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20.极点与极线的性质



第 15 讲:极点与极线的性质

125

第 15 讲:极点与极线的性质
极点与极线是高等几何中的基本且重要的概念,虽然中学数学没有介绍,但以此为背景命制的高考试题经常出现.掌握 极点与极线的初步知识,可使我们“登高望远”,抓住问题的本质,确定解题方向,寻找简捷的解题途.

定义:已知曲线 G:ax2+bxy

+cy2+dx+ey+f=0,则称点 P(x0,y0)和直线 l:ax0x+b

y0 x ? x0 y x ? x0 y ? y0 +cy0y+d +e +f=0 是 2 2 2

曲线 G 的一对极点与极线,点 P 称为直线 l 关于曲线 G 的极点;直线 l 称为点 P 关于曲线 G 的极线.称点 P 与直线 l 有 “配 极关系”,或“对偶关系”,相互为对方的“配极元素”,或“对偶元素”. 特别地,当点 P 在曲线 G 上时,点 P 关于曲线 G 的极线是曲线 G 在点 P 处的切线;圆锥曲线的焦点对应的极线是该焦点 对应的准线;圆锥曲线的准线对应的极点是该准线对应的焦点.

[位置关系]:已知点 P 关于圆锥曲线 G 的极线是直线 l,则三者的位置关系是:①若点 P 在曲线 G 上,则直线 l 是曲线
G 在点 P 处的切线;②若点 P 在曲线 G 外,则直线 l 是由点 P 向曲线 G 引两条切线的切点弦;③若点 P 在曲线 G 内,则直线 l 是经过点 P 的曲线 G 的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图: l P l M N B P A D P C N l M

[配极原则]:如果点 P 的极线通过点 Q,则点 Q 的极线也通过点 P. 证明 : 设圆锥曲线 G:ax2+bxy+cy2+2dx+2ey+f=0, 点 P(xp,yp),Q(xQ,yQ), 则点 P 、 Q 关于曲线 G 的极线方程分别为
p:axpx+b
ypx ? xp y 2

+cypy+d

x ? xp 2

+e

y ? yp 2

+f=0,q:axQx+b
yQ ? y p 2

yQ x ? xQ y 2

+cyQy+d

x ? xQ 2

+e

y ? yQ 2

+f=0,则点 P 的极线通过点 +cyQy+d
x ? xQ 2

Q ? axpxQ+b

y p xQ ? x p yQ 2

+cypyQ+d

xQ ? x p 2

+e

+f=0 ? 点 P(xp,yp)在直线 q:axQx+b

yQ x ? xQ y 2

+e

y ? yQ 2

+f=0 上 ? 点 Q 的极线也通过点 P.

推论 1:两点连线的极点是此二点极线的交点,两直线交点的极线是此二直线极点的连线; 证明:设两点 A、B 连线的极点是 P,即点 P 的极线经过点 A、B,由配极原则知点 A、B 的极线均过点 P,即点 P 是此二
点极线的交点;同理可证:两直线交点的极线是此二直线极点的连线.

推论 2(共点共线):共线点的极线必共点;共点线的极点必共线. 证明:设点 A、B 均在直线 l 上,直线 l 对应的极点为 P,由配极原则知点 A、B 的极线均过点 P,即点 A、B 的极线必共
点;同理可证:共点线的极点必共线.

推论 3(中点性质):若圆锥曲线 G 过点 P 的弦 AB 平行于点 P 的极线,则点 P 是弦 AB 的中点. 证明:设 P(x0,y0),曲线 G:ax2+bxy+cy2+2dx+2ey+f=0,则点 P 的极线方程:ax0x+b
+f=0,故可设 AB:ax0x+b
2

y0 x ? x0 y x ? x0 y ? y0 +cy0y+d +e 2 2 2

y0 x ? x0 y x ? x0 y ? y0 2 2 +cy0y+d +e +λ =0,由点 P(x0,y0)在直线 AB 上 ? ax0 +bx0y0+cy0 +2dx0+2ey0+λ 2 2 2
2

=0 ? λ =-(ax0 +bx0y0+cy0 +2dx0+2ey0) ? 直线 AB:ax0x+b ax0x+b

y0 x ? x0 y x ? x0 y ? y0 2 2 +cy0y+d +e =ax0 +bx0y0+cy0 +2dx0+2ey0 ? 2 2 2

y0 x ? x0 y x ? x0 y ? y0 2 2 +cy0y+d +e +f=ax0 +bx0y0+cy0 +2dx0+2ey0+f,而该直线为以为 P 中点的中点弦方程,即点 P 是弦 2 2 2

AB 的中点.

[比例定理]:若过点 P(x0,y0)的直线 l 与曲线 G:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 相交于 A、 B 两点,与直线:ax0x+b

y0 x ? x0 y + 2

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cy0y+d
x ? x0 y ? y0 +e +f=0 交于点 Q,则|PA||QB|=|QA||PB|. 2 2

第 15 讲:极点与极线的性质

证明:设直线 l: ?

?x ? x0 ? t cos? y x ? x0 y x ? x0 y ? y0 (t 为参数),代入 ax0x+b 0 +cy0y+d +e +f=0 得:(2ax0cosθ +bx0sin 2 2 2 y ? y ? t sin ? 0 ?
2 2

θ +by0cosθ +2cy0sinθ )t+2(ax0 +bx0y0+cy0 +dx0+ey0+f)=0 ? t0=-2
2 2 2 2

2 2 ax0 ? bx0 y0 ? cy0 ? dx0 ? ey0 ? f 2 ;代入 ax +bxy+ 2ax0 cos? ? bx0 sin? ? by0 cos? ? 2cy0 sin?
2 2

cy +2dx+2ey+f=0 得:(acos θ +bcosθ sinθ +csin θ )t +(2ax0cosθ +bx0sinθ +by0cosθ +2cy0sinθ )t+(ax0 +bx0y0+cy0 +dx0 +ey0+f)=0 ? t1+t2=2ax0 cos? ? bx0 sin? ? by0 cos? ? 2cy0 sin? a cos ? ? b sin? cos? ? c sin ?
2 2

,t1t2=

2 2 ax0 ? bx0 y0 ? cy0 ? dx0 ? ey0 ? f

a cos2 ? ? b sin? cos? ? c sin2 ?

? t 0=

2t1t2 ;而|PA||QB|= t1 ? t 2

|QA||PB| ? |t1||t2-t0|=|t1-t0||t2| ? t0=

2t1t2 成立. t1 ? t 2

[面积定理]:已知点 P 关于圆锥曲线 G 的极线为 l,过点 P 的直线与圆锥曲线 G 相交于 A、B 两点,分别过点 A、B 的
两条平行线与直线 l 交于点 D、C,记△APD、△CPD、△BPC 的面积分别为 S1,S2,S3,则:S2 =4S1S2.
2

证明:以椭圆 G:

x2 a
2

+

y2 b
2

=1(a>b>0)为例,设 P(x0,y0),则极线 l:

x0 x a
2

?

y0 y b2

? 1 .设 A(x1,y1),B(x2,y2),并分别过点 A、B

x x y y | 0 2 1 ? 02 1 ? 1 | | AD1 | | b2 x x ? a 2 y y ? a 2b2 | 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b 作 l 的垂线,垂足分别为 D1、 C1,则 = = 2 01 2 0 1 (注意到:a b =b x1 +a y1 ,a b =b x2 +a y ) 2 2 x0 x2 y0 y2 | BC1 | | b x x ? a y y ? a b | 0 2 0 2 | 2 ? 2 ? 1| a b

=

2 2 | b2 x0 x1 ? a 2 y0 y1 ? b2 x1 ? a 2 y1 |

| b x0 x2 ? a

2

2

2 y0 y2 ? b2 x2

2 ? a 2 y2

|

=

| b2 x1( x1 ? x0 ) ? a 2 y1( y1 ? y0 ) | | b x2 ( x2 ? x0 ) ? a y2 ( y2 ? y0 ) |
2 2

( 注意到:

y1 ? y0 y2 ? y0 |x ?x | | a 2ky ? b 2 x | = =k)= 1 0 ? 2 1 2 1 . 又因 x1 ? x0 x2 ? x0 | x2 ? x0 | | a ky2 ? b x2 |

2 ? | AP | | x1 ? x0 | ? a 2b 2 | a 2ky ? b 2 x | ?b 2 x 2 ? a 2 y1 2 2 2 2 2 2 = ,以下只需证 2 1 2 1 =1,即|a ky1+b x1|=|a ky2+b x2|,由 ? 2 1 b (x1-x2)(x1+x2)+a (y12 2 2 2 2 ? | BP | | x2 ? x0 | b x ? a y ? | a ky2 ? b x2 | 2 ?a b ? 2

y2)(y1+y2)=0 ? b (x1+x2)+a k(y1+y2)=0 ? a ky1+b x1=-(a ky2+b x2) ? |a ky1+b x1|=|a ky2+b x2| ? △BCC1 ?

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

| AP | | AD1 | = , 由△ADD1∽ | BP | | BC1 |

| AD | | AP | | AD | | AQ | | AP | | AQ | = ,设 AC 与 BD 交于点 Q,由 AD∥BC ? = = ? ? PQ∥BC∥AD ? S△BAC=S△BDC,两边 | BC | | BP | | BC | | QC | | BP | | QC |

同减 S△BQC 得 S△QAB=S△QDC,又因 S△PQA=S△PQD,S△PQB=S△PQC ? S△PCD=S△QCD+S△PQD+S△PQC=S△QCD+S△PQA+S△PQB=S△QCD+S△QAB=2S△QAB ? S△QAD=S△PAD=S1,S
△QBC

=S△PBC=S3,S△QAB=

S S 1 1 | QD | | QC | 2 2 ? S△PCD= S2,注意到: ?QAD ? ?QBC = =1 ? S ? QAB =S△QADS△QBC ? S2 =4S1S2. 2 2 S ?QAB S ?QAB | QB | | QA |

例 1:极点与极线的位置关系.
[始源问题]:(2010 年湖北高考试题)已知椭圆 C: x +y2=1 的两焦点为 F1 ,F2,点 P(x0,y0)满足 0<
2
2 2 x0 2 +y0 <1,则|PF1|+|PF2| 2

的取值范围为
2

,直线

x0 x +y0y=1 与椭圆 C 的公共点个数为 2

.

[解析]:由 0< x0 +y02<1 知,点 P 在椭圆 C 内,所以直线
2

x0 x +y0y=1 与椭圆 C 相离 ? 公共点个数为 0;2c≤PF1|+|PF2|<2a ? 2

2≤PF1|+|PF2|<2 2 ? |PF1|+|PF2|的取值范围为[2,2 2 ).

[原创问题]:已知椭圆 C: x +
4

2

x x y y y2 x2 y 2 =1,点 P(x0,y0)满足 0 + 0 >1(x0≠0),直线 l: 0 + 0 =1. 3 4 3 4 3

(Ⅰ)求直线 l 与椭圆 C 的公共点个数; (Ⅱ)若射线 OP 与直线 l、椭圆 C 分别交于点 Q、M,求证:|OP||OQ|=|OM| .
2

[解析]:(Ⅰ)因椭圆 C: x +
4

2

? x ? 2 cos? y2 =1 ? ? ,θ ∈[0,2π ),所以,直线 l 与椭圆 C 的公共点个数 ? 关于θ 的方程 3 ? y ? 3 sin?

第 15 讲:极点与极线的性质

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x0 x x 3 y0 3y 3y 2 2 cosθ + 0 sinθ =1 解的个数 ? 直线: 0 x+ 0 y=1 与圆:x +y =1 的公共点个数;由圆心 O(0,0)到直线: 0 x+ y 2 2 2 3 3 3

=1 的距离 d=

1
2 x0 y2 ? 0 4 3

<1 ? 直线:

x0 x+ 2

3 y0 2 2 y=1 与圆:x +y =1 的公共点个数=2 ? 直线 l 与椭圆 C 的公共点个数=2; 3

(Ⅱ)因射线 OP:y=
12y0
2 3x0 2 ? 4 y0
2 2

x x y y x x y2x 12x 12y 12x y0 x(x 与 x0 同号),与 0 + 0 =1 联立得: 0 + 0 =1 ? x= 2 0 2 ? y= 2 0 2 ? Q( 2 0 2 , 3 4 4 x0 3 x0 3x0 ? 4 y0 3x0 ? 4 y0 3x0 ? 4 y0
2 2 12( x0 ? y0 ) 2 3x0 2 4 y0

) ? |OP||OQ|=
2

?

;由 y=

y0 x2 y 2 x2 y2 2 12x2 12y 2 2 2 x与 + =1 联立得: + 02 x =1 ? x = 2 0 2 ? y = 2 0 2 ? 3 4 4 x0 3 x0 3x0 ? 4 y0 3x0 ? 4 y0

|OM| =x +y =

2 12x0 2 3x0 2 ? 4 y0

+

2 12y0 2 3x0 2 ? 4 y0

=

2 2 12( x0 ? y0 ) 2 2 3x0 ? 4 y0

? |OP||OQ|=|OM| .

2

例 2:抛物线中的共线性质.
[始源问题]:(2010 年大纲卷Ⅰ高考试题)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过点 K(-1,0)的直线 l 与 C 相交于 A、 B 两点,
点 A 关于 x 轴的对称点为 D. (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; (Ⅱ)设 FA ? FB =
8 ,求△BDK 的内切圆 M 的方程. 9

[解析]:(Ⅰ)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l:y=k(x+1)(k≠0),则 D(x1,-y1),由 ?
4;所以,点 F 在直线 BD 上 ? FB ∥ FD ? (x2-1):(x1-1)=y2:(-y1) ? y1( (Ⅱ)由 FA ? FB =(x1-1)(x2-1)+y1y2=(

? y ? k ( x ? 1) 4 2 ? ky -4y+4k=0 ? y1+y2= ,y1y2= 2 k ? y ? 4x

y2 y -2)+y2( 1 -2)=0 ? y1y2-k(y1+y2)=0; k k

y2 y 2 8 3 1 1 8 4 -2)( 1 -2)+y1y2=(1+ 2 )y1y2- (y1+y2)+4=4(1+ 2 )- 2 +4=8- 2 = ? k= ? ; k k k 9 4 k k k k

根据对称性,不妨设 k= 4x1x2= =

3 3 2 2 ,则直线 AB:3x-4y+3=0,且 kKD= ? KF 平分∠AKD ? 圆 M 的圆心 M 在 x 轴上;(x2-x1) =(x1+x2) 4 4

3 | t ?1| x ?x 162 3 ? kBD= 2 1 = ? 直线 BD:3x- 7 y-3=0;设 M(t,0)(-1<t<1),则由点 M 到直线 AB 与 BD 的距离相等 ? 5 y2 ? y1 7 7

3 | t ?1| 1 1 2 2 4 ? t= ? 圆 M:(x- ) +y = . 4 9 9 9

[原创问题]:已知抛物线 y2=2px 及定点 A(a,b),B(-a,0)(ab≠0,b2≠2pa),M 是抛物线上的点,设直线 AM,BM 与抛物线的
另一交点分别为 M1,M2.求证:当 M 点在抛物线上变动时(只要 M1,M2 存在且 M1≠M2),直线 M1M2 恒过一个定点,并求出这个定点 的坐标.

[解析]:设 M(2pt2,2pt),M1(2pt12,2pt1),M2(2pt22,2pt2),则点 B,M,M2 对应的极线分别为:x=a,2ty=x+2pt2,2t2y=x+2pt22,由
B,M,M2 三点共线 ? 三线 x=a,2ty=x+2pt ,2t2y=x+2pt2 共点 ? a=2ptt2 ? t2=
2 2 2 2 2

a ,点 A,M1 对应的极线分别为:by=px+ap, 2 pt
2

2t1y=x+2pt1 ,由 A,M,M1 三点共线 ? 三线 by=px+ap,2ty=x+2pt ,2t1y=x+2pt1 共点 ? bp(t+t1)=2p tt1+ap ? t1=

a ? bt ,由 b ? 2 pt

a(a ? bt) ? ? x ? t (b ? 2 pt) 2 ? ? x ? 2 pt1t2 2p 2a a ? 2 p 2t ? 2t1 y ? x ? 2 pt1 ? = y ? M1,M2 对应极线的交点在定直线 y=x+a, ? ? ? ? ? x-a= ? 2 2 b ( a ? 2 p t ) b b t (b ? 2 pt) ? ? y ? p(t1 ? t2 ) ?y ? ?2t 2 y ? x ? 2 pt2 ? 2 pt(b ? 2 pt) ?



x?a 2 pa 2 p2 y=2p 上 ? 直线 M1M2 恒过一个定点(a, ). 2 b b

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第 15 讲:极点与极线的性质

例 3:抛物线中的比例性质.
[始源问题]:(2009 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知抛物线 C:y= 1 x2 与直线 l:y=kx-1 没有公共点,设点 P 为直
2

线 l 上的动点,过 P 作抛物线 C 的两条切线,A、B 为切点. (Ⅰ)证明:直线 AB 恒过定点 Q; (Ⅱ)若点 P 与(Ⅰ)中的定点 Q 的连线交抛物线 C 于 M、N 两点.证明:
| PM | | QM | = . | PN | | QN |

[解析]:(Ⅰ)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则抛物线 y= 1 x2 在点 A、 B 处的切线方程分别为 x1x=y+y1、 x2x=y+y2,由点 P(x0,
2

y0)在这两切线上得: ? ( Ⅱ ) 设直线 MN: ?
2

? x0 x1 ? y1 ? y0 ? 直线 AB:x0x=y+y0(注意到:y0=kx0-1) ? x0x=y+kx0-1 ? 直线 AB 过定点 Q(k,1); ?x0 x2 ? y2 ? y0

2 ?x ? x0 ? t cos? 1 2 x0 ? 2 y0 2 2 , 代入直线 AB:x0x=y+y0, 得 :tQ= ; 代入 y= x 得 :t cos θ +2(x0cos θ -sin 2 y ? y ? t sin ? sin ? ? x cos ? 0 0 ?

θ )t+x0 -2y0=0 ? t1+t2=2 ?
tQ ? t1 t 2 ? tQ

sin ? ? x0 cos? cos2 ?

,t1t2=

2 x0 ? 2 y0

cos2 ?

?

2 | PM | | QM | x0 ? 2 y0 2t1t2 2t t t = = ? tQ= 1 2 ;所以, ? 1 = | PN | | QN | t1 ? t 2 sin ? ? x0 cos? t1 ? t 2 t2

? tQ=

2t1t2 成立. t1 ? t 2

[原创问题]:已知抛物线 C:x2=4y 与直线 l:y=x-2,设点 P 为直线 l 上的动点,过 P 作抛物线 C 的两条切线,A、B 为切点.
(Ⅰ)证明:直线 AB 恒过定点 T; (Ⅱ)若过点 P 的直线 l 交抛物线 C 于 M、N 两点,与直线 AB 交于点 Q.证明:
1 | PM | 1 | PN | 2 | PQ |

+

=

.

[解析]:(Ⅰ)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则抛物线 C:x2=4y 在点 A、B 处的切线方程分别为 x1x=2(y+y1)、x2x=(y+y2),
由点 P(x0,y0)在这两切线上得: ? 点 T(2,2); (Ⅱ)设直线 MN: ?
2

? x0 x1 ? 2( y1 ? y0 ) ? 直线 AB:x0x=2(y+y0)(注意到:y0=x0-2) ? x0x=2y+2x0-4 ? 直线 AB 过定 ?x0 x2 ? 2( y2 ? y0 )

2 ?x ? x0 ? t cos? x0 ? 4 y0 2 2 2 ,代入直线 AB:x0x=2(y+y0),得:tQ= ;代入 x =4y 得:t cos θ +2(x0cosθ -2sinθ )t y ? y ? t sin ? 2 sin ? ? x cos ? 0 0 ?

+x0 -4y0=0 ? t1+t2=2 ?

2 sin? ? x0 cos? cos ?
2

,t1t2=

2 x0 ? 4 y0

cos ?

2

?

2 1 1 2 x0 ? 4 y0 2t1t2 2t t 1 = + = ? tQ= 1 2 ;所以, ? t1 ? t 2 2 sin? ? x0 cos? t1 ? t 2 t1 | PM | | PN | | PQ |

2 1 2t t = ? tQ= 1 2 成立. t 2 tQ t1 ? t 2

例 4:抛物线中的面积关系.
[始源问题]:(2009 年湖北高考试题)过抛物线 y2=2px(p>0)的对称轴上一点 A(a,0)(a>0),的直线与抛物线相交于 M、N
两点,自 M、N 向直线 l:x=-a 作垂线,垂足分别为 M1、N1. (Ⅰ)当 a=
p 时,求证:AM1⊥AN1; 2
2

(Ⅱ)记△AMM1、△AM1N1、△ANN1 的面积分别为 S1、S2、S3,是否存在λ ,使得对任意的 a>0,都有 S 2=λ S1S3 成立.若存在,求 出λ 的值;若不存在,说明理由.

[解析]:(Ⅰ)当 a=

p p p p 2 2 2 时,A( ,0),设 M(2pm ,2pm),N(2pn ,2pn),则 M1(- ,2pm),N1(- ,2pn),由 AM ∥ AN ? (2pm 2 2 2 2

p p 1 2 2 2 ):(2pn - )=2pm:2pn ? mn=- ? AM 1 ? AN 1 =p +4p mn=0 ? AM1⊥AN1; 2 2 4

第 15 讲:极点与极线的性质
(Ⅱ)由 AM ∥ AN ? (2pm -a):(2pn -a)=2pm:2pn ? 2pmn+a=0;因
2 pm2 ? a a ? 2 pn2
2 2

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| AM | | 2 pm2 ? a | | MM 1 | a ? 2 pm2 = ;当 MN ? = = ? x 轴时, 2 | AN | | a ? 2 pn2 | | NN1 | a ? 2 pn

;所以,

| MM 1 | | AM | | MM 1 | | AM | a ? 2 pm2 2 pm2 ? a 2 2 2 2 = = = ;设 MN1 与 ? ? 4p m n =a 成立;当 MN⊥x 轴时,显然有 | NN1 | | AN | | NN1 | | AN | a ? 2 pn2 a ? 2 pn2
1 | MQ | | MM 1 | | AM | = = ? AQ∥MM1∥NN1;设∠MQM1=α ,则 S1= |QM||QM1|sinα ,S3 2 | QN1 | | NN1 | | AN |

NM1 交于点 Q(点 Q 即原点 O),由 MM1∥NN1 ?

=

1 1 |QN||QN1|sinα ;又 S△QMN= S?QM1 N1 ? S2= S?QM1 N1 +( S ?AQM 1 + S ?AQN 1 )= S?QM1 N1 +(S△AQM+S△AQN)= S?QM1 N1 +S△QMN=2S△QMN;S1S3= 2 2 1 1 1 1 2 2 |QN||QN1|sinα = |QM||QN|sinα ? |QM1||QN1|sinα =S△QMN S?QM1 N1 = S2 ? S 2=4S1S3 ? 存在λ =4,使 2 2 2 4
2

|QM||QM1|sinα ?

得对任意的 a>0,都有 S 2=λ S1S3 成立.

[原创问题]:已知抛物线 C:y2=4x,直线 l:y=2x+2,过点 P(1,1)的直线与抛物线 C 交于 A、B 两点,A、B 两点在直线 l 上
的射影点分别为 N、M,记△PAN、△PMN、△PBM 的面积分别为 S1、S2、S3. (Ⅰ)当 AB∥直线 l 时,求证:P 是 AB 的中点; (Ⅱ)求证:S 2=4S1S3.
2

[解析]:(Ⅰ)设 A(x1,y1),则 y12=4x1;由 P 是 AB 的中点 ? B(2-x1,2-y1) ? (2-y1)2=4(2-x1) ? y1=2x1+1 ? 点 A 在直线 y=2x+1
上,同理可得点 B 也在直线 y=2x+1 上 ? 直线 AB:y=2x+1 ? AB∥直线 l;由统一法知,当 AB∥直线 l 时, P 是 AB 的中点; (Ⅱ)设直线 AB: ?
3 sin ?
2

? x ? 1 ? t cos? 2 cos? ? sin ? 2 2 2 (t 为参数),代入 y =4x 得:t sin θ +2(sinθ -2cosθ )t-3=0 ? t1+t2=2 ? ,t1t2=sin 2 ? ? y ? 1 ? t sin?
| 2t1 cos? ? t1 sin? ? 3 | 5

;点 A(1+t1cosθ ,1+t1sinθ )到直线 l 的距离|AN|=
| 2t2 cos? ? t2 sin ? ? 3 | 5

,点 B(1+t2cosθ ,1+t2sinθ )到直线 l 的距离

|BM|=

?

| AN | | 2t1 cos? ? t1 sin ? ? 3 | = (由点 A、B 在直线 l 的同侧 ? 2t1cosθ -t1sinθ +3 与 t2cosθ | BM | | 2t2 cos? ? t2 sin ? ? 3 |

-t2sinθ +3 同号)= =-

| PA | | t1 | | AN | | PA | 2t cos? ? t1 sin? ? 3 2t1 cos? ? t1 sin? ? 3 t ;而 = ( 点 A、 B 在点 P 的异侧)=- 1 ;所以, = ? 1 | PB | | t 2 | | BM | | PB | 2t2 cos? ? t2 sin? ? 3 2t2 cos? ? t2 sin? ? 3 t2

2 cos? ? sin ? 3 t1 )+3 ? 2 ? =0 成立; ? 2(2cosθ -sinθ )t1t2+3(t1+t2)=0 ? 2(2cosθ -sinθ )(t2 sin 2 ? sin 2 ?

以下同例题可证:S 2=4S1S3.

2

例 5:椭圆中的共线性质.
[始源问题]:(2012 年北京高考试题)已知曲线 C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R).
(Ⅰ)若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆,求 m 的取值范围; (Ⅱ)设 m=4,曲线 C 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方),直线 y=kx+4 与曲线 C 交于不同的两点 M、N,直线 y=1 与 直线 BM 交于点 G.求证:A,G,N 三点共线.

[解析]:(Ⅰ)由曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆 ? m-2>5-m>0 ?
2 2

7 7 <m<5.故 m 的取值范围是( ,5); 2 2

(Ⅱ)当 m=4 时,曲线 C:x +2y =8 ? A(0,2),B(0,-2);设 M(x1,y1),N(x2,y2),由 ? 32(2k -3)>0 ? k >
2 2

? y ? kx ? 4 2 2 ? (2k +1)x +16kx+24=0 ? △= 2 2 ?x ? 2 y ? 8

3 16k 24 y ?2 3 x1 3 x1 ;且 x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 ;又由直线 BM:y= 1 x-2 ? G( ,1),即 G( ,1) ? kAG=2 x1 y1 ? 2 kx1 ? 6 2k ? 1 2k ? 1

?16k k 4k 4k 4k kx1 ? 6 2 y ? 2 kx 2 ? 2 2 2 2 x ?x =- - ,kAN= 2 = =k+ + + = +2 ? 1 2 = +2 ? =0 ? A,G,N 三点共线. ? kAN-kAG= 24 3 x1 3 3 3 3 x1 x2 x2 x1 x2 x2 x1 x2

第(Ⅱ)问是本题的特色与亮点,其实质是共轭点的性质:设点 P 与 Q 是二次曲线 G 的一对共轭点,过点 Q 的直线 AC 与曲 线 G 相交于 A、 C 两点,AP 与曲线 G 相交于另一点 B,BQ 与曲线 G 相交于另一点 D,则 P、 C、 D 三点共线.其中共轭点的定义:

130
若直线 PQ 与圆锥曲线 G 相交于 A、B 两点,且 PA ?
QB

第 15 讲:极点与极线的性质
+ PB ?
QA

=0,则称点 P 与 Q 是圆锥曲线 G 的一对共轭点.

[原创问题]:已知椭圆 C:
0)、B(2,0). (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>b>0)过点 D(-1,e),其中,e 是椭圆 C 的离心率,椭圆 C 的左、 右顶点分别为 A(-2,

(Ⅱ)过点 E(4,0)的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点,求证:直线 AM 与 BN 的交点 P 在一条定直线上.

[解析]:(Ⅰ)由 a=2,

1 a
2

+

e2 b
2

=1 ? 1+

c2 b
2

=a ? b =1 ? 椭圆 C:

2

2

x2 2 +y =1; 4

(Ⅱ)设 M(x1,y1),N(x2,y2),直线 l:y=k(x-4),由 ?
?k=
2

? y ? k ( x ? 4) 32k 2 64k 2 ? 4 2 2 2 2 ,x1x2= ? (1+4k )x -32k x+64k -4=0 ? x1+x2= 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ?x ? 4 y ? 4

x1 ? x2 8 4[5( x1 ? x2 ) ? 8] y1 2 2 ,x1x2(1+4k )=64k -4 ? x1x2 ? = (x ? 2x1x2=5(x1+x2)-8;又由直线 AM:y= 32 ? 4( x1 ? x2 ) 8 ? ( x1 ? x2 ) 8 ? ( x1 ? x2 ) x1 ? 2 y2 y y k ( x1 ? 4) (x-2) ? 直线 AM 与 BN 的交点 P 的横坐标 x 满足: 1 (x+2)= 2 (x-2) ? (x+2)= x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2

+2),直线 BN:y=

k ( x 2 ? 4) 2 x x ? 6 x1 ? 2 x2 5( x1 ? x2 ) ? 8 ? 6 x1 ? 2 x2 (x-2) ? x= 1 2 = =1 ? 点 P 在一条定直线 x=1 上. x2 ? 2 3x2 ? x1 ? 8 3x2 ? x1 ? 8

例 6:椭圆中的中点性质.
[始源问题]:(2008 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)如图,过直线 l:5x-7y-70=0 上的点 P 作椭圆 x +
25
2

y2 =1 的两条 9

切线 PM、PN,切点分别为 M、N. (Ⅰ)当点 P 在直线 l 上运动时,证明:直线 MN 恒过定点 Q; (Ⅱ)当 MN∥l 时,定点 Q 平分线段 MN.

[解析]:(Ⅰ)设 P(7t+7,5t-5),则直线 MN 的方程为:


5t ? 5 7t ? 7 7 5 7 5 7 5 x+ y=1 ? ( x+ y)t+( x- y-1)=0,由 x+ y=0, 9 25 25 9 25 9 25 9

7 5 25 9 25 9 x- y-1=0 ? x= ,y=,- ); ? 直线 MN 恒过定点 Q( 25 9 14 10 14 10

(Ⅱ)MN∥l ? -2
25 ? 533 73

7t ? 7 5t ? 5 92 533 2 ? 533 2 y2 x2 : =5:(-7) ? t= =0,代入椭圆方程 + =1 得: x ? 直线 MN 的方程为:5x-7y9 25 533 35 9 25 72

x+25[(

533 5 ? 72

) -9]=0,设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=

2

25 ? 定点 Q 平分线段 MN. 7
2

[原创问题]:过点 Q(1,1)作己知直线 l:3x+4y=12 的平行线交椭圆 C: x +
4

y2 =1 于点 M、N. 3

(Ⅰ)分别过点 M、N 作椭圆 C 的切线 l1、l2.证明:三条直线 l1、l2、l 交于一点; (Ⅱ)证明:点 Q 是线段 MN 的中点; (Ⅲ)设 P 为直线 l 上一动点,过点 P 作椭圆 C 的切线 PA、PB,切点分别为 A、B,证明:点 Q 在直线 AB 上.

[解析]:(Ⅰ)设 M(x1,y1),N(x2,y2),切线 l1、 l2 交于点 P(x0,y0),由切线 l1:
y0) ?

x1 y x y x+ 1 y=1,切线 l2: 2 x+ 2 y=1 均过点 P(x0, 4 3 4 3

x y x y x1 y x y x0+ 1 y0=1, 2 x0+ 2 y0=1 ? 直线 MN: 0 x+ 0 y=1;又由直线 MN 过点 Q(1,1) ? 0 + 0 =1 ? 3x0+4y0=12 ? 点 P 4 3 4 3 4 3 4 3

在直线 l 上 ? 三条直线 l1、l2、l 交于一点; (Ⅱ)由直线 MN∥直线 l ?
x0 y x y 1 1 12 : 0 = : ,又 0 + 0 =1 ? x0=y0= ? 直线 MN:3x+4y=7 ? 点 Q 是线段 MN 的中点; 4 3 4 3 4 3 7

(Ⅲ)设 P(x0,y0),则直线 AB:3x0x+4y0y=12 ? 3x0x+(12-3x0)y=12 ? 点 Q 在直线 AB 上.

第 15 讲:极点与极线的性质

131
2

例 7:椭圆中的比例性质.
[始源问题]:(2011 年山东高考试题)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: x +y2=1.如图所示,斜率为 k(k>0)且不过原
3

点的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 E,射线 OE 交椭圆 C 于点 G,交直线 x=-3 于点 D(-3,m). (Ⅰ)求 m +k 的最小值; (Ⅱ)若|OG| =|OD||OE|. (i)求证:直线 l 过定点; (ii)试问点 B,G 能否关于 x 轴对称?若能,求出 此时△ABG 的外接圆方程;若不能,请说明理由. -3
2 2 2

D G E O

y A x

[解析]:(Ⅰ)设 E(-3λ ,mλ ),A(-3λ +t,mλ +kt),
则 B(-3λ -t,mλ -kt).由点 A、B 都在椭圆 C 上 ? ? m=k=1 时等号成立,所以 m +k 的最小值=2.
2 (Ⅱ)(i)设直线 OG 与椭圆 C 相交于另一点 T,则由椭圆 C 关于原点对称得:|OT|=|OG|.所以,|OG| =|OD||OE| ? EG ? DT + 2 2

? ?(?3? ? t ) 2 ? 3(m? ? kt ) 2 ? 3 2 2 ,两式相减得 mk=1 ? m +k ≥2mk=2,当且仅当 2 2 ? ?(?3? ? t ) ? 3(m? ? kt ) ? 3

ET ? DG =0,由轨迹 1 知,点 E 在直线-x+my=1 上,即直线 l 的方程为:-x+my=1 ? 直线 l 过定点(-1,0);

(ii)若点 B,G 关于 x 轴对称 ? 点 G(-3λ -t,-mλ +kt),由点 G 在直线 OE 上 ? (-3λ -t):(-3λ )=(-mλ +kt):mλ ? 6mλ +mt =3kt(注意到 mk=1) ? m (6λ +t)=3t ? t=
2

6m 2 3 ? m2

λ ,又由点 E 在直线 l 上 ? 3λ +m λ =1 ? λ =

2

1 3 ? m2

? B(-

3 3 ? m2

,-

m 3 ? m2

)?

1 1 3 3 1 3 1 1 2 2 5 3 m 2 2 ( ) +( ) =1 ? m=1,k=1,λ = ,t= ? A(0,1),B(- ,- ),G(- , ) ? △ABG 的外接圆方程:(x+ ) +y = . 4 3 3 ? m2 4 4 2 2 2 2 2 3 ? m2

[原创问题]:已知椭圆 C:
2

x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>b>0)内一点 P(2,1),射线 OP 与椭圆 C 交于点 N,与直线 l0:x+y-12=0 交于点 M,

满足|OP||OM|=|ON| ,且椭圆 C 在 N 处的切线平行于直线 l0. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 P 的任意一条直线 l 与直线 l0 交于点 Q,与椭圆 C 交于 A、B 两点(A 在 P 与 Q 之间),求证:|QA||PB|=|QB||PA|.

[解析]:(Ⅰ)由射线 OP:y= x(x≥0),直线 l0:x+y-12=0 ? M(8,4);设 N(2t,t)(t>0),由|OP||OM|=|ON|2 ?
+t ? t=2 ? N(4,2) ?
2

1 2

5 ?

80 =4t

2

16 a2

+

4 b2

=1,椭圆 C 在 N 处的切线:

4x a2

+

2y b2

=1;由切线平行于直线 l0 ?

4 a2

=

2 b2

? a =2b ? b =12,a

2

2

2

2

=24 ? 椭圆 C:

y2 x2 + =1; 24 12

(Ⅱ)设直线 l: ?
4(sin ? ? cos? ) 2 sin 2 ? ? cos2 ?

? x ? 2 ? t cos? y2 x2 2 2 2 (t 为参数),代入 + =1 得:(2sin θ +cos θ )t +4(sinθ +cosθ )t-18=0 ? t1+t2=y ? 1 ? t sin ? 12 24 ?
18 2 sin 2 ? ? cos2 ?

,t1t2=-

;代入 x+y-12=0 得:(sinθ +cosθ )t-9=0 ? tQ=
4(sin ? ? cos? ) 2 sin 2 ? ? cos2 ?
?

9 ;而|QA||PB|=|QB||PA| ? sin ? ? cos?

(tQ-t1)(-t2)=(tQ-t2)t1 ? (t1+t2)tQ-2t1t2=0 ? -

9 18 -2()=0 成立. sin ? ? cos? 2 sin 2 ? ? cos2 ?

[原创问题]:已知椭圆 C:

x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>b>0)内一点 P(2,1),过点 P 且平行于 x 轴直线被椭圆 C 截得的弦长为 4 6 ,过点

P 且平行于 y 轴直线被椭圆 C 截得的弦长为 2 10 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 P 的任意一条直线 l 与直线 l0:x+y-12=0 交于点 Q,与椭圆 C 交于 A、 B 两点,若 QA =λ AP , QB =μ BP .求证:λ +

132
μ 为定值.

第 15 讲:极点与极线的性质
x2 a
2

[解析]:(Ⅰ)由
10 ? a =
2

?

y2 b2
2

=1,令 y=1 得:|x|=

a b

b 2 ? 1 ;令 x=2 得:|y|=

b a

a 2 ? 4 ;由题知,

a b

b 2 ? 1 =2 6 ,

b a

a2 ? 4 =

24b 2 b ?1
2

,

b2 a
2

(a -4)=10 ?

b 2 ? 1 24b 2 y2 x2 2 2 ( 2 -4)=10 ? b =12 ? a =24 ? 椭圆 C: + =1; 24 12 24 b ?1

(Ⅱ)设直线 l: ?
4(sin ? ? cos? ) 2 sin 2 ? ? cos2 ?

? x ? 2 ? t cos? y2 x2 2 2 2 (t 为参数),代入 + =1 得:(2sin θ +cos θ )t +4(sinθ +cosθ )t-18=0 ? t1+t2=y ? 1 ? t sin ? 12 24 ?
18 2 sin 2 ? ? cos2 ?

,t1t2=,μ =

;代入 x+y-12=0 得:(sinθ +cosθ )t-9=0 ? tQ=
9 2(sin ? ? cos? ) t1 ? t 2 ? =2=0. sin ? ? cos? 9 t1t2

9 ;由 QA =λ AP , QB =μ BP sin ? ? cos?

?λ =

t1 ? tQ t1

t 2 ? tQ t2

? λ +μ =2-tQ ?

例 8:椭圆中的共线性质.
[始源问题]:(2002 年澳大利亚数学奥林匹克试题)己知△ABC 为锐角三角形,
以 AB 为直径的⊙K 分别交 AC、BC 于 P、Q,分别过 A 和 Q 作⊙K 的两条切线交 于点 R,分别过 B 和 P 作⊙K 的两条切线交于点 S.证明:点 C 在线段 RS 上. P R C Q S

[解析]:设⊙K:x +y =r ,R(-r,a),S(r,b) ? 点 R,S 对应的极线分别为:AQ:
2 2 2

-rx+ay=r ,BP:rx+by=r ? Q(

2

2

(a 2 ? r 2 )r a ?r
2 2

,

2ar2 a ?r
2 2

),P(-

(b2 ? r 2 )r b ?r
2 2

,

2br2 b2 ? r 2

)

A

K

B

a?b a ? ? x? r y ? ? (x ? r) ? ? b a ? ? a ? b ? C( a ? b r, 2ab ) r ? AP:y= (x+r),BQ:y=- (x-r),由 ? ? ? b 2ab a?b a?b r r ? y ? (x ? r) ? y? ? ? r a?b ? ?

? 点 C 对应的极线为:(a-b)rx+2aby=(a+b)r ,由三线:-rx+ay=r ,BP:rx+by=r ,(a-b)rx+2aby=(a+b)r 共点于(
2r 2 ) ? R,C,S 三点共线 ? 点 C 在线段 RS 上. a?b

2

2

2

2

a?b r, a?b

该题是平面几何定理: “过非等腰三角形的三个顶点作其外接圆的切线,顶点处的切线与其对边所在直线的交点共线.” 的变形,以该定理为始源,取其特殊情况,并把圆压缩为椭圆得:

[原创问题]:若对任意θ ∈[0,2π ),直线 l:xcosθ +2ysinθ -2=0 与椭圆 C:
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当θ ∈(0,

x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>b>0)均只有一个交点 M.

? )时,若直线 l 与 x 轴交于点 N,椭圆 C 的左、右顶点分别为 A、B,直线 BM 上的点 Q 满足 QA⊥x 轴,直线 2

AM 与 NQ 交于点 P,求点 P 的轨迹方程.

[解析]:(Ⅰ)由 ?
2 2 2

? x cos? ? 2 y sin? ? 2 ? 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 ? (a cos θ +4b sin θ )y -8b ysinθ +4b -a b cos θ =0 ? △=64b sin θ -4(a cos θ 2 2 2 2 2 2 b x ? a y ? a b ? 0 ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

+4b sin θ )(4b -a b cos θ )=0 ? a -4+(4b -a )sin θ =0 恒成立 ? a -4=0,4b -a =0 ? a =4,b =1 ? 椭圆 C: (Ⅱ)由 xcosθ +2ysinθ -2=0 ? N(
? Q(-2,

x2 2 +y =1; 4

sin? sin? 2 ,0);(Ⅰ)知,M(2cosθ ,sinθ ) ? 直线 AM:y= (x+2),BM:y= (x-2) 2 cos? ? 2 2 cos? ? 2 cos?

sin ? 2 sin? sin? sin? 2 2 sin? 2 ) ? 直线 NQ:y=-cotθ (x);令 (x+2)=-cotθ (x)? ( + )x= 1 ? cos? 2 cos? ? 2 2 cos? ? 2 cos? cos? cos? sin ? cos? ? 1

? x=2 ? 点 P 的轨迹方程 x=2(0<y<2).



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