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南充高中2013年面向省内外自主招生考试数学试题



南充高中 2013 年面向省内外自主招生考试

数 学 试 题
(考试时间:120 分钟 试卷总分:150 分)

第Ⅰ卷(选择.填空题)
一、选择题(每小题 5 分,共计 50 分.下列各题只有一个正确的选项,请将正确选项的番 号填入答题卷的相应位置) 1.方程 x ? A. 1

4 3x 的实根

个数为 ? x x B. 2

C. 3

D. 4

2.已知 3m2 ? 2m ? 5 ? 0,5n2 ? 2n ? 3 ? 0 ,其中为 m, n 实数,则 m ? A. 0 B. 8 3 C. 5

1 = n
3

3

D. 0 或 8

3.设 x ? 0, y ? 0, 2 x ? y ? 6 ,则 u ? 4 x2 ? 3xy ? y 2 ? 6x ? 3 y 的最大值为 A. 13.5 B. 18 C. 20 D.不存在

4. 已知 ?ABC 的三边长分别为 a, b, c 且 a ? b ? 4, ab ? 1, c ? 14 ,则 ?ABC 的形状为 A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形
2

D. 不能确定

5.直角三角形 ABC 的三个顶点 A, B, C 均在抛物线 y ? x 上, 且斜边平行于 x 轴, 若斜边 上的高为 h ,则 A. h ? 1 B. h ? 1 C. 1 ? h ? 2 D. h ? 2

6.等腰梯形底角为 ? , 以腰长为直径作圆与另一腰切于 M , 交较长底边 AB 于 E , 则 的值为 A. 2sin ? cos ? 7.若关于 x 的方程 A. c
2

BE AE

B. sin ?

C. cos ?

D. cos 2?

x ? bx m ? 1 有绝对值相同,符号相反的两个根,则 m 的值应为 ? ax ? c m ? 1 1 a?b a?b B. C. D. c a?b a?b

8.若干人共同买一箱香烟,后来考虑到吸烟污染环境,有害健康,有 15 人戒烟,余下每 人要多分担 15 元,到决定付款时,又有 5 人不买,最后余下的每人又多增加 10 元,则开 始准备共同购买香烟的人数是多少 A. 40 B. 35 C. 37 D. 45 9.设 P 是高为 h 的正三角形内的一点, P 到三边的距离分别为 x, y, z , ( x ? y ? z ) 若以

x, y, z 为边可以组成三角形,则 z 应满足的条件为
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A.

1 1 h?z? h 4 3

B.

1 1 h?z? h 3 2

C.

1 3 h?z? h 2 4

D.

3 h?z?h 4 A

D

10.如图, AB ? AC ? AD ,如果 ?DAC 是 ?CAB 的 k (k ? 0) 倍, 那么 ?DBC 是 ?BDC 的( )倍 A. k B. 2 k C. 3k

D. 以上答案都不对

B

C

二、填空题(每小题 5 分,共计 30 分,请将你的答案填到答题卷的相应位置处) 1 1 1 11.2013 减去它的 ,再减去剩余的 ,再减去剩余数的 ,以此类推…….一直到减去 3 2 4 剩余数的

1 ,那么最后剩余数为 2013
N

1 13 12.已知函数 y ? ? x 2 ? 在 0 ? a ? x ? b 时有 2a ? y ? 2b ,则 (a, b) ? F 2 2 D 13.如图 ?MON 两边上分别有 A, C , E 及 B, D, F 六个点,且 B

S?OAB ? S?ABC ? S?BCD ? S?CDE ? S?DEF ? 1,则 S?CDF ?

O

A

C

E

M

14.若有奖储蓄每 1000 张奖券中,有一等奖 1 张,奖金 500 元,二等奖 10 张,奖金 100 元,三等奖 50 张,奖金 20 元,纪念奖 100 张,奖金 5 元,某人买一张奖券,则他得奖不 A 少于 20 元的概率为 15.化简 10 ? 14 ? 15 ? 21 ? 10 ? 14 ? 15 ? 21 16. 如图,已知菱形 ABCD 的边 AB=10,对角线 BD=12,BD 边 上有 2013 个不同的点 P i (i ? 1, 2,3.....2013) 1, P 2, P 3 ......P 2013 ,过 P 作 PE 于 Fi , i i ? AB 于 Ei , PF i i ? AD

E1 B

F1 P1 P2013 D

?P PE 2012 F 2012 ? P 2013 E2013 ? P 2013 F 2013 的值为 1 1 ? PF 1 1?P 2 E2 ? P 2F 2 ??? P 2012 E2012

C

三、解答题:(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤) 2 2 17. (本小题 10 分) 设 m 是不小于-1 的实数,使得关于 x 的方程 x + 2(m-2)x + m -3m +3 =0 有两个不相等的实数根 x1 , x2
2 2 2 2 (1)若 x1 ? x2 ? 6 ,求 m 的值;(2)求 mx1 ? mx2 的最大值. 1 ? x1 1 ? x2

2 ? ?( x ? 3 x)( x ? y ) ? 40 18.(本小题 10 分)解方程组 ? 2 ? ? x ? 4 x ? y ? 14

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19. (本小题 12 分)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2,BC=4, tan∠ADC=2.(1)求证:DC=BC; (2)E 是梯形内一点,连接 DE、CE,将△DC E 绕 点 C 顺时针旋转 90°,得△BCF,连接 EF.判断 A E B

EF 与 CE 的数量关系,并证明你的结论;
(3)在(2)的条件下,当 CE=2BE, ∠BEC=135°时,求 cos∠BFE 的值. 20. (本小题 12 分)为加速南充森林建设,市政府决定对树苗育苗基地实行政府补贴,规 定每年培植一亩树苗一次性补贴若干元,随着补贴数字的不断增大,某地苗圃每年育苗 规模也不断增加,但每年每亩苗圃的收益会相应下降,经调查每年培植亩数 y(亩)与 政府每亩补贴数额 x(元)之间有如下关系(政府补贴为 100 元的整数倍,且每亩补贴不 超过 1000 元): x(元) y(亩) 0 600 100 1000 200 1400 300 1800 400 2200 F D C

而每年每亩的收益 p (元) 与政府每亩补贴数额 x (元) 之间满足一次函数关系 p=-5x+9000 (1)请观察题中的表格,用学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出育苗 亩数 y(亩)与政府每亩补贴数额 x(元)之间的函数关系式; (2)当 2012 年政府每亩补贴数额 x(元)是多少元时,该地区苗圃收益 w(元)最大,最 大收益是多少元? (3)在 2012 年苗圃取得最大收益的育苗情况下,该地区培植面积刚好达到最大化,要想 增收,只能提高每亩收益.经市场调查,培育银杏树苗畅销,每亩的经济效益相应会更 好.2013 年该地区用去年育苗面积的(30-a) % 的土地培育银杏树苗,其余面积继续 培植一般类树苗,预计今年培育银杏类树苗每亩收益在去年培植一般类树苗每亩收益的 基础上增加了(100+3a) % ,由于培育银杏类树苗每亩多支出 1000 元,2013 年该地区 因培育银杏类树苗预计比去年增收 399 万元.请参考以下数据,通过计算,估算出 a 的 整数值.(参考数据: 35 ? 5.916 , 37 ? 6.082, 39 ? 6.244)

21.(本小题 l3 分) 如图①,OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O 为原点, 点 A 在 x 轴的正半轴上,点 C 在 y 轴的正半轴上,OA=5,OC=4. (1)在 OC 边上取一点 D,将纸片沿 AD 翻折,使点 O 落在 BC 边上的点 E 处,求 D、 E 两点的坐标; (2)如图②,若 AE 上有一动点 P(不与 A、E 重合)自 A 点沿 AE 方向向 E 点匀速运 动,运动的速度为每秒 1 个单位长度,设运动的时间为 t 秒 (0 ? t ? 5) ,过 P 点作 ED 的
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平行线交 AD 于点 M, 过点 M 作 AE 的平行线交 DE 于点 N.求四边形 PMNE 的面积 S 与时 间 t 之间的函数关系式;当 t 取何值时,S 有最大值?最大值是多少? (3)在(2)的条件下,当 t 为何值时,以 A、M、E 为顶点的三角形为等腰三角形,并 求出相应时刻点 M 的坐标.

y
C

y
E
E B C N D ·P M E B

D

O 图①

A

x

O 图②

A

x

22. (本小题 13 分)已知抛物线 y ? x2 ? 2x ? a ( a ? 0 )与 y 轴相交于点 A ,顶点为 M .

1 x ? a 分别与 x 轴, y 轴相交于 B,C 两点,并且与直线 AM 相交于点 N . 2 (1)试用含 a 的代数式分别表示点 M 与 N 的坐标;
直线 y ? (2)如图, 将 △NAC 沿 y 轴翻折, 若点 N 的对应点 N ′恰好落在抛物线上,AN ′与 x 轴 交于点 D ,连结 CD ,求 a 的值和四边形 ADCN 的面积; (3)在抛物线 y ? x2 ? 2x ? a ( a ? 0 )上是否存在一点 P ,使得以 P,A,C,N 为顶点 的四边形是平行四边形?若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,试说明理由. y C N B A M 第(22)题 (第 22 题) O N′ D x B A M 备用图 N C O x y

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