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福建省泉州市德化一中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷



福建省泉州市德化一中 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.sin600°的值是() A. B. C. D.

2.已知{an}是等差数列,且 a2+a3+a10+a11=48,则 a6+a7=() A.12 B.16 C.20

D.24


3.角 α 的始边在 x 轴正半轴、终边过点 P(3,4) ,则 sinα 的值为() A. B. C. D.

4.已知函数 y=tan(2x+φ)的图象过点( A.﹣ B.

,0) ,则 φ 可以是() C. ﹣ D.

5.若 a>b>1,c<0,则() A.ac>bc B.bc>c C.a|c|>b|c| D. >

6.等差数列{an}中,a1>0,若其前 n 项和为 Sn,且有 S14=S8,那么当 Sn 取最大值时,n 的值为() A.8 B. 9 C.10 D.11 7.f(x)=ax +ax﹣1 在 R 上满足 f(x)<0 恒成立,则 a 的取值范围是() A.a≤0 B.a<﹣4 C.﹣4<a<0 D.﹣4<a≤0 8.下列函数的最小值为 2 的是 () A.y=x+ C. y= + B. y=sinx+ D.y=tanx+ (0<x< (0<x< )
2



9.已知等比数列{an} 的前 n 项和为 Sn,若 S4=1,S8=4,则 a13+a14+a15+a16=() A.7 B.16 C.27 D.64 10.在△ ABC 中,若 sin(A+B﹣C)=sin(A﹣B+C) ,则△ ABC 必是() A.等腰三角形 B. 直角三角形

C. 等腰或直角三角形

D.等腰直角三角形

11.已知函数 y=Asin(ωx+φ) , (A>0,ω>0,|φ|<π)的图象如图所示,则该函数的解析 式是()

A. C.

B. D.

12.已知 O 是△ ABC 所在平面上一点,满足| A.在与边 AB 垂直的直线上 C. 在边 AB 的中线所在直线上

| +|

2

| =|

2

| +|

2

| ,则点 O()

2

B. 在∠A 的平分线所在直线上 D.以上都不对

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (填空题和解答题写在答题纸上) 13.sin34°sin26°﹣cos34°cos26°的值为.

14.已知

,则﹣x+y 的最大值是.

15.已知直线 l 与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A(a,0) ,B(0,b)两点,且满足 + =1, O 为坐标原点,则△ ABO 面积的最小值为. 16. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案: 则第 n 个图案中有白色

地面砖块

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知 ,且 α 为第三象限角.

(Ⅰ)求 sin2α 的值; (Ⅱ)求 的值.

18. 如图所示, 四边形 OADB 是以 试用 , 表示 .

为边的平行四边形,





19.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=1,S11=33. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 .求证:{bn}是等比数列,并求其前 n 项和 Tn.
*

20. 已知数列{an}, {bn}分别为等差和等比数列, 且 a1=1, d>0, a2=b2, a5=b3, a14=b4 (n∈N ) . (Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)设 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和. 21.已知海岛 B 在海岛 A 的北偏东 45°方向上,A、B 相距 10 海里,小船甲从海岛 B 以 2 海里/小时的速度沿直线向海岛 A 移动,同时小船乙从海岛 A 出发沿北偏 15°方向也以 2 海 里/小时的速度移动 (Ⅰ)经过 1 小时后,甲、乙两小船相距多少海里? (Ⅱ)在航行过程中,小船甲是否可能处于小船乙的正东方向?若可能,请求出所需时间, 若不可能,请说明理由.

22.已知 (1)若

,设 f(x)=



且 a=l 时,求 f(x)的最大值和最小值,以及取得最大值和最小值时

x 的值; (2)若 x∈[0,π]且 a=﹣1 时,方程 f(x)=b 有两个不相等的实数根 x1、x2,求 b 的取值范 围及 x1+x2 的值.

福建省泉州市德化一中 2014-2015 学年高一下学期期末 数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.sin600°的值是() A. B. C. D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: 把原式的角度 600°变形为 2×360°﹣120°,然后利用诱导公式化简,再把 120°变为 180°﹣60°,利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出值. 解答: 解:sin600°=sin(2×360°﹣120°) =﹣sin120°=﹣sin(180°﹣60°) =﹣sin60°=﹣ 故选 D .

点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值, 熟练掌握诱导公式是解本题的关键, 同时注意 角度的灵活变换. 2.已知{an}是等差数列,且 a2+a3+a10+a11=48,则 a6+a7=() A.12 B.16 C.20

D.24

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列的性质可得:a2+a11=a3+a10=a6+a7.代入已知即可得出. 解答: 解:∵{an}是等差数列, ∴a2+a11=a3+a10=a6+a7. 又 a2+a3+a10+a11=48, ∴2(a6+a7)=48,解得 a6+a7=24. 故选 D. 点评: 本题考查了等差数列的性质,属于基础题. 3.角 α 的始边在 x 轴正半轴、终边过点 P(3,4) ,则 sinα 的值为() A. B. C. D.

考点: 专题: 分析: 解答:

任意角的三角函数的定义. 计算题. 先计算 r=|OP|=5,再利用正弦函数的定义,即可求得结论. 解:由题意,r=|OP|=5

∴sinα= = 故选 D. 点评: 本题重点考查三角函数的定义,解题的关键是掌握正弦函数的定义,属于基础题.

4.已知函数 y=tan(2x+φ)的图象过点( A.﹣ B.

,0) ,则 φ 可以是() C. ﹣ D.

考点: 正切函数的图象. 专题: 计算题. 分析: 将( ,0)代入原函数可得,tan( +φ)=tan( +φ)=0,再将四个选项代入检验即可. +φ)=0,解得 φ=kπ﹣

解答: 解:依题意可知 tan(2

故选 A 点评: 本题主要考查了正切函数的性质.属基础题. 5.若 a>b>1,c<0,则()

A.ac>bc

B.bc>c

C.a|c|>b|c|

D. >

考点: 不等式的基本性质. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用不等式的基本性质即可判断出. 解答: 解:A.∵a>b>1,c<0,∴ac<bc,因此 A 不成立; B.∵b>1,c<0,∴bc<c,因此不正确; C.∵a>b>1,c<0,∴a|c|>b|c|,正确. D.∵a>b>1,c<0,∴ ,故不正确.

故选:C. 点评: 本题考查了不等式的基本性质,属于基础题. 6.等差数列{an}中,a1>0,若其前 n 项和为 Sn,且有 S14=S8,那么当 Sn 取最大值时,n 的值为() A.8 B. 9 C.10 D.11 考点: 等差数列的前 n 项和;数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据 S14=S8,可得 a9+a10+…+a14=0,故有 a11+a12=0.再由 a1>0,可得 d<0,故 a11>0,a12<0,可得 S11 最大. 解答: 解:∵S14=S8,∴a9+a10+…+a14=0,∴a11+a12=0. 再由 a1>0,∴d<0,故 a11>0,a12<0,∴S11 最大. 故选 D. 点评: 本题主要考查等差数列的定义和性质, 等差数列的前 n 项和公式的应用, 数列的函 数特性,属于基础题. 7.f(x)=ax +ax﹣1 在 R 上满足 f(x)<0 恒成立,则 a 的取值范围是() A.a≤0 B.a<﹣4 C.﹣4<a<0 D.﹣4<a≤0 考点: 函数恒成立问题. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: 分三种情况讨论: (1)当 a 等于 0 时,原不等式变为﹣1 小于 0,显然成立; (2)当 a 大于 0 时,根据二次函数的图象与性质可知解集为 R 不可能; (3)当 a 小于 0 时,二次函数开口向下,且与 x 轴没有交点即△ 小于 0 时,函数值 y 恒小 于 0,即解集为 R 成立,根据△ 小于 0 列出不等式,求出 a 的范围,综上,得到满足题意的 a 的范围. 解答: 解: (1)当 a=0 时,得到﹣1<0,显然不等式的解集为 R; 2 (2)当 a<0 时,二次函数 y=ax +ax﹣1 开口向下,由不等式的解集为 R,得到二次函数与 2 x 轴没有交点即△ =a +4a<0,即 a(a+4)<0, 解得﹣4<a<0; 2 (3)当 a>0 时,二次函数 y=ax +ax﹣1 开口向上,函数值 y 不恒<0,故解集为 R 不可能. 综上,a 的取值范围为(﹣4,0]
2

故选 D. 点评: 本题考查一元二次不等式的解法,考查分类讨论及函数的思想,是中档题. 8.下列函数的最小值为 2 的是 () A.y=x+ C. y= + B. y=sinx+ D.y=tanx+ (0<x< (0<x< )



考点: 基本不等式. 专题: 不等式. 分析: 根据基本不等式的性质,结合三角函数的性质以及二次根式的性质判断即可. 解答: 解:①对于 A:x>0 时,y=x+ ≥2,当且仅当 x=1 时“=”成立, x<0 时,y=x+ ≤﹣2,当且仅当 x=﹣1 时“=”成立, 故 A 错误; ②对于 B:y=sinx+ 故 B 错误; ③对于 C:∵ 故 C 错误; ④对于 D:y=tanx+ ≥2,当且仅当:x= 时“=”成立, ≥2,∴y≥2+ , >2,由 sinx= 得:sinx=1,但 0<x< ,取不到“=”,

故选:D. 点评: 本题考查了基本不等式的性质,利用性质时,注意其性质满足的条件,是一道基础 题. 9.已知等比数列{an} 的前 n 项和为 Sn,若 S4=1,S8=4,则 a13+a14+a15+a16=() A.7 B.16 C.27 D.64 考点: 等比数列的前 n 项和;等比数列的通项公式;等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由给出的数列{an}是等比数列,则该数列的第一个四项和、第二个四项和、…仍然 构成等比数列,利用等比数列的通项公式求 a13+a14+a15+a16 的值. 解答: 解:因为数列{an}是等比数列,所以,该数列的第一个四项和,第二个四项和,第 三个四项和,第四个四项和依然构成等比数列,则其公比 q= 所以,a13+a14+a15+a16= 故选 C. . ,

点评: 本题考查了等比数列的性质, 如果一个数列是等比数列, 则该数列的第一个 n 项和, 第二个 n 项和,…依然构成等比数列,且公比为原等比数列公比的 n 次方,此题是中档题. 10.在△ ABC 中,若 sin(A+B﹣C)=sin(A﹣B+C) ,则△ ABC 必是() A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 考点: 解三角形. 专题: 计算题. 分析: 结合三角形的内角和公式可得 A+B=π﹣C,A+C=π﹣B,代入已知 sin(A+B﹣C) =sin(A﹣B+C)化简可得,sin2C=sin2B, 由于 0<2B<π,0<2C<π 从而可得 2B=2C 或 2B+2C=π,从而可求 解答: 解:C∵A+B=π﹣C,A+C=π﹣B, ∴sin(A+B﹣C)=sin(π﹣2C)=sin2Csin(A﹣B+C)=sin(π﹣2B)=sin2B, 则 sin2B=sin2C,B=C 或 2B=π﹣2C, 即 .所以△ ABC 为等腰或直角三角形.

故选 C 点评: 本题主要考查了三角形的内角和公式, 三角函数的诱导公式, 由三角函数值寻求角 的关系,依据主要是利用三角函数的图象. 11.已知函数 y=Asin(ωx+φ) , (A>0,ω>0,|φ|<π)的图象如图所示,则该函数的解析 式是()

A. C.

B. D.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 由已知,可以看出 A=2,周期不能直接看出,但估算到 < 结合特殊点(0,1)去求解. ,得出 ω> ,再

解答: 解:由图象可以看出 A=2,把(0,1)代入各解析式,排除 B,D,又 < 得出 ω> ,故只有 C 符合.



故选 C. 点评: 本题考查由 y=Asin(ωx+φ)部分图象确定其解析式,选择题,可有排除法,第一 步,代入特殊点,第二步,求周期范围.
2 2 2 2

12.已知 O 是△ ABC 所在平面上一点,满足| A.在与边 AB 垂直的直线上 C. 在边 AB 的中线所在直线上 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量的减法分别设 = ,

| +|

| =|

| +|

| ,则点 O()

B. 在∠A 的平分线所在直线上 D.以上都不对

= ,

= ,表示



利用数量积运算和题

意代入式子进行化简,证出 OC⊥AB. 解答: 解:设 由|
2

= , | +|
2 2 2

= ,

= ,则

=





| +|

2

| =|
2

2

|, | ,化简可得
2

∴| | +| ∴

| =| | +|

,即(

) )? =0,

∴AB⊥OC. 故选 A. 点评: 本题考查了向量在几何中应用,主要利用向量的线性运算以及数量积进行化简证 明,证明垂直主要根据题意构造向量利用数量积为零进行证明. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (填空题和解答题写在答题纸上) 13.sin34°sin26°﹣cos34°cos26°的值为﹣ .

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 直接利用两角和差的余弦公式计算求得结果. 解答: 解:sin34°sin26°﹣cos34°cos26°=﹣cos(34°+26°)=﹣cos60°=﹣ , 故答案为:﹣ . 点评: 本题主要考查两角和差的余弦公式的应用,属于基础题.

14.已知

,则﹣x+y 的最大值是 3.

考点: 专题: 分析: 解答:

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 首先画出平面区域.设 z=﹣x+y,由它的几何意义求最大值. 解:已知不等式组表示的平面区域如图:



解得 C(1,4)

设 z=﹣x+y 即 y=x+z 当过图中 C 时使得 z 最大,最大为﹣1+4=3; 故答案为:3. 点评: 本题考查了简单的线性规划问题; 关键是正确画出平面区域, 根据目标函数的几何 意义求最值.

15.已知直线 l 与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A(a,0) ,B(0,b)两点,且满足 + =1, O 为坐标原点,则△ ABO 面积的最小值为 4. 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由题意和基本不等式可得 ab 的最小值,而△ ABO 面积 S= ab,可得答案. 解答: 解:由题意可得 a 和 b 为正数且 + =1, ∴1= + ≥2 = ,



≥2

,∴ab≥8,

∴△ABO 面积 S= ab≥4 当且仅当 = 即 a=4 且 b=2 时取等号, ∴△ABO 面积的最小值为:4 故答案为:4 点评: 本题考查基本不等式求最值,涉及直线的截距,属基础题. 16. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案: 则第 n 个图案中有白色

地面砖 4n+2 块 考点: 归纳推理. 专题: 探究型. 分析: 通过已知的几个图案找出规律,可转化为求一个等差数列的通项公式问题即可. 解答: 解:第 1 个图案中有白色地面砖 6 块;第 2 个图案中有白色地面砖 10 块;第 3 个 图案中有白色地面砖 14 块;… 设第 n 个图案中有白色地面砖 n 块, 用数列{an}表示, 则 a1=6, a2=10, a3=14, 可知 a2﹣a1=a3 ﹣a2=4,… 可知数列{an}是以 6 为首项,4 为公差的等差数列,∴an=6+4(n﹣1)=4n+2. 故答案为 4n+2. 点评: 由已知的几个图案找出规律转化为求一个等差数列的通项公式是解题的关键. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知 ,且 α 为第三象限角.

(Ⅰ)求 sin2α 的值; (Ⅱ)求 的值.

考点: 三角函数的恒等变换及化简求值;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题. 分析: 根据角的范围,求出角的余弦函数值, (Ⅰ)直接利用二倍角公式求 sin2α 的值; (Ⅱ)利用诱导公式化简 ,然后利用(Ⅰ)求出它的

值. 解答: 解:∵ ,且 α 为第三象限角.

∴ (Ⅰ) (Ⅱ)原式 .

=

=

=

=

=



所以所求的值为: 点评: 本题考查三角函数的化简求值,注意角的范围,二倍角公式以及诱导公式的应用, 考查计算能力.

18. 如图所示, 四边形 OADB 是以 试用 , 表示 .

为边的平行四边形,





考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的线性运算,结合图形,即可得到结论. 解答: 解:∵BM= BC,BC=CA,∴BM= BA, ∴ ∴ = = + = ( ﹣ )= ( ﹣ ) . + .

=b+ ( ﹣ )=

∵CN= CD,CD=OC, ∴ ∴ = = + ﹣ = = = ( + ﹣ + ﹣ )= = + ﹣ . .

点评: 本题考查向量的线性运算,考查学生的计算能力,考查数形结合的数学思想,属于 基础题. 19.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=1,S11=33. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)设

.求证:{bn}是等比数列,并求其前 n 项和 Tn.

考点: 等比数列的前 n 项和;等差数列的前 n 项和;等比关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式即可得出; (2)利用等比数列的定义、通项公式和前 n 项和公式即可得出. 解答: 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d. ∵ ,



解得 ∴ .



(2)∵ ∴{bn}是首项

,∴



,公比为 的等比数列,

故前 n 项和



点评: 本题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式、 等比数列的定义、 通项公式和前 n 项和公式,属于中档题. 20. 已知数列{an}, {bn}分别为等差和等比数列, 且 a1=1, d>0, a2=b2, a5=b3, a14=b4 (n∈N ) . (Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)设 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和. 考点: 数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知可得,a2,a5,a14 成等比数列,结合等比数列的性质及等差数列的通 项公式可求公差 d,进而可求 an,然后结合已知可求等比数列的公比,代入
n﹣1 *

可求

(2)设 cn=an?bn=(2n﹣1)?3 ,结合数列的项的特点,考虑利用错位相减求和 解答: 解: (1)∵a2=b2,a5=b3,a14=b4,b2,b3,b4 成等比数列 ∴a2,a5,a14 成等比数列

∵a1=1 2 ∴(1+d) (1+13d)=(1+4d) ∵d>0 解可得 d=2 ∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1 ∵a2=b2=3,a5=b3=9 ∴q=3, =3?3
n﹣2

=3

n﹣1

(2)设 cn=an?bn=(2n﹣1)?3 0 2 n﹣1 ∴sn=1?3 +3?3+5?3 +…+(2n﹣1)?3 2 n﹣1 n 3sn=1?3+3?3 +…+(2n﹣3)?3 +(2n﹣1)?3 2 n﹣1 n 两式相减可得,﹣2sn=1+2(3+3 +…+3 ﹣(2n﹣1)?3 = =3 ﹣2﹣(2n﹣1)?3 ∴ 点评: 本题主要考查了等差数列的通项公式、 等比数列的通项公式的应用及数列的错位相 减求和方法的应用 21.已知海岛 B 在海岛 A 的北偏东 45°方向上,A、B 相距 10 海里,小船甲从海岛 B 以 2 海里/小时的速度沿直线向海岛 A 移动,同时小船乙从海岛 A 出发沿北偏 15°方向也以 2 海 里/小时的速度移动 (Ⅰ)经过 1 小时后,甲、乙两小船相距多少海里? (Ⅱ)在航行过程中,小船甲是否可能处于小船乙的正东方向?若可能,请求出所需时间, 若不可能,请说明理由.
n n

n﹣1

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)利用余弦定理求|MN|的长度即可.

(Ⅱ)设经过 t(0<t<5)小时小船甲处于小船乙的正东方向.利用正弦定理建立条件关系 进行求解即可. 解答: 解: (Ⅰ)经过 1 小时后,甲船到达 M 点,乙船到达 N 点, |AM|=10﹣2=8,|AN|=2,∠MAN=60°,┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2 分 A 岛 B 岛北 EF ∴|MN| =|AM| +|AN| ﹣2|AM||AN|cos60°=64+4﹣2×
2 2 2

=52,

∴|MN|=2 .┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5 分 (Ⅱ)设经过 t(0<t<5)小时小船甲处于小船乙的正东方向. 则甲船与 A 距离为|AE|=10﹣2t 海里, 乙船与 A 距离为|AF|=2t 海里, ∠EAF=60°, ∠EFA=45°, ┅┅┅6 分 则由正弦定理得 即 则 t= 答:经过 = ,

,┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9 分 = <5.┅┅┅┅┅┅┅┅11 分

小时小船甲处于小船乙的正东方向.┅┅┅┅┅┅┅┅┅12 分.

点评: 本题主要考查解三角形的应用, 根据正弦定理和余弦定理建立方程关系是解决本题 的关键.

22.已知 (1)若

,设 f(x)=



且 a=l 时,求 f(x)的最大值和最小值,以及取得最大值和最小值时

x 的值; (2)若 x∈[0,π]且 a=﹣1 时,方程 f(x)=b 有两个不相等的实数根 x1、x2,求 b 的取值范 围及 x1+x2 的值. 考点: 三角函数的最值;正弦函数的图象. 专题: 数形结合. 分析: 利用向量的数量积的坐标表示及和差角公式化简已知函数可得

(1)代入 a=1,可得

,由 x 的范围可得 ,从而找出最值及取最值的条件

(2)代入 a=﹣1,可得 f(x)=b 的根转化为函数图象的交点问题 解答: 解:f(x)= = (1)a=1, ∵ 当 ∴ 即 +1

,结合该函数在区间[o,π]的图象把方程

+a



(2) ∵0≤x≤π,∴ ∴﹣ ,∴﹣1≤f(x)≤2

当 f(x)=b 有两不等的根,结合函数的图象可得 1<b<2 或﹣2<b<1 b∈(﹣2,1)∪(1,2) ; 点评: 本题以向量的数量积为切入点,实际考查三角函数 y=Asin(wx+?) (A>0,w>0) 的性质,也体现了数形结合思想在解题中运用



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