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专题十 圆锥曲线



1

专题十

圆锥曲线

【考点聚焦】 考点 1:椭圆的概念与性质. 考点 2:双曲线的概念与性质. 考点 3:抛物线的概念与性质. 考点 4:直线与圆锥曲线的位置关系. 考点 5:轨迹问题. 考点 6:圆锥曲线的参数方程;极坐标;与代数、三角、平面向量的综合问题. 【自我检测】 完成下面表格中内容: 椭圆 定 图 形

范 顶 围 点 义 标准方程 双曲线 抛物线

离心率 准线方程 参数方程 极坐标方程 【重点 ? 难点 ? 热点】 问题 1:求圆锥曲线的标准方程、离心率、准线方程等. 利用待定系数法求出相应的 a,b,p 等. 例 1.设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴, 一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直, 且此焦点与长轴上较近的端点距离为 4 2 -4,求此椭圆方程、离心率、准线方程及准线 间的距离. 思路分析:设所求椭圆方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1或

x b

2 2

?

y a

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) .根据题意列出

关于 a,b,c 方程组,从而求出 a,b,c 的值,再求离心率、准线方程及准线间的距离.
x a
2 2

解:设椭圆的方程为

?

y b

2 2

? 1或

x b

2 2

?

y a

2 2

b ? c ? ? ? 1( a ? b ? 0 ) ,则 ? a ? c ? 4 ( 2 ? 1 ) ,解 ? a2 ? b2 ? c2 ?

2

之得: a ? 4 2 ,b=c=4.则所求的椭圆的方程为

x

2

?

y

2

?1或

x

2

?

y

2

? 1 ,离心率

32
2 2

16

16

32

e ?

;准线方程 x ? ? 8 或 y ? ? 8 ,两准线的距离为 16.

点评:充分认识椭圆中参数 a,b,c,e 的意义及相互关系,在求标准方程时,已知条件常 与这些参数有关. 演变 1:如图,已知△P1OP2 的面积为 OP1、OP2 为渐近线且过点 P 的离心率为
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27 4
13 2

,P 为线段 P1P2 的一个三等分点,求以直线 的双曲线方程
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P1

点拨与提示 本题考查待定系数法求双曲线的方程,利用点 P 在曲线上和△P1OP2 的面积建立关于参数 a、b 的两个方程,从而求 出 a、b 的值 问题 2:圆锥曲线的几何性质 由方程来讨论其性质.
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P

o
P2

例 2:设 F1、F2 为椭圆

x

2

?

y

2

? 1 的两个焦点,P 为上一点,

9

4

已知 P、F1、F2 是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求

| PF 1 | | PF
2

的值.

|

思路分析:由已知,F1 不是直角顶点,所以只要对 P、F2 中哪一个是直角顶点分两种 情况即可. 解法 1:由已知,|PF1|>|PF2|,|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|= 2 5 , 若∠PF2F1 为直角, 则|PF1| =|PF2| +|F1F2| , 可解得: |PF1|=
4 3
2 2 2

14 3

, |PF2|



,这时

| PF 1 | | PF
2

?

7 2

.
2 2 2

|

若∠F2PF1 为直角,则|PF1| +|PF2| =|F1F2| ,可解得:|PF1|=4,|PF2| =2,这时
| PF 1 | | PF
2

? 2.

|

解法 2:由椭圆的对称性,不妨设 P(x,y)(其中 x>0,y>0) F1 ( ? 5 , 0 ), F 2 ( 5 , 0 ) . ,

3

若∠PF2F1 为直角, P 5 , 则 (

4 3

) 这时|PF1|= ,

14 3

, |PF2|=

4 3

, 这时

| PF 1 | | PF
2

?

7 2

.

|

2 2 ? x y ? ?1 ? 3 5 4 5 ? 9 4 , ). 若∠PF2F1 为直角,则由 ? ,解得: P ( y y 5 5 ? ? ? ?1 ?x? 5 x? 5 ?

于是|PF1|=4,|PF2|=2,这时

| PF 1 | | PF
2

? 2.

|

点评:由椭圆的方程,熟练准确地写出其几何性质(如顶点,焦点,长、短轴长,焦 距,离心率,焦半径等)是应对考试必备的基本功;在解法 2 中设出了 P 点坐标的前提下, 还可利用|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex 来求解. 演变 2:已知双曲线的方程为
x
2

? y

2

? 1 , 直线 l 通过其右焦点 F2,且与双曲线的右

4

支交于 A、B 两点,将 A、B 与双曲线的左焦点 F1 连结起来,求|F1A|?|F1B|的最小值 点拨与提示:由双曲线的定义得:|AF1|=
5 2

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(x1+

4 5

)=

5 2

x1+2,|BF1|=

5 2

x2+2,

|F1A|? 1B|=( |F

5 2

x1+2)(

5 2

x2+2)=

5 4

x1x2+ 5 (x1+x2)+4 , 将直线方程和双曲线的方程联立

消元,得 x1+x2=

8 5k 4k
2

2

?1

,

x1x2= ─

20 k 4k

2 2

? 4 ?1

.本题要注意斜率不存在的情况.

问题 3:有圆锥曲线的定义的问题 利用圆锥曲线的第一、第二定义求解. 例 3:已知某椭圆的焦点 F1(-4,0) 2(4,0) ,F ,过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆 的一个焦点为 B, 且=10, 椭圆上不同两点 A 1,y1) 2,y2)满足条件|F2A|, 2B|, (x ,C(x |F | F2C|成等差数列.(1)求该椭圆的方程; (2)求弦 AC 中点的横坐标. 思路分析:因为已知条件中涉及到椭圆上的点到焦点的距离,所以可以从椭圆的定义 入手. 解: (1)由椭圆的定义及已知条件知:2a=|F1B|+|F2B|=10,所以 a=5,又 c= 3,故 b=4.故椭圆的方程为
x
2

?

y

2

? 1.

25

9

4

由点 B(4,y0)在椭圆上,得|F2B|=|y0|= 离心率 e ?
4 5

9 5

,因为椭圆的右准线方程为 x ?
4 25 4 ( ? x1 ) ? 5 ? x1 , 5 4 5

25 4



.所以根据椭圆的第二定义,有 | F 2 A | ?

4 25 4 4 | F 2 C |? ( ? x 2 ) ? 5 ? x 2 .因为|F2A|, 2B|, 2C|成等差数列,5 ? x 1 + |F |F 5 4 5 5 5? 4 5 x2 ? 2 ? 9 5

,所以:

x1+x2=8,
x1 ? x 2 2

从而弦 AC 的中点的横坐标为

? 4

点评:涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题,常常要注意运用第一定义, 而涉及曲线上的点到某一焦点的距离,常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者,需要注意的 是右焦点与右准线对应,不能弄错. 演变 3:已知椭圆 C 的中心在原点,左焦点为 F1,其右焦点 F2 和右准线分别是抛物线
y
2

? ? 9 x ? 36 的顶点和准线.

⑴求椭圆 C 的方程;
5 7

⑵若点 P 为椭圆上 C 的点,△PF1F2 的内切圆的半径为

,求点 P 到 x 轴的距离;

⑶若点 P 为椭圆 C 上的一个动点,当∠F1PF2 为钝角时求点 P 的取值范围. 点拨与提示: 本题主要复习圆锥曲线的基本知识, 待定系数法和定义法等通性通法的 运用.根据抛物线确定抛物线的顶点和准线方程,从而得到椭圆的标准方程.解题时注意椭 圆的定义的运用. 问题 4:直线与圆锥曲线位置关系问题 利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程,利用判别式、韦 达定理来求解或证明.

例 4: 抛物线 C 的方程为 y

? ax ( a ? 0 ) , 过抛物线 C 上一点 P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率为 k1,k2
2

的 两条直 线分别 交抛物线 C 于 A(x1,y1)B(x2,y2)两 点 (P,A,B 三 点互不 相同 ),且满 足
k 2 ? ? k 1 ? 0 ( ? ? 0 且 ? ? ? 1) .(Ⅰ)求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程;

(Ⅱ)设直线 AB 上一点 M,满足 BM ? ? MA ,证明线段 PM 的中点在 y 轴上; (Ⅲ)当 ? =1 时,若点 P 的坐标为(1,-1) ,求∠PAB 为钝角时点 A 的纵坐标 y 1 的 取值范围. 思路分析:将直线方程和抛物线方程组成的方程组转化为一元二次方程,用韦达定理 来求解.

5
2 解: (Ⅰ)由抛物线 C 的方程 y ? ax ( a ? 0 )得,焦点坐标为 ( 0 ,

1 4a

) ,准线方程

为y ? ?

1 4a



( Ⅱ ) 证 明 : 设 直 线 PA 的 方 程 为 y ? y 0 ? k 1 ( x ? x 0 ) , 直 线 PB 的 方 程 为
y ? y0 ? k 2 (x ? x0 ) .
? y ? y 0 ? k1 ( x ? x 0 ) ? ① ? ? y ? ax ? ? ② ?
2

点 P ( x 0 , y 0 ) 和点 A ( x 1 , y 1 ) 的坐标是方程组 ?

的解.将②式

代入①式得 ax

2

? k 1 x ? k 1 x 0 ? y 0 ? 0 ,于是 x 1 ? x 0 ?

k1 a

,故 x 1 ?

k1 a

? x0



又点 P ( x 0 , y 0 ) 和点 B ( x 2 , y 2 ) 的坐标是方程组 ?

? y ? y0 ? k 2 ( x ? x0 )? ④ ? ? ? y ? ax         ⑤ ?
2

的解.将⑤

式代入④式得 ax

2

? k 2 x ? k 2 x 0 ? y 0 ? 0 .于是 x 2 ? x 0 ?

k2 a

,故 x 2 ?

k2 a

? x0 .

由已知得, k 2 ? ? ? k 1 ,则 x 2 ? ?

?
a

k1 ? x0 .


x 2 ? ? x1 1? ?

设点 M 的坐标为 ( x M , y M ) ,由 BM ? ? MA ,则 x M ?
? x0 ? ?x0 1? ?



将③式和⑥式代入上式得 x M ? ∴线段 PM 的中点在 y 轴上.

? ? x 0 ,即 x M ? x 0 ? 0 .

2 2 (Ⅲ)因为点 P (1, ? 1) 在抛物线 y ? ax 上,所以 a ? ? 1 ,抛物线方程为 y ? ? x .

由③式知 x 1 ? ? k 1 ? 1 ,代入 y ? ? x 得 y 1 ? ? ( k 1 ? 1) .
2 2

2 将 ? ? 1 代入⑥式得 x 2 ? k 1 ? 1 ,代入 y ? ? x 得 y 2 ? ? ( k 2 ? 1) .
2

因此,直线 PA 、 PB 分别与抛物线 C 的交点 A 、 B 的坐标为
A ( ? k 1 ? 1, ? k 1 ? 2 k 1 ? 1) , B ( k 1 ? 1, ? k 1 ? 2 k 1 ? 1) .
2 2

于是 A P ? ( k 1 ? 2, k 1 ? 2 k 1 ) , A B ? ( 2 k 1 , 4 k 1 ) ,
2

??? ?

??? ?

6

??? ??? ? ? 2 A P ? A B ? 2 k 1 ( k 1 ? 2 ) ? 4 k 1 ( k 1 ? 2 k 1 ) ? 2 k 1 ( k 1 ? 2 )( 2 k 1 ? 1) .

因 ? PAB 为钝角且 P 、 A 、 B 三点互不相同,故必有 A P ? A B ? 0 . 求 得 k 1 的 取 值 范 围 是 k1 ? ? 2 或 ?
2

??? ??? ? ?

1 2

? k1 ? 0 . 又 点 A 的 纵 坐 标 y 1 满 足 1 1 ? k 1 ?0 时 , ? 1 ? y1 ? ? . 即 2 4

y 1 ? ? ( k 1 ? 1) , 故 当 k 1 ? ? 2 时 , y 1 ? ? 1 ; 当 ?

y 1 ? ( ? ?, ?1 ) ?

1 ( ? 1 ,? 4

)

点评:解析几何解题思维方法比较简单,但对运算能力的要求比较高,平时练习要注 意提高自己的运算能力. 演变 4. (05 年重庆)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为 ( 3 , 0 ) . (1) 求双曲线 C 的方程; (2) 若直线 l: ? kx ? y 且 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B, OA ? OB ? 2 (其

中 O 为原点),求 k 的取值范围. 问题 5:轨迹问题 根据已知条件求出轨迹方程,再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征. 例 5. (05 年江西)如图,M 是抛物线上 y2=x 上的一点,动弦 ME、MF 分别交 x 轴于 A、 B 两点,且 MA=MB. (1)若 M 为定点,证明:直线 EF 的斜率为定值; (2)若 M 为动点,且∠EMF=90°,求△EMF 的重心 G 的轨迹 思路分析: (1)由直线 MF(或 ME)方程与抛物线方程组成的方程组解出点 F 和点 E 的坐标,利用斜率公式来证明; (2)用 M 点的坐标将 E、F 点的坐标表示出来,进而表示 出 G 点坐标,消去 y0 即得到 G 的轨迹方程(参数法). 解: (1)设 M(y 0 ,y0) ,直线 ME 的斜率为 k
2

(l>0)

y
M B

2 则直线 MF 的斜率为-k,方程为 y ? y 0 ? k ( x ? y 0 ).

O
E

A F

x

∴由 ?

? y ? y0 ? k ( x ? y0 ) ?
2

?y ? x ?
2

2 ,消 x 得 ky ? y ? y 0 (1 ? ky 0 ) ? 0

解得 y F ?

1 ? ky0 k

,? x F ?

(1 ? k y 0 ) k
2

2

7

1 ? ky 0

∴ k EF ?

yE ? yF xE ? xF

? ?

1 ? ky 0

2

?

k 2 (1 ? ky 0 ) k
2

1 ?k k (定值) ? ? ? 2 ? 4 ky 0 (1 ? ky 0 ) 2 y0 k
2

k

2

所以直线 EF 的斜率为定值. (2) 当 ? E M F ? 9 0 ? 时 , ? M A B ? 4 5 ? , 所 以 k ? 1, 直线 ME 的方程为 y ? y 0 ? k ( x ? y 02 )
? y ? y0 ? x ? y0 ? 由? 得 E ((1 ? y 0 ) 2 ,1 ? y 0 ) 2 ?y ? x ?
2

同理可得 F ((1 ? y 0 ) 2 , ? (1 ? y 0 )).
? y ? (1 ? y 0 ) ? (1 ? y 0 ) 2 ? 3 y0 xM ? xE ? xF ? 0 ? ?x ? 3 3 3 设重心 G(x, y) ,则有 ? ? y ? (1 ? y 0 ) ? (1 ? y 0 ) y x ? xE ? xF ? x ? M ? 0 ? ? 0 ? 3 3 3 ?
2 2 2 2

2 消去参数 y 0 得 y ?

1 9

x?

2 27

(x ?

2 3

).

点评:这是一道重要的数学问题,几乎是高考数学每年的必考内容之一,此类问题一定 要“大胆假设,细心求解”,根据题目要求先将题目所涉及的未知量都可以设出来,然后根 据题目把所有的条件都变成等式,一定可以求出来,当然求的过程中,采取适当的小技巧, 例如化简或适当分类讨论,可以大为简化过程,而且会尽量多多得分,同时这一类题目也需 要很强的计算能力. 演变 5:已知椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点分别是 F1(-c,0) 2(c, 、F

0) Q 是椭圆外的动点, , 满足 | F 1 Q | ? 2 a . 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆 的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并且满足 PT ? TF 2 ? 0 , | TF 2 |? 0 . (Ⅰ)设 x 为点 P 的横坐标,证明 | F 1 P | ? a ? (Ⅱ)求点 T 的轨迹 C 的方程;
2 (Ⅲ)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M,使△F1MF2 的面积 S= b . 若存在,

c a

x;

求∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明理由.

8

点拨与提示:本题在求点 T 的轨迹用的是代入法:即用 T 点的坐标将 Q 点的坐标表 示出来,再代入 Q 所满足的曲线方程即可. 问题 6:与圆锥曲线有关的定值、最值问题 建立目标函数,转化为函数的定值、最值问题. 例 6:点 A、B 分别是椭圆
x
2

?

y

2

? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,

36

20

点 P 在椭圆上,且位于 x 轴上方, PA ? PF . (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距 离等于 | MB | ,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值. 思路分析:设椭圆上动点坐标为(x,y),用该点的横坐标将 距离 d 表示出来,利用求函数最值的方法求 d 的最小值. [解](1)由已知可得点 A(-6,0),F(0,4) 设点 P( x , y ),则 A P ={ x +6, y }, F P ={ x -4, y },由已知可得
?x y ? ?1 ? ? 36 20 ? ( x ? 6 )( x ? 4 ) ? y 2 ? 0 ?
2 2

??? ?

??? ?

2 则 2 x +9 x -18=0, x =

3 2

或 x =-6.

由于 y >0,只能 x =

3 2

,于是 y =

5 3 2

.

∴点 P 的坐标是(

3 2

,

5 3 2

)
m ? 6 2

(2) 直线 AP 的方程是 x - 3 y +6=0. 设点 M( m ,0),则 M 到直线 AP 的距离是
m ? 6 2

.

于是

= m ? 6 ,又-6≤ m ≤6,解得 m =2.

椭圆上的点( x , y )到点 M 的距离 d 有
d
2

? ( x?2 ) ? y
2

2

? x ?4 x
9 2

2

5 2 4 ?4 ?2 0 ? x ? 9 9

(x

9 2

? ) , ?1 5
2

由于-6≤ m ≤6, ∴当 x =

时,d 取得最小值 15

点评:解决有关最值问题时,首先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等) , 建立目标函数,然后利用函数的有关知识和方法求解.

l1 P
9

l

y

x
M A1 F1

演变 6: 年浙江) (05 如图, 已知椭圆的中心在坐标原点, 焦点 F1,F2 在 x 轴上,长轴 A1A2 的长为 4,左准线 l 与 x 轴 的交点为 M,|MA1|∶|A1F1|=2∶1.

O F2

A2

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 l1:x=m(|m|>1),P 为 l1 上的动点,使∠F1PF2 最大的点 P 记为 Q,求点 Q 的坐标(用 m 表示). 点拨与提示: (1)待定系数法; (2)利用夹角公式将∠F1PF2 的正切值用 y0 表示出来, 利用基本不等式求其最值. 演变 7: (05 年全国)已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上,斜率为 1 且过 椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点, O A ? O B 与 a ? (3, ? 1) 共线. (1)求椭圆的
2 2 离心率; (2)设 M 为椭圆上任意一点,且 O M ? ? O A ? ? O B ( ? , ? ? R ) ,证明 ? ? ?

??? ?

??? ?

?

???? ?

??? ?

??? ?

为定值. 点拨与提示: (1)将 AB 的方程与椭圆方程联立成方程组,然后求解; (2)将 M 点的 坐标用 A、B 的坐标表示出来,代入到椭圆方程,结合韦达定理求解. 问题 7:与圆锥曲线有关的对称问题 利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明. 例 7:过点(1,0)的直线 l 与中心在原点,焦点在 x 轴上且离心率为 于 A、B 两点,直线 y=
1 2

2 2

的椭圆 C 相交

x 过线段 AB 的中点,同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 l
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对称,试求直线 l 与椭圆 C 的方程 思路分析: 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题,解法一,将 A、B 两点坐标代入 圆锥曲线方程,两式相减得关于直线 AB 斜率的等式,再利用对称点所连线段被对称轴垂 直平分来列式求解;解法二,用韦达定理
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解法一

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由 e=

c a

?

2 2

,得

a

2

?b a
2

2

?

1 2

,从而 a2=2b2,c=b
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设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上 则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2, 两 式 相 减 得 ,
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(x12 -

x22)+2(y12 -

y22)=0,

y1 ? y 2 x1 ? x 2

? ?

x1 ? x 2 2( y1 ? y 2 )

.

设 AB 中点为(x0,y0),则 kAB=-

x0 2 y0

,又(x0,y0)在直线 y=

1 2

x 上,y0=

1 2

x0,于是-

x0 2 y0

=

-1,kAB=-1,设 l 的方程为 y=-x+1. 右焦点(b,0)关于 l 的对称点设为(x′,y′),

10
? y? ?1 ? x? ? b ? 则? ? ? ? y ? ? x ? b ?1 ? 2 2 ? ? x? ? 1 解得 ? ? y? ? 1 ? b

由点(1,1-b)在椭圆上,得 1+2(1-b)2=2b2,b2= ∴所求椭圆 C 的方程为
c a 2 2

9 16

,a

2

?

9
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8
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8x 9

2

?
2

16 9

y
2

2

=1,l 的方程为 y=-x+1
1 2

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解法二

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由 e=

?

,得

a

?b a
2

?

,从而 a2=2b2,c=b

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设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x-1), 将 l 的方程代入 C 的方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2b2=0,则 x1+x2= -1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=- 直线 l
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4k

2 2

1 ? 2k

,y1+y2=k(x1

2k
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1 ? 2k

2

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y=

1 2

x 过 AB 的中点(
1 2k
2 2

x1 ? x 2 2

,

y1 ? y 2 2

),



?k 1 ? 2k
2

?

2 1 ? 2k

?

,解得 k=0,或 k=-1

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若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线 l 的对称点就是 F 点本身, 不能在椭圆 C 上,所以 k=0 舍去,从而 k=-1,直线 l 的方程为 y=-(x-1),即 y=-x+1,以下同解法一 点评:本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法,设计新颖,基础性 强 待定系数法求曲线方程,如何处理直线与圆锥曲线问题,对称问题,成为解决本题的 关键.注意在设直线方程时要对直线斜率是否存在进行讨论.
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演变 8: (05 年湖南)已知椭圆 C:

x a

2 2



y b

2 2

=1(a>b>0)的左.右焦点为 F1、F2,

离心率为 e. 直线 l:y=ex+a 与 x 轴.y 轴分别交于点 A、B,M 是直线 l 与椭圆 C 的一 个公共点,P 是点 F1 关于直线 l 的对称点,设 AM =λ AB . (Ⅰ)证明:λ =1-e2; (Ⅱ)确定λ 的值,使得△PF1F2 是等腰三角形. 点拨与提示: (1) A、 的坐标求出 M 点的坐标 0,y0) 代入椭圆的方程即可; 由 B (x , (2) 利用等腰三角形的性质|PF1|=|F1F2|来求λ 的值. 专题小结

11

1、 求曲线方程常利用待定系数法, 求出相应的 a, p 等.要充分认识椭圆中参数 a,b,c,e b, 的意义及相互关系,在求标准方程时,已知条件常与这些参数有关. 2、涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题,常常要注意运用第一定义,而 涉及曲线上的点到某一焦点的距离,常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者,需要注意的是 右焦点与右准线对应,不能弄错. 3、直线与圆锥曲线的位置关系问题,利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组 转化为一元二次方程,利用判别式、韦达定理来求解或证明. 4、对于轨迹问题,要根据已知条件求出轨迹方程,再由方程说明轨迹的位置、形状、 大小等特征.求轨迹的常用方法有直接法、定义法、参数法、代入法、交轨法等. 5、与圆锥曲线有关的对称问题,利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证 明. 【临阵磨枪】 一.选择题 1.椭圆的焦距是它的两条准线间距离的
3 2 3 3
1 3

,则它的离心率为(
6 3 6 6



A.

B.

C.

D.

2.动点 M(x,y)到点 F(4,0)的距离,比到直线 x+5=0 的距离不 1,则点 M 的轨 迹方程为( ) A. x+4=0 B. x-4=0 C. y2=8x D. y2=16x 3.设定点 M(3,
10 3

)与抛物线 y2=2x 上的点 P 的距离为 d1,P 到抛物线准线 l 的距 ) D. ( , ?
8 1 1 2

离为 d2,则 d1+d2 取最小值时,P 点的坐标为( A. (0,0) B. (1, 2 )

C. (2,2)



4.抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上一点 P(m,-3)到焦点的距离为 5,则抛物线的准线方程是( ) A. y=4 B. y=-4 C. y=2 D. y=-2 5.设 F(c,0)为椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的右焦点,椭圆上的点与点 F 的距离
1 2

的最大值为 M,最小值为 m,则椭圆上与 F 点的距离是 A.( c , ? 6
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( M ? m ) 的点是(



b a



B.(0, ? b )

C.( ? c , ?

b a



D.以上都不对

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中心在原点,焦点在坐标为(0,±5 2 )的椭圆被直线 3x-y-2=0 截得的弦的中

12

点的横坐标为
2x 25
2

1 2

,则椭圆方程为(
2

)
2

A.

?

2y 75

?1

B.

2x 75

?
2

2y 25

2

?1

C.

x

2

?

y

2

?1

D.

x

2

?

y

2

?1

25

75

75

25

7

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斜率为 1 的直线 l 与椭圆
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x

+y2=1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为( C
4 10
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)

4

A
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2
2

B

4
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5 5

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D

8 10
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5

5

8 抛物线 y=ax 与直线 y=kx+b(k≠0)交于 A、B 两点,且此两点的横坐标分别为 x1,x2, 直线与 x 轴交点的横坐标是 x3,则恒有( ) A x3=x1+x2 B x1x2=x1x3+x2x3 C x1+x2+x3=0 D x1x2+x2x3+x3x1=0
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已知 A、B、C 三点在曲线 y= x 上,其横坐标依次为 1,m,4(1<m<4),当△ABC ) B
9
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的面积最大时,m 等于( A
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3
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C

5
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D
9 2 v

3
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4

2

2

10 A
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设 u,v∈R,且|u|≤ 2 ,v>0,则(u-v)2+( 2 ? u 2 ? 4 B
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) 的最小值为( ) D
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2

C

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2 2

11 直线 l 的方程为 y=x+3,在 l 上任取一点 P, 若过点 P 且以双曲线 12x2-4y2=3 的焦 点作椭圆的焦点,那么具有最短长轴的椭圆方程为_________ 12 在抛物线 y2=16x 内,通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是 _________
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A 是椭圆长轴的一个端点, 是椭圆的中心, O 若椭圆上存在一点 P, 使∠OPA=
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?
2

,

则椭圆离心率的范围是_________ 14 已知抛物线 y=x2-1 上一定点 B(-1,0)和两个动点 P、Q,当 P 在抛物线上运动 时,BP⊥PQ,则 Q 点的横坐标的取值范围是_________ y B 15 已知抛物线 y2=2px(p>0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点 A、B,且|AB|≤2p (1)求 a 的取值范围 o x N (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求△NAB 面积的最 大值 A 16 已知直线 y=kx-1 与双曲线 x2-y2=1 的左支交于 A、B 两 点,若另一条直线 l 经过点 P(-2,0)及线段 AB 的中点 Q,求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的 取值范围
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13

17 如图,弧 ADB 为半圆,AB 为半圆直径,O 为半圆圆 心,且 OD⊥AB,Q 为线段 OD 的中点,已知|AB|=4,曲线 C 过 Q 点,动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变 (1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (2)过 D 点的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M、N,且
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D

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Q

A

O

B

M 在 D、N 之间,设

DM DN

=λ ,求λ 的取值范围
20 3

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18

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已知圆 C1 的方程为(x-2)2+(y-1)2=
2 2

,椭圆 C2 的方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

=1(a>b>0),

C2 的离心率为

,如果 C1 与 C2 相交于 A、B 两点,且线段 AB 恰为圆 C1 的直径,求直
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线 AB 的方程和椭圆 C2 的方程

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? 1 上,F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点. 已 2 ???? ???? ? ???? ???? ??? ???? ? ? 知 P F 与 F Q 共线, M F 与 F N 共线,且 P F ? M F ? 0 .求四边形 P M Q N 的面积的最小值和 ?

19.P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆 x 2

y

2

最大值. 参考答案: 1.B 提示:依题意有 2 c ?
1 3 ? 2a c
2

,∴

c a

?

3 3

.

2.D 提示:依题意 M 到点 F 的距离与到直线 x=-4 的距离相等地,则 M 的轨迹方程为 y2=16x. 3.C 提示:连接 PF,则 d1+d2=|PM|+|PF|≥|MF|,知 d1+d2 的最小值为| MF|,当且仅当 M、P、F 三点共线时,等号成立,而直线 MF 的方程为 y ? 与 y2=2x 联立可得 x=2,y=2. 4.C 提示:依题意准线方程为 y=
p 2
1 2

4 3

(x ?

1 2

),

,且

p 2

-(-3)=5,∴

p 2

=2,故选 C.

5.B 提示:M=a+c,m=a-c,∴

( M ? m ) =a,应选 B.
2 2 2 2

6.C

提示

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h t tp/ w w w.x j k t yg o m x c : / .c /w /

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w x c k@126.c o m t

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由题意,可设椭圆方程为

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h t tp/ w w w.x j k t yg o m x c : / .c /w /

y a

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w x c k@126.c o m t

?

x b

=1, 且 a2=50+b2 , 即 方 程 为

y

2 2

50 ? b

?

x b
wxckt@126.com wxckt@126.com

2 2

=1

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将直线 3x-y-2=0 代入, 整理成关于 x 的二次方程

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由 x1+x2=1 可求得

b2=25,a2=75

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14
4? 5?t 5
? y ? ax
2

2

7

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C 提示

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弦长|AB|= 2 ?



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答案

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C

5
k a b a b k

8

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D 提示

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解方程组 ?
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? y ? kx ? b

,得 ax2-kx-b=0,可知 x1+x2=

,x1x2=-

,x3=-

,代

入验证即可 答案
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B
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由题意知 A(1,1),B(m, m ),C(4,2)
|m ? 3 m ? 2|
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直线 AC 所在方程为 x-3y+2=0,

点 B 到该直线的距离为 d=

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10 |m ? 3 m ? 2| 10

S ? ABC ?

1 2

| AB | ? d ?

1 2

?

10 ?

?

1 2

| m ? 3 m ? 2 |?

1 2

|( m ?

3 2

) ?
2

1 4

|

∵ m

∈(1,4),∴当 m ?
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3 2

时,S△ABC 有最大值,此时 m=

9
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B

4

10 C 提示 考虑式子的几何意义,转化为求圆 x2+y2=2 上的点与双曲线 xy=9 上的点的 距离的最小值 选 C
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11.

x

2

?

y

2

=1

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5

4

所求椭圆的焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|
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欲使 2a 最小,只需在直线 l 上找一点 P 使|PF1|+|PF2|最小,利用对称性可解 12. 8x-y-15=0 提示 设所求直线与 y2=16x 相交于点 A、B,且 A(x1,y1),B(x2,y2),代 入抛物线方程得 y12=16x1,y22=16x2,两式相减得,(y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2)
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y1 ? y 2 x1 ? x 2

?

16 y1 ? y 2

?

kAB=8

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故所求直线方程为 y=8x-15

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2
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<e<1

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设椭圆方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

=1(a>b>0),以 OA 为直径的圆:

2
2

x2-ax+y2=0,两式联立消 y 得

a

?b a
2

2

x2-ax+b2=0

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即 e2x2-ax+b2=0,该方程有一解 x2,一解

为 a,由韦达定理 x2= 14 ∴
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a e
2

-a,0<x2<a,即 0< 提示
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a e
2

-a<a ?

2 2

<e<1

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(-∞,-3 ] ∪ [ 1,+∞)
t ? 1 (s ? t ?1
2 2

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设 P(t,t2-1),Q(s,s2-1),∵BP⊥PQ,

? 1) ? ( t s ?t

2

? 1)

=-1,即 t2+(s-1)t-s+1=0,

15

∵t∈R,∴必须有Δ =(s-1) +4(s-1)≥0 即 s2+2s-3≥0,解得 s≤-3 或 s≥1 15 解 (1) 设 直 线 l 的 方 程 为 y=x - a, 代 入 抛 物 线 方 程 得 (x - a)2=2px, 即 x2 - 2(a+p)x+a2=0
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2

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∴|AB|= 2 ? 4 ( a ? p ) 2 ? 4 a 2 ≤2p

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∴4ap+2p2≤p2,即 4ap≤-p2,又∵p>0,∴a≤-

p
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4

(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点 C(x,y), 由(1)知,y1=x1-a,y2=x2-a,x1+x2=2a+2p, 则有 x=
x1 ? x 2 2 ? a ? p, y ? y1 ? y 2 2 ? x1 ? x 2 ? 2 a 2
|a ? 2p ? a| 2

=p

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∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y-p=-(x-a-p), 从而 N 点坐标为(a+2p,0) ,点 N 到 AB 的距离为 从而 S△NAB=
1 2 p 4 ? 2 ? 4(a ? p ) ? 4a
2 2

?

2p

?

2p ? 2p

2 ap ? p

2

当 a 有最大值-

时,S 有最大值为 2 p2

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设 A(x1,y1),B(x2,y2)

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由?

? y ? kx ? 1 ?x
2

? y

2

?1

,得(1-k2)x2+2kx-2=0,

又∵直线 AB 与双曲线左支交于 A、B 两点,
?1 ? k 2 ? 0 ? 2 2 ? ? ? ( 2 k ) ? 8 (1 ? k ) ? 0 ? 故有 ? x ? x ? ? 2 k ? 0 1 2 2 ? 1? k ? ? 2 ? x1 x 2 ? ? 0 2 1? k ?

解得- 2 <k<-1

设 Q ( x 0 , y 0 ), 则 x 0 ?

x1 ? x 2 2 1

?

k ?1? k
2

, y 0 ? kx 0 ? 1 ?

1 k
2

?1

l 的斜率为

y0 ? 0 x0 ? 2

?

2 1 k ?1 ? 2 k 2k ? k ? 2 ? 2 2 k ?1

? l 的方程为

y ? 2k

1
2

? k ? 2

( x ? 2 ). 2 , ? 1) 2或 b ? ? 2.

令 x ? 0,则 b ? 2k ? 2k
2

2
2

? k ? 2

,又 k ? (?

? k ? 2 ? ( ? 1, 2 ?

2 ), 即 b ? 2 ?

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(1)以 AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴,O 为原点,建立平面直角坐标系,?
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∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 2 2 ? 1 2 ? 2 5 >|AB|=4 ∴曲线 C 为以原点为中心,A、B 为焦点的椭圆
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设其长半轴为 a,短半轴为 b,半焦距为 c,则 2a=2 5 ,∴a= 5 ,c=2,b=1 ∴曲线 C 的方程为
x
2

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+y2=1

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5

(2)设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入 Δ =(20k)2-4?15(1+5k2)>0,得 k2> 由图可知
DM DN x1 x2

x

2

+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0
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5
?



y D N x2 M
, 两 式 相 除 得

20 k ? 2 ? x1 ? x 2 ? ? ? 1 ? 5k 由韦达定理得 ? 15 ?x ? x ? 2 2 ? 1 1 ? 5k ?

将 x1=λ x2 代入得
2 ? 400 k 2 2 ? (1 ? ? ) x 2 ? 2 2 ? (1 ? 5 k ) ? 15 2 ? ?x ? 2 ? 2 1 ? 5k ?

x1 o

x

(1 ? ? ) ?

2

?

400 k

2 2

15 (1 ? 5 k )

?

80 3(5 ? 1 k
2

)

?k

2

?

3 5

,? 0 ?

1 k
2

?

5 3

,? 5 ? k

1
2

?5

?

20 3

,即 4 ? 3(
1 3

80 1 k
2

? ? 5)

16 3

?4?

(1 ? ? ) ?
x1 x2 ?

2

?

16 3

,? ? ?

DM DN

? 0 ,? 解得

? ? ?3

① ②

?? ?

DM DN

,M

在 D、N 中间,∴λ <1
DM DN 1 3

又∵当 k 不存在时,显然λ =

?

(此时直线 l 与 y 轴重合)

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由 e=

2 2

,可设椭圆方程为

x

2 2

?

y b

2 2

=1,

2b

又设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1+x2=4,y1+y2=2, 又
x1 2b
2 2

?

y1 b

2

2

? 1,

x2 2b

2 2

?

y2 b

2

2

=1,两式相减,得

x1 ? x 2 2b
2

2

2

?

y1 ? y 2 b
2

2

2

=0,

即(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0

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化简得

y1 ? y 2 x1 ? x 2

=-1,故直线 AB 的方程为 y=-x+3,

代入椭圆方程得 3x2-12x+18-2b2=0 又|AB|= 2 ( x 1 ? x 2 ) 2 ? 4 x 1 x 2 ?
20 3

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有Δ =24b2-72>0, ,

y A o x B

得 2?

24 b

2

? 72

?
2

20 3

,解得 b =8
2

2

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故所求椭圆方程为

x

?

y

=1

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8

19.解:如图,由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦,相交于焦点 F(0,1),且 PQ⊥MN, 直线 PQ、NM 中至少有一条存在斜率,不妨设 PQ 的斜率为 K,又 PQ 过点 F(0,1),故 PQ 的方程为 y = kx +1 将此式代入椭圆方程得(2+ k ) x +2 kx -1=0 设 P、Q 两点的坐标分别为( x1 , y 1 ),( x 2 , y 2 ),则
2 2

x1 ?

?k ?

2k ? 2
2 2

2?k
2

, x2 ?
2

?k ?

2k ? 2
2 2

2?k
2

y

从而 | P Q | ? ( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) ? 亦即 | P Q | ?
2 2 (1 ? k )
2

8 (1 ? k )
2

2

M F P

(2 ? k )
2

2

Q

2?k

2

(1) 当 k ≠ 0 时 , MN 的 斜 率 为 -
2 | M N |? 1 2 (?1 ?( 1 k 1 2 2 ? (? ) k
2

1 k

,同上可推得

O

N

x

)

)

18

故四边形面积 S ?

1 2

4 (1 ? k )(1 ?
2

1 k 1 k
2

) ? )

4(2 ? k ?
2

1 k 2 k
2

)

| P Q || M N | ? ( 2 ? k )( 2 ?
2

2

5 ? 2k ?
2

2

令u =k 2 ? ∵u =k 2 ?

1 k k
2

得S ? ≥2

4(2 ? u ) 5 ? 2u

? 2 (1 ?

1 5 ? 2u

)

1
2

当 k =±1 时 u =2,S=

16 9

且 S 是以 u 为自变量的增函数,∴

16 9

? S ? 2

②当 k =0 时,MN 为椭圆长轴,|MN|=2 2 ,|PQ|= 2 .∴S= 综合①②知四边形 PMQN 的最大值为 2,最小值为 【挑战自我】 已知椭圆
x a
2 2

1 2

|PQ||MN|=2

16 9

.

? y

2

? 1 (a>1) ,直线 l 过点 A(-a,0)和点 B(a,ta)交椭圆于 M,直

线 MO 交椭圆于点 N. (1)用 a,t 表示△AMN 的面积 S; (2)若 t∈[1,2],a 为定值,求 S 的最大值. 解: (1)由于直线 AB 的方程为 tx-2y+at=0, 由 ?
? tx ? 2 y ? at ? 0 ?x
2

? a y
2

2

? a

2

? , 由 椭 圆 的 对 称 性 知 , 得 M ?? 2 2 2 2 ? ? 4?t a 4?t a ? ? ? ?, ? ?
4a t 4?t a
2 2 2

?

t a

2

3

? 4a

4 ta

?

N? ?

? t 2a 3 ? 4a ? 4?t a
2 2

,?

4 ta 4?t a
2 2

∴ S=

1 2

? a? |

4 ta 4?t a
2 2

?

4 ta 4?t a
2 2

|?

4a

2

|t |
2 2

4?t a

.

(2)∵t∈[1,2],S= ?

?

4a 4 t

2

? a t
2

记 f (t ) ?

4 t

? a t , t ? [1, 2 ] ,∵ f `( t ) ? a
2

2

?

4 t
2

, 由 f `( t ) ? a

2

?

4 t
2

? 0, 得 t ? 2 a

2 a



∵a>1,∴当 1 ?

2 a

? 2 即 1<a≤2 时,f(t)在[1,2]上有唯一的极值点 t ?



∴这时 f ( t ) min ? 4 a 当
2 a ? 1 即 a>2 时, f `( t ) ? a
2

?

4 t
2

? 0 , 这说明 f(t)在[1,2]上是增函数,所以

19

f ( t ) min ? (1) ? 4 ? a

2

因此, S min

?a ? 2 ? ? 4a ? 4 ? a2 ?

1? a ? 2 a ? 2

.

【答案及点拨】 演变 1:以 O 为原点,∠P1OP2 的角平分线为 x 轴建立如图的直角坐标系 设双曲线方程为
x a
2 2 2 2

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?

y b

2 2

=1(a>0,b>0)

y

P1

由 e2=

c a

?1? (

b a

)

2

? (

13 2

)

2

,得

b a

?

3
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2 3 2

P
3 2

∴两渐近线 OP1、OP2 方程分别为 y= 设点 P1(x1, 所成的比λ =
P1 P PP 2
( x1 ? 2 x 2 ) 9a
2 2

x 和 y=-

o
x

x P2

3 2

x1),P2(x2,-

3 2

x2)(x1>0,x2>0),则由点 P 分 P1 P2
x1 ? 2 x 2 3 x1 ? 2 x 2 2

=2,得 P 点坐标为(

,

),又点 P 在双曲线

x a

2 2

?

4y 9a

2 2

=1 上,

所以

?

( x1 ? 2 x 2 ) 9a
2

2

=1, ①
x2 ?
2

即(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2
又 | OP 1 |? x1 ?
2

9 4

x1

2

?

13 2 2? ? 1?

x 1 , | OP |? 3 2 ? 12 9 13 4

9 4

x2

2

?

13 2

x2

sin P1 OP 2 ?

2 tan P1 Ox 1 ? tan 1 2
2

P1 Ox

? S ? P OP ?
1 2

| OP 1 | ? | OP 2 | ? sin P1 OP 2 ?

1 13 12 27 ? x1 x 2 ? ? , 2 4 13 4

即 x1x2=

9 2


x
2

由①、②得 a2=4,b2=9,故双曲线方程为

?

y

2

=1

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4

9

演变 2:设 A(x1,y1),B(x2,y2),A 到双曲线的左准线 x= ─

a

2

=─

4 5

的距离

c

20

d=|x1+

4 5

|=x1+

4 5

,由双曲线的定义,

| AF 1 | d

=e=

5 2

,∴|AF1|=

5 2

(x1+

4 5

)=

5 2

x1+2,

同理,|BF1|=

5 2

x2+2,∴|F1A|?|F1B|=(

5 2

x1+2)(

5 2

x2+2)=

5 4

x1x2+ 5 (x1+x2)+4

(1)

双曲线的右焦点为 F2( 5 ,0), (1)当直线的斜率存在时设直线 AB 的方程为:y=k(x─ 5 ),
? y ? k(x ? 5) ? 由? x2 消去 y 得 2 ? y ?1 ? ? 4
8 5k 4k
2 2

(1─4k2)x2+8 5 k2x─20k2─4=0,

∴x1+x2=

?1

,

x1x2= ─

20 k 4k

2 2

? 4 ?1

, 代入(1)整理得

|F1A|?|F1B|=

40 k 4k
2

2

?1

?

25 k 4k

2 2

?5 ?1

+4=

65 k 4k

2 2

?5 ?1

65 ( k

2

?
2

1 4

)?

85 4

+4=
4k

?1

+4=

81 4

+

85 4(4k
2

? 1)

∴|F1A|?|F1B|>

81 4

;
1 2 81 4
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(2)当直线 AB 垂直于 x 轴时,容易算出|AF2|=|BF2|= ∴|AF1|=|BF1|=2a+
1 2

,

=

9 2

(双曲线的第一定义), ∴|F1A|?|F1B|=

由(1), (2)得:当直线 AB 垂直于 x 轴时|F1A|?|F1B| 取最大值 演变 3:⑴抛物线的顶点为(4,0),准线方程为 x ?
x a
2 2

81
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4

9 4

? 4 ?

25 4

,
25 4

设椭圆的方程为

?

y b

2 2

? 1? a ? b ? 0 ? ,则有 c=4,又

a

2

?



c x
2

∴a

2

? 25 , b

2

? 9

∴椭圆的方程为

?

y

2

?1

25

9

⑵设椭圆内切圆的圆心为 Q,则
S
? F1 PF
2

? S

? QPF

1

? S

? QPF

2

? S

? QF 1 F 2

?

1 2

?

5 7

? PF

1

? PF

2

? F1 F 2

??

5

21

设点 P 到 x 轴的距离为 h,则

1 2

? 4 ? h ? 5 ∴h ?

10 4 4 5

?

5 2

.

⑶设点 P 的坐标为(x0,y0),由椭圆的第二定义得:
PF 1 ? a ? ex 0 ? 5 ? 4 5 x 0 , PF
2

2

? a ? ex 0 ? 5 ?
2 2

x0

由∠F1PF2 为钝角知: ∴?
5 4 7 ? x0 ?

PF 1
5 4

? PF

? F1 F 2

2

7

即为所求.
2 2 2 2

演变 4: (Ⅰ)设双曲线方程为

x a

?

y b
2

?1

( a ? 0 , b ? 0 ).

由已知得 a ?

3 , c ? 2 , 再由 a

2

?b

? 2 ,得 b
2

2

? 1.

故双曲线 C 的方程为

x

2

? y

2

? 1.

3 x
2

(Ⅱ)将 y ? kx ?

2 代入

? y

2

? 1得

(1 ? 3 k ) x
2

2

?6

2 kx ? 9 ? 0 .

3
?1 ? 3 k ?
2

由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 ?
? 1 3 ? 1.

? 0, 2 k ) ? 3 6 (1 ? 3 k ) ? 3 6 (1 ? k ) ? 0 .
2 2 2

? ? ? (6 ?

即k

2

且k

2

① 设 A ( x A , y A ), B ( x B , y B ) ,则
?9 1 ? 3k
2

xA ? xB ?

6

2k
2

1 ? 3k

, xA xB ?

??? ??? ? ? ,由 O A ? O B ? 2 得 x

A

xB ? y A y B ? 2,

而 x A xB ? y A y B ? x A xB ? (kx A ?
?9 1 ? 3k
2

2 )( k x B ?
2

2 ) ? ( k ? 1) x A x B ?
2

2k ( xA ? xB ) ? 2

? ( k ? 1)
2

?

2k

6

2k
2

1 ? 3k
2

?2 ?

3k ? 7 3k ? 1
2

.

于是

3k ? 7
2

3k ? 1
2

? 2,即
1 3

?3k ? 9 3k ? 1
2
2

? 0, 解 此 不 等 式 得

1 3

? k

2

? 3.



由①、②得

? k

? 1.

22

故 k 的取值范围为 ( ? 1, ?

3 3

)? (

3 3

,1).

演变 5: (Ⅰ)证法一:设点 P 的坐标为 ( x , y ). 由 P ( x , y ) 在椭圆上,得

| F1 P |? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? b 2 ? ? (a ? c 2 x) . a
c a

b2 2 x a2

由 x ? a,知 a ?

x ? ? c ? a ? 0 ,所以 | F 1 P | ? a ?

c a

x.

证法二:设点 P 的坐标为 ( x , y ). 记 | F1 P |? r1 , | F 2 P |? r 2 , 则 r1 ?
( x ? c ) ? y , r2 ?
2 2

(x ? c) ? y .
2 2

2 2 由 r1 ? r 2 ? 2 a , r1 ? r 2 ? 4 cx , 得 | F1 P | ? r1 ? a ?

c a

x.

(Ⅱ)解法一:设点 T 的坐标为 ( x , y ). 当 | PT
|? 0

时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上.

当| PT |? 0 且 | TF 2 |? 0 时,由 | PT | ? | TF 2 |? 0 ,得 PT ? TF 2 . 又 | PQ |? | PF 2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点. 在△QF1F2 中, | OT | ?
1 2 | F 1 Q | ? a ,所以有 x
2 2 2

? y
2

2

? a .
2

综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x ? y 解法二:设点 T 的坐标为 ( x , y ). 当 | PT
|? 0

? a .

时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上.

当| PT |? 0 且 | TF 2 |? 0 时,由 PT ? TF 2 ? 0 ,得 PT ? TF 2 . 又 | PQ |? | PF 2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点.

23
x? ? c ? x ? , ? x ? ? 2 x ? c, ? 2 的坐标为( x ? , y ? ) ,则 ? ,因此 ? ? ? ? y ? ? 2 y. ?y ? y . ? 2 ?

设点 Q



2 2 2 由 | F1 Q |? 2 a 得 ( x ? ? c ) ? y ? ? 4 a .



将①代入②,可得 x ? y
2

2

? a .
2 2 2

综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x ? y

? a .
2
2 2 2

(Ⅲ)解法 C 上存在点

?x0 ? y0 ? a , M( x 0 , y 0 )使 S= b 的充要条件是: ? 1 ? 2 ? ? 2 c | y 0 |? b . ?2
2
4 2 2 2

③ ④

由④得 | y 0 |? 于是,当 a 当a 当a
? b
2

b

2

.

c
b
2

上式代入③得 x 02 ? a 2 ?
2

b c

? (a ?

b

)( a ?

b

) ? 0.

c

c

?

时,存在点 M,使 S= b ;

c

时,不存在满足条件的点 M.
y0 x0 ? c y0 x0 ? c

c

?

b

2

c

时,记 k 1 ? k F M ?
1

,k2 ? kF

2M

?


k1 ? k 2 1 ? k1k 2

由 | F1 F 2 |? 2 a , 知 ? F1 MF

2

? 90 ? ,所以 tan
x a
2 2

? F 1 MF

2

?|

|? 2 .

演变 6: I)设椭圆方程为 (
| M A1 | ? a
2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 半 焦 距 为 c, 则 ,

c

? a , | A1 F1 | ? a ? c ,

由题意, 得

? a2 ? a ? 2 (a ? c ) ? c ? ? , ?2a ? 4 ? 2 2 2 a ?b ?c ? ? ?

解得 a ? 2, b ?

3, c ? 1 , 故椭圆方程为

x

2

?

y

2

?1

4

3

(II)设 P( m , y 0 ), | m | ? 1 当 y 0 ? 0 时, ? F1 P F 2 ? 0

24

当 y 0 ? 0 时, 0 ? ? F1 P F 2 ? ? P F1 M ? 直线 P F1 的斜率 K 1 ?
? ta n ? F1 P F 2 ? |
2

?
2

,? 只需求 ta n ? F1 P F 2 的最大值即可.
y0 m ?1 ,

y0 m ?1

,直线 P F 2 的斜率 K 2 ?
2 | y0 | m ? 1 ? y0
2 2

K 2 ? K1 1 ? K 1K 2

|?

? 2

2 | y0 | m ? 1 ?| y 0 |
2

?

1 m ?1
2

当且仅当 m ? 1 = | y 0 | 时, ? F1 P F 2 最大, 演变 7:设椭圆方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ), F ( c , 0 ), x a
2 2

则直线 AB 的方程为 y ? x ? c , 代入
2 2 2 2 2 2

?
2

y b
2

2 2

?1

化简得 ( a ? b ) x ? 2 a cx ? a c ? a b ? 0 .
?b a ?b ? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? 由 O A ? O B ? ( x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ), a ? (3, ? 1), O A ? O B 与 a 共线,得 a
2 2 2 2

令 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则 x 1 ? x 2 ?

2a c

2

, x1 x 2 ?

a c

2

2

? a b
2

2

.

3( y 1 ? y 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ? 0 .

又 y1 ? x1 ? c , y 2 ? x 2 ? c ,∴ 3( x1 ? x 2 ? 2 c ) ? ( x1 ? x 2 ) ? 0 ∴ x1 ? x 2 ? ∴c ?
2

3c 2
2


?

2a c a ?b
2 2

2

?

3c 2

2 2 ,∴ a ? 3 b

a ?b

6a 3

,故离心率为 e ?

c a

?

6 3
2 2

.

2 2 (II)证明:由(I)知 a ? 3b ,所以椭圆

x a

?

y b

2 2

? 1 可化为 x

2

? 3y

2

? 3b .
2

设 O M ? ( x , y ) ,由已知得 ( x , y ) ? ? ( x1 , y 1 ) ? ? ( x 2 , y 2 )
? ? x ? ? x1 ? ? x 2 , ? ? y ? ? y1 ? ? y 2 .
2 2

???? ?

? M ( x , y ) 在椭圆上, ? ( ? x 1 ? ? x 2 ) ? 3 ( ? y 1 ? ? y 2 )
2 2 2 2 2 2

? 3b .
2 2

即 ? ( x 1 ? 3 y 1 ) ? ? ( x 2 ? 3 y 2 ) ? 2 ?? ( x 1 x 2 ? 3 y 1 y 2 ) ? 3 b . 由(I)知 x 1 ? x 2 ?
3 2 c, a
2


2 2 2

?

3 2

c ,b

2

2

?

1 2

c . ∴ x1 x 2 ?
2

a c ?a b
2 2

a ?b
2

?

3 8

c

2

∴ x1 x 2 ? 3 y1 y 2 ? x1 ? x 2 ? 3( x1 ? c )( x 2 ? c )
? 4 x1 x 2 ? 3( x1 ? x 2 ) c ? 3 c ?
2

3 2
2

c ?
2

9 2
2

c ? 3c ? 0 .
2 2

又 x 1 ? 3 y 1 ? 3 b , x 2 ? 3 y 2 ? 3 b 又,代入①得 ? ? ? ? 1 . 故 ? ? ? 为定值 1. 演变 8: (Ⅰ)因为 A、B 分别是直线 l: y ? ex ? a 与 x 轴、y 轴的交点,所以 A、B
2 2 2 2

2

2

2

2

25













(?

a e

, 0 ), ( 0 , a ).



M









( x0 , y 0 ),由AM ? ? AB得( x0 ?
a ? ( ? ? 1) ?x0 ? 所以 ? e ? y ? ?a. ? 0
[ a ( ? ? 1 )] a
2 2

a a , y 0 ) ? ? ( , a ), e e
x0 a
2 2

因为点 M 在椭圆上,所以

?

y0 b

2

2

? 1,

即 e
e
4

?
2

(? a ) b
2

2

? 1, 所以
2

(1 ? ? ) e
2

2

?
2

?

2 2

1? e

? 1.

? 2 (1 ? ? ) e

? (1 ? ? )

? 0,

解得 e ? 1 ? ?

即? ? 1? e .
2

(Ⅱ)解:因为 PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角,要使△PF1F2 为等腰 三角形,必有|PF1|=|F1F2|.设点 P 的坐标是 ( x 0 , y 0 ) ,
1 ? y0 ? 0 ? ? ? e ?x ?c 则? 0 x0 ? c ? y0 ? 0 ? e ? a. ? 2 2 ?
(e
2 2

? e ?3 c, ? x0 ? 2 ? e ?1 解得 ? 2 2 (1 ? e ) a ? y0 ? . 2 ? e ?1 ?
2

由|PF1|=|F1F2|得 [

? 3)c ?1

? c] ? [
2

2 (1 ? e ) a
2

e

e (e
2 2

2

?1

]

2

? 4c ,
2

两边同时除以 4a2,化简得 于是 ?1 ? 1 ? e 2 ?

? 1) ?1

2

? e .
2

从而 e ?
2

1 3

.

e

2 . 3

即当 ? ?

2 3

时,△PF1F2 为等腰三角形.



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