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高考试题中函数与导数综合题的求解策略



高考试题中函数与导数综合题的求解策略
函数在数学中具有举足轻重的地位, 它不仅是高中数学的核心和主线内容, 也是学生进 一步学习高等数学的基础,而导数“下嫁”到高中数学后,为研究函数提供了简捷有效的方 法,因此函数与导数的综合题就成了高考的热点、重点、难点!

主要题型: ⑴求含参函数的单调区间, ⑵函数在某一区间是减函数(或增函数)求参数范围 ⑶切

点、切线,极值点等,求函数解析式 ⑷证明与计算一些几何问题(面积定值,恒过一定点等等) ⑸比较大小或证明不等式或解不等式 ⑹方程的根的个数(零点) ,求参数范围 ⑺恒成立问题 ⑻极值或最值
例 1:已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1, a ? R (P11) ①讨论函数的 f ( x ) 的单调区间 ②设函数 f ( x ) 在区间 (?

2 1 , ? ) 是减函数,求 a 的取值范围( a ? 2 ) 3 3

③若 f ( x) ? x( x ?[0,1]) 恒成立,求 a 的取值范围。

(??,

?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ) 递增, ( , ) 递减, ( , ??) 递增 3 3 3 3

1

例 2 :设函数 f ( x) ? ax ?

1 (a, b ? z ) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 x?b

y?3
①求 f ( x ) 的解析式( y ? x ?

1 ) x ?1

②证明函数 y ? f ( x) 的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心 ③证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点的切线与直线 x ? 1 和直线 y ? x 所围三角形的面积为定值

例 3:已知 x ? 3 是函数 f ( x) ? a ln(1 ? x) ? x ?10x 的一个极值点
2

①求 a 的值 ②求函数 y ? f ( x) 的单调区间 ③若直线 y ? b 与函数 y ? f ( x) 的图象有三个交点,求 b 的取值范围

2

例 4:已知二次函数 f ( x ) 满足:①当 x ? 1 时有极值,②图象与 Y 轴交点的纵坐标为-3,且 在该点处的切线与直线 x ? 2 y ? 4 垂直 ①求 f (1) ②求函数 g ( x) ? f ( x ln x), x ?[1, 2] 的值域 ③若曲线 y ? f (ln x), x ? (1, ?? ) 上任意一点处的切线的斜率恒大于 a ? a ? 2 ,求 a 的取
2

值范围

例 5: 已知关于 x 的函数 f(x)=

1 x3 +bx2+cx+bc,其导函数为 f+(x).令 g(x)=∣f+(x) 3
4 ,试确定 b、c 的值: 3

∣,记函数 g(x)在区间[-1、1]上的最大值为 M. (Ⅰ)如果函数 f(x)在 x=1 处有极值-

(Ⅱ)若∣b∣>1,证明对任意的 c,都有 M>2: (Ⅲ)若 M≧K 对任意的 b、c 恒成立,试求 k 的最大值。

3

例 6:已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ?1, a ? 0

? ? ? 求 f ( x) 的单调区间; ? ?? ? 若 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极值,直线 y=my 与 y ?
的取值范围。 求m f ( x) 的图象有三个不同的交点,

例 7:已知函数 f ( x) ? ( x ? 3x ? ax ? b)e
3 2

?x

①如 a ? b ? ?3 ,求 f ( x ) 的单调区间; ②若 f ( x ) 在 (??, ? ), (2, ? ) 单调增加,在 (? , 2), ( ? , ??) 单调减少,证明 ? ? ? <6.

4

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解析: (1) f ' ( x) ? 3x2 ? 3a ? 3( x2 ? a),

当 a ? 0 时,对 x ? R ,有 f ' ( x) ? 0, 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 (??, ??) 当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 解得 x ? ? a 或 x ? 由 f ' ( x) ? 0 解得 ? a ? x ?

a;

a,

当 a ? 0 时 , f ( x ) 的 单 调 增 区 间 为 (??, ? a ),( a , ??) ; f ( x ) 的 单 调 减 区 间 为

(? a , a ) 。
(2)因为 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极大值, 所以 f ' (?1) ? 3? (?1)2 ? 3a ? 0,? a ? 1. 所以 f ( x) ? x3 ? 3x ?1, f ' ( x) ? 3x2 ? 3, 由 f ( x) ? 0 解得 x1 ? ?1, x2 ? 1 。
'

由(1)中 f ( x ) 的单调性可知, f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极大值 f (?1) ? 1 , 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?3 。 因 为 直 线 y ? m 与 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 有 三 个 不 同 的 交 点 , 又 f (?3) ? ?19 ? ?3 ,

f (3) ? 17 ? 1 ,
结合 f ( x ) 的单调性可知, m 的取值范围是 (?3,1) 。

(21)解: (Ⅰ)当 a ? b ? ?3 时, f ( x) ? ( x ? 3x ? 3x ? 3)e ,故
3 2 ?x

f '( x) ? ?( x3 ? 3x2 ? 3x ? 3)e? x ? (3x2 ? 6x ? 3)e? x
?3 ? ?e? x ( x ? 9 x) x ? ?x( x ?3 ) (x ? 3?e )

5

当 x ? ?3或 0 ? x ? 3时,f '( x) ? 0; 当 ?3 ? x ? 0或x ? 3时,f '( x) ? 0. 从而 f ( x)在(??, ?3),(0,3)单调增加,在(? 3, 单调减少. 0),(3, ? ?) (Ⅱ) f '( x) ? ?( x3 ? 3x2 ? ax ? b)e? x ? (3x2 ? 6x ? a)e? x ? ?e? x [ x3 ? (a ? 6) x ? b ? a]. 由条件得: f '(2) ? 0,即23 ? 2(a ? 6) ? b ? a ? 0, 故b ? 4 ? a, 从而

f '( x) ? ?e? x [ x3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a].
因为 f '(? ) ? f '( ? ) ? 0, 所以

x3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a ? ( x ? 2)( x ? ? )( x ? ? ) ? ( x ? 2)( x2 ? (? ? ? ) x ? ?? ).
将右边展开,与左边比较系数得, ? ? ? ? ?2, ?? ? a ? 2. 故

? ? ? ? ( ? ? ? ) 2 ? 4?? ? 12 ? 4a .
又 (? ? 2)(? ? 2) ? 0,即?? ? 2(? ? ? ) ? 4 ? 0. 由此可得 a ? ?6. 于是 ? ? ? ? 6.
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例题 7:设 g ( x) ? px ? 底数) 1:求 p 与 q 的关系

q p ? 2 f ( x ) ,其中 f ( x) ? ln x ,且 g (e) ? qe ? ? 2(e 为自然数的 x e

2:若 g ( x) 在其定义域内为单调函数,求 p 的取值范围 3:试证明: f ( x) ? x ? 1( x ? 0) 并用它来证明下面两个结论: ① ln n n ? 1 ?
1

1 (n ? N * ) n



ln n 1 1 ? (1 ? 2 )(n ? N * ) 2 n 2 n

6

(I)解:? f '( x) ? ? x2 ? 2bx ? c ,由 f ( x ) 在 x ? 1 处有极值 ?

4 3

? f '(1) ? ?1 ? 2b ? c ? 0 ? 可得 ? 1 4 f (1) ? ? ? b ? c ? bc ? ? ? 3 3 ?
解得 ?

?b ? 1 ?b ? ?1 ,或? ?c ? ?1 ?c ? 3

若 b ? 1, c ? ?1 ,则 f '( x) ? ? x2 ? 2 x ?1 ? ?( x ?1)2 ? 0 ,此时 f ( x ) 没有极值; 若 b ? ?1, c ? 3 ,则 f '( x) ? ? x2 ? 2x ? 3 ? ?( x ? 1)( x ?1)

当 x 变化时, f ( x ) , f '( x) 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)

(??, ?3)

?3
0 极小值 ?12

(?3,1)
+

1 0 极大值 ?

(1, ??)

?
?

?
4 3

?

?

4 ? 当 x ? 1 时, f ( x) 有极大值 ? ,故 b ? ?1 , c ? 3 即为所求。 3
(Ⅱ)证法 1: g ( x) ?| f '( x) |?| ?( x ? b)2 ? b2 ? c | 当 | b |? 1 时,函数 y ? f '( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1.1] 之外。

? f '( x) 在 [?1,1] 上的最值在两端点处取得
故 M 应是 g (?1) 和 g (1) 中较大的一个

? 2M ? g (1) ? g (?1) ?| ?1 ? 2b ? c | ? | ?1 ? 2b ? c |?| 4b |? 4, 即 M ? 2
证法 2(反证法) :因为 | b |? 1 ,所以函数 y ? f '( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 之外,

? f '( x) 在 [?1,1] 上的最值在两端点处取得。
故 M 应是 g (?1) 和 g (1) 中较大的一个 假设 M ? 2 ,则

g (?1) ?| ?1 ? 2b ? c |? 2 g (1) ?| ?1 ? 2b ? c |? 2

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7

将上述两式相加得:

4 ?| ?1 ? 2b ? c | ? | ?1 ? 2b ? c |? 4 | b |? 4 ,导致矛盾,? M ? 2
(Ⅲ)解法 1: g ( x) ?| f '( x) |?| ?( x ? b)2 ? b2 ? c | (1)当 | b |? 1 时,由(Ⅱ)可知 M ? 2 ; (2)当 | b |? 1 时,函数 y ? f '( x )的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 内, 此时 M ? max ?g (?1), g (1), g (b)? 由 f '(1) ? f '(?1) ? 4b, 有 f '(b) ? f '(?1) ? b(?1)2 ? 0 ①若 ?1 ? b ? 0, 则 f '(1) ? f '(?1) ? f '(b), ? g (?1) ? max ?g (1), g (b)? , 于是 M ? max ?| f '(1),| f '(b) |? ?

1 1 1 1 (| f '(1) | ? f '(b) |) ? | f '(1) ? f '(b) |? (b ? 1) 2 ? 2 2 2 2

②若 0 ? b ? 1 ,则 f '(?1) ? f '(1) ? f '(b), ? g (1) ? max ?g (?1), g (b)? 于是 M ? max ?| f '(?1) |,| f '(b) |? ? 综上,对任意的 b 、 c 都有 M ? 而当 b ? 0, c ?

1 1 1 1 (| f '(?1) | ? | f '(b) |) ? | f '(?1) ? f '(b) |? (b ? 1) 2 ? 2 2 2 2

1 2

1 1 1 2 时, g ( x) ? ? x ? 在区间 [?1,1] 上的最大值 M ? 2 2 2
1 。 2

故 M ? k 对任意的 b 、 c 恒成立的 k 的最大值为 解法 2: g ( x) ?| f '( x) |?| ?( x ? b) ? b ? c |
2 2

(1)当 | b |? 1 时,由(Ⅱ)可知 M ? 2 ; (2)当 | b |? 1 时,函数 y ? f '( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 内, 此时 M ? max ?g (?1), g (1), g (b)?

4M ? g (?1) ? g (1) ? 2g (h) ?| ?1 ? 2b ? c | ? | ?1 ? 2b ? c | ?2 | b2 ? c | ?| ?1 ? 2b ? c ? (?1 ? 2b ? c) ? 2(b2 ? c) |?| 2b2 ? 2 |? 2 ,即 M ?
16.(2009 天津卷文) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ?

1 2

1 3 x ? x 2 ? (m 2 ? 1) x, ( x ? R, )其中 m ? 0 3
8

(Ⅰ)当 m ? 1时, 曲线 y ? f ( x)在点( 处的切线斜率 1,f( 1 )) (Ⅱ)求函数的单调区间与极值; (Ⅲ)已知函数 f ( x) 有三个互不相同的零点 0 , x1 , x 2 ,且 x1 ? x 2 。若对任意的

x ? [ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (1) 恒成立,求 m 的取值范围。
【答案】 (1)1(2) f ( x) 在 (??,1 ? m) 和 (1 ? m,??) 内减函数,在 (1 ? m,1 ? m) 内增 函数。函数 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) =

2 3 1 m ? m2 ? 3 3 2 3 1 2 函数 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? m ? m ? 3 3 1 3 2 / 2 ' 【解析】解:当 m ? 1时, f ( x) ? x ? x , f ( x) ? x ? 2 x, 故f (1) ? 1 3
所以曲线 y ? f ( x)在点( 处的切线斜率为 1. 1,f( 1 ))
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(2)解: f ' ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? m 2 ? 1,令 f ' ( x) ? 0 ,得到 x ? 1 ? m, x ? 1 ? m 因为 m ? 0, 所以 1? m ? 1? m 当 x 变化时, f ( x), f ' ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)
f ( x)

(??,1 ? m)
+

1? m
0 极小值

(1 ? m,1 ? m)
-

1? m
0 极大值

(1 ? m,??)
+

f ( x) 在 (??,1 ? m) 和 (1 ? m,??) 内减函数,在 (1 ? m,1 ? m) 内增函数。
2 3 1 m ? m2 ? 3 3 2 3 1 2 函数 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? m ? m ? 3 3 1 2 1 2 (3)解:由题设, f ( x) ? x(? x ? x ? m ? 1) ? ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) 3 3 1 2 2 所 以 方 程 ? x ? x ? m ? 1 =0 由 两 个 相 异 的 实 根 x1 , x 2 , 故 x1 ? x2 ? 3 , 且 3 4 2 1 1 ? ? 1 ? (m ? 1) ? 0 ,解得 m ? ? (舍),m ? 3 2 2 3 因为 x1 ? x 2 , 所以2 x 2 ? x1 ? x 2 ? 3, 故x 2 ? ? 1 2
函数 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) =

9

若 x1 ? 1 ? x 2 , 则f (1) ? ? (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 0 ,而 f ( x1 ) ? 0 ,不合题意 若 1 ? x1 ? x2 , 则对任意的 x ? [ x1 , x2 ] 有 x ? x1 ? 0, x ? x2 ? 0,

1 3

1 x( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0 又 f ( x1 ) ? 0 , 所以函数 f ( x) 在 x ? [ x1 , x2 ] 的最 3 1 2 小值为 0, 于是对任意的 x ? [ x1 , x2 ] ,f ( x) ? f (1) 恒成立的充要条件是 f (1) ? m ? ? 0 , 3
则 f ( x) ?? ? 解得 ?

3 3 ?m? 3 3

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综上,m 的取值范围是 ( ,

1 3 ) 2 3

【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义,导数的运算,以及函数与方程的根的 关系解不等式等基础知识,考查综合分析问题和解决问题的能力。

10



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