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广西柳州市2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷



广西柳州市 2015 届高考数学一模试卷(理科)
一、选择题,本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 x 1.已知全集 U=R,集合 A={y|y=2 ,x∈R},B={x|x≥2},则 A∩(?UB)=( ) A.? B.{0,1} C. (0,2) D. (﹣∞,2) 2.已知 m,n∈R,mi﹣1=n+i,则复数 m+ni 在复平面内对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知 p:x≤1,q:x ﹣x>0,则 p 是¬q 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 4.已知 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,给出下列命题: ①若 α⊥β,m∥α,则 m⊥β; ②若 m⊥α,n⊥β,且 m⊥n,则 α⊥β; ③若 m⊥β,m∥α,则 α⊥β; ④若 m∥α,n∥β,且 m∥n,则 α∥β. 其中正确命题的序号是( ) A.①④ B.②③ C.②④ D.①③ 5.由直线 A. B.1 与曲线 y=cosx 所围成的封闭图形的面积为( C. D. )
2

6.若函数 y=tanωx(ω∈N )的一个对称中心是( A.2 B.3 C .6

*

,0) ,则 ω 的最小值为( D.9

)

7.在各项都为正数的等差数列{an}中,若 a1+a2+…+a10=30,则 a5?a6 的最大值等于( A.3 B.6 C .9 D.36

)

8.把一枚硬币任意抛掷三次,事件 A=“至少一次出现正面”,事件 B“恰有一次出现正面”, 则 P(B|A)=( ) A. B. C. D.

9.已知函数 f(x)=cos

,根据下列框图,输出 S 的值为(

)

A.670

B.670

C.671

D.672

10.设非零向量 , , 满足| |=| |=| |,| + |=| |,则向量 , 的夹角是( A. B.
x

)

C.

D.

11.设点 P 在曲线 y=e ,点 Q 在曲线 y=lnx 上,则|PQ|最小值为( A.ln2 B. C.1+

) D.

﹣1

12.双曲线



=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为 F1,F2 渐近线分别为 l1,l2,位于 )

第一象限的点 P 在 l1 上,若 l2⊥PF1,l2∥PF2,则双曲线的离心率是( A. B. C .2 D.

二、填空题,共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.已知 x,y 满足不等式组 ,则目标函数 z=2x+y 的最大值为__________.

14.数列{an}的通项公式 an=
10

,它的前 n 项和为 9,则 n=__________.

15.在(1﹣x) (1+x) 的展开式中,含 x 的项的系数为__________. 16.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的 表面积为__________

5

三、解答题

17.为了解甲乙两个快递公司的工作情况,现从甲乙两公司各随机抽取一名快递员(假设同 一公司快递的工作情况基本相同) ,并从两人某月(30)天的快递件数记录结果中随机抽取 10 天的数据,如图:

已知每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下: 甲公司规定每件 4.5 元;乙公司规定每天 35 件以内(含 35 件)的部分每件 4 元,超出 35 件的部分每件 7 元. (1)根据表中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数; (2)为了解乙公司员工 B 的每天所得劳务费的情况,从这 10 天中随机抽取 1 天,他所得 的劳务费记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列和数学期望; (3)根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费. 18.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, (1)求角 C 的大小 2 2 (2)若△ ABC 的外接圆直径为 2,求 a +b 的取值范围. 19.已知平行四边形 ABCD (如图 1)中,AB=4,BC=5,对角线 AC=3,将三角形△ ACD 沿 AC 折起至△ PAC 位置(图 2) ,使二面角 P﹣AC﹣B 为 60°,G,H 分别是 PA,PC 的中 点. (Ⅰ)求证:PC⊥平面 BGH; (Ⅱ)求平面 PAB 与平面 BGH 夹角的余弦值. =

20.已知椭圆

=1 的一个焦点为 F(2,0) ,且离心率为



(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ) 斜率为 k 的直线 l 过点 F, 且与椭圆交于 A, B 两点, P 为直线 x=3 上的一点, 若△ ABP 为等边三角形,求直线 l 的方程. (a∈R) ,若 f(x)≤﹣1 对定义域内的 x 恒成立

21.设函数 f(x)=lnx﹣ax﹣ (1)求实数 a 的取值范围

(2)对任意的 θ∈[0,

) ,证明 f(1﹣sinθ)≤f(1+sinθ)

四、请考生在第 22,23,24 三题中任选一题作答.选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,A,B,C,D 四点共圆,BC 与 AD 的延长线交于点 E,点 F 在 BA 的延长线上. (1)若 EA=2ED,EB=3EC,求 的值;

(2)若 EF∥CD,求证:线段 FA,FE,FB 成等比数列.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23. 已知: 直线 l 的参数方程为 (1)求曲线 C 的普通方程; (2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长. (t 为参数) , 曲线 C 的极坐标方程为: ρ cos2θ=1.
2

选修 4-5:不等式选讲 24.选修 4﹣5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式|2x+1|﹣|x﹣1|≤log2a(其中 a>0) . (1)当 a=4 时,求不等式的解集; (2)若不等式有解,求实数 a 的取值范围.

广西柳州市 2015 届高考数学一模试卷(理科)
一、选择题,本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 x 1.已知全集 U=R,集合 A={y|y=2 ,x∈R},B={x|x≥2},则 A∩(?UB)=( A.? B.{0,1} C. (0,2) D. (﹣∞,2) 考点:交、并、补集的混合运算. 专题:集合. 分析:求出集合的等价条件,利用集合的基本运算进行求解. x 解答: 解:A={y|y=2 ,x∈R}={y|y>0}, ∵B={x|x≥2},∴?UB={x|x<2},

)

则 A∩(?UB)={x|0<x<2}, 故选:C 点评:本题主要考查集合的基本运算,要求熟练掌握集合的交并补运算,比较基础. 2.已知 m,n∈R,mi﹣1=n+i,则复数 m+ni 在复平面内对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点:复数的代数表示法及其几何意义. 专题:计算题. 分析:利用复数相等可得 m,n,再利用复数的几何意义即可得出. 解答: 解:∵m,n∈R,mi﹣1=n+i, ∴ ,解得 m=1,n=﹣1. )

∴复数 m+ni 在复平面内对应的点(1,﹣1)位于第四象限. 故选 D. 点评:熟练掌握复数相等、复数的几何意义是解题的关键. 3.已知 p:x≤1,q:x ﹣x>0,则 p 是¬q 成立的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:解不等式由集合的包含关系可判. 解答: 解:解不等式 x ﹣x>0 可得 x<0 或 x>1, ∴¬q 对应的集合为{x|0≤x≤1} 由集合的关系可得{x|0≤x≤1}是{x|x≤1}的真子集, ∴p 是¬q 成立的必要不充分条件, 故选:B 点评:本题考查充要条件的判定,涉及不等式的解法和集合的关系,属基础题. 4.已知 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,给出下列命题: ①若 α⊥β,m∥α,则 m⊥β; ②若 m⊥α,n⊥β,且 m⊥n,则 α⊥β; ③若 m⊥β,m∥α,则 α⊥β; ④若 m∥α,n∥β,且 m∥n,则 α∥β. 其中正确命题的序号是( ) A.①④ B.②③ C.②④ D.①③ 考点:命题的真假判断与应用;空间中直线与平面之间的位置关系. 分析:对于①当 α⊥β,m∥α 时,m⊥β 不一定成立; 对于②可以看成 m 是平面 α 的法向量,n 是平面 β 的法向量即可; 对于③可由面面垂直的判断定理作出判断; 对于④m∥α,n∥β,且 m∥n,α,β 也可能相交.
2 2

)

解答: 解:①当 α⊥β,m∥α 时,m⊥β 不一定成立,所以错误; ②利用当两个平面的法向量互相垂直时,这两个平面垂直,故成立; ③因为 m∥α,则一定存在直线 n 在 β,使得 m∥n,又 m⊥β 可得出 n⊥β,由面面垂直的 判定定理知,α⊥β,故成立;

④m∥α, n∥β, 且 m∥n, α, β 也可能相交, 如图所示, , 所以错误, 故选 B. 点评: 本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系, 熟练掌握空间线面 关系的判定及几何特征是解答的关键.

5.由直线 A. B.1

与曲线 y=cosx 所围成的封闭图形的面积为( C. D.

)

考点:定积分在求面积中的应用. 专题:计算题. 分析:为了求得与 x 轴所围成的不规则的封闭图形的面积,可利用定积分求解,积分的上下 限分别为 与 ,cosx 即为被积函数.

解答: 解:由定积分可求得阴影部分的面积为 S= cosxdx= = ﹣(﹣ . )= ,

所以围成的封闭图形的面积是 故选 D.

点评:本小题主要考查定积分的简单应用、定积分、导数的应用等基础知识,考查运算求解 能力,化归与转化思想、考查数形结合思想,属于基础题. 6.若函数 y=tanωx(ω∈N )的一个对称中心是( A.2 B.3 C .6
*

,0) ,则 ω 的最小值为( D.9

)

考点:正切函数的图象. 专题:计算题;三角函数的图像与性质. 分析:利用正切函数 y=tanωx(ω∈N )的对称中心是( 最小值. 解答: 解:∵y=tanx 的对称中心为( ∴y=tanωx(ω∈N )的对称中心是( 又( ∴
* * *

,0) ,结合已知即可求得 ω 的

,0) , ,0) ,

,0)是函数 y=tanωx(ω∈N )的一个对称中心, = (k∈Z) ,
*

∴ω=3k(k∈Z) ,又 ω∈N , ∴ω 的最小值为 3. 故选:B. 点评:本题考查正切函数的对称中心,考查整体代换意识与运算能力,属于中档题. 7.在各项都为正数的等差数列{an}中,若 a1+a2+…+a10=30,则 a5?a6 的最大值等于( A.3 B.6 C .9 D.36 考点:等差数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析:利用 a1+a2+…+a10=30,求出 a5+a6=6,再利用基本不等式,求出 a5?a6 的最大值. 解答: 解:由题设,a1+a2+a3+…+a10=5(a1+a10)=5(a5+a6)=30 所以 a5+a6=6, 又因为等差数列{an}各项都为正数,所以 a5a6≤ =9, )

当且仅当 a5=a6=3 时等号成立, 所以 a5?a6 的最大值等于 9, 故选 C. 点评:本题考查等差数列的性质,考查基本不等式的运用,求出 a5+a6=6 是关键. 8.把一枚硬币任意抛掷三次,事件 A=“至少一次出现正面”,事件 B“恰有一次出现正面”, 则 P(B|A)=( ) A. B. C. D.

考点:条件概率与独立事件. 专题:应用题;概率与统计. 分析:由题意,先计算 P(AB) ,P(A) ,再利用条件概率公式,即可求得结论. 解答: 解:由题意,P(AB)= = ,P(A)=1﹣ = ,

所以 P(B|A)=

= .

故选:A. 点评:本题考查条件概率,考查学生的计算能力,属于基础题.

9.已知函数 f(x)=cos

,根据下列框图,输出 S 的值为(

)

A.670

B.670

C.671

D.672

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:根据框图的流程,依次计算前六次的运算结果,判断终止运行的 n 值,再根据余弦函 数的周期性计算, 解答: 解:由程序框图知:第一次运行 f(1)=cos 第二次运行 f(2)=cos =﹣ ,S= ,n=2+1=3, = ,S=0+ .n=1+1=2;

第三次运行 f(3)=cosπ=﹣1,S= ,n=3+1=4, 第四次运行 f(4)=cos 第五次运行 f(5)=cos =﹣ ,S= ,n=4+1=5, = ,S=1,n=6,

第六次运行 f(6)=cos2π=1,S=2,n=7, … 直到 n=2016 时,程序运行终止, ∵函数 y=cos 是以 6 为周期的周期函数,2015=6×335+5,

又 f=cos336π=cos(2π×138)=1, ∴若程序运行 2016 次时,输出 S=2×336=672, ∴程序运行 2015 次时,输出 S=336×2﹣1=671. 故选:C. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图, 根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键.

10.设非零向量 , , 满足| |=| |=| |,| + |=| |,则向量 , 的夹角是( A. B. C. D.

)

考点:数量积表示两个向量的夹角. 专题:平面向量及应用. 分析:由条件利用两个向量的数量积的定义求出 cosθ 的值(θ 为向量 , 的夹角) ,即可 求得 θ 的值. 解答: 解:由| |=| |=| |,| + |=| |,可得 化简可得 =﹣ ,即| |?| |?cosθ=﹣ , + +2 ? = ,

(θ 为向量 , 的夹角) ,

求得 cosθ=﹣ ,可得 θ=

故选:C. 点评:本题主要考查两个向量的数量积的定义,根据三角函数的值求角,属于基础题. 11.设点 P 在曲线 y=e ,点 Q 在曲线 y=lnx 上,则|PQ|最小值为( A.ln2 B. C.1+ D.
x

) ﹣1

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;反函数. 专题:函数的性质及应用;导数的概念及应用;直线与圆. 分析: 考虑到两曲线关于直线 y=x 对称, 求丨 PQ 丨的最小值可转化为求 P 到直线 y=x 的最 小距离,再利用导数的几何意义,求曲线上斜率为 1 的切线方程,由点到直线的距离公式即 可得到最小值.. 解答: 解:∵曲线 y=e (e 自然对数的底数)与曲线 y=lnx 互为反函数,其图象关于 y=x 对称, 故可先求点 P 到直线 y=x 的最近距离 d, 设曲线 y=e 上斜率为 1 的切线为 y=x+b, x x ∵y′=e ,由 e =1,得 x=0, 故切点坐标为(0,1) ,即 b=1, ∴d= = ,
x x

∴丨 PQ 丨的最小值为 2d= . 故选:B. 点评:本题主要考查了互为反函数的函数图象的对称性,导数的几何意义,曲线的切线方程 的求法,转化化归的思想方法.

12.双曲线



=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为 F1,F2 渐近线分别为 l1,l2,位于 )

第一象限的点 P 在 l1 上,若 l2⊥PF1,l2∥PF2,则双曲线的离心率是( A. B. C .2 D. 考点:双曲线的简单性质. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:由双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,渐近线分别为 l1,

l2,点 P 在第一 象限内且在 l1 上,知 F1(﹣c,0)F2(c,0)P(x,y) ,由渐近线 l1 的直 线方程为 y= x,渐近线 l2 的直线方程为 y=﹣ x,l2∥PF2,知 ay=bc﹣bx,由 ay=bx,知 P ( , ) ,由此能求出离心率.

解答: 解:∵双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,

渐近线分别为 l1,l2,点 P 在第一 象限内且在 l1 上, ∴F1(﹣c,0)F2(c,0)P(x,y) , 渐近线 l1 的直线方程为 y= x,渐近线 l2 的直线方程为 y=﹣ x, ∵l2∥PF2,∴ ∵点 P 在 l1 上即 ay=bx, ∴bx=bc﹣bx 即 x= ,∴P( , ∵l2⊥PF1,
2 2

,即 ay=bc﹣bx,

) ,


2 2 2

,即 3a =b ,

∵a +b =c , 2 2 ∴4a =c ,即 c=2a, ∴离心率 e= =2. 故选 C. 点评:本题考查双曲线的简单性质的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意直线和双曲 线位置关系的灵活运用. 二、填空题,共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.已知 x,y 满足不等式组 ,则目标函数 z=2x+y 的最大值为 6.

考点:简单线性规划. 专题:数形结合. 分析:由约束条件作出可行域,化目标函数为斜截式方程,由图得到最优解,求出最优解的 坐标,代入目标函数得答案.

解答: 解:由约束条件

作可行域如图,

由 z=2x+y,得 y=﹣2x+z, 由图可知,当直线 y=﹣2x+z 过可行域内的点 B(2,2)时, 直线在 y 轴上的截距最大,即 z 最大. ∴z=2×2+2=6. 故答案为:6. 点评:本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 14.数列{an}的通项公式 an= ,它的前 n 项和为 9,则 n=99.

考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:an= 解答: 解:∵an= = = ,利用“累加求和”即可得出. ,

∴数列{an}的前 n 项和 Sn=( ﹣1)+ +…+ = , ∴ =9, 解得 n=99, 故答案为:99. 点评:本题考查了“累加求和”、分母有理化,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 15.在(1﹣x) (1+x) 的展开式中,含 x 的项的系数为 42. 考点:二项式定理的应用. 专题:二项式定理. 10 5 分析: (1﹣x) (1+x) 的展开式中 x 项由两部分相加得到: ① (1﹣x) 中的常数项与 (1+x) 10 5 10 4 展开式中的 x 项;②(1﹣x)中的 x 项与(1+x) 展开式中的 x 项.分别求的系数再 相加即可.
10 5

解答: 解: (1﹣x) (1+x) 的展开式中 x 项由两部分相加得到: 10 5 ①(1﹣x)中的常数项与(1+x) 展开式中的 x 项 10 4 ②(1﹣x)中的 x 项与(1+x) 展开式中的 x 项. 10 r r (1+x) 的展开式 的通项为 Tr+1=C10 x , 10 5 5 4 ∴(1﹣x) (1+x) 的展开式中 x 的系数等于 1×C10 +(﹣1)×C10 =42. 故答案为:42. 点评:本题考查二项式定理的应用,要注意本题中所求系数应由两部分组成.否则易出错. 16.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的 表面积为

10

5

考点:球内接多面体;简单空间图形的三视图. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:由已知中底面是正三角形的三棱柱的正视图,我们可以求出三棱柱的底面边长和高, 进而求出它外接球的半径,代入球的表面积公式,即可求出答案. 解答: 解:由已知中的三棱柱的正视图可得三棱柱的底面边长为 2,高为 1, 则三棱柱的底面外接圆半径 r= 球心到底面的距离 d= , 则球的半径 R= =
2



, .

故该球的表面积 S=4π?R = 故答案为: .

点评:本题考查的知识点是球的表面积,其中根据已知条件确定三棱柱的底面边长和高,进 而根据棱柱的底面外接圆半径,球心距,球半径构成直角三角形,满足勾股定理求出球半径 是解答本题的关键. 三、解答题 17.为了解甲乙两个快递公司的工作情况,现从甲乙两公司各随机抽取一名快递员(假设同 一公司快递的工作情况基本相同) ,并从两人某月(30)天的快递件数记录结果中随机抽取 10 天的数据,如图:

已知每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下: 甲公司规定每件 4.5 元;乙公司规定每天 35 件以内(含 35 件)的部分每件 4 元,超出 35 件的部分每件 7 元. (1)根据表中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数; (2)为了解乙公司员工 B 的每天所得劳务费的情况,从这 10 天中随机抽取 1 天,他所得 的劳务费记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列和数学期望; (3)根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费. 考点:离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题:概率与统计. 分析: (1)根据茎叶图中的数据求解即可. (2)确定 X 的可能值为 136,147,154,189,203,分布求解概率得出分布列. (3)根据题意求解得出甲乙公司被抽取员工该月收入. 解答: 解: (1)甲公司员工 A 投递件数的平均数为 36,众数为 33.2 (2)设 a 为乙公司员工 B 投递件数,则 当 a=34 时,X=136 元, 当 a≥35 时,X=35×4+(a﹣35)×7, X 的可能值为 136,147,154,189,203 X 的分布列为: X 136 147 154 189 203 P E(X)=136× +147× +154× +189× +203× =165.5(元) .

(3)根据图中数据,可估算甲公司被抽取员工该月收入 4860 元,乙公司被抽取员工该月收 入 4965 元. 点评:本题考查了离散型的概率分布问题,数学期望,分布列的求解,仔细阅读题意,计算 准确即可,属于中档题. 18.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, (1)求角 C 的大小 2 2 (2)若△ ABC 的外接圆直径为 2,求 a +b 的取值范围. 考点:三角函数的恒等变换及化简求值. 专题:解三角形. 分析: (1)利用两角和差的正弦公式进行化简即可,求角 C 的大小. (2)根据三角形的边角关系,利用正弦定理进行求解即可. 解答: 解: (1)由 =

=

得 sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB, 即 sin(C﹣A)=sin(B﹣C) , 则 C﹣A=B﹣C,即 2C=A+B,

即 C=

. ,设 A=
2

(2)由 C=
2 2 2 2

﹣α.B=
2

+α,则﹣
2

<﹣α<
2



则 a +b =(2RsinA) +(2RsinB) =4(sin A+sin B) , 即 a +b =4( =4+2cos2α, 由﹣ 则 ∴ <α< , , )=4﹣2[cos( )+cos( )]

<2α< <cos2α≤1,
2 2

∴3<a +b ≤6, 2 2 故 a +b 的范围是(3,6]. 点评: 本题主要考查三角函数的化简, 利用正弦定理以及两角和差的正弦公式是解决本题的 关键. 19.已知平行四边形 ABCD (如图 1)中,AB=4,BC=5,对角线 AC=3,将三角形△ ACD 沿 AC 折起至△ PAC 位置(图 2) ,使二面角 P﹣AC﹣B 为 60°,G,H 分别是 PA,PC 的中 点. (Ⅰ)求证:PC⊥平面 BGH; (Ⅱ)求平面 PAB 与平面 BGH 夹角的余弦值.

考点:与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面垂直的判定. 专题:空间角. 分析: (Ⅰ)证明线面垂直,只需证明线和平面内两条相交线垂直即可,由于 G,H 是△ PAC 的中位线,所以 GH∥AC,由已知 AB=4,BC=5,对角线 AC=3,能求出 GH⊥PC,只需再 找出一条垂线即可,只要证得 PB=BC,便可得到 BH⊥PC,从而问题得证. (Ⅱ)以 CE 的中点 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,利用向量法能求出平面 PAB 与平面 BGH 夹角的余弦值. 解答: (Ⅰ)证明:过 C 作 CE∥AB,且 CE=AB,连结 BE,PE, 2 2 2 ∵AC +AB =BC ,∴AC⊥AB, ∴四边形 ABCD 是矩形,AC⊥CE, ∵PC⊥AC,∴AC⊥平面 PEC, ∴∠PCE=60°,

∵PC=CE=4,∴△PCB 是正三角形, ∵BE∥AC,∴BE⊥平面 PEC, ∴BE⊥PE,∴PB= =5=BC,

而 H 是 PC 的中点,∴BH⊥PC, ∵G,H 是△ PAC 的中位线, ∴GH∥AC,∴GH⊥PC, ∵GH∩BH=H, ∴PC⊥平面 BGH. (Ⅱ)解:以 CE 的中点 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 由题意知 A(3,﹣2,0) ,B(3,2,0) ,P(0,0,2 ) ,C(0,﹣2,0) , ∴ , =(3,2,﹣2 , ) , , , ,

设平面 PAB 的法向量 =(x,y,z) ,则 ∴ ,取 x=2

,得 y=0,z=3,∴

平面 BGH 的法向量 设平面 PAB 与平面 BGH 所成的角为 θ, 则 cosθ=|cos< >|=| |= .



点评:本题考查直线与平面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题, 注意向量法的合理运用.

20.已知椭圆

=1 的一个焦点为 F(2,0) ,且离心率为



(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ) 斜率为 k 的直线 l 过点 F, 且与椭圆交于 A, B 两点, P 为直线 x=3 上的一点, 若△ ABP 为等边三角形,求直线 l 的方程. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题.

分析: (Ⅰ)由已知条件得 c=2,

,a =b +c ,由此能求出椭圆方程.

2

2

2

(Ⅱ) 直线 l 的方程为 y=k (x﹣2) . 联立方程组

, 得 (3k +1) x ﹣12k x+12k

2

2

2

2

﹣6=0.由此利用韦达定理、椭圆弦长公式结合等边三角形性质能求出直线 l 的方程. 解答: 解: (Ⅰ)∵椭圆
2 2 2

=1 的一个焦点为 F(2,0) ,且离心率为



∴c=2,
2 2

,a =b +c ,

解得 a =6,b =2. ∴椭圆方程为 .

(Ⅱ)直线 l 的方程为 y=k(x﹣2) .
2 2 2 2

联立方程组

,消去 y 并整理,得(3k +1)x ﹣12k x+12k ﹣6=0.

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 故 , .

则|AB|= =

|

|

=



设 AB 的中点为 M(x0,y0) . 可得 , .

直线 MP 的斜率为

,又 xP=3,

所以



当△ ABP 为正三角形时,|MP|=







解得 k=±1. ∴直线 l 的方程为 x﹣y﹣2=0,或 x+y﹣2=0. 点评:本题考查椭圆方程的求法,考查直线方程的求法,解题时要认真审题,注意椭圆弦长 公式的合理运用. (a∈R) ,若 f(x)≤﹣1 对定义域内的 x 恒成立

21.设函数 f(x)=lnx﹣ax﹣ (1)求实数 a 的取值范围 (2)对任意的 θ∈[0,

) ,证明 f(1﹣sinθ)≤f(1+sinθ)

考点:导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: (1)要使 f(x)≤﹣1 恒成立,只需 f(x)max≤﹣1 即可,然后利用导数研究函数的 单调性,进一步求其最大值.注意定义域. (2)这一问是一个恒成立问题,因此需从函数的单调性入手,注意先分析判断 1﹣sinθ 与 1+sinθ 的范围,然后结合单调性问题应该可以解决. 解答: 解: (1)若 f(x)≤﹣1 对定义域内的 x 恒成立,则 f(x)max≤﹣1.则 f(1)+1= ﹣a﹣a+1≥1,即 a≥1. 当 a≥1 时, ,解得 .

因为

,则当 x∈(0,1)时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,1)上单调递增,

当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,故 f(x)在(1,+∞)单调递增减; 故 f(x)max=f(1)=1﹣2a≤﹣1,即 a≥1 时,f(x)≤﹣1 恒成立. 故所求 a 的范围是[1,+∞) . (2)由(1)知,实数 a 的范围为[1,+∞) ,f(1+sinθ)﹣f(1﹣sinθ) =ln(1+sinθ)﹣a(1+sinθ)﹣ ﹣[ln(1﹣sinθ)﹣a(1﹣sinθ)﹣ ] ]

=ln(1+sinθ)﹣ln(1﹣sinθ)﹣2asinθ﹣(a﹣1)[ =ln(1+sinθ)﹣ln(1﹣sinθ)﹣2asinθ+2(a﹣1) =ln(1+sinθ)﹣ln(1﹣sinθ)﹣2asinθ( )﹣2

=ln(1+sinθ)﹣ln(1﹣sinθ)+2a



≥ln(1+sinθ)﹣ln(1﹣sinθ) +2 +2

=ln(1+sinθ)﹣ln(1﹣sinθ)﹣2sinθ. 令 h(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x)﹣2x(0≤x<1) , 则 .

所以 h(x)在[0,1)上递增,所以 h(x)≥h(0)=0. 由题意知 sinθ∈[0,1) ,于是 ln(1+sinθ)﹣ln(1﹣sinθ)﹣2sinθ≥0. 所以 f(1+sinθ)≥f(1﹣sinθ) . 故对任意的 ,f(1﹣sinθ)≤f(1+sinθ)成立.

点评: 本题考查了不等式恒成立问题的解题思路, 本题第二问的关键在于对所给式子的化简 放缩,从而抽象出函数 h(x) ,使问题转化为一个函数的最值问题来解. 四、请考生在第 22,23,24 三题中任选一题作答.选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,A,B,C,D 四点共圆,BC 与 AD 的延长线交于点 E,点 F 在 BA 的延长线上. (1)若 EA=2ED,EB=3EC,求 的值;

(2)若 EF∥CD,求证:线段 FA,FE,FB 成等比数列.

考点:与圆有关的比例线段. 专题:选作题;立体几何. 分析: (1)根据圆内接四边形的性质,可得∠CDE=∠ABE,∠DEC=∠BEA,从而 △ ABE∽△CDE,所以有 = = ,利用比例的性质可得 的值;

(2)由 EF∥CD,得∠AEF=∠CDE,∠AEF=∠EBF,结合公共角可得△ BEF∽△EAF,于 是 = ,即可证明结论.

解答: (1)解:由 A,B,C,D 四点共圆,得∠CDE=∠ABE, 又∠DEC=∠BEA,∴△ABE∽△CDE,于是 设 DE=a,CE=b,则由 =
2 2

=

= a

.①

,得 3b =2a ,即 b=

代入①,得

=

=



(2)证明:由 EF∥CD,得∠AEF=∠CDE. ∵∠CDE=∠ABE,∴∠AEF=∠EBF. 又∠BFE=∠EFA, ∴△BEF∽△EAF,于是 = ,

故 FA,FE,FB 成等比数列. 点评:本题在圆内接四边形的条件下,一方面证明线段 FA,FE,FB 成等比数列,另一方 面求线段的比值. 着重考查了圆中的比例线段、 圆内接四边形的性质和相似三角形的判定与 性质等知识点,属于中档题. 选修 4-4:坐标系与参数方程 23. 已知: 直线 l 的参数方程为 (1)求曲线 C 的普通方程; (2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长. 考点:直线的参数方程;直线与圆锥曲线的综合问题;简单曲线的极坐标方程. 专题:计算题. 分析: 本题考查直线与圆的位置关系问题, 直线被圆所截得的弦长可用代数法和几何法来加 以求解 解答: 解: (1)由曲线 C:ρ cos2θ=ρ (cos θ﹣sin θ)=1, 2 2 2 2 2 2 得 ρ cos θ﹣ρ sin θ=1,化成普通方程 x ﹣y =1.①
2 2 2 2

(t 为参数) , 曲线 C 的极坐标方程为: ρ cos2θ=1.

2

(2) (方法一)把直线参数方程化为标准参数方程

,②

把②代入① 设其两根为 t1,t2,则 t1+t2=4,t1?t2=﹣6, . 从而弦长为 (方法二)把直线 l 的参数方程化为普通方程为 ﹣12x+13=0, . 设 l 与 C 交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 ∴

,整理,得 t ﹣4t﹣6=0,

2

. ,代入 x ﹣y =1,得 2x , . .
2 2 2

点评:方法一:利用了直线参数方程中参数的几何意义 方法二:利用了直线被圆所截得的弦长公式 选修 4-5:不等式选讲 24.选修 4﹣5:不等式选讲

已知关于 x 的不等式|2x+1|﹣|x﹣1|≤log2a(其中 a>0) . (1)当 a=4 时,求不等式的解集; (2)若不等式有解,求实数 a 的取值范围. 考点:绝对值不等式的解法. 专题:计算题;压轴题. 分析: (Ⅰ)当 a=4 时,不等式即|2x+1|﹣|x﹣1|≤2,分类讨论,去掉绝对值,分别求出解集, 再取并集,即得所求. (Ⅱ) 化简 ( f x) =|2x+1|﹣|x﹣1|的解析式, 求出 ( f x) 的最小值为 解得实数 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ) 当 a=4 时, 不等式即|2x+1|﹣|x﹣1|≤2, 当 解得 当 时 x 不存在. 综上,不等式的解集为 . . 时,不等式为 3x≤2,解得 . 当 x>1 时,不等式为 x+2≤2,此 时, 不等式为﹣x﹣2≤2, , 则由 ,

(Ⅱ)设 f(x)=|2x+1|﹣|x﹣1|=





,即 f(x)的最小值为

. ,即 a 的取值范围是

所以,当 f(x)≤log2a 有解,则有 .

,解得

点评:本题主要考查绝对值不等式的解法,关键是去掉绝对值,化为与之等价的不等式组来 解,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.



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