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2015届高三石家庄质检一文科数学答案


石家庄市 2015 届高三第一次质量检测 数学文科答案
一、选择题: 1-5ACCDA 6-10 DDBDB 11-12 BB

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 28 ? 13. 3x ? y ? 1 ? 0 14.15 15. 16. ? 3 3 三、解答题 17. 解:(1)设 {an } 的公差为 d,由题意得 (1 ? 2d )2 ? 1(1 ? 8d ) , 得 d ? 1 或 d ? 0 (舍),????2 分 所以 {an } 的通项公式为 an ? 1 ? (n ? 1) 1 ? n .????????4 分 (2) S n ?

(1 ? n) n 1 2 ? , ,????????6 分 2 Sn n(n ? 1) 2 2 2 2 Tn ? ? ? ? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n( n ? 1)

∴ ? 2(1 ?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 2 3 3 4 1 2n ? 2(1 ? )? n ?1 n ?1

?

1 1 ? ) ????????8 分 n n ?1

????????10 分

18.
a b 因 为 c=2, 不 合 题 意 舍 去 , 所 以 ? ............2分 sin A sin B 5 c ? .....................................12 分 sinA=sin2B=2sinBcosB.........4分 2 sin A a 3 ? cos B ? ? ? .............6分 2sin B 2b 4 a 2 ? c2 ? b 2 9 ? c2 ? 4 cos B ? ? ................8分 2ac 6c 2c2 ? 9c ? 10 ? 0.............10分 5 解得c ? 2或c= ....................11分 2 解: A ? 2B,

19. 解:(1) x ? 158 ? 162 ? 163 ? 168 ? 168 ? 170 ? 171 ? 179 ? a ? 182 ?????2 分
10

? 170 ??????4 分
解得 a =179 所以污损处是 9.??????6 分 (2)设“身高为 176 cm 的同学被抽中”的事件为 A,

从乙班 10 名同学中抽取两名身高不低于 173 cm 的同学有:{181,173},{181,176},{181,178}, {181,179},{179,173},{179,176},{179,178},{178,173},{178,176},{176,173}共 10 个基本 事件,??????8 分 而事件 A 含有 4 个基本事件,??????10 分 4 2 ∴P(A)= = ??????12 分 10 5 20、 P (1) 分 别 取 PA 和 AB 中 点 M 、 N , 连 接 MN 、 ME 、 NF , 则

NF ∥ =

1 1 AD , ME∥ = 2 AD , 所以 NF ∥ = ME , ? 四边形 MEFN 为平行 2
N

M

E

四边形. -------------2 ? EF∥MN , 又 EF ? 平面PAB, MN ? 平面PAB, ? EF ∥

A

H D F

平面PAB . -------------4 (2)在平面 PAD 内作 EH ? AD于H , 因为侧棱 PA ⊥底面 ABCD , 所以平面 PAD ⊥底面 ABCD ,且平面 PAD ? 底面 ABCD =AD , 所以 EH ? 平面ADC ,所以 EH∥PA . -------------6 1 1 1 1 E 为 PD 的中点, EH ? , S ABF ? ? 1? ? 2 2 2 4 1 1 1 1 1 VE ? ABF ? S ABF EH ? ? ? ? -------------8 3 3 4 2 24 设点 F 到平面 ABE 的距离为 h 1 1 2 2 -------------10 ? VE ? ABF ? VF ? ABE , S ABE ? ? AB ? AE ? ?1? 2 2 2 4 1 1 S ABF EH ? S ABE h , 3 3 2 . -------------12 h? 4
解法 2:

B

C

APD中,PA ? AD, E为PD中点, 所以 AE ? PD 侧棱 PA ⊥底面 ABCD ,所以 PA ? AB , 又因为 AD ? AB , 所以 AB ? 平面PAD, 所以AB ? PD 所以 PD ⊥平面 ABE -----------------8 设点 F 到平面 ABE 的距离为 h , F 为 AC 的中点且底面 ABCD 为正方形,
所以 F 为 BD 的中点. 则 h=

1 2 DE ? . 2 4

-------------12

21.解: (1)设 A( x0 ,0) ,B(0, y0 ) ,P( x, y ) ,由 BP ? 2 PA 得, ( x, y ? y0 ) ? 2( x0 ? x, ? y) ,

3 ? ? x ? 2( x0 ? x) ? x0 ? x 即? ?? 2 ,————————————————————2 分 y ? y ? ? 2 y 0 ? ? ? y0 ? 3 y 3 2 x2 2 2 2 ? y 2 ? 1 ,这就是点 P 的轨迹方程。 又因为 x0 ? y0 ? 9 ,所以 ( x ) ? (3 y ) ? 9 ,化简得: 2 4

————————————————————4 分 (2)当过点(1,0)的直线为 y ? 0 时, OM ON ? (2,0) (-2,0) ? ?4

? x2 ? ? y2 ? 1 当过点 (1,0) 的直线不为 y ? 0 时可设为 x ? ty ? 1 , A ( x1 ,y1 ) , B ( x 2 ,y2 ) 联立 ? 4 ? x ? ty ? 1 ? 2 t 3 并化简得: (t 2 ? 4) y 2 ? 2ty ? 3 ? 0 ,由韦达定理得: y1 ? y2 ? ? 2 , y1 y2 ? ? 2 , t ?4 t ?4
————————————————————6 分

OM ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? (ty1 ? 1)(ty2 ? 1) ? y1 y2 ? (t 2 ? 1) y1 y2 ? t ( y1 ? y2 ) ? 1
所以

? (t 2 ? 1)
2

?3 ?2t ?4t 2 ? 1 ?4(t 2 ? 4) ? 17 17 ? t ? 1 ? ? ? ?4 ? 2 2 2 2 2 t ?4 t ?4 t ?4 t ?4 t ?4
————————————————————10 分
2 2

恒成 ?1 2 t( ? 4 )? 1 t 6 ? 48 ? 0 立,所以 t?R ,对于上式,当 t ?0 时, 1 OM ON ? m a x 4 1 综上所述 OM ON 的最大值为 ????????????????12 分 4 22.解析: (1)当 a ? 3 时, f ( x) ? ln x ? x2 ? 3x , f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,................1 分 又 由 ? ?4t

?

?

1 1 ? 2 x 2 ? 3x ? 2x ? 3 ? x x 1 当 0 ? x ? 或 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,..........................3 分 2 1 当 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , 2 1 1 ? f ( x) 的单调递增区间为 (0, ), (1, ??) ,单调递减区间为 ( ,1) ...............5 分 2 2 2 1 1 ? 2 x ? ax (2)解法一: f ?( x) ? ? 2 x ? a ? x x 2 2 令 u( x) ? 2 x ? ax ? 1 ,则 ? ? a ? 8 , f ?( x) ?
1 当 ? ? 0 ,即 ?2 2 ? a ? 2 2 时, f ?( x) ? 0 恒成立, x ? 1 ? f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增,

f ( x) ? f (1) ? 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 ,所以 a ? (?2 2,1] ;
2 当 ? ? 0 ,即 a ? ?2 2 时, f ?( x) ? 0 恒成立, x ? 1 ,? f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增,

f ( x) ? f (1) ? 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 ,所以 a ? ?2 2 ;.................7 分
3 当 ? ? 0 ,即 a ? ?2 2 或 a ? 2 2 时,

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , x2 ? 4 4 若 a ? ?2 2 ,两个根 x1 ? x2 ? 0 , 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,? f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增,
方程 u ( x) ? 0 有两个实数根 x1 ?

则 f ( x) ? f (1) ? 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 ,所以 a ? ?2 2 ; ..............9 分 若 a ? 2 2 , u ( x) ? 0 的两个根 0 ? x1 ? x2 ,

f (1) ? 1 ? a ? 0 ,且 f ( x) 在 (1, ??) 是连续不断的函数 ? 总存在 x0 ? 1 ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,不满足题意. ......................11 分 综上,实数 a 的取值范围为 (??,1] . ................12 分

ln x ? x 2 解法二:由 f ( x) ? 0 ,得 a ? 在 x ? 1 时恒成立,............7 分 x 1 ? x 2 ? ln x ln x ? x 2 令 g ( x) ? ,则 g ?( x) ? x2 x 1 2 x2 ?1 ?0 令 h( x) ? 1 ? x2 ? ln x ,则 h?( x) ? 2 x ? ? x x ? h( x) 在 (1, ??) 为增函数, h( x) ? h(1) ? 2 ? 0 ...........10 分 ? g ?( x) ? 0 ,? g ( x) 在 (1, ??) 为增函数 ? g ( x) ? g (1) ? 1 ,所以, a ? 1 ,即实数 a 的取值范围为 (??,1] . ............12 分


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