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等 差 数 列



等 差 数 列 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式. 3.了解等差数列与一次函数的关系.

例 1 (1)等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn.已知 a10=30,a20=50. ①求通项 an; ②若 Sn=242,求 n. 【解析】 ①由 an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组
?

?a1+9d=30, ? ? ?a1+19d=50.

解得 a1=12,d=2.

所以 an=2n+10.

n?n-1? n?n-1? ②由 Sn=na1+ d, Sn=242, 得方程 12n+ ×2=242. 2 2 解得 n=11 或 n=-22(舍去). (2)设{an}为等差数列, Sn 为数列{an}的前 n 项和, 已知 S7=7, S15=75, Sn Tn 为数列{ n }的前 n 项和,求 Tn. 【解析】 方法一 设等差数列{an}的公差为 d,则 1 Sn=na1+ n(n-1)d. 2
? ?7a1+21d=7, ∴? ? ?15a1+105d=75,

∵S7=7,S15=75,
? ?a1+3d=1, 即? ? ?a1+7d=5.

解得 a1=-2,d=1. ∵ Sn+1 Sn 1 - = , n+ 1 n 2

Sn 1 1 ∴ =a1+ (n-1)d=-2+ (n-1). n 2 2

Sn 1 ∴数列{ }是等差数列其首项为-2,公差为 . n 2 1 9 ∴Tn= n2- n. 4 4

方法二
2

设 Sn=An2+Bn,

∵S7=7,S15=75,

? 7 +B· 7=7, ?A· ∴? ?A· 152+B· 15=75, ?

1 ? A = ? 2, 解之得? 5 B =- . ? ? 2

下同方法一 思考题 1 已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值. 【解析】 (1)设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d. 由 a1=1,a3=-3,可得 1+2d=-3. 从而,an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)可知 an=3-2n. 所以 Sn= n[1+?3-2n?] =2n-n2. 2 解得 d=-2.

进而由 Sk=-35 可得 2k-k2=-35, 即 k2-2k-35=0,解得 k=7 或 k=-5. 又 k∈N*,故 k=7 为所求结果.

例 2 (1)(2012· 辽宁)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11= ( ) A.58 B.88 C.143 D.176 【解析】 利用等差数列的性质及求和公式求解.因为{an}是等 差数列,所以 a4+a8=2a6=16?a6=8,则该数列的前 11 项和为 S11 = 11?a1+a11? =11a6=88. 2

(2)已知等差数列{an}中, a1+a2+a3+a4=10, a13+a14+a15+a16=70,

求 S16. 【解析】S16= =160.

16[?a1+a2+a3+a4?+?a13+a14+a15+a16?] 10+70 =16× 8 8

(3)在等差数列{an}中,若 Sn=156,an-5=30,S11=99,求 n. 【解析】 ∵S11=11a6=99,∴a6=9.

又 an-5=30,∴a1+an=a6+an-5=39. 又 Sn= n?a1+an? 2×156 2 Sn ,∴n= = =8. 2 39 a1+an

思考题 2 (1)(2012· 江西)设数列{an}, {bn}都是等差数列. 若 a1+b1=7, a3+b3=21,则 a5+b5=________. 【解析】 ∵a1+a5=2a3,b1+b5=2b3, ∴a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=2×21-7=35. (2)等差数列{an}共有 63 项,且 S63=36,求 S 奇和 S 偶. 4 【解析】 由 S63=36,得 63· a32=36.∴a32= . 7 4 128 ∴S 奇=32a32=32× = , 7 7 4 124 S 偶=31a32=31× = . 7 7

例3

1 已知数列{an},an∈N*,Sn=8(an+2)2. 【解析】 1 1 (1)∵an+1=Sn+1-Sn= (an+1+2)2- (an+2)2, 8 8 ∴(an+1-2)2-(an+2)2=0. ∵an∈N*,∴an+1+an≠0.

求证:{an}是等差数列.

∴8an+1=(an+1+2)2-(an+2)2. ∴(an+1+an)(an+1-an-4)=0.

∴an+1-an-4=0,即 an+1-an=4. ∴数列{an}是等差数列. 思考题 3 已知正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 2 Sn=an+1.求证: {an} 是等差数列. ?a1+1?2 【解析】 ∵an>0,∴a1=S1= ,a1=1. 4 ?an+1?2 又 2 Sn=an+1,可整理为 Sn= . 4 ?an-1+1?2 ?an+1?2 ?an-1+1?2 则 n≥2 时, Sn-1= .两式相减, 得 an= - . 4 4 4 ?an-1?2-?an-1+1?2 即 = 0. 可得 (an + an - 1)(an - an - 1 - 2) = 0 , an + an - 4
1≠0.

故 an=an-1+2(n≥2).∴{an}是以 a1 为首项,公差 d=2 的等差数列. ∴an=2n-1.

例4

等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小? 解析 方法一 ∵S9=S12,∴a10+a11+a12=0. ∴3a11=0.∴a11=0.∵a1<0,∴前 10 项或前 11 项和最小. 方法二 ∵ S9 = S12 ,∴ Sn 的图像所在的抛物线的对称轴为 x = 又 a1<0,∴{an}的前 10 项或前 11 项的和最小. 9 ×8 12×11 d=12a1+ d.化简得 a1=-10d. 2 2

9+12 =10.5. 2

方法三由 S9=S12,得 9a1+

1 d d ∵a1<0,∴d>0. 此时 Sn=na1+ n(n-1)d= n2+(a1- )n 2 2 2

d 21d = n2- n. 2 2

21d 2 21 ∵n∈N*且- = , d 2 2× 2 -

∴当 n=10 或 n=11 时 Sn 最小, 即{an}的前 10 项或前 11 项的和最小. 思考题 4 (1)(2010· 福建)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=-11, a4+a6=-6,则当 Sn 取最小值时,n 等于 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】 设等差数列{an}的公差为 d,∵a4+a6=-6,∴a5=- a5-a1 3,∴d= =2,∴a6=-1<0,a7=1>0,故当等差数列{an}的前 5- 1 n 项和 Sn 取得最小值时,n 等于 6. (2)已知等差数列{an}中,Sn 是它的前 n 项和,若 S16>0,且 S17<0,则 当 Sn 最大时 n 的值为 ( ) A.16 B.8 C.9 D.10 16?a1+a16? 【解析】 ∵S16= =8(a8+a9)>0, 2 S17= 17?a1+a17? =17a9<0,∴a8>0 且 d<0,∴S8 最大. 2

1.深刻理解等差数列的定义,紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这 两点. 2.等差数列中,已知五个元素 a1,an,n,d,Sn 中的任意三个,便可 求出其余两个. 3.证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是:

(1)利用定义,证明 an-an-1(n≥2)为常数; (2)利用等差中项,即证明 2an=an-1+an+1(n≥2). 4.等差数列{an}中,当 a1<0,d>0 时,数列{an}为递增数列,Sn 有最小 值;当 a1>0,d<0 时,数列{an}为递减数列,Sn 有最大值;当 d=0 时, {an}为常数列.



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