解答题 .

17. 已知在 △ ABC 中,D, E 分别是 AB,AC 的中点, 用向量法证明 DE ∥ BC 且 DE ? .

1 BC . 2

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18. 设向量 OA ? (31) 试求满足 OD ? OA ? OC 的 OD 的坐标. ,, OB ? (?1 ,, 2) OC ? OB , BC ∥OA .

? 1) ,其 19.在平面直角坐标 xOy 中,已知点 P(2cos x ? 1 , 2cos2 x ? 2sin 2 x ? 2) 和点 Q(cos x,

? π π? 中 x ? ? ? , ? ,若 OP ? OQ ,求 x 的值. ? 2 2?

20 . 如 图 , 设 M,N,P 是 △ ABC 三 边 上 的 点 , 且 BM ?
AB ? a, AC ? b ,试求 MN, MP , PN 关于 a,b 的表达式.

1 1 1 BC ,CN ? CA , AP ? 4 4 4

, AB

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1) B(3,, 2) D(?1 , 4) . 21.已知点 A(2,,

(1)求证: AB ? AD ; (2)若四边形 ABCD 为矩形,试确定点 C 的坐标,并求该矩形的两条对角线所成的锐角 ? 的余弦值.

?1 3? 2 22.已知 a ? ( 3, ? 1),b ? ? ? 2,2 ? ? ,且存在实数 k 和 t,使得 x ? a ? (t ? 3)b,y ? ?ka ? tb 且 ? ?
x ? y ,试求

k ? t2 的最小值. t

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答案: 1-5 DBCBD 6-12 BCCBBBD 13. 5 14. ?2 或 11
? 4) 15. (?3,

16.30

17.证明:∵ D,E 分别是 AB,AC 的中点,

AD ?

1 1 1 1 AB , AE ? AC , DE ? AE ? AD ? ( AC ? AB) ? BC . 2 2 2 2 1 BC 2

∴ BC ∥ DE 且 DE ?

18.解:设 OC ? ( x,y) ,则 BC ? OC ? OB ? ( x ? 1 ,y ? 2) .
∵OC ? OB , BC ∥OA ,
? x ? 14, ?? x ? 2 y ? 0, ∴? 解得 ? ? y ? 7. ? x ? 3 y ? 7 ? 0,

∴OC ? (14, 7) .

又∵OD ? OA ? OC ,∴OD ? OC ? OA ? (11 , 6) . 19.解:∵OP ? OQ ,
∴(2cos x ? 1 , 2cos2 x ? 2sin 2 x ? 2) · (cos x, ? 1) ? 0 ,

即 (2cos x ? 1)cos x ? (2cos2 x ? 2sin 2 x ? 2) ? (?1) ? 0 , 整理得 2cos2 x ? cos x ? 0 ,∴cos x ?

1 或 0. 2

π π ? π π? 又∵ x ? ? ? , ? ,∴ x ? 或 ? . 2 2 3 3 ? ?
20.解:∵ BC ? AC ? AB ? b ? a , MC ?

3 3 BC ? (b ? a) , 4 4

3 3 1 3 3 1 1 3 ∴ MN ? MC ? CN ? b ? a ? AC ? b ? a ? b ? b ? a , 4 4 4 4 4 4 2 4 3 1 3 1 3 1 3 1 1 1 1 MP ? BP ? BM ? BA ? BC ? ? AB ? BC ? ? a ? (b ? a) ? ? a ? b ? a ? ? a ? b 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 3 1 3 1 MP ? BP ? BM ? BA ? BC ? ? AB ? BC 4 4 4 4 3 1 3 1 1 1 1 ? ? a ? (b ? a) ? ? a ? b ? a ? ? a ? b , 4 4 4 4 4 2 4
PN ? AN ? AP ? 3 1 3 1 AC ? AB ? b ? a . 4 4 4 4

21.(1)证明: AB ? (11) , , AD ? (?3, 3) ,
∵ AB · AD ? ?3 ? 3 ? 0 ,∴ AB ? AD ,即 AB ? AD .

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(2)解:设 C ( x,y ) ,依题意有 AB ? DC ,
, ?x ? 1 ? 1 ∴( x ? 1 ,y ? 4) ? (11) , ,即 ? ? y ? 4 ? 1. ? x ? 0, ∴ C (0, 5) . 解得 ? ? y ? 5.

又∵ AC ? (?2,, 4) BD ? (?4, 2) ,

cos? ?

AC · BD AC BD

?

4 4 ,即两对角线所成的锐角 ? 的余弦值为 . 5 5

?1 3? 22.解:∵ a ? ( 3, ? 1),b ? ? ? 2,2 ? ?, ? ?
∴ a ? 2, b ?1 .
∵a ·b ? 3? 1 3 ? (?1) ? ? 0 ,∴ a ? b . 2 2

又∵ x ? y ,∴[a ? (t 2 ? 3)b· ] (?ka ? tb) ? 0 , 即 ?ka 2 ? (t 3 ? 3t )b2 ? (t ? kt 2 ? 3k )a ·b ? 0,

∴?k a ? (t 3 ? 3t ) b ? 0 .
b ? 1代入上式得 ?4k ? t 3 ? 3t ? 0 , 将 a ? 2,

2

2

∴k ? ∴

t 3 ? 3t . 4

k ? t2 1 2 1 7 ? (t ? 4t ? 3) ? (t ? 2)2 ? , t 4 4 4
7 k ? t2 有最小值 ? . 4 t

故当 t ? ? 2 时,

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