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【创新方案】2015届高考数学一轮复习第十章 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案



第一节
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分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.

两个计数原理 分类加法计数原理 完成一件事有两类方案.在第 1 类 条件 方案中有 m 种不同的方法,在第 2 类方案中有 n

种不同的方法 结论 完成这件事共有 N=m+n 种不同的 方法 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤.做第 1 步有 m 种不同的方法, 做第 2 步有

n 种不同的方法
完成这件事共有 N=m×n 种不同的 方法

1.选用分类加法计数原理的条件是什么? 提示: 当完成一件事情有几类办法, 且每一类办法中的每一种办法都能独立完成这件事 情,这时就用分类加法计数原理. 2.选用分步乘法计数原理的条件是什么? 提示:当解决一个问题要分成若干步,每一步只能完成这件事的一部分,且只有当所有 步都完成后,这件事才完成,这时就采用分步乘法计数原理.

1.某班班干部有 5 名男生、4 名女生,从 9 人中选 1 人参加某项活动,则不同选法的 种数为( A.9 ) B.5 C.4 D.72

解析:选 A 分两类:一类从男生中选 1 人,有 5 种方法;另一类是从女生中选 1 人, 共有 4 种方法.因此,共有 5+4=9 种不同的选法. 2.一个袋子里放有 6 个球,另一个袋子里放有 8 个球,每个球各不相同,从两袋子里 各取一个球,不同取法的种数为( A.182 B.14 C.48 ) D.91
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解析:选 C 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为 6×8=48. 3.某电话局的电话号码为 139××××× ×××,若前六位固 定,最后五位数字是由 6 或 8 组成的,则这样的电话号码的个数为( A.20 B.25 C.32 ) D.60

解析:选 C 依据题意知,后五位数字由 6 或 8 组成,可分 5 步完成,每一步有 2 种方 法,根据分步乘法计数原理,符合题意的电话号码的个数为 2 =32. 4 . 如图所示,从甲地到乙地有 3 条公路可走,从乙地到丙地有 2 条公路可走,从甲地 不经过乙地到丙地有 2 条水路可走.则从甲地经乙地到丙地和从甲地到 丙地的走法种数分 别为( )
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A.6,8 B.6,6 C.5,2 D.6,2 解析:选 A 从甲地经乙地到丙地,分两步: 第 1 步,从甲地到乙地,有 3 条公路; 第 2 步,从乙地到丙地,有 2 条公路. 根据分步乘法计数原理,共有 3×2=6 种走法. 从甲地到丙地,分两类: 第 1 类,从甲地经乙地到丙地,有 6 种走法; 第 2 类,从甲地不经过乙地到丙地,有 2 条水路,即有 2 种走法. 根据分类加法计数原理,共有 6+2=8 种走法. 5.计划在四个体育馆举办排 球、篮球、足球三个项目的比赛,每个项目的比赛只能安 排在一个体育馆进行,则在同一个体育馆进行比赛的项 目不超过两项的 安排方案共有 ________种. 解析:每个项目的比赛安排在任意一个体育馆进行,根据分步乘法计数原理,共有 4
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=64 种安排方案,其中三个项目的比赛都安排在同一个体育馆进行的 4 种安排方案不符合 题意,所以在同一个体育馆进行比赛的项目不超过两项的安排方案共有 64-4=60 种. 答案:60

数学思想(十二) 计数原理中的分类讨论 由于计数原理一个是分类计数原理,一个是分 步计数原理,解决与计数原理有关问题 时,要分清两个原理的区别,一般要考虑问题有几种情况,即分类;考虑每种情况有几个步
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骤,即分步.要求既要合理分类,又要合理分步. [典例] (2013·山东高考)用 0,1,?,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的 个数为( A.243 ) B.252 C.261 D.279

[解题指导] 排三位数可分步来完成,但要注意有重复数字这一条件. [解析] 十个数排成不重复数字的三位数求解方法是: 第 1 步,排百位数字,有 9 种方法(0 不能作首位); 第 2 步,排十位数字,有 9 种方法; 第 3 步,排个位数字,有 8 种方法,根据乘法原理,共有 9×9×8=648 个没有重复数 字的三位数. 可以组成所有三位数的个数: 9×10×10=900, 所以可以组成有重复数字的三位数的个 数为 900-648=252. [答案] B

[题后悟道] 1.本题主要考查两个计数原理, 注意到有重复数字三位数这一条件是解题 的关键. 2.对于计数问题,有时正确的分类是解决问题的切入点.同时注意分类的全面与到位, 不要出现重复或遗漏的现象.

已知 a,b∈{0,1,2,?,9},若满足|a-b|≤1,则称 a,b“心有灵犀”.则 a,b“心 有灵犀”的情形的种数为( A.9 B.16 ) C.20 D.28

解析:选 D 当 a 为 0 时,b 只能取 0,1 两个数;当 a 为 9 时,b 只能取 8,9 两个数; 当 a 为其他数时,b 都可以取 3 个数.故共有 28 种情形.

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