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宁夏银川一中2017届高三上学期第一次月考 数学文


银川一中 2017 届高三年级第一次月考

数 学 试 卷(文)
命题人:

第Ⅰ卷
符合题目要求的。

(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是

1.若复数 (m2 ? 3m) ? (m2 ? 5m ? 6)i ( m ? R )是纯虚数,则 m 的值为 A.0 B.2 C.0 或 3 D. 2 或 3

2.设 U=R,A={x|x2-3x-4>0},B={x|x2-4<0 } ,则 (CU A) ? B ? A.{x|x≤-1,或 x≥2} B.{x|-1≤x<2 } C.{x|-1≤x≤4} D.{x|x≤4}

3.已知 ? 是第三象限角, tan ? ? A.

4 ,则 cos? = 3
C. ?

4 5

B.

3 5

3 5

D. ?

4 5

x 4.已知命题 p : 对任意 x ? R ,总有 2 ? 0 ; q :" x ? 1" 是 " x ? 2" 的充分不必要条件,则下列命题

为真命题的是 A. p ? ?q 5.曲线 y ? A.y=x3 6.函数 f ( x) ? ? A. (0,1)

B.? p ? ?q

C.? p? q

D. p ? q

x 在点(1, 1)处的切线方程为 x?2
B.y=2x+1 C.y=2x4 D.y=2x-3

1 ? log 2 x 的一个零点落在下列哪个区间 x
B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)

2 7.已知函数 y ? f ( x ?1) 定义域是 ?0, 5 ? ,则 y=f(2x+1)的定义域

?

?

A. [ 0, ] 8.将函数 y ? 3 cos(2 x ?

5 2

B. [?4,7]

C. [?4,4]

D. [ ?1, ]

3 2

?
3

) 的图像向右平移 m ? m ? 0 ? 个长度单位后,所得到的图像关于原点对称,则

m 的最小值是

·1·

A.

? 4

B.

?
3

C.

5? 6

D.

5? 12

9.函数 f ( x ) ? loga ( 2 ? ax) 在 ?0,3? 上为增函数,则 a 的取值范围是 A. ? ,1 ?
? ?2 ?3 ?

B. (0,1)

C. ? 0, ?
?

?

2? 3?

D. ?3,?? ?

10.函数 y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为

A

B

C

D

11.设 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增加的,又 f(-3)=0, 则 x· f(x)<0 的解集是 A.{x|-3<x<0,或 x>3} C.{x|-3<x<0,或 0<x<3} B.{x|x<-3,或 0<x<3} D.{x|x<-3,或 x>3}

12.已知函数 y ? f ( x) 的定义在实数集 R 上的奇函数,且当 x ? (??, 0) 时, xf '( x) ? f (? x) (其 中 f '( x) 是 f ( x ) 的导函数) ,若 a ? 3 f ( 3) , b ? (lg 3) f (lg 3) , c ? (log 2 A. c ? a ? b B. c ? b ? a C. a ? b ? c D. a ? c ? b

1 1 ) f (log 2 ) ,则 4 4

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

(2 x ? 13.将函数 y ? 2 sin
___________________.

?
3

) 的图像向右平移

1 个周期后,所得图像对应的函数为 4

14.已知偶函数 f ? x ? 在 ?0, ??? 单调递减,若 f(x-2)>f(3) ,则 x 的取值范围是__________. 15.已知直线 y=ex+1 与曲线 y ? ln( x ? a ) 相切,则 a 的值为 16. 已知函数 f(x)= ? . .

??2e x , x ? 0 ?ln x, x ? 0

(其中 e 为自然对数的底数) , 则函数 y=f(f(x))的零点等于

·2·

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? 1( A ? 0, ? ? 0 , ? 最大值为 3,且图像上相邻两个最高点的距离为 ? 。 (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 的解析式; (3)若 f (

?
2

?? ?

?

π )的图像关于直线 x= 对称, 3 2

?
2

?

?
3

)?

7 ,求 sin ? . 5

18.(本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? 4sin(2 x ? (1)求 f ( x ) 在 [0,

?
3

)+ 3.

?
2

] 上的最大值和最小值;

(2)把 y ? f ( x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再把得到的图象 向左平移

2? 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 g(x)的单调减区间。 3
x ? 2x . 3

19. (本小题满分 12 分) 已知定义域为 R 的单调函数 f ? x ? 是奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? (1)求 f ? x ? 的解析式; (2)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围.
2 2

20. (本小题满分 12 分)

a2 , g ( x) ? x ? ln x ,其中 a ? 1 。 x (1)若 x=2 是函数 f(x)的极值点,求 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在(1,h(1))处的切线方程;
已知函数 f ( x) ? x ? (2)若对任意的 x1 , x2 ? ?1, e? ( e 为自然对数的底数)都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取 值范围。 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 2 x ? 2a ln x ? ( a ? 2 )x 2

(1)当 a=1 时,求函数 f(x)在[1,e]上的最小值和最大值; (2)当 a≤0 时,讨论函数 f(x)的单调性; (3)是否存在实数 a,对任意的 x1,x2 ? (0,+∞),且 x1≠x2,都有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a 恒成立.若存在,求出 x2 ? x1

·3·

a 的取值范围;若不存在,说明理由. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,已知 PA 与⊙O 相切,A 为切点,PBC 为 割线,弦 CD∥AP,AD、BC 相交于 E 点,F 为 CE 上一 点,且 DE =EF· EC? (1)求证:?P=?EDF; (2)求证:CE· EB=EF· EP. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程。 C D F
2

A P O · E B

? x ? cos ? 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : ? (? 为参数) ,以平面直角坐标系 xOy 的原 ? y ? sin ?
点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线

l : ? (2cos? ? sin ? ) ? 6 .
(1)将曲线 C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 3 、2 倍后得到曲线 C2 试写出 直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程; (2)在曲线 C2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值. 24. (本小题满分 10)不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? 2x ?1 (a ? R). (1)当 a = 1 时,求不等式 f ( x ) ? 2 的解集; (2)若 f ( x ) ? 2 x 的解集包含 ? ,1? ,求 a 的取值范围.

?1 ? ?2 ?

·4·

2017 届银川一中高三第一次月考数学(文科)答案
一.A BCAB, BDDCD, CA

(2 x ? 二.13. y ? 2 sin
17. (12 分)

?
6



14。 ? ?1,5?

15。

3 e

16。 e

解: (1)∵图像上相邻两个最高点的距离为 ? 。∴?(x)的最小正周期 T=π.……4 分 (2)∵最大值为 3, ∴A+1=3,∴A=2. 由(1)∴?(x)的最小正周期 T=π. ∴ ? ? 2 . π 又因为 f(x)的图像关于直线 x= 对称, 3 π π π 所以 2× +φ=kπ+ ,k=0,k∈Z, 则 φ=kπ- . 3 2 6 又?

?
2

?? ?

?

π ,所以 φ=- . 6 2

∴函数 f(x)的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? (3)∵ f ( ∴ cos ? ?

?
6

) ? 1.

…………8 分

?

? ? ? ? ? 7 ? ) ? 2sin[2( ? ) ? ] ? 1 ? 2sin(? ? ) ? 1 ? 2 cos ? ? 1 ? , 2 3 2 3 6 2 5
∴ sin ? ? ? 1 ? cos
2

1 , 5

? ? ? 1 ? ( )2 ? ?

1 5

2 6 . 5

…………12 分 …………6 分

18. (12 分)解: ( ? ) f ? x ? 的最大值是 4+ 3 ,最小值是 ? 3 。

(2)把 y ? f ( x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到

y ? 4sin( x ? ) ? 3 的图像. 3
再把得到的图象向左平移 ∴ g ( x) ? 4sin( x ? 由 2 k? ?

?

2? ? 个单位,得到 y ? 4sin( x ? ) ? 3 的图像. 3 3
…………9 分

?
3

)? 3。

?
2

? x?

?
3

? 2k? ?

3? ? 7? ? 2 k? ? ? x ? 2k ? ? . 2 6 6

∴g(x)的单调减区间是 [2k? ? 19.(12 分)

?
6

, 2 k? ?

7? ](k ? Z ). 6

…………12 分

·5·

解: (1)? 定义域为 R 的函数 f ? x ? 是奇函数 ? f ? 0? ? 0 . 当 x ? 0 时, ? x ? 0 又? 函数 f ? x ? 是奇函数
? f ? x? ?
? f ??x? ?

?x ? 2? x 3

? f ? ?x? ? ? f ? x?
…………………………………………5 分

x ? 2? x 3

?x x ? 3 ?2 综上所述 ? f ? x? ? ? 0 ?x ? ? 2? x ?3

? x ? 0? ? x ? 0? ? x ? 0?

………………………6 分

(2)? f (?1) ?

1 ? f (0) ? 0 , f ? x ? 为 R 的单调函数 6

? f x 在 R 上单调递减.
2 2 由 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 得 f (t ? 2t ) ? ? f (2t ? k )
2 2

? ?

? f ( x) 是奇函数
又? f ( x) 是减函数

? f (t 2 ? 2t ) ? f (k ? 2t 2 )

? t 2 ? 2t ? k ? 2t 2

2 即 3t ? 2t ? k ? 0 对任意 t ? R 恒成立

?? ? 4 ? 12k ? 0 得 k ? ? 即为所求。

1 3

……………………12 分

20. (12 分)(1)解:∵ f ?( x) ? 1 ? ∴ f ? ? 2? ? 0 , 即1 ?

a2 , ∵x=2 是函数 f(x)的极值点, x2
∴a=2 ∴ h?( x ) ? 2 ?

a2 .又 a≥1, 4
4 ? ln x , x

∴ h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? 2 x ? ∴ k ? h?(1) ? 2 ?

4 1 ? , x2 x

4 1 ? ? ?1 , 12 1

又h(1)=6 y=-x+7. …………6 分

∴所求的切线方程是 y-1=-(x-6),即

( 2 )解:对任意的 x1, x2 ??1 ,e? 都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立等价于对任意的 x1, x2 ??1 ,e? 都有

? ? f ? x ?? ? min ≥ ? ? g ? x ?? ? max . ……5分
·6·

当 x ? [1, e ]时, g ? ? x ? ? 1 ?

1 ?0. x

∴函数 g ? x ? ? x ? ln x 在 ?1 ,e? 上是增函数. ∴? ? g ? x ?? ? max ? g ? e ? ? e ? 1 . ∵ f ?? x? ? 1?

a 2 ? x ? a ?? x ? a ? ? ,且 x ??1, e? , a ? 0 . x2 x2

① 当1≤ a ≤ e 时, 若1≤ x < a ,则 f ? ? x ? ?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2

若 a < x ≤ e ,则 f ? ? x ? ? ∴函数 f ? x ? ? x ?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 .
x2

a2 在 ?1, a ? 上是减函数,在 ? a,e? 上是增函数. x

∴? ? f ? x ?? ? min ? f ? a ? ? 2a . 由 2 a ≥ e ? 1 ,得 a ≥

e ?1 , 2

又 1≤ a ≤ e ,∴

e ?1 ≤a≤e. 2

…………9 分

②.当 a ? e 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? ∴函数 f ? x ? ? x ?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2

a2 在 ?1 ,e? 上是减函数. x a2 a2

∴? ? f ? x ?? ? min ? f ? e ? ? e ? e .由 e ? e ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e , 又 a ? e ,∴ a ? e . 综上所述, a 的取值范围为 ? 21. (本小题满分12分) 解: (1)当 a=1 时, f ( x ) ?

? e ?1 ? , ?? ? . ? 2 ?
1 2 x ? 2 ln x ? x . 2

…………12 分

2 x 2 ? x ? 2 ( x ? 1 )( x ? 2 ) 则 f ?( x ) ? x ? ? 1 ? . x ? [1, e] ? x x x
·7·

∴当 x ? (1, 2) 时, f ?( x)?0,

当 x?( 2e , 时, ) f ?( x ) ? 0.

∴f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,e)上是增函数。 ∴当 x=2 时,f(x)取得最小值,其最小值为 f(2)=-2ln2. 又 f (1) ? ? …………2 分

1 , 2

f (e ) ?

e2 ? e ? 2. 2
∴ f (e)? f (1)

f (e) ? f (1) ?

e2 1 e2 ? 2e ? 3 ?e?2? ? ?0 , 2 2 2
1 . …………4 分 2

∴ f ( x) max ? f (1) ? ?

(Ⅱ) f(x)的定义域为 (0, ??) ,

f ?( x) ? x ?

a x 2 ? (a ? 2) x ? 2a ( x ? 2)( x ? a) ?a?2? ? 。 x x x

(1) 当 ?2? a ? 0 时, f(x)在(0,-a)上是增函数,在(-a,2)上是减函数,在 (2, ??) 上是增函数。 (2)当 a=-2 时,在 (0, ??) 上是增函数。 (3) a ??2 时, 则 f(x)在(0,2)上是增函数,在(2,-a)上是减函数, 在 (?a, ??) 上是增函数。 ………8 分

(Ⅲ) 假设存在实数 a, 对任意的 x1,x2 ? (0,+∞),且 x1≠x2,都有 不妨设 0? x1 ? x2 , 若

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a 恒成立 x2 ? x1

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a ,即 f ( x2 ) ? ax2 ? f ( x1 ) ? ax1 . x2 ? x1

令 g(x)=f(x)-ax=

1 2 1 x ? 2a ln x ? ( a ? 2 )x -ax= x 2 ? 2a ln x ? ?2 x . 2 2

只要 g(x)在(0,+∞)为增函数

g ?( x) ? x ?

2a x 2 ? 2 x ? 2a ( x ? 1)2 ? 1 ? 2a ?2 ? ? x x x
1 . 2

要使 g ?( x) ? 0 在(0,+∞)恒成立,只需-1-2a≥0, a ? ? 故存在 a ? (??, ? ] 满足题意。………12 分 22. (本小题满分 10 分)证明(1)∵DE2=EF· EC, ∴DE ? CE=EF? ED.
·8·

1 2

∵?DEF 是公共角, ∴ΔDEF∽ΔCED. ∴?EDF=?C. ∵CD∥AP, ∴?C=? P.

∴?P=?EDF.…………5 分 (2)∵?P=?EDF, ?DEF=?PEA,

∴ΔDEF∽ΔPEA.∴DE ? PE=EF ? EA.即 EF· EP=DE· EA. ∵弦 AD、BC 相交于点 E,∴DE· EA=CE· EB.∴CE· EB=EF· EP.…………10 分 23. (10 分)解(Ⅰ) 由题意知,直线 l 的直角坐标方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0 ,………2 分 ∵曲线 C2 的直角坐标方程为: (

x 2 y ) ? ( )2 ? 1 , 2 3

∴曲线 C2 的参数方程为: ?

? ? x ? 3 cos ? (? 为参数) .…………5 分 y ? 2sin ? ? ?

(Ⅱ) 设点 P 的坐标 ( 3 cos? , 2sin ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离为:

d?

| 2 3 cos ? ? 2sin ? ? 6 | | 4sin(600 ? ? ) ? 6 | ,………………7 分 ? 5 5
|4?6| 3 ? 2 5 .…………10 分 ,此时 d max ? ,1 ) 2 5

∴当 sin(600-θ)=-1 时,点 P( ?

24. (本小题满分 10 分)解: (1)当 a = 1 时,不等式 f ( x ) ? 2 可化为 | x ? 1 | ? | 2 x ? 1 ? 2 | ①当 x ?

1 2 2 时,不等式为 3x ? 2 ,解得 x ? ,故 x ? ; 2 3 3 1 时,不等式为 2 ? x ? 2 ,解得 x ? 0 ,故 ?1 ? x ? 0 ; 2 2 ,故 x ? ?1 ; 3
…………………………5 分

②当 ?1 ? x ?

③当 x ? ?1 时,不等式为 ?3x ? 2 ,解得 x ? ? 综上原不等式的解集为 ? x x ? 0, 或x ?

? ?

2? ? 。 3?

(2)因为 f ( x ) ? 2 x 的解集包含 ? ,1? ,不等式可化为 | x ? a |? 1 ,解得 ?a ? 1 ? x ? ?a ? 1 ,

?1 ? ?2 ?

1 ? ??a ? 1 ? 由已知得 ? 2 ,………………………9 分 ? ??a ? 1 ? 1

·9·

解得 ?

3 ? 3 ? ? a ? 0 。 所以 a 的取值范围是 ? ? , 0 ? .…………………10 分 2 ? 2 ?

·10·



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