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江苏省宿迁市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试卷(word版含答案)


宿迁市 2017—2018 学年度高一第一学期期末数学试卷
(考试时间 120 分钟,试卷满分 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.已知集合 A ? ?1, 2? , B ? ??1, 2? ,则 A ? B = 2.函数 f ( x) ? lg( x ? 2) ? 3 ? x 的定义域为 3.计算 sin(?330?) 的值为 ▲ . 4.已知幂函数 f ( x) ? x? 的图象经过点 (8, 2) ,则 f (27) 的值为 5.不等式 3
x?2

▲ .









? 1 的解集为
π 3





6.若将函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) 的图象向左平移 ? (? ? 0) 个单位长度,得到函数

g ( x) ? sin 2 x 的图象,则 ? 的最小值为





16 1 ( ) 4 ? log8 2 的值为 7.计算 81





8.已知函数 y ? sin(2 x ? ) , x ?[0, ] ,则它的单调递增区间为 9.若 sin(? ? ) ?

π 3

π 2

▲ .



π 6

1 7 2π ,其中 π ? ? ? π ,则 sin( ? ? ) 的值为 3 6 3



10.已知向量 a ? ?1, ?2? , b ? ? ?1,1? ,若 ? a ? b? ? ? a ? kb ? ,则实数 k 的值为





2) 在角 ? 终边上,则 11.若点 P(1,

tan ? 的值为 ▲ sin ? ? sin ? cos?
2



?| log 2 x |, 0 ? x ≤ 2, 12.已知函数 f ? x ? ? ? 若函数 g ( x) ? f ( x) ? m (m ? R ) 有三个不同的 x ? 2, ?? x ? 3 ,
零点 x1 , x2 , x3 ,且 x1 ? x2 ? x3 ,则 ? x1 x2 ? 1? ? x3 的取值范围是
m





13.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( ?1) ? 0 ,若对任意的 x1 , x2 ? ? ??,0? , 当 x1 ? x2 时,都有

x1 ? f ( x1 ) ? x2 ? f ( x2 ) ? 0 成立,则不等式 f ( x) ? 0 的解集为 x1 ? x2

▲ .

14. 已知函数 f ( x) ? ? x2 ? ax ? 1 , h( x) ? 2 x ,若不等式 f ( x) ? h( x) 恰有两个整数解,则实数 a 的取 值范围是 ▲ .

二.解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内 作答 ,解答时应写出文字说明、 ........ ..

证明过程或计算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 设全集 U ? R ,集合 A ? {x 1 ≤ x ≤ 4} , B ? {x m ≤ x ≤ m ? 1} , m ? R . (1)当 m ? 3 时,求 A ? ?U B ; (2)若 B ? A ,求实数 m 的取值范围.

16.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? Asin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ? ? π) ,它的部分图象如图所示. (1)求函数 f ( x) 的解析式; 2 y

? ? ?? ? (2)当 x ? ? ? , ? 时,求函数 f ( x ) 的值域. ? 12 12 ?
O

? ? ? ? 12 3
(第 16 题)

x

17.(本小题满分 14 分)

如图所示,在 ABCD 中,已知 AB =3 , AD=2 , ?BAD =120? . ???? (1)求 AC 的模; (2)若 AE ?

?

??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ???? AB , BF ? BC ,求 AF ? DE 的值. 3 2
D C F A E (第 17 题) B

18.(本小题满分 16 分)

近年来,随着我市经济的快速发展,政府对民生也越来越关注. 市区现有一块近似正三角形土 地 ABC(如图所示) ,其边长为 2 百米,为了满足市民的休闲需求,市政府拟在三个顶点处分别

? 、 EF ? 与 ? 与 DE ? 分别相切于点 D、E,且 DG 修建扇形广场,即扇形 DBE,DAG 和 ECF,其中 DG
? 无重叠,剩余部分(阴影部分)种植草坪. 设 BD 长为 x(单位:百米) EF ,草坪面积为 S(单
位:百米 2). (1)试用 x 分别表示扇形 DAG 和 DBE 的面积,并写出 x 的取值范围; (2)当 x 为何值时,草坪面积最大?并求出最大面积.

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?

| x?a| 1 (a ? 0) ,且满足 f ( ) ? 1 . x 2 f ( x) 1 ,求 g ( x) 在区间 [ , 4] 上的最大值; x 2

(1)判断函数 f ( x) 在 (1, ??) 上的单调性,并用定义证明; (2)设函数 g ( x) ?

(3)若存在实数 m,使得关于 x 的方程 2( x ? a)2 ? x | x ? a | ?2mx2 ? 0 恰有 4 个不同 的正根,求实数 m 的取值范围.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? log4 (a ? 2x ? a) (a ? 0, a ? R) , g ( x) ? log 4 (4x ? 1) . (1)设 h( x) ? g ( x) ? kx ( k ? R ) ,若 h( x) 是偶函数,求实数 k 的值; (2)设 F ( x) ? f (log 2 x) ? g (log 4 x) ,求函数 F ( x) 在区间 [2,3] 上的值域;

4 3

(3)若不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

高一数学参考答案与评分标准
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1. {-1,1,2}; 7.1; 11.5; 8. (0, 2. (2,3] ; 3.

1 ; 2

4.3;

5π ; ) (区间写成半开半闭或闭区间都对) 12
13. ? ??, ? 1? ? ? 0, 1? ;

12. (?2,0) ;

π ; 6 8 2 2 9. ? ; 10. ; 3 5 65 13 7 16 14. [? , ? ) ? ( , ] . 24 8 2 3
5. (2, ??) ; 6.

二.解答题:本大题共 6 小题,15—17 每小题 14 分,18—20 每小题 16 分,共计 90 分.请在答题 .. 卡指定区域内作答 ,解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤. ........ 15. (1)当 m ? 3 时, B ? {x | 3 ≤ x ≤ 4} , ………………3 分 所以 ?U B ? (??,3) ? (4, ??) , 故 A ? ?U B ? ?1,3? ; ………………6 分 ………………8 分

?m ≥ 1, (2)因为 B ? A , 所以 ? ………………12 分 ?m ? 1 ≤ 4. 解得 1 ≤ m ≤ 3 . ………………14 分 2π ?π π ? ,? ? 2 , 16. (1)依题意, A ? 2, T ? 4 ? ? ? ? π ? 3 12 ? ? ? 故 f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) .

…………………3 分

2π ? ?π ? ? 将点 ? , 2 ? 的坐标代入函数的解析式可得 sin ? ? ? ? ? 1 ,…………………5 分 3 3 ? ? ? ?
则 ? ? 2kπ ? (k ? Z) , 又 ? ? π ,故 ? = ? 故函数解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) .

π 6

?

π , 6
………………………………7 分 ………………………10 分

6

π π 2π ? ? ?? ? (2)当 x ? ? ? , ? 时, ? ≤ 2x ? ≤ , 3 6 3 ? 12 12 ?
则?

π 3 π ≤ sin(2 x ? ) ≤1 , ? 3 ≤ 2sin(2 x ? ) ≤ 2 , 2 6 6 ? ? ? 3, 2 所以函数 f ( x) 的值域为 ? ………………………14 分 ?. ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ?2 ??? ? ???? ???? 2 17(1) | AC|=| AB + AD|= ( AB+ AD) 2 ? AB ? 2 AB ? AD ? AD ……………2 分 ??? ?2 ???? ???? ? ???? ?2 = | AB| ? 2|AB| ? |AD|cos ?BAD ? | AD | ……………4 分
1 = 9 ? 2 ? 3 ? 2 ? (? ) ? 4 ? 7 ; 2
(2)因为 AF = AB ? BF ? AB ? …………………7 分

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ???? ???? ??? ? ???? 1 ??? ? ???? AD , DE ? AE ? AD ? AB ? AD ,………9 分 2 3 ??? ? ??? ? ??? ? 1 ???? 1 ??? ? ???? 1 ??? ? 2 5 ??? ? ???? 1 ???? 2 所以 AF ? DE =( AB ? AD) ? ( AB ? AD)= AB ? AB ? AD ? AD 2 3 3 6 2 ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 2 1 5 1 ………12 分 ? | AB | ? | AB | ?| AD | cos ?BAD ? | AD |2 3 6 2 1 5 1 1 = ? 9 ? ? 3 ? 2 ? (? ) ? ? 4 3 6 2 2

5 7 =3+ ? 2 ? . 2 2
18(1)如图, BD ? x ,则 BE ? x , AD ? AG ? EC ? FC ? 2 ? x ,

……………14 分

? 长= π x , 在扇形 DBE 中,弧 DE

3

A 2-x G F

所以 S扇形BDE ? ? 同理, S扇形ADG

因为弧 DG 与弧 EF 无重叠, 所以 CF ? AG ≤ AC ,即 2 ? x ? 2 ? x ≤ 2 ,则 x ≥ 1 , 又三个扇形都在三角形内部,则 x ≤ 3 , 所以 x ?[1, 3] . …………………6 分 …………………8 分 (2)因为 S? ABC ? 3 ,

1 π 2 π 2 x = x , ……………2 分 2 3 6 D ……………………………… 1 π π 2 2 ? ? (2 ? x) = (2 ? x) ,4 分 ……12 分 2 3 6 x

B

E

2-x

C

(第 18 题)

所以 S阴影 =S? ABC ? S扇形BDE ? S扇形ADG ? S扇形CEF = 3 ? [ x2 ? 2(2 ? x)2 ] …………11 分

π 6

= 3 ? [3( x ? )2 ? ] ,

π 6

4 3

8 3

………………………………………13 分

4π , …………………15 分 9 4 4π 答:当 BD 长为 百米时,草坪面积最大,最大值为( 3 ? )百米 2.…16 分 3 9 1 | ?a| 1 =1 ,得 a ? 1 或 0. 19 (1) 由 f ( ) ? 2 1 2 2 |x ? 1| 因为 a ? 0 ,所以 a ? 1 ,所以 f ( x) ? . …………………2 分 x
所以当 x ? ?[1, 3] 时, S阴影 取得最大值为 3 ?

4 3

当 x ? 1 时, f ( x) ? 则

x ?1 1 =1 ? ,任取 x1 , x2 ? (1, ??) ,且 x1 ? x2 , x x

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1) x2 ? ( x2 ? 1) x1 ( x1 ? 1) x2 ? ( x2 ? 1) x1 x1 ? x2 ? = = = ,………3 分 x1 x2 x1 x2 x12 x2 2 x1 x2 因为 1 ? x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 <0, x1 x2 ? 0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 所以 f ( x) 在 (1, ??) 上为增函数; …………………4 分

? x ?1 ,1≤ x ≤ 4 f ( x) | x ? 1| ? ? x2 (2) g ( x) ? , …………………6 分 = 2 =? x x ?1 ? x , 1 ≤ x ? 1 ? ? x2 2 x ?1 1 1 1 1 1 当 1 ≤ x ≤ 4 时, g ( x) ? 2 ? ? 2 = ? ( ? )2 ? , x x x x 2 4 1 1 1 1 1 因为 ≤ ≤1 ,所以当 = 时, g ( x)max = ; …………………8 分 4 x 4 x 2

1? x 1 1 1 1 2 1 ? 2 ? =( ? ) ? , x2 x x x 2 4 1 1 1 因为 ≤ x ? 1 时,所以 1 ? ≤ 2 ,所以当 =2 时, g ( x)max =2 ; 2 x x 1 1 综上,当 =2 即 x= 时, g ( x)max =2 . …………………10 分 x 2 1 (3)由(1)可知, f ( x) 在 (1, ??) 上为增函数,当 x ? (1, ??) 时, f ( x)=1 ? ? (0,1) . x 1 同理可得 f ( x) 在 (0,1) 上为减函数,当 x ? (0,1) 时, f ( x)= ? 1? (0, ??) . x 2 |x ? 1| | x ? 1| ? ? 2m ? 0 , 方程 2( x ? 1)2 ? x | x ? 1| ?2mx2 ? 0 可化为 2 x2 x 即 2 f 2 ( x) ? f ( x) ? 2m ? 0 . …………………12 分 2 设 t ? f ( x) ,方程可化为 2t ? t ? 2m ? 0 .
当 ≤ x ? 1 时, g ( x) ?

1 2

要使原方程有 4 个不同的正根, 则方程 2t 2 ? t ? 2m ? 0 在 (0,1) 有两个不等的根 t1 , t2 ,

…………14 分

?1 ? 16m ? 0 1 ? 则有 ?2m ? 0 ,解得 0 ? m ? , 16 ? 2 ? 2 ? 1 ? 1 ? 2m ? 0 1 所以实数 m 的取值范围为 (0, ) . ………………16 分 16 20(1)因为 h( x) ? log4 (4x ? 1) ? k x 是偶函数,
所以 log4 (4? x ? 1) ? k x ? log4 (4x ? 1) ? k x ,

1 4x ? 1 4x ? 1 所以 k ? .…3 分 ? log ? x 恒成立,2 分 4 x ?x 1? 4 4 ?1 2 x 4 4 (2) F ( x) ? f (log2 x) ? g (log4 x)=log4 (ax ? a) ? log 4 ( x ? 1) 3 4 a( x ? ) 3 ? log [a(1 ? 7 ] , …………………………5 分 = log 4 4 x ?1 3( x ? 1) 4 因为 x ?[2,3] ,所以 x ? ? 0 ,所以 a ? 0 , 3 7 2 5 7 2 a 5a ? [ , ] ,则 a[1 ? ] ? [ , ] ,…………7 分 则1 ? 3( x ? 1) 9 12 3( x ? 1) 9 12
则 2kx ? log 4

2a 5a 2a 5a ,log4 ] ,即函数 F ( x) 的值域为 [log4 ,log4 ] .…………9 分 9 12 9 12 4 (3)由 f (x) ? g (x) ,得 log4 (a ? 2x ? a) ? log 4 (4 x ? 1) , 3 4 4 x 2 设 t ? 2 ,则 t ? at ? a ? 1 ? 0 ,设 ? (t) ? t 2 ? at ? a ? 1 3 3 4 4 4 若 a ? 0 则 t ? ,由不等式 t 2 ? at ? a ? 1 ? 0 对 t ? 恒成立,……11 分 3 3 3 a 4 8 4 25 ①当 ≤ ,即 0 ? a ≤ 时,此时 ? ( ) ? ? 0 恒成立; 2 3 3 3 9
所以 F ( x) ?[log4

②当

所以 0 ? a ? 6 ;

a 4 16 8 8 ? ,即 a ? 时,由 ?=a2 ? a ? 4 ? 0 解得 ? a ? 6 ; 2 3 3 3 3
…………………………14 分

4 4 4 ,则由不等式 t 2 ? at ? a ? 1 ? 0 对 0 ? t ? 恒成立, 3 3 3 4 3 a 因为 a ? 0 ,所以 ? 0 ,只需 ? (0) ? a ? 1≥ 0 ,解得 ? ≤ a ? 0 ; 3 4 2 3 故实数 a 的取值范围是 [? ,0) ? (0,6) . …………………………16 分 4
若 a ? 0 则0 ? t ?


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