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2014-2015学年吉林省吉林市实验中学高二(下)期中数学试卷(理科) Word版含解析



2014-2015 学年吉林省吉林市实验中学高二(下)期中数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的,请将正确选项直接填在答题卡上) 1. (5 分) (2015 春?吉林校级期中)由数列 1,10,100,1000,…猜测该数列的第 n 项可能是 ( ) A. 10 B. 10

r />n n﹣1

C. 10

n+1

D. 11

n

考点: 等比数列的通项公式. 专题: 计算题. 0 1 2 3 分析: 根据题意可得原数列可化简为 10 ,10 ,10 ,10 …,发现规律进而写出数列的第 n 项得到答案. 解答: 解:由题意可得:数列 1,10,100,1000,… 0 1 2 3 即可以写成数列:10 ,10 ,10 ,10 … n﹣1 所以猜测该数列的第 n 项可能是 10 . 故选 B. 点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握写数列通项的方法即观察法,这对学生的观察能力有 一定的要求.
所有

2. (5 分)复数 A. i B. ﹣i C.

等于( D.



考点: 复数代数形式的混合运算. 分析: 仔细观察,复数的分子、分母同乘 i,化简分母为实数即可.
所有

解答: 解:



故选 A. 点评: 复数代数形式的运算,一般是分子、分母同乘妇女的共轭复数,化简即可. 3. (5 分) (2015 春?吉林校级期中)当 n=1,2,3,4,5,6 时,比较 2 和 n 的大小并猜想 ( ) n 2 n 2 n 2 n 2 A. n≥1 时,2 >n B. n≥3 时,2 >n C. n≥4 时,2 >n D. n≥5 时,2 >n 考点: 归纳推理. 专题: 计算题;探究型. n 2 分析: 此题应从特例入手,当 n=1,2,3,4,5,6,…时探求 2 与 n 的大小关系,也可以 x 2 n 2 从 y=2 与 y=x 的图象(x>0)的变化趋势猜测 2 与 n 的大小关系. 1 2 n 2 解答: 解:当 n=1 时,2 >1 ,即 2 >n ; 2 2 n 2 当 n=2 时,2 =2 ,即 2 =n ; 3 2 n 2 当 n=3 时,2 <3 ,即 2 <n ; 4 2 n 2 当 n=4 时,2 =4 ,即 2 =n ; 5 2 n 2 当 n=5 时,2 >5 ,即 2 >n ; 6 2 当 n=6 时,2 >6 ;
所有

n

2

… 猜测当 n≥5 时,2 >n ; 下面我们用数学归纳法证明猜测成立, (1)当 n=5 时,由以上可知猜测成立, k 2 (2)设 n=k(k≥5)时,命题成立,即 2 >k , k+1 k 2 2 2 2 2 当 n=k+1 时,2 =2?2 >2k =k +k >k +(2k+1)=(k+1) ,即 n=k+1 时,命题成立, n 2 n 2 由(1)和(2)可得 n≥5 时,2 与 n 的大小关系为:2 >n ; n 2 n 2 n 2 故答案为:n=2 或 4 时,2 =n ;n=3 时,2 <n ;n=1 及 n 取大于 4 的正整数时,都有 2 >n . 故选 D. 点评: 此题考查的知识点是整数问题的综合应用,解答此题的关键是从特例入手,猜测探究 然后用数学归纳法证明猜测成立. 4. (5 分) (2015 春?吉林校级期中)已知函数 y=f(x)在定义域内可导,则函数 y=f(x)在 某点处的导数值为 0 是函数 y=f(x)在这点处取得极值的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 导数的概念及应用;简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义结合函数极值取得的条件,进行判断即可. 解答: 解:根据导数的性质可知若函数 y=f(x)在这点处取得极值,则 f′(x)=0,即必要 性成立.
所有

n

2

反之不一定成立,如函数 f(x)=x 在 R 上是增函数,f′(x)=3x 则 f′(0)=0,但在 x=0 处 函数不是极值,即充分性不成立, 故函数 y=f(x)在某点处的导数值为 0 是函数 y=f(x)在这点处取得极值的必要不充分条件, 故选:B. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数极值和导数之间的关系是解决本 题的关键.

3

2

5. (5 分) (2011?青羊区校级模拟)设 a,b,c 都是正数,那么三个数 a+ ,b+ ,c+ ( A. 都不大于 2 B. 都不小于 2 C. 至少有一个不大于 2 D. 至少有一个不小于 2 考点: 反证法与放缩法. 专题: 证明题.



所有

分析: 把这三个数的和变形为 a+ +b+ +c+ , 利用基本不等式可得三个数的和大于或等于 6, 从而得到这三个数中, 至少有一个不小于 2. 解答: 解:∵a,b,c 都是正数, 故这三个数的和 (a+ )+(b+ )+(c+ 当且仅当 a=b=c=1 时,等号成立. )=a+ +b+ +c+ ≥2+2+2=6.

故三个数 a+ ,b+ ,c+ 中,至少有一个不小于 2(否则这三个数的和小于 6) . 故选 D. 点评: 本题主要主要考查用反证法证明不等式,基本不等式的应用,注意检验等号成立的条 件,式子的变形是解题的关键, 属于中档题. 6. (5 分)方程 x ﹣6x +9x﹣10=0 的实根个数是( A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用.
所有

3

2



分析: 令 f(x)=x ﹣6x +9x﹣10,将方程 x ﹣6x +9x﹣10=0 的实根转化为函数图象与 x 轴 的交点. 3 2 解答: 解:令 f(x)=x ﹣6x +9x﹣10, 2 则 f'(x)=3x ﹣12x+9=3(x﹣1) (x﹣3) , ∵f(1)=﹣6,f(3)=﹣10, 则 f(x)=x ﹣6x +9x﹣10 的简图如下:
3 2

3

2

3

2

故选 C. 点评: 本题考查了方程的根与函数的零点之间的关系,属于基础题. 7. (5 分) (2012?辽宁)已知 P,Q 为抛物线 x =2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,﹣2, 过 P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为( ) A. 1 B. 3 C. ﹣4 D. ﹣8 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 首先可求出 P(4,8) ,Q(﹣2,2) ,然后根据导数的几何意义求出切线方程 AP,AQ 的斜率 KAP,KAQ,再根据点斜式写出切线方程,然后联立方程即可求出点 A 的纵坐标. 2 解答: 解:∵P,Q 为抛物线 x =2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,﹣2,
所有

2

∴P(4,8) ,Q(﹣2,2) , ∵x =2y, ∴y= ,
2

∴y′=x, ∴切线方程 AP,AQ 的斜率 KAP=4,KAQ=﹣2, ∴切线方程 AP 为 y﹣8=4(x﹣4) ,即 y=4x﹣8, 切线方程 AQ 的为 y﹣2=﹣2(x+2) ,即 y=﹣2x﹣2, 令 ,





∴点 A 的纵坐标为﹣4. 故选:C. 点评: 本题主要考查了利用导数的几何意义求出切线方程,属常考题,较难.解题的关键是 利用导数的几何意义求出切线方程 AP,AQ 的斜率 KAP,KAQ. 8. (5 分) (2015 春?吉林校级期中)如图是函数 f(x)=x +bx +cx+d 的大致图象,则 x1+x2= ( )
3 2

A.

B.

C.

D.

考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 解:由图象知 f(﹣1)=f(0)=f(2)=0,解出 b、c、d 的值,由 x1 和 x2 是 f′(x)
所有

=0 的根,使用根与系数的关系得到 x1+x2= . 解答: 解:∵f(x)=x +bx +cx+d,由图象知,﹣1+b﹣c+d=0,0+0+0+d=0, 8+4b+2c+d=0,∴d=0,b=﹣1,c=﹣2 2 2 ∴f′(x)=3x +2bx+c=3x ﹣2x﹣2. 由题意有 x1 和 x2 是函数 f(x)的极值, 故有 x1 和 x2 是 f′(x)=0 的根,∴x1+x2= , 故选:A. 点评: 本题考查一元二次方程根的分布,根与系数的关系,函数在某点取的极值的条件,以 及求函数的导数,属中档题
3 2

9. (5 分) (2015?枣庄一模)用数学归纳法证明“1+ + +…+

<n(n∈N ,n>1)”时, )

*

由 n=k(k>1)不等式成立,推证 n=k+1 时,左边应增加的项数是( A. 2
k﹣1

B. 2 ﹣1 C. 2 D. 2 +1

k

k

k

考点: 用数学归纳法证明不等式. 专题: 综合题.

所有

分析: 考查不等式左侧的特点,分母数字逐渐增加 1,末项为 加的项数即可. 解答: 解:左边的特点:分母逐渐增加 1,末项为 ;

,然后判断 n=k+1 时增

由 n=k,末项为

到 n=k+1,末项为

=

,∴应增加的项数为 2 .

k

故选 C. 点评: 本题是基础题,考查数学归纳法证明问题的第二步,项数增加多少问题,注意表达式 的形式特点,找出规律是关键. 10. (5 分) (2014?奎文区校级模拟)设 f(x) 、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 当 x<0 时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且 g(﹣3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的 解集是( )? A. (﹣3,0)∪(3,+∞) B. (﹣3,0)∪(0,3) C. (﹣∞,﹣3)∪(3,+∞) D. (﹣∞,﹣3)∪(0,3)? 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据 f’(x)g(x)+f(x)g’(x)>0 可确定[f(x)g(x)]'>0,进而可得到 f(x) g(x)在 x<0 时递增,结合函数 f(x)与 g(x)的奇偶性可确定 f(x)g(x)在 x>0 时也 是增函数,最后根据 g(﹣3)=0 可求得答案. 解答: 解:设 F(x)=f (x)g(x) ,当 x<0 时,? ∵F′(x)=f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0. ∴F(x)在当 x<0 时为增函数.? ∵F(﹣x)=f (﹣x)g (﹣x)=﹣f (x)?g (x)=﹣F(x) .? 故 F(x)为(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.? ∴F(x)在(0,+∞)上亦为增函数.? 已知 g(﹣3)=0,必有 F(﹣3)=F(3)=0.? 构造如图的 F(x)的图象,可知 F(x)<0 的解集为 x∈(﹣∞,﹣3)∪(0,3) .? 故选 D
所有

点评: 本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系.导数 是一个新内容,也是高考的热点问题,要多注意复习. 11. (5 分) (2013?甘肃模拟)若点 P 是曲线 y=x ﹣lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x﹣2 的 最小距离为( ) A. 1 B. C. D.
2

考点: 点到直线的距离公式. 专题: 计算题. 分析: 设出切点坐标,利用导数在切点处的函数值,就是切线的斜率,求出切点,然后再求 点 P 到直线 y=x﹣2 的最小距离. 解答: 解:过点 P 作 y=x﹣2 的平行直线,且与曲线 2 y=x ﹣lnx 相切, 2 设 P(x0,x0 ﹣lnx0)则有
所有

k=y′|x=x0=2x0﹣ ∴2x0﹣



=1,∴x0=1 或 x0=﹣ (舍去) .

∴P(1,1) , ∴d= = .

故选 B. 点评: 本题考查点到直线的距离,导数的应用,考查计算能力,是基础题. 12. (5 分) (2012?重庆)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x) ,且函数 y=(1﹣x) f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )

A. 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B. 函数 f(x)有极大值 f(﹣2)和极小值 f(1) C. 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(﹣2)

D. 函数 f(x)有极大值 f(﹣2)和极小值 f(2) 考点: 函数在某点取得极值的条件;函数的图象. 专题: 计算题. 分析: 利用函数的图象,判断导函数值为 0 时,左右两侧的导数的符号,即可判断极值. 解答: 解:由函数的图象可知,f′(﹣2)=0,f′(2)=0,并且当 x<﹣2 时,f′(x)>0,当 ﹣2<x<1,f′(x)<0,函数 f(x)有极大值 f(﹣2) . 又当 1<x<2 时,f′(x)<0,当 x>2 时,f′(x)>0,故函数 f(x)有极小值 f(2) . 故选 D. 点评: 本题考查函数与导数的应用,考查分析问题解决问题的能力,函数的图象的应用.
所有

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡上否则不得分) 13. (5 分) (2013?山东模拟)函数 y=x +x ﹣5x﹣5 的单调递增区间是
3 2

考点: 利用导数研究函数的单调性. 分析: 先对函数进行求导,然后令导函数大于 0 求出 x 的范围即可. 3 2 2 解答: 解:∵y=x +x ﹣5x﹣5∴y'=3x +2x﹣5
所有

令 y'=3x +2x﹣5>0 解得:x<﹣ ,x>1 故答案为: (﹣∞,﹣ ) , (1,+∞) 点评: 本题主要考查导函数的正负和原函数的单调性的关系.属基础题. 14. (5 分) (2011?福建模拟)若三角形的内切圆半径为 r,三边的长分别为 a,b,c,则三角 形的面积 S= r(a+b+c) ,根据类比思想,若四面体的内切球半径为 R,四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,则此四面体的体积 V= R(S1+S2+S3+S4) .

2

考点: 类比推理;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 压轴题;规律型. 分析: 根据平面与空间之间的类比推理,由点类比点或直线,由直线 类比 直线或平面,由 内切圆类比内切球,由平面图形面积类比立体图形的体积,结合求三角形的面积的方法类比 求四面体的体积即可. 解答: 解:设四面体的内切球的球心为 O, 则球心 O 到四个面的距离都是 R, 所以四面体的体积等于以 O 为顶点, 分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和.
所有

故答案为: R(S1+S2+S3+S4) .

点评: 类比推理是指依据两类数学对象的相似性,将已知的一类数学对象的性质类比迁移到 另一类数学对象上去.一般步骤:①找出两类事物之间的相似性或者一致性.②用一类事物 的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(或猜想) . 15. (5 分) (2015 春?吉林校级期中)定积分 ( ﹣x)dx= 8π .

考点: 定积分. 专题: 导数的概念及应用.
所有

分析:



)dx 表示以原点为圆心以 4 为半径的圆的面积的二分之一,根据

分步积分法即可求出答案. 解答: 解: ∴ ( ( ﹣x)dx= )dx 表示以原点为圆心以 4 为半径的圆的面积的二分之一, ( )dx﹣ xdx= π×4 ﹣ x |
2 2

=8π,

故答案为:8π. 点评: 本题考查定积分的几何意义,属基础题 16. (5 分) (2015?惠州模拟)函数 f(x)的定义域为 R,f(﹣1)=2,对任意 x∈R,f′(x) >2,则 f(x)>2x+4 的解集为 (﹣1,+∞) . 考点: 利用导数研究函数的单调性;其他不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 构建函数 F(x)=f(x)﹣(2x+4) ,由 f(﹣1)=2 得出 F(﹣1)的值,求出 F(x) 的导函数,根据 f′(x)>2,得到 F(x)在 R 上为增函数,根据函数的增减性即可得到 F(x) 大于 0 的解集,进而得到所求不等式的解集. 解答: 解:设 F(x)=f(x)﹣(2x+4) , 则 F(﹣1)=f(﹣1)﹣(﹣2+4)=2﹣2=0, 又对任意 x∈R,f′(x)>2,所以 F′(x)=f′(x)﹣2>0, 即 F(x)在 R 上单调递增, 则 F(x)>0 的解集为(﹣1,+∞) , 即 f(x)>2x+4 的解集为(﹣1,+∞) . 故答案为: (﹣1,+∞) 点评: 本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式,解题的关键是构建函数,确定函数的单 调性,属于中档题.
所有

三、解答题 17. (10 分) (2015 春?吉林校级期中)实数 a 分别取什么值时,复数 z= ﹣15)i 是(1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数. 考点: 复数的基本概念. +(a ﹣2a
2

所有

专题: 数系的扩充和复数. 分析: 明确复数的实部和虚部,根据复数的性质要求求 a 的范围. 解答: 解:由已知得到复数的实部
2



虚部 a ﹣2a﹣15=(a+3) (a﹣5) . 所以(1)当 a=5 时,z 是实数;…(5 分) (2)当 a≠5,且 a≠﹣3 时,z 是虚数; (3)当 a=﹣2 或 a=3 时是纯虚数. …(10 分) 点评: 本题考查了复数的性质;复数 a+bi(a,b 是实数)是实数,则 b=0;是虚数 b≠0;是 纯虚数,a=0 且 b≠0.

18. (12 分) (2015 春?吉林校级期中) 椭圆与双曲线有许多优美的对称性质. 对于椭圆

+

=1

(a>b>0) 有如下命题: AB 是椭圆

+

=1 (a>b>0) 的不平行于对称轴且不过原点的弦,

M 为 AB 的中点,则 kOM?kAB=﹣

,为定值.那么对于双曲线



=1(a>0,b>0)则

有命题:AB 是双曲线



=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦,M 为 AB

的中点,则 kOM?kAB=定值

. (在横线上填上正确的结论)并证明你的结论.

考点: 双曲线的简单性质;类比推理. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程;推理和证明.
所有

分析: 根据题意,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(x0,y0) ,可得 M 的坐标,以及 kOM、 kAB,进而可得 kOM?kAB 的表达式,将将 A、B 坐标代入双曲线方程,由点差法分析可得: ,

解答: 解:kOM?kAB 为定值,且其值为 kOM?kAB=



证明:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(x0,y0) ,则有

…(3 分)

kOM=

=

,kAB=

,即 kOM?kAB=



将 A、B 坐标代入双曲线方程



=1 可得:



②.…(5 分)

①﹣②得:



,…(9 分)

,即 kOM?kAB=

.…(12 分)

点评: 本题考查双曲线的性质,涉及类比推理的运用,解答时要联立直线与双曲线的方程, 利用点差法分析求解. 19. (12 分) (2012?井冈山市模拟)已知直线 l 与函数 f(x)=lnx 的图象相切于点(1,0) , 且 l 与函数 的图象也相切.

(I)求直线 l 的方程及 m 的值; (Ⅱ)若 h(x)=f(x+1)﹣g′(x) ,求函数 h(x)的最大值. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题. 分析: (I)求出直线的 l 的斜率,然后根据点斜式写出直线 l 的方程,在联立方程直线 l 与
所有

函的图象也相切

,根据△ =0,求出 m 的值;

(Ⅱ)根据(I)可得 h(x)=f(x+1)﹣g'(x) ,对其求导,令 h′(x)=0,先求出极值,然 后再求最值. 解答: 解: (I)∵直线 l 与函数 f(x)=lnx 的图象相切于点(1,0) , ∴f′(x)= ,∴f(x)|x=1=1,及直线 l 的斜率为 1, ∴直线 l 的直线为:y﹣0=1×(x﹣1) , ∴直线 l 的方程为:x﹣y﹣1=0; ∵直线 l 与函数 的图象也相切,


2

,整理方程得:x +2(m﹣1)x+9=0,

2

∴△=4(m﹣1) ﹣4×9=0, ∴m=4 或﹣2, 又∵m<0, ∴m=﹣2; (Ⅱ)若 h(x)=f(x+1)﹣g'(x)=ln(x+1)﹣x+2, (x>﹣1) ∴h′(x)= ﹣1= ,

当﹣1<x<0 时,h′(x)>0,h(x)为增函数; 当 x≥0 时,h′(x)<0,h(x)为减函数; 函数 h(x)在 x=0 处取极大值,也是最大值, hmax(x)=h(0)=2. 点评: 此题主要考查利用导数求某点的切线和利用导数求闭区间上函数的最值,求解的关键 是要正确求导,是一道基础题. 20. (12 分) (2011 春?东城区期末)数列{an}满足 Sn=2n﹣an(n∈N ) . (Ⅰ)计算 a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式 an; (Ⅱ)用数学归纳法证明(Ⅰ)中的猜想. 考点: 数学归纳法;数列递推式;归纳推理. 专题: 计算题;证明题;点列、递归数列与数学归纳法.
所有

*

分析: (Ⅰ)通过 n=1,2,3,4,直接计算 a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式 ;

(Ⅱ)直接利用数学归纳法证明.检验 n 取第一个值时,等式成立,假设 解答: (本小题满分 8 分) 解: (Ⅰ)当 n=1 时,a1=s1=2﹣a1,所以 a1=1. 当 n=2 时,a1+a2=s2=2×2﹣a2,所以 同理: , . .

,证明.

由此猜想

…(5 分)

(Ⅱ)证明:①当 n=1 时,左边 a1=1,右边=1,结论成立. ②假设 n=k(k≥1 且 k∈N )时,结论成立,即
*



那么 n=k+1 时,ak+1=sk+1﹣sk=2(k+1)﹣ak+1﹣2k+ak=2+ak﹣ak+1,

所以 2ak+1=2+ak,所以 这表明 n=k+1 时,结论成立. 由①②知对一切 n∈N 猜想
*



成立.…(8 分)

点评: 本题考查归纳推理,用数学归纳法证明等式,证明故当 n=k+1 时,猜想也成立,是解 题的难点和关键.
3 2

21. (12 分) (2012?马鞍山二模)设函数 f(x)= +xlnx,g(x)=x ﹣x ﹣3. (I)如果存在 x1、x2∈[0,2],使得 g(x1)﹣g(x2)≥M 成立,求满足上述条件的最大整数 M; (II)如果对于任意的 s、t∈[ ,2],都有 f(s)≥g(t)成立,求实数 a 的取值范围..

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 综合题.

所有

分析: (I)存在 x1、x2∈[0,2],使得 g(x1)﹣g(x2)≥M 成立等价于 g(x)max﹣g(x) min≥M; (II)对于任意的 s、t∈[ ,2],都有 f(s)≥g(t)成立等价于 f(x)≥g(x)max,进一步利 用分离参数法,即可求得实数 a 的取值范围. 解答: 解: (I)存在 x1、x2∈[0,2],使得 g(x1)﹣g(x2)≥M 成立等价于 g(x)max﹣g(x) min≥M ∵g(x)=x ﹣x ﹣3,∴ ∴g(x)在(0, )上单调递减,在( ,2)上单调递增 ∴g(x)min=g( )=﹣ ∴g(x)max﹣g(x)min= ∴满足的最大整数 M 为 4; (II)对于任意的 s、t∈[ ,2],都有 f(s)≥g(t)成立等价于 f(x)≥g(x)max. 由(I)知,在[ ,2]上,g(x)max=g(2)=1 ∴在[ ,2]上,f(x)= +xlnx≥1 恒成立,等价于 a≥x﹣x lnx 恒成立 记 h(x)=x﹣x lnx,则 h′(x)=1﹣2xlnx﹣x 且 h′(1)=0
2 2 3 2

,g(x)max=g(2)=1

∴当

时,h′(x)>0;当 1<x<2 时,h′(x)<0

∴函数 h(x)在( ,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减, ∴h(x)max=h(1)=1 ∴a≥1 点评: 本题考查导数在研究函数问题中的应用、由不等式恒成立求解参数范围,考查等价转 化思想,这种常规的数学思想方法值得研究. 22. (12 分) (2015 春?吉林校级期中)已知函数 f(x)=lnx+mx (m∈R) (I)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 m=0,A(a,f(a) ) 、B(b,f(b) )是函数 f(x)图象上不同的两点,且 a>b>0, f′(x)为 f(x)的导函数,求证:f′( )< <f′(b) .
2

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 综合题;导数的综合应用.

所有

分析: (I)求导 f′(x)= +2mx,从而讨论以确定函数的单调性及单调区间; (Ⅱ)由题意 f(x)=lnx,f′(x)= ,f′( < ,即证: )= ,f′(b)= ,从而可知要证 f′( )

<lna﹣lnb;化简、换元、构造函数 g(t)=lnt﹣ )< ;同理

,求导证明 g(t)>g(1)=0;从而证明 f′( 可证 <f′(b) ,从而得证.

解答: (I)解:∵f′(x)= +2mx, 当 m≥0 时,f′(x)>0, ∴f(x)在(0,+∞)递增; 当 m<0 时, 令 f′(x)>0,解得:0<x< 令 f′(x)<0,解得:x> ∴f(x)在(0, , ,+∞)递减, ,

)递增,在(

综上,m≥0 时,f(x)在(0,+∞)递增, 当 m<0 时,f(x)在(0, )递增,在( ,+∞)递减;

(Ⅱ)证明:∵f(x)=lnx,f′(x)= ,

∴f′(

)=

,f′(b)= )< <lna﹣lnb; ;

要证:f′( 即证:

即证:

<ln .

令 t= ,则 >1;

构造函数 g(t)=lnt﹣

,g′(t)=

故 g(t)=lnt﹣ 故 g(t)>g(1)=0; 故 f′( )<

在(1,+∞)上是增函数,

. <f′(b) ; <f′(b) .

同理可证, 故 f′( )<

点评: 本题考查了导数的综合应用,考查了构造函数证明不等式的方法应用,属于难题.



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