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2014届《高考复习方案》一轮:第3单元-三角函数、解三角形-数学(文科)



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第三单元

三角函数、解三角形

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第16讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 第17讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 第18讲 三角函数的图象与性质 第19讲 函数y=Asin(ω x+φ )的图象与性质及三角函 数模型的简单应用 第20讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第21讲 简单的三角恒等变换 第22讲 正弦定理和余弦定理 第23讲 正弦定理和余弦定理的应用

单元网络

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核心导语
一、三角函数图象 1.变换——考查图象变换. 2.性质——三角函数的性质. 二、三角恒等变换 1.公式——对公式的正用、逆用、变形运用. 2.应用——解决化简、求值、证明问题. 3.解三角形 应用——利用正弦、余弦定理进行边、角互化,结合 三角公式恒等变换化简并求解.

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使用建议
1.编写意图 在编写中注意到的问题: (1)突出考查对基础知识、基本方法的讲解和训练,控 制难度; (2)突出强调转化思想、数形结合思想、换元思想在求 解函数y=Asin(ωx+φ)+B的性质中的应用; (3)适当加入三角函数在实际生活中的应用问题,提高 学生应用数学知识解决实际问题的能力.

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使用建议
2.教学指导 (1)该单元内容在每年的高考中都会重点考查,但考查 难度不大,教师在复习此单元的时候,应该注重基础知识, 不必一味追求难题、偏题和怪题,要帮助学生理清知识点 之间的联系,如用单位圆中三角函数线来推导诱导公式; 用C(α-β)推导其余的和差角公式和二倍角公式; (2)由于本单元内容难度不大,在教学中要充分发挥学 生自主学习、独立思考的习惯,同时注重对学生计算能力 的训练,提高计算的准确性和速度; (3)本单元蕴含了丰富的数学思想方法,如转化思想和 数形结合思想等,在教学中要充分引导学生善于运用这些 思想方法解题.
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使用建议
3.课时安排 本单元包括8讲﹑两个45分钟滚动基础训练卷及一个 单元能力检测卷,第19、20讲建议各2课时,其余每讲, 两个45分钟滚动基础训练卷及一个单元能力检测卷建议各 1课时完成,大约共需13课时.

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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第16讲 任意角和弧度制 及任意角的三角函数

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考试大纲
1.了解任意角的概念. 2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

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第16讲
双 向 固 基 础

任意角和弧度制及任意角的三角函数

—— 知 识 梳 理 ——

一、角的概念的推广 1. 任意角: (1)定义: 角可以看成平面内的________ 一条射线 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 图形 ________ ; (2) 分 类 : 角 按 旋 转 方 向 分 为 正角、负角和零角 ____________________. 2.与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,构成的 {β|β=α+k· 360°,k∈Z} 角的集合是 S=_____________________. 3.象限角:使角的顶点与坐标原点重合,角的始 边与 x 轴的非负半轴重合, 那么, 角的终边在第几象限, 就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上, 那么这个角不属于任何一个象限.
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第16讲
双 向 固 基 础

任意角和弧度制及任意角的三角函数

二、弧度与角度的互化 半径 1.定义:把长度等于________长的弧所对的圆心 角叫做 1 弧度的角,正角的弧度数是正数,负角的弧 度数是负数,零角的弧度数是零. π 2.角度制和弧度制的互化:180°=________rad,
?180? π ? ? ? π ?° 180 1°=________rad,1 rad=________. ? ?

|α |r 3.扇形的弧长公式:l=________,扇形的面积公
1 1 lr |α |r2 式:S=________=________. 2 2

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第16讲
双 向 固 基 础

任意角和弧度制及任意角的三角函数

3.求函数解析式的方法:
三角函数 正弦 余弦 正切

设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y), 那么 定义

y _____叫做α的正弦, 余弦,记作 记作sinα cosα
正 ________
________ 正 ________ 负

x ______叫做α的

y ______叫做α的 x
正切,记作 tanα


各 象 限 符 号 Ⅱ Ⅲ Ⅳ

正 ________

正 ________ 负 ________ 正 ________ 负 ________

负 ________
________ 负

负 ________

正 ________

口诀

Ⅰ全正,Ⅱ正弦,Ⅲ正切,Ⅳ余弦
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第16讲
双 向 固 基 础 三角 函数

任意角和弧度制及任意角的三角函数

正弦

余弦

正切

三角 函 数线

MP 有向线段______为 正弦线

OM AT 有向线段______为 有向线段______ 余弦线 为正切线

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第16讲
双 向 固 基 础

任意角和弧度制及任意角的三角函数

—— 疑 难 辨 析 ——

1.角的有关概念 (1)将表的分针拨快 10 分钟,则分针转过的角度 π 是 .( ) 3 (2)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定 相等.( ) (3)已知 A={小于 90°的角}, B={第一象限角}, 则 A∩B={α|0°<α <90°}.( ) (4)终边与坐标轴重合的角 α 的集合为{α|α=k· 180 °+90°,k∈Z}.( )
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第16讲
双 向 固 基 础

任意角和弧度制及任意角的三角函数

[答案] (1)? (2)? (3)? (4)?

[解析] (1)∵将表的分针拨快 10 分钟,是顺时针转,∴ π 分针转过的角度是- . 3 (2)终边相同的角有无数个,它们之间相差 360°的整数 倍. (3)因为小于 90°的角,可能是 0°~89°的角,也可能 是小于 0°的角,故 A∩B={α|k· 360°<α <90°+k· 360°, k∈Z 且 k≤0}. (4)当角 α 的终边在 x 轴上时,可表示为 k· 180°,k∈Z. 当角 α 的终边在 y 轴上时, 可表示为 k· 180°+90°, k∈Z.∴ 当角 α 的终边在坐标轴上时,可表示为 k· 90°,k∈Z.
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第16讲
双 向 固 基 础

任意角和弧度制及任意角的三角函数

2.任意角的三角函数的定义 (1) 已知 sin α ≥0 ,cosα ≥0 ,则 α 是第 一象限 角.( ) ? 1 3? ? (2)角 α 终边上点 P 的坐标为?- , ?, 那么 sinα = 2 2? ? ? 3 1 ,cosα =- ;同理角 α 终边上点 Q 的坐标为(x0,y0), 2 2 那么 sinα =y0,cosα =x0.( ) 2 (3)若点 P 在角 π 的终边上,且|OP|=2,则点 P 的 3 坐标为(-1,- 3).(
[答案] (1)? (2)?

)
(3)?
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第16讲
双 向 固 基 础

任意角和弧度制及任意角的三角函数

[解析] (1)由 sinα ≥0 知, 终边在第一象限或第二象限, α 或 x 轴,或 y 轴的非负半轴上;由 cosα ≥0 知,α 终边在第 一象限或第四象限,或 y 轴,或 x 轴的非负半轴上.故 α 终 边在第一象限, x 轴的非负半轴上, y 轴的非负半轴上. 或 或 ? 1 3 3? ? ? (2)点 P?- , ?在单位圆上, 所以 sinα = , cosα = 2 2? ? 2 1 - ;而 Q(x0,y0)不一定在单位圆上,所以 sinα =y0,cos 2 α =x0 不一定成立. ? 1? 2 (3)根据三角函数的定义,x=|OP|cos π =2??-2?=- ? ? 3 ? ? 2 3 1.y=|OP|sin π =2? = 3,∴P 点的坐标为(-1, 3). 3 2
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第16讲
双 向 固 基 础

任意角和弧度制及任意角的三角函数

3.三角函数线的应用
? π ? (1)α∈?0, 2 ? ? ? ?,则 ?

tanα >α>sinα .(

) )

(2)α 为第一象限角,则 sinα +cosα >1.(

[答案]

(1)√ (2)√

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第16讲
双 向 固 基 础

任意角和弧度制及任意角的三角函数

[解析] (1)设角 α 与单位圆交于 P,则 MP=sinα ,AT=tan 1 α ,如图所示,PA 的长 l=α.连接 AP,△POA 的面积= 2 1 1 1 OA? MP= sinα ., 扇形 OAP 的面积= l? OA= α , △OAT 2 2 2 1 1 1 的面积= OA?AT= tanα .∵S△POA<S 扇形 OAP<S△OAT,即 sin 2 2 2 1 1 α < α < tanα ,∴sinα <α <tanα . 2 2 (2)令 MP=sinα ,OM=cosα , ∵MP+OM>OP=1, ∴sinα +cosα >1.

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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

考点统计
点 面 讲 考 向 1.角的集合的表示

题型(考频)
0

题型示例(难度)

2.三角函数的定义及 其应用
3.扇形的弧长、面积 公式及其应用

选择(1) 解答(1)
0

2010年T6(B), 2011年T17(A)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年课程标准卷.

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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

?

探究点一

角的集合的表示

点 面 讲 考 向

例 1 (1)如果 α 是第三象限角,那么 2α 的终边落在 __________________. 6π (2)若角 θ 的终边与角 的终边相同,在[0,2π )内终 7 θ 边与 角的终边相同的角为__________________. 3

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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

点 面 讲 考 向

思考流程 (1)分析:在弧度制下表示第三象限角;推 理:找出 2α 的范围;结论:得出角的终边位置. 6π (2)分析: 写出与角 的终边相同的角 θ 的集合; 推理: 7 θ 找出与 角的终边相同的角的集合,讨论 k 的可能取值; 3 θ 结论:得出[0,2π )内终边与 角的终边相同的角. 3

[答案] (1)第一、二象限及 y 轴的非负半轴上 2π 20π 34π (2) , , 7 21 21
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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

点 面 讲 考 向

3π [解析] (1)由 α 是第三象限角得π +2kπ <α< +2k 2 π (k∈Z),得 2π +4kπ <2α<3π +4kπ (k∈Z), ∴角 2α 的终边在第一、二象限及 y 轴的非负半轴上. 6π θ 2π 2kπ (2)依题意得 θ= +2kπ (k∈Z),∴ = + 7 3 7 3 (k∈Z), 2π 2kπ 3 18 由 0≤ + <2π ?- ≤k< (k∈Z), 7 3 7 7 θ ∴k=0,1,2,即在[0,2π )内终边与 角的终边相同 3 2π 20π 34π 的角为 , , . 7 21 21

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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

点 面 讲 考 向

点评 表示某象限内的角或终边落在某条直线上的 角,需要正确写出终边相同的角的表达式,特别是对参数 k∈Z的限制.有时需要进行集合的交或并运算,使表达式 得以化简.求集合内的某些角,有时需要对k∈Z具体赋 值.

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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①利用终边相同的角的集合S={β|β=2kπ +α,k∈Z}判断一个角β所在的象限时,只需把这个角写 成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和,然后判断 角α的象限. ②利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角, 方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后 通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.

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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

?

探究点二

三角函数的定义的应用

点 面 讲 考 向

例 2 (1)[2011· 课程标准卷] 已知角 θ 的顶点与原点重合, 始边与 x 轴的正半轴重合, 终边在直线 y=2x 上, cos2θ = 则 ( ) 4 3 A.- B.- 5 5 3 4 C. D. 5 5 (2)[2012· 佛山模拟] 已知点 P(tanα ,cosα )在第三象限, 则角α 的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

点 面 讲 考 向

思考流程 (1)分析:设点 P(x0,y0)(x0≠0)是 θ 终边上一 y0 点,则 y0=2x0,tanθ = =2;推理:cos2θ =cos2θ -sin2 x0 cos2θ -sin2θ 1-tan2θ θ = 2 = ;结论:得出 cos2θ 的值. cos θ +sin2θ 1+tan2θ (2)分析:点 P 在第三象限,tanα <0,且 cosα <0; 推理:由 tanα <0,知 α 的终边在第二或第四象限,由 cos α <0,知 α 的终边在第二或第三象限,或 x 轴的非正半轴 上;结论:α 的终边在第二象限.
[答案] (1)B (2)B

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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

点 面 讲 考 向

[解析] (1)设点 P(x0,y0)(x0≠0)是 θ 终边上一点,则 y0 =2x0. y0 由三角函数定义,tanθ = =2,则 cos2θ =cos2θ - x0 sin2θ cos2θ -sin2θ 1-tan2θ 1-22 3 = 2 = = =- . 5 cos θ +sin2θ 1+tan2θ 1+22 (2)∵点 P(tanα ,cosα )在第三象限, ∴tanα <0,且 cosα <0. 由 tanα <0,知 α 的终边在第二或第四象限, 由 cosα <0,知 α 的终边在第二或第三象限,或 x 轴 的非正半轴上,因此角α 的终边在第二象限.

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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

点 面 讲 考 向

点评 (1)已知角θ的终边所在的直线方程,可先设出 终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角 函数的定义来求相关问题. (2)主要利用三角函数值在各象限的符号规律,但要注 意角α是满足两个条件的公共解.

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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①三角函数的定义中,P(x,y)是单位圆上 y 的点才有 sinα=y,cosα=x,tanα= ,但是若不是单位圆 x y x y 时,如圆的半径为 r,则 sinα= ,cosα= ,tanα= . r r x ②若已知角 α 的终边上有异于原点的点的坐标 A(x, y),求角 α 的三角函数值时,则应先求|OA|=r,然后再利 y x y 用定义 sinα= ,cosα= ,tanα= 求解. r r x

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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

点 面 讲 考 向

变式题 (1)[2012· 长春调研] 已知锐角 α 的终边上一 点 P(1+sin50°,cos50°),则锐角 α=( ) A.80° B.70° C.20° D.10° (2)[2012· 杭州模拟] 已知角 α 的终边经过点(3a-9,a +2), cosα ≤0, 且 sinα >0, 则实数 a 的取值范围是( ) A.(-2,3] B.(-2,3) C.[-2,3) D.[-2,3]

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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

[答案]

(1)C (2)A

[解析]
点 面 讲 考 向

cos50° sin40° (1)tan α = = = 1+sin50° 1+cos40°

2sin20°cos20° =tan20°. 2 2cos 20° 又 α 是锐角,所以 α=20°.故选 C. (2)由 cosα ≤0,sinα >0 可知,角 α 的终边落在第二 象限内或在 y 2<a≤3.
?3a-9≤0, ? 轴的正半轴上,所以有 ? 即- ?a+2>0, ?

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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

?

探究点三
例3

扇形弧长公式与面积公式的应用

已知扇形的周长为 4 cm, 当它的半径为________

点 面 讲 考 向

和圆心角为________弧度时,扇形面积最大,这个最大面 积是________.

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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

思考流程

分析:依据弧长公式列出半径和圆心角关

系;推理:求出扇形面积;结论:得出函数的最值.
点 面 讲 考 向

[答案] 1 cm 2

1 cm2

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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

点 面 讲 考 向

[解析] 设扇形的圆心角为 α,半径为 r,弧长为 l,面积 为 S. 4 方法一:由 2r+l=2r+r|α|=4,得 r= , 2+|α| 1 1 42 8 2 则 S = | α |r = | α | ? ≤ 2= 2 2 4 (2+|α|) +4+|α| |α | 8 =1, 4 4+2 · |α| |α| 4 4 当且仅当 =|α|,即 α=2 时等号成立,此时,r= |α | 2+|α| =1,故当半径 r=1 cm,圆心角 α=2 弧度时,扇形的面积最 大,最大值是 1 cm2.
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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

点 面 讲 考 向

4-2r 方法二:由 2r+l=2r+r|α|=4,得|α|= , r 1 1 4-2r 2 2 则 S= |α |r = ? ?r =2r-r2=-(r-1)2+1, 2 2 r 当 r=1 时,S 有最大值 1,故当半径 r=1 cm,圆心角 α =2 弧度时,扇形的面积最大,最大值是 1 cm2.

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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

点 面 讲 考 向

1 (1)扇形的面积公式中的 rl 类似于三角形的面积 2 公式,弧长相当于三角形的底,半径相当于三角形的高,再根 1 据弧长公式就有 |α |r2,可以使用这个方法记忆扇形的面积公 2 式;求解的目标函数含有两个变量,其基本思路是“消元”; 法二比法一更简捷, 因此在建立函数模型时, 引入的自变量不 同,其函数模型也不同,于是解析也有优劣之分. (2)扇形的圆心角 θ、半径 r、弧长 l、面积 S 之间有下列 比例关系: θ l S = = 2. 2π 2π r π r 点评

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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

归纳总结

涉及弧长和扇形面积的计算时,可用的公式

有角度表示和弧度表示两种,其中弧度表示的公式结构简单,
点 面 讲 考 向

易记好用,在使用前,应将圆心角用弧度表示.弧长和扇形面 1 2 积公式:l=|α|R,S= |α|R . 2

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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

点 面 讲 考 向

变式题 (1)已知扇形的半径为 10 cm, 圆心角为 120°, 则扇形的弧长为________,面积为________. (2)设扇形的周长为 8 cm,面积为 4 cm2,则扇形的圆心 角的弧度数是________.

[答案]

20 100 (1) π cm π cm2 3 3

(2)2 rad

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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

点 面 讲 考 向

2π 20 [解析] (1)圆心角 α= ,弧长 l=αr= π (cm),面积 3 3 1 2 100 S= α r = π (cm2). 2 3 1 1 (2)由已知得 S= lr= (8-2r)r=4,即 r2-4r+4=0, 2 2 l 解得 r=2,于是 l=4,∴|α|= =2 rad. r

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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

易错究源5


三角函数定义使用中的错误
[2011· 江西卷] 已知角 θ 的顶点为坐标原点,始

边为 x 轴的正半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上一点,且 sin 2 5 θ =- ,则 y=________. 5
多 元 提 能 力

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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

2 5 错解 因 P(4, y)是角 θ 终边上一点, sinθ =- 且 , 5 2 5 ∴sinθ =y=- . 5

[错因] 题中 P 点不在单位圆上, 不能直接用定义表示 sinθ .
多 元 提 能 力

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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

[正解] 若角 α 终边上任意一点 P(x,y),|OP|=r,则 y x y sinα= ,cosα= ,tanα= .P(4,y)是角 θ 终边上一点,由 r r x y 2 5 三角函数的定义知 sinθ= 2,又 sinθ=- 5 , 16+y
多 元 提 能 力

y 2 5 ∴ 2=- 5 ,解得 y=-8. 16+y

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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

(

自我检评 (1)角 α 终边过点 P(-1,2),则 sinα 等于 ) 5 2 5 A. B. 5 5 5 2 5 C.- D.- 5 5 (2)点 M(x, y)在角 α 的终边上, 3sinα -cosα =0, 若

多 元 提 能 力

则 x,y 所满足的关系是( A.x+ 3y=0 C. 3x+y=0

) B.x- 3y=0 D. 3x-y=0

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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

[答案]

(1)B (2)B
2 2

多 元 提 能 力

2 [解析] (1)由 r=|OP|= (-1) +2 = 5, sinα = 得 5 2 5 = ,∴选 B. 5 3 y 3 (2)由 3sinα -cosα =0 得 tanα = ,所以 = ,即 x 3 x 3 - 3y=0.故选 B.

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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

备选理由 例1是对探究点二的拓展;例2补充角所在 的象限与角的三角函数值的符号之间的关系.

教 师 备 用 题
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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

例 1 已知角 α 终边上一点 P 到 x 轴的距离和到 y 轴 的距离之比为 3∶4,求 2sinα +cosα 的值.

教 师 备 用 题
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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

教 师 备 用 题

解:由已知,点 P 到 x 轴的距离和到 y 轴的距离之比 为 3∶4,不妨设|OP|=5. 若角 α 终边在第一象限,则 P(4,3), 3 4 2sinα +cosα =2? + =2; 5 5 若角 α 终边在第二象限,则 P(-4,3), 3 ? 4? 2 2sinα +cosα =2? +?-5?= ; 5 ? ? 5 ? ? 若角 α 终边在第三象限,则 P(-4,-3), ? 3? ? 4? 2sinα +cosα =2??-5?+?-5?=-2; ? ? ? ? ? ? ? ? 若角 α 终边在第四象限,则 P(4,-3), ? 3? 4 2 ? ? 2sinα +cosα =2??-5?+ =- . 5 ? ? 5
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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

例 2 (1)如果点 P(sinθ ?cosθ ,2cosθ )位于第三象 限,试判断角 θ 的终边所在的象限; sin(cosθ ) (2)若 θ 是第二象限角,则 的符号是什 cos(sin2θ ) 么?

教 师 备 用 题
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第16讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

解:(1)因为点 P 在第三象限,∴sinθ ?cosθ <0 且 2cos θ <0, 因此必有 sinθ >0,cosθ <0,故 θ 的终边在第二象限. (2)因为 θ 是第二象限角, 所以 cosθ <0, 且-1<cosθ <0, 即 cosθ 是第四象限角,因此 sin(cosθ )<0. 又 sin2θ =2sinθ ?cosθ <0,所以-1≤sin2θ <0, 即 sin2θ 也是第四象限角,因此 cos(sin2θ )>0. sin(cosθ ) 故 <0. cos(sin2θ )
教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第17讲 同角三角函数的基本 关系式与诱导公式

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考试大纲
1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1, =tanx. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的 正弦、余弦、正切的诱导公式.

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第17讲
双 向 固 基 础

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

—— 知 识 梳 理 ——

一、同角三角函数的基本关系 sin2α +cos2α =1 1.平方关系:______________,其等价形式为: 1-sin2α sin2α =1-cos2α ,cos2α =________.
sinα tanα = cosα 2.商数关系:____________,其等价形式为:sin

sinα tanα cosα α =___________,cosα = . tanα

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第17讲
双 向 固 基 础

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

二、六组诱导公式
组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ+α (k∈Z) sinα cosα tanα 二 π+α 三 -α 四 π-α sinα 五 -α 六 +α

-sinα -sinα ______ ______ -cosα ______

cosα cosα ______ ______

cosα

-cosα ______ ______ -sinα ______ sinα

tanα

-tanα -tanα ______ ______

函数名不变,符号看象限

函数名改变, 符号看象限
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第17讲
双 向 固 基 础

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

—— 疑 难 辨 析 ——
1.同角三角函数的基本关系 sinα (1)sin α + cos α = 1 , tan α = 中角 cosα
2 2

α∈R.( ) (2)知道 sinα ,cosα ,tanα 中任意一个值,根据 同角三角函数关系式便可以求出另外两个.( ) m-3 4-2m (3) 已 知 sin θ = , cos θ = ,其中 m+5 m+5
?π θ∈? ?2 ?

,π

? ? ?,则 ?

m<-5 或 m≥3.(

)

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

3-1 (4)已知 θ∈(0,π ),sinθ +cosθ = ,则 tanθ 2 3 的值为- 3或- .( ) 3 1+2sinα cosα 1 (5) 已 知 tan α = - , 则 的值是 2 sin2α -cos2α 1 - .( ) 3

[答案] (1)?

(2)√

(3)?

(4)?

(5)√

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

sinα [解析] (1)sin α +cos α =1 中角 α∈R, =tanα 中 cosα
2 2

? ? π 角α ≠ +kπ ,k∈Z?. ? 2 ? 2 2 (2)根据同角三角函数关系式 sin α +cos α =1, tanα =

? ? 的取值范围是?α ? ?

? ? ?α ?

sinα , 只要给定任意一个三角函数值, 便可以求出另两个值 cosα (若知道 α 在某一个象限,则解唯一,否则可能有两解).
?m-3? ? ? m-3 4-2m ? ?2 ?4-2m?2 (3)由已知有 ≥0, ≤0,且? +? ? m+5? m+5 m+5 ? ? ? m+5 ?

=1,故 m=8.

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

3-1 (4)由 sinθ +cosθ = 两边平方得 sinθ ? cosθ =- 2 sinθ ?cosθ tanθ 3 3 ,由 sinθ ?cosθ = 2 = =- ,解 2 2 4 4 sin θ +cos θ 1+tan θ 3 得 tanθ =- 3或 tanθ =- .由于 θ∈(0,π ),0<sinθ + 3
?π ? 1 ? cosθ = ( 3-1)<1,∴θ∈? ,π ?,|sinθ |>|cosθ |,∴|tan ? 2 ?2 ?

θ |>1, 即

?π θ∈? ?2 ?

3 3 ? ? ∴tanθ <-1, ∴tanθ =- 舍去. 故 , π ?, 3 4 ?

tanθ =- 3.
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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

1+2sinα cosα sin2α +2sinα cosα +cos2α (5) = = 2 2 2 2 sin α -cos α sin α -cos α sinα +cosα tanα +1 1 = =- . 3 sinα -cosα tanα -1

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

2.诱导公式 (1)sin(kπ +α)=sinα (k∈Z).( ) (2)π +α 和 α 终边关于 y 轴对称.(
?π ? (3)三角函数诱导公式就是将角 n· ?2 ?

) (n∈Z)的三

? ? ?±α ?

角函数转化为角 α 的三角函数,口诀是:奇变偶不变,符 号看象限,其中 α 为锐角.( )

[答案] (1)?

(2)?

(3)?

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

[解析] (1)k=2n(n∈Z)时,sin(kπ +α)=sinα ;k=2n- 1(n∈Z)时,sin(kπ +α)=-sinα . (2)π +α 和 α 终边关于原点对称. (3)其中 α 为任意角.

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

考点统计
点 面 讲 考 向 1.同角三角函数基本 关系式及应用 2.诱导公式及应用

题型(考频)
选择(2) 0 0

题型示例(难度)
2009年T4(A), 2010年T10(A)

3.三角形中的诱导公 式

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年课程标准卷.

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

?

探究点一

同角三角函数基本关系式及应用

点 面 讲 考 向

cosα 例 1 (1)若角 α 的终边落在第三象限,则 + 2 1-sin α 2sinα 的值为( 2 1-cos α A.3 (2)若
? π ? α∈?0, 2 ?

) D.-1
2

B.-3 C.1
? ? ?,且 ?

1 sin α +cos2α = ,则 tanα 的值 4 D. 3

等于( ) 2 3 A. B. C. 2 2 3

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

点 面 讲 考 向

思考流程 (1)分析:角 α 的终边落在第三象限,sinα <0,cosα <0;推理:把 sin2α +cos2α =1 变形为 sin2α = 1-cos2α ,cos2α =1-sin2α 化简;结论:得出原式的值. (2)分析: 用二倍角公式 cos2α =cos2α -sin2α 使角变 为单角;推理求出 cos2α ,sin2α ,然后求出 tan2α ;结论: 求出正切值.

[答案] (1)B (2)D

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

[解析] (1)由角 α 的终边落在第三象限得 sinα <0,cosα <0,
点 面 讲 考 向

cosα 2sinα cosα 2sinα 故原式= + =- - =-1-2= |cosα | |sinα | cosα sinα -3. 1 1 2 2 2 (2)∵sin α +cos2α = ,∴sin α +cos α -sin α = , 4 4 1 3 2 2 2 则 cos α = , ∴sin α = 1 - cos α = , tan2 α = 3. 又 4 4
2

? π ? α∈?0, 2 ?

? ? ?,因此 ?

tanα = 3.

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

点评

对公式的应用要求准确、灵活,尤其是利用平

方关系 sin2θ +cos2θ =1 及其变形形式 sin2θ =1-cos2θ
点 面 讲 考 向

或 cos2θ =1-sin2θ 进行开方运算时,特别注意符号的判 断.

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

点 面 讲 考 向

①利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正 sinα 弦、余弦的互化,利用 =tanα 可以实现角 α 的弦切互 cosα 化. ②应用公式时注意方程思想的应用:对于 sinα+cosα, sinαcosα , sinα - cosα 这 三 个 式 子 , 利 用 (sinα± cosα)2 = 1± 2sinαcosα,可以知一求二. ③注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α =1-cos2α,cos2α=1-sin2α,sinα=tanαcosα. 归纳总结

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

变式题
? tan?θ ? ?

(1)[2013· 银川月考] 若 sinθ +cosθ = 2, 则

点 面 讲 考 向

π? ? ) + ?的值是( 3? A.2- 3 B.-2- 3 C.2+ 3 D.-2+ 3

sinα +3cosα (2)已知 =5,则 sin2α -sinα cosα 的值 3cosα -sinα 是( ) 2 A. 5 C.-2 2 B.- 5 D.2

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

[答案]

(1)B (2)A
?sinθ +cosθ = 2, ? (1)由 ? 2 解得 ?sin θ +cos2θ =1, ?

点 面 讲 考 向

[解析]

sinθ =cos

? sinθ 2 π? ? θ = , 所 以 tan θ = = 1. 所 以 tan ?θ + ? = 2 3? cosθ ? ?

π tanθ +tan 1+ 3 3 = =-2- 3. π 1-1? 3 1-tanθ tan 3

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

sinα +3cosα tanα +3 (2)由 =5,得 =5,解得 tanα 3cosα -sinα 3-tanα
点 面 讲 考 向

sin2α -sinα cosα = 2. 所 以 sin2 α - sin α cos α = = 2 2 sin α +cos α tan2α -tanα 2 = . 2 5 tan α +1

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

?

探究点二

诱导公式及应用
)

点 面 讲 考 向

例 2 (1)[2012· 深圳调研] tan2 012°∈( ? ? 3 ? 3? ? ? ? A.?0, ? B.? ,1? ? 3? ? ? 3 ? ? ? 3? 3 ? ? ? ? C.?-1,- ? D.?- ,0? ? 3? 3 ? ? ? (2)[2012· 太原模拟] 已知 sin(π sinα cosα 等于( 2 A. 5 2 2 C. 或- 5 5 )

?π -α)=-2sin? ?2 ?

? ? +α?,则 ?

2 B.- 5 1 D.- 5
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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

点 面 讲 考 向

思考流程 (1)分析:若求 tan2 012°的范围,必须使 2 012°变为锐角,和特殊角比较大小,利用特殊角的函数值 得出范围; 推理: 利用诱导公式 tan(α+k· )=tanα , 2π k∈Z, tan(π +α)=tanα 化简;结论:根据正切函数单调性得出结 论. ?π ? ? (2)分析: 根据诱导公式 sin(π -α)=sinα , ? +α?= sin ? ?2 ? cosα 化简等式 sin(π
?π -α)=-2sin? ?2 ? ? ? +α?;推理:得出 ?

sin

α =-2cosα ,借助 sin2α +cos2α =1;结论:得到答案.
[答案] (1)B (2)B

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

点 面 讲 考 向

[解析] (1)tan2 012°=tan(1 800°+212°)=tan212° =tan(180°+32°)=tan32°, 3 又 30°<32°<45°,∴ <tan32°<1.∴选 B. 3 (2)∵sin( π - α) = - 2sin
?π ? ?2 ? ? ? +α? ?



?sinα =-2cosα , ? ∴? 2 ?sin α +cos2α =1, ?
2

4 ∴(sinα cosα ) = . 25 2 又 sinα cosα <0,∴sinα cosα =- . 5

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

点评

熟练运用诱导公式和基本关系式, 并确定相应

三角函数值的符号是解题成败的关键.观察已知角与所求
点 面 讲 考 向

角之间的关系,合理选用诱导公式,将不同名的化为同名, 将不同角的化为同角.

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①应用诱导公式, 重点是“函数名称”与“正 负号”的正确判断.求任意角的三角函数值的问题,都可以 通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题. ②将任意角的三角函数化为锐角三角函数的流程:任 意角的三角函数→任意正角的三角函数→0° 360° 到 角的三 角函数→锐角的三角函数.

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式
?π cos? ?6 ? ? ? +α?= ? ?5π ? 3 ? ? ,则 cos? -α?的值 3 ? 6 ?

变式题
点 面 讲 考 向

(1)已知

为________. (2) 已 知 f(x) =

? 31π ? sin(π -x)cos(2π -x)tan(-x+π ) ? , f?- 则 ? 的 ? π ? 3 ? ? ? cos?- +x? ? ? 2 ? ?

值为________.

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式
3 3 3 2

[答案]

(1)-

(2)

点 面 讲 考 向

[解析]
?π -? ?6 ?

?π (1)∵? ?6 ?

? 5π ? +α?+ 6 ?

5π -α=π ,∴ -α=π 6

? ? +α?, ?? ? ?π ?? ? ? ? ?? ?5π ? ∴cos? -α ?=cos?π -? 6 +α?? ? ? ?? ? 6 ? ?π ? ?5π 3 ? ? =-cos? +α?=- ,即 cos? ? 6 3 ?6 ? ?

? ? -α?=- ?

3 . 3

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

sinx?cosx?(-tanx) (2)∵f(x)= =-cosx? tanx=- sinx sinx,
点 面 讲 考 向
? 31π ∴f?- ? 3 ? ? ? 31π ? =-sin?- ? ? 3 ? ? ? 31π ? ?=sin 3 ? ? =sin ?10π ? ?

π? ? + ? 3?

π 3 =sin = . 3 2

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

?

探究点三

三角形中的诱导公式

例 3 在△ABC 中,若 sin(2π -A)=- 2sin(π -B),
点 面 讲 考 向

3cosA=- 2cos(π -B),求△ABC 的三个内角.

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

思考流程

条件:在△ABC 中,sin(2π -A)=- 2

sin(π -B), 3cosA=- 2cos(π -B);目标:△ABC 的三
点 面 讲 考 向

个内角;方法:利用诱导公式化简,再结合同角三角函数 关系式解方程组,讨论可得结果.

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式
?sinA= 2sinB, ? 解:由已知得? ? 3cosA= 2cosB. ?

① ②

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2 ① +② 得 2cos A=1,即 cosA=± . 2 2 3 (1)当 cosA= 时,cosB= , 2 2 π π 又 A,B 是三角形的内角,∴A= ,B= , 4 6 7 ∴C=π -(A+B)= π . 12 2 3 (2)当 cosA=- 时,cosB=- . 2 2
2 2 2

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

点 面 讲 考 向

3 5 又 A, 是三角形的内角, B ∴A= π , B= π , 不合题意. 4 6 π π 7 综上知,A= ,B= ,C= π . 4 6 12

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

点评 忘记讨论.

本题是诱导公式、同角三角函数关系式和方程思

想的综合应用, 由于角受三角形内角的取值范围的限制, 不要
点 面 讲 考 向

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

点 面 讲 考 向

①诱导公式在三角形中经常应用,常用的变 A B C π 形结论有:A+B=π-C;2A+2B+2C=2π; + + = . 2 2 2 2 ②求角时, 一般先求出该角的某一三角函数值,再确定该 角的范围,最后求角.

归纳总结

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

点 面 讲 考 向

变式题 若 A,B,C 为△ABC 的三个内角,则下列等 式中正确的有( ) ①sin(B+C)=sinA;②cos(B+C)=cosA;③tan(B+C)= tanA;④tan(2B+2C)=tan2A;⑤cos(2B+2C)=cos2A;⑥ ?A B? C ? ? sin? 2 + 2 ?=cos . 2 ? ? A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
[答案] C

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

[解析] sin(B+C)=sin(π -A)=sinA,①正确.cos(B+ C)=cos(π -A)=-cosA,②错误.tan(B+C)=tan(π -A)
点 面 讲 考 向

=-tanA,③错误.tan(2B+2C)=tan(2π -2A)=-tan2A, ④ 错 误 . cos(2B + 2C) = cos(2 π - 2A) = cos2A , ⑤ 正
?A B? π ? ? 确.sin? 2 + 2 ?=sin ? ?

-C C =cos ,⑥正确.故选 C. 2 2

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

易错究源6

? π β∈?- ? 2 ?

因忽视角的范围致误

?π ? 3 12 ? 已知 sin(2α-β)= , sinβ =- , α∈? ,π ?, 且 ? 5 13 ?2 ? ? ? ,0?,求 ?

sinα 的值.

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

多 元 提 能 力

3 4 错解 由 sin(2α-β)= ,得 cos(2α-β)=± ,由 sin 5 5 12 5 β =- 知,cosβ = , 13 13 ∴cos2α =cos[(2α-β)+β]=cos(2α-β)cosβ -sin(2α 4 5 3 ? 12? 56 16 -β)· sinβ =± ? - ??-13?= 或 , ? 65 65 5 13 5 ? ? ? 9 49 2 2 又 cos2α =1-2sin α ,∴sin α = 或 . 130 130 ?π ? 3 130 7 130 ? ? 又 α∈? ,π ?,∴sinα = 或 sinα = . 130 130 ?2 ?

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

[错因] 忽略了角 2α-β 有范围限制,事实上,2α-β 的范围可确定,cos(2α-β)的值唯一,从而最后结果唯一.

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

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π [正解] ∵ <α<π,∴π<2α<2π. 2 π π 5π 又- <β<0,∴0<-β< ,∴π<2α-β< . 2 2 2 5π 3 而 sin(2α-β)= >0,∴2π<2α-β< ,cos(2α-β) 5 2 π 4 12 5 = .又- <β<0 且 sinβ=- ,∴cosβ= , 5 2 13 13 ∴cos2α=cos[(2α-β)+β]=cos(2α-β)cosβ-sin(2α 4 5 3 ? 12? 56 -β)· β= ? - ??-13?= . sin ? 65 5 13 5 ? ? ? 9 2 2 又 cos2α=1-2sin α,∴sin α= . 130 ?π ? 3 130 ? ? 又 α∈? ,π?,∴sinα= . 130 2 ? ?

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

自我检评 (1)[2012· 昆明模拟] 已知 sinθ +cosθ = 1 ,θ∈(0,π ),则 tanθ 的值为( ) 5 4 3 A.- B.- 3 4 4 4 4 3 C. 或- D.- 或- 3 3 3 4 (2)化简 1-2sin(π +2)cos(π +2)等于( A.sin2-cos2 C.±(sin2-cos2) B.cos2-sin2 D.sin2+cos2 )

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

[答案] (1)A (2)A
1 [解析] (1)∵sinθ +cosθ = , 5
?π 24 3π ? ? ? ∴2sinθ cosθ =- ,θ∈? , , 25 2 4 ? ? ? 2sinθ cosθ 2tanθ 24 24 ∴ 2 =- ,∴ 2 =- , 2 25 25 sin θ +cos θ tan θ +1

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∴12tan2θ +25tanθ +12=0, 4 根据角的范围得到 tanθ =- . 3 (2)1-2sin(π +2)cos(π +2)=sin22+cos22-2sin2cos2= (sin2-cos2)2, π 2π ∵ <2< ,∴sin2-cos2>0.故选 A. 2 3
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第17讲

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

备选理由

例 1 对于 sinα cosα ,sinα +cosα ,sinα -

cosα ,借助同角三角函数的平方关系可知一求二,是对探究 点一和二的补充;例 2 对题中的角含有 kπ ±α 化简时,要对 k 进行分类讨论,是对探究点二的深化.

教 师 备 用 题
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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

[2012· 天津河东区模拟] 已知 α 是三角形的内 1 角,且 sinα +cosα = . 5 (1)求 tanα 的值; 1 (2)把 2 用 tanα 表示出来,并求其值. cos α -sin2α 例 1

教 师 备 用 题
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第17讲

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

解:(1)方法一:联立方程组 1 ? ?sinα+cosα = ,① 5 ? ?sin2α +cos2α =1,② ? 1 由①得 cosα = -sinα ,将其代入②, 5 整理得 25sin2α -5sinα -12=0. ∵α 是三角形内角,∴sinα >0, 4 ? ?sinα =5, 4 ∴? ∴tanα =- . 3 ?cosα =-3, 5 ?
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教 师 备 用 题

第17讲

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

1 方法二:∵sinα +cosα = , 5 ?1? 2 ∴(sinα +cosα ) =?5?2, ? ? ? ? 1 24 即 1+2sinα cosα = ,∴2sinα cosα =- , 25 25 24 49 2 ∴(sinα -cosα ) =1-2sinα cosα =1+ = . 25 25 12 ∵sinα cosα =- <0 且 0<α<π , 25 ∴sinα >0,cosα <0,∴sinα -cosα >0,
教 师 备 用 题

7 ∴sinα -cosα = , 5
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第17讲

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

1 4 ? ? ?sinα +cosα =5, ?sinα =5, 由? 得? ?sinα -cosα =7, ?cosα =-3. 5 5 ? ? 4 ∴tanα =- . 3

教 师 备 用 题

sin2α +cos2α cos2α sin2α +cos2α 1 (2) 2 = 2 = 2 = 2 2 2 cos α -sin α cos α -sin α cos α -sin α 2 cos2α tan α +1 , 1-tan2α

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同角三角函数的基本关系式与诱导公式

4 ∵tanα =- , 3 1 ∴ 2 cos α -sin2α

? 4?2 ? - ? +1 2 tan α +1 ? 3? 25 ? ? = = ? ? =- . 2 7 1-tan α ? 4?2 1-?-3? ? ?

教 师 备 用 题
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同角三角函数的基本关系式与诱导公式
?4n-1 化 简 : sin ? ? 4 π ? ? ?4n+1 ? + cos ? -α? ? 4 π ? ? ? ? -α? ?

例 2 (n∈Z).

教 师 备 用 题
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第17讲

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

解:(1)当 n 为偶数时,设 n=2k(k∈Z),
?8k-1 ? ?8k+1 ? ? ? ? ? 原式=sin? π -α?+cos? π -α? ? 4 ? ? 4 ? ? ? π ?? ? ?π ?? ? ? ?? ? ? =sin?2kπ +?- -α??+cos?2kπ +? -α?? ?? 4 ? ? ?? ? ?4 ?? ? π ? ?π ? ? ? ? =sin?- -α?+cos? -α? ? 4 ? ? ?4 ? ?π ?π ? ?π ?? ? ? ? ? =-sin? +α?+cos? -? +α?? ?? ?4 ? ?4 ?? ?2 ?π ? ?π ? ? ? ? =-sin? +α?+sin? +α?=0. ? ?4 ? ?4 ?

教 师 备 用 题

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第17讲

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

当 n 为奇数时,设 n=2k+1(k∈Z),
?8k+3 ? ?8k+5 ? ? ? ? ? 原式=sin? π -α?+cos? π -α? ? 4 ? ? 4 ? ? ?3π ?? ? ?5π ?? ? ? ?? ? ? =sin?2kπ +? -α??+cos?2kπ +? -α?? ?? ? ? 4 ?? ? ? 4 ?? ?3π ? ?5π ? ? ? ? ? =sin? -α?+cos? -α? ? 4 ? ? 4 ? ? ?π ?? ? ?π ?? ? ? ?? ? ? =sin?π -? +α??+cos?π +? -α?? ?? ? ?4 ?? ? ?4 ?? ?π ? ?π ? ? ? ? =sin? +α?-cos? -α? ? ?4 ? ?4 ?

教 师 备 用 题

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第17讲

同角三角函数的基本关系式与诱导公式
?π ?π ? ?π ?? ? ? ? ? =sin? +α?-cos? -? +α?? ?? ?4 ? ?4 ?? ?2 ?π ? ?π ? ? ? ? =sin? +α?-sin? +α?=0. ? ?4 ? ?4 ? ?4n-1 ? ?4n+1 ? ? ? 故 sin? π -α?+cos? π 4 4 ? ? ?

? ? -α?=0. ?

教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第18讲 三角函数的图象 与性质

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考试大纲
1.能利用单位圆中的三角函数线画出y=sinx,y =cosx,y=tanx的图象,了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的 性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点 ? π π? 等);理解正切函数在区间?-2,2?内的单调性. ? ?

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第18讲
双 向 固 基 础

三角函数的图象与性质

—— 知 识 梳 理 ——

一、周期函数 1.周期函数的定义 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当 f(x+T)=f(x) x取定义域内的每一个值时,都有______________, 那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函 数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正 数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

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第18讲
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三角函数的图象与性质

二、五点法作图原理 在确定正弦函数y=sinx,x∈[0,2π ]的图象形状
?π ? ? ? ? 2 ,1? (0,0) 时,起关键作用的五点是________,________, ? ?
?3π ? ? ? ? 2 ,-1? (π ,0) (2π ,0) ________,________,________. ? ?

在确定余弦函数y=cosx,x∈[0,2π ]的图象形状
?π ? ? ? ,0? (0,1) ?2 时,起关键作用的五点是________,________, ? ? ?3π ? ? ? (π ,-1) ? 2 ,0? (2π ,1) ________,________,________. ? ?
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三角函数的图象与性质

三、y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象与性质
解析式 y=sinx y=cosx y=tanx

图象

定义域 值域 最值

R [-1,1]

R [-1,1] R

当x=2kπ-(k∈Z) 当x=2kπ(k∈Z)时, 时,ymin=-1;当 ymax=1;当x= 无最大、最小值 x=2kπ+(k∈Z)时, 2kπ+π(k∈Z)时, ymax=1 ymin=-1
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三角函数的图象与性质
y=sinx ________ 2π y=cosx ________ 2π y=tanx ________ π

解析式 周期 奇偶性

奇 ____函数

偶 ____函数

奇 ____函数
? π ?kπ - , 在 2 ?

在(2kπ - ? π 在 ?2kπ - , 2 π ,2kπ )上 ? 2kπ +

增 是____函数; π? π? ? 上 ?上 kπ + 2? 2? 在(2kπ ,2k
π +π )上是 是____函数 增 (k∈Z)

是____函数; 增 单调性

减 ____函数 ? π 在 ?2kπ + , 2 (k∈Z) ?
3 ? 2kπ + π ? 上 2 ?

减 是____函数
(k∈Z)
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三角函数的图象与性质

四、三角函数图象的对称性 1.正弦函数y=sinx图象的对称中心是(kπ ,0)(k π x=kπ + 2 ∈Z),对称轴方程是______________(k∈Z). 2.余弦函数y=cosx图象的对称中心是 ? ? π ? ? kπ + 2 ,0? ? ? __________(k∈Z),对称轴方程是x=kπ ? (k∈Z). 3.正切函数y=tanx图象的对称中心是 ?kπ ? ? ? ,0? ? 2 ? ? ___________(k∈Z),不存在对称轴.
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三角函数的图象与性质

—— 疑 难 辨 析 ——

1.函数的周期性 (1)由sin(30°+120°)=sin30°知,120°是正 弦函数y=sinx(x∈R)的一个周期.( ) (2)常函数f(x)=a(a∈R)为周期函数,有最小正周 期.( ) π (3)函数y=5tan(2x+1)的最小正周期为 2 .( )
[答案] (1)? (2)? (3)√

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三角函数的图象与性质

[解析] (1)函数的周期性指的是对自变量x在定义域内任 取一个值,都有f(x+T)=f(x),T才叫函数的一个周 期.∵sin(0°+120°)≠sin0°,故120°不是y=sinx(x∈R) 的周期. (2)常函数f(x)=a是周期函数,每一个非零实数均为其 周期,故它没有最小正周期. π π (3)由正切函数的周期性,可得T= = . |ω | 2

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三角函数的图象与性质

2.函数的单调性与最值 (1)正切函数y=tanx 是增函数.(
? ? ?kπ ? ? π ? ?x≠ 2 ?

+kπ

? ? ,k∈Z? ?

在定义域内

)

(2)函数f(x)=sin(-2x)的单调增区间是 π π? ? - 4 ,kπ + 4 ?(k∈Z). ? (3)y=ksinx+1,x∈R,则y的最大值是k+1.( ? 5 ? (4)y=sin?2x+ 2π ?是非奇非偶函数.( ) ? ? π 2 (5)若sinx> 2 ,则x> 4 .( )

)

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三角函数的图象与性质

[答案]

(1)?

(2)? (3)?
? π ? ?x≠ 2 ?

(4)?

(5)?

[解析]
? π ? ?- 2 ?

(1)y=tanx

+kπ

? ? ,k∈Z? ?

在开区间

? π ? +kπ , 2 +kπ ? k∈Z内都是增函数,但在定义域内不 ?

是增函数. π (2)f(x)=sin(-2x)=-sin2x,由2kπ + 2 ≤2x≤2kπ + 3π π 3π 得kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z).故函数f(x)=sin(-2x) 2 4 4
? 的单调增区间是?kπ ? ?

π 3π ? ? + ,kπ + ?(k∈Z). 4 4 ?
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三角函数的图象与性质

(3)当k≥0时,y的最大值是k+1;当k<0时,y的最大值 是1-k. (4)y=sin
? 5π ? sin?2x+ 2 ? ? 5 ? ?2x+ π ? 2 ? ?

=sin

? π? ? ? 2x+ ? ? 2? ?

=cos2x,所以y=

π (5)画出y=sinx的图象,结合图象可得2kπ + <x<2kπ 4 3π + 4 (k∈Z).

? ? ?是偶函数. ?

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三角函数的图象与性质

考点统计 点 面 讲 考 向

题型(考频)

题型示例(难度)

1.三角函数的定义域
2.三角函数的值域与最值 3.函数的奇偶性与周期性 4.三角函数的单调性

0 选择(1)
0 选择(1) 2011年T11(B)

2008年T11(B)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年课程标准卷.

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三角函数的图象与性质

?

探究点一
例1

三角函数的定义域的求解

求函数y= sinx-cosx的定义域.

点 面 讲 考 向

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三角函数的图象与性质

思考流程
点 面 讲 考 向

条件:给出函数表达式;目标:求函数定

义域;方法:根据偶次根式得sinx-cosx≥0,再根据三角 函数图象得出不等式的解集.

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三角函数的图象与性质

解:方法一:要使函数有意义,必须使sinx-cosx≥0.
点 面 讲 考 向

利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π ]上y=sinx和y= cosx的图象,如图所示.

π 5π 在[0,2π ]内,满足sinx=cosx的x为 4 , 4 ,再结合 正弦、余弦函数的周期是2π ,
? ? ? ? 所以定义域为?x?2kπ ? ? ? ? ? π 5π + 4 ≤x≤2kπ + 4 ,k∈Z?. ? ?

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三角函数的图象与性质

点 面 讲 考 向

方法二:利用三角函数线,如图MN为正弦线,OM为 π 5 余弦线.要使sinx≥cosx,即MN≥OM,则 4 ≤x≤ 4 π (在 [0,2π ]内).

? ?π ? ? ∴定义域为?x? ? ?4 ?

? ? 5π +2kπ ≤x≤ 4 +2kπ ,k∈Z?. ? ?

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三角函数的图象与性质
? π π? ? ? 2 sin ?x- ? ≥0.将x- 4 4? ?

方法三:sinx-cosx=
点 面 讲 考 向

视为一

π 个整体,由正弦函数y=sinx的图象和性质可知2kπ ≤x- 4 π 5π ≤π +2kπ ,解得2kπ + 4 ≤x≤ 4 +2kπ ,k∈Z.所以定
? ? ? ? 义域为?x?2kπ ? ? ? ? ? π 5π + ≤x≤ +2kπ ,k∈Z?. ? 4 4 ?

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三角函数的图象与性质

点评
点 面 讲 考 向

求三角函数的定义域常常归结为解三角不等

式,解三角不等式是难点,特别是无限区间与有限区间的 交集问题易出现错误.

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三角函数的图象与性质

归纳总结
点 面 讲 考 向

①对于含有三角函数式的(复合)函数的定

义域,仍然是使解析式有意义即可. ②求三角函数的定义域经常借助两个工具,即单位圆 中的三角函数线和三角函数的图象,有时也利用数轴.

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三角函数的图象与性质

变式题
点 面 讲 考 向

(1)[2012· 珠海模拟] 函数y=lg(2sinx-1)+

1-2cosx的定义域为________. (2)[2012· 苏州模拟] 函数y= sinx+ 16-x2 的定义域 为________.
?π (1)? ?3 ? ? 5π ? +2kπ , +2kπ ?(k∈Z) 6 ?

[答案]

(2)[-4,-π ]∪[0,π ]

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三角函数的图象与性质

点 面 讲 考 向

[解析] (1)要使函数有意义,必须有 1 ? ?2sinx-1>0, ?sinx>2, ? ? 即? 解得 1 ?1-2cosx≥0, ? ?cosx≤ . 2 ? ?π ? +2kπ <x<5π +2kπ , 6 ?6 ? (k∈Z), 5 ?π ? 3 +2kπ ≤x≤3π +2kπ ? π 5π ∴ 3 +2kπ ≤x< 6 +2kπ (k∈Z).
?π 故所求函数的定义域为? ?3 ? ? 5π ? +2kπ , +2kπ ?(k∈Z). 6 ?
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三角函数的图象与性质
?sinx≥0, ? (2)由已知得? ?16-x2≥0, ?

点 面 讲 考 向

?2kπ ≤x≤π ? ∴? ?-4≤x≤4. ?

+2kπ ,k∈Z,

如图:

∴所求定义域为[-4,-π ]∪[0,π ].

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三角函数的图象与性质

?

探究点二
例2

三角函数的值域与最值问题
π? ? <x< ?的值域; 6?

点 面 讲 考 向

? π ?? π ? (1)求函数y=2sin?2x+ ??- 3 ?? 6 ? ??

(2)求函数y=2cos2x+5sinx-4的值域.

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三角函数的图象与性质

思考流程 条件:给出函数表达式:
点 面 讲 考 向
? π ?? π ? (1)y=2sin?2x+ ??- 3 ?? 6 ? ??

π? ? 2 <x< ?,(2)y=2cos x+5sinx- 6?

4;目标:求这两个函数的值域;方法:(1)根据所给角的 范围利用三角函数的单调性求值域;(2)用换元法将函数转 化为二次函数求值域.

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三角函数的图象与性质

π π π 2π 解:(1)∵- 6 <x< 6 ,∴0<2x+ 3 < 3 ,
点 面 讲 考 向
? π? ? ∴0<sin?2x+ ?≤1, 3? ? ? ? π? ? ∴y=2sin?2x+ ?的值域为(0,2]. 3? ? ?

(2)y=2cos2x+5sinx-4 =2(1-sin2x)+5sinx-4 =-2sin2x+5sinx-2 ? 5?2 9 =-2?sinx- ? + . 4? 8 ? ∴当sinx=1时,ymax=1, 当sinx=-1时,ymin=-9, ∴y=2cos2x+5sinx-4的值域为[-9,1].
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三角函数的图象与性质

点评
点 面 讲 考 向

求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常

用以下方法: (1)利用sinx,cosx的值域; (2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐 步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出y= Asin(ωx+φ)的值域;如(1)题,特别注意所给区间若不单调 时容易出错. (3)换元法:把sinx,cosx看作一个整体,可化为二次 函数.如(2)题,此类问题应注意sinx,cosx的有界性.

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三角函数的图象与性质

归纳总结
点 面 讲 考 向

①三角函数属于初等函数,前面学过的求

函数值域的一般方法,也适用于三角函数.但涉及正弦、 余弦函数的值域时,应注意正弦、余弦函数的有界性,即 |sinx|≤1,|cosx|≤1对值域的影响. ②解答此类题目首先应进行三角恒等变换,将函数式 化为只含一个三角函数式的形式,再根据定义域求解.

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三角函数的图象与性质

变式题
点 面 讲 考 向

(1)求f(x)的最小正周期; ? π π? ? (2)求f(x)在区间?- , ?上的最大值和最小值. 6 4? ? ?

? π? ? 已知函数f(x)=4cosxsin?x+ ?-1. 6? ? ?

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三角函数的图象与性质
? π? ? 解:(1)因为f(x)=4cosxsin?x+ ?-1 6? ? ? ? 3 ? 1 ? =4cosx? sinx+ cosx?-1 ? 2 ? 2 ?

点 面 讲 考 向

= 3sin2x+2cos2x-1 = 3sin2x+cos2x
? π ? =2sin?2x+ 6 ? ? ? ?. ?

所以f(x)的最小正周期为π .

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三角函数的图象与性质

点 面 讲 考 向

π π π π 2π (2)因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x+ ≤ . 6 4 6 6 3 π π π 于是,当2x+ = ,即x= 时,f(x)取得最大值2; 6 2 6 π π π 当2x+ 6 =- 6 ,即x=- 6 时,f(x)取得最小值-1.

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三角函数的图象与性质

?

探究点三
例3

函数的奇偶性与周期性问题

点 面 讲 考 向

则φ=( π A. 2 3π C. 2

x+φ (1)若函数f(x)=sin 3 (φ∈[0,2π ])是偶函数, ) 2π B. 3 5π D. 3

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三角函数的图象与性质

(2)我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组 “平行曲线”,而“平行曲线”具有性质:任意两条平行 直线与两条相邻的“平行曲线”相交,被截得的线段相
点 面 讲 考 向

等.已知函数f(x)=tan

? π? ? ? ω x+ ? ? 3? ?

(ω>0)图象中的两条相邻

“平行曲线”与直线y=2 012相交于A,B两点,且|AB|=3 π ,则f(π )=( ) A.2+ 3 C. 3 B.- 3 D. 3- 2

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第18讲

三角函数的图象与性质

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:理解偶函数的定义和性质;推

理:函数图象在x=0时f(x)取得最值;结论:求出φ值. (2)分析;理解“平行曲线”的性质;推理:函数周期 与线段AB的关系;结论:得出函数f(x)解析式,进而求出 f(π )的值.

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三角函数的图象与性质

[答案]

(1)C (2)B

点 面 讲 考 向

x+φ [解析] (1)∵f(x)=sin 3 为偶函数,有x=0时f(x)取 φ π 3π 得最值,即 =kπ + ,即φ=3kπ + (k∈Z),由于 3 2 2 3π φ∈[0,2π ],所以k=0时,φ= 2 符合,故选C. (2)设f(x)=tan
? π? ? ? ?ω x+ 3 ? ? ?

与x轴的两个交点为C,D,由

“平行曲线”的性质可知|CD|=3π ,所以函数f(x)的最小正
?π π 1 π? ? 周期为3π .由 =3π 可得ω= ,则f(π )=tan ? + ? = 3 3? ω ?3 ?

2π tan 3 =- 3.

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三角函数的图象与性质

点评
点 面 讲 考 向

(1)对于奇偶函数的问题,有两种解决方法:一种

是根据定义列出等式,从而寻求解题途径,下面的变式题就 是一个例子.另一种是根据函数图象的性质,本题y轴为对称 轴,利用过图象的最值点来解决.(2)求三角函数最小正周期 的基本方法有两种:一是将所给函数化为y=Asin(ωx+φ)的 形式;二是利用图象的根本特征求,作出图象,观察得出.

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第18讲

三角函数的图象与性质

归纳总结
点 面 讲 考 向

①判断函数的奇偶性,应先判定函数定义域

的对称性,注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数;复合 函数在复合过程中,对每个函数而言,“同奇才奇,一偶则 偶”. ②最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上 的那个最小正数,这个正数是对x而言的;不是所有的周期函 数都有最小正周期,如周期函数f(x)=C(C为常数)就没有最小 正周期.

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三角函数的图象与性质

变式题 数,求θ的值.
点 面 讲 考 向

已知f(x)=sin(x+θ)+ 3 cos(x-θ)为偶函

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三角函数的图象与性质

解:(1)因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),则有 sin(-x+θ)+ 3cos(-x-θ)=sin(x+θ)+ 3cos(x-θ),
点 面 讲 考 向

即sin(x+θ)+sin(x-θ)= 3cos(x+θ)- 3cos(x-θ), 所以2sinxcosθ =-2 3sinxsinθ . 因为该式对一切实数x都成立. π 3 所以tanθ =- 3 ,于是θ=kπ - 6 (k∈Z).

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三角函数的图象与性质

?

探究点四

三角函数的单调性问题

点 面 讲 考 向

(sinx-cosx)sin2x 例4 [2012· 北京卷] 已知函数f(x)= . sinx (1)求f(x)的定义域及最小正周期; (2)求f(x)的单调递减区间.

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三角函数的图象与性质

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)条件:已知函数解析式(x)=

(sinx-cosx)sin2x ;目标:求函数定义域、最小正周 sinx 期;方法:先恒等变形成y=Asin(ωx+φ)+B形式,然后求 定义域和周期. (sinx-cosx)sin2x (2)条件:已知函数解析式f(x)= ; sinx 目标:求f(x)的单调递减区间;方法:采用整体思想,将 ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可.

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三角函数的图象与性质

解:(1)由sinx≠0得x≠kπ (k∈Z), 故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ ,k∈Z}. (sinx-cosx)sin2x 因为f(x)= =2cosx(sinx-cosx) sinx =sin2x-cos2x-1=
? π? ? 2sin?2x- ?-1, 4? ? ?

点 面 讲 考 向

2π 所以f(x)的最小正周期T= =π . 2

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三角函数的图象与性质

(2)函数y=sinx的单调递减区间为
? ? ?2kπ ?

点 面 讲 考 向

π 3π ? ? + ,2kπ + ?(k∈Z). 2 2 ? π π 3π 由2kπ + 2 ≤2x- 4 ≤2kπ + 2 ,x≠kπ (k∈Z). 3π 7π 得kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z). 8 8 所以f(x)的单调递减区间为
? ? ?kπ ?

3π 7π + ,kπ + 8 8

? ? ? ?

(k∈Z).

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三角函数的图象与性质

点评
点 面 讲 考 向

(1)熟记y=sinx,y=cosx,y=tanx的单调区间是

求复杂的三角函数单调区间的基础. (2)求形如y=Asin(ωx+φ)+k的单调区间时,只需把ωx+ φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可,注意要 先把ω化为正数.求y=Acos(ωx+φ)+k和y=Atan(ωx+φ)+k 的单调区间类似.

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三角函数的图象与性质

归纳总结
点 面 讲 考 向

求三角函数的单调区间时,应先把函数式化

成形如y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再根据基本三角函数的 单调区间,求出x所在的区间.应特别注意,考虑问题应在函 数的定义域内.

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三角函数的图象与性质

变式题
点 面 讲 考 向

? ? π? π ? ? ? (1)设函数f(x)=sin?2x+ ?+cos?2x+ 4? 4 ? ? ? π ? ?0, 2 ? ? ? ? ?

? ? ?,则 ?

(

) A.y=f(x)在

上单调递增,其图象关于直线x=

π 对称 4 B.y=f(x)在 π 2 对称

? π ? ?0, 2 ?

? ? ? ?

上单调递增,其图象关于直线x=

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三角函数的图象与性质

C.y=f(x)在
点 面 讲 考 向

? π ? ?0, 2 ?

? ? ? ?

上单调递减,其图象关于直线x=

π 4 对称 ? π? ? D.y=f(x)在 ?0, ? 上单调递减,其图象关于直线x= 2? ? ? π 2 对称

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三角函数的图象与性质

(2)[2011· 山东卷]
点 面 讲 考 向
? π ? ?0, 3 ? ? ? ? ?

若函数f(x)=sinω x(ω>0)在区间
?π ? ?3 ?

上单调递增,在区间 3 B.2

π? ? , ? 上单调递减,则ω= 2? D.3

(

) 2 A. 3

C.2

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三角函数的图象与性质

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)D (2)B
? π ? 2sin ?2x+ 4 ? ? π? π? ? ? ? + ? = 2sin ?2x+ ? = 2 4? 2? ? ? ? ?= ?

[解析] (1)f(x)=

? π ? cos2x,所以y=f(x)在 ?0, 2 ?

? ?π ? 内单调递减,又f ? ? ?2 ? ?

2cosπ

π =- 2 ,是最小值.所以函数y=f(x)的图象关于直线x= 2 对称.

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三角函数的图象与性质

点 面 讲 考 向

π (2)本题考查三角函数的单调性. 因为当 0≤ωx≤ 2 时, 函 π 数 f(x)为增函数,当 ≤ω x≤π 时,函数 f(x)为减函数,即 2 π π π 当 0≤x≤ 时,函数 f(x)为增函数,当 ≤x≤ 时,函数 2ω 2ω ω π π 3 f(x)为减函数,所以 = 3 ,所以 ω=2. 2ω

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三角函数的图象与性质

答题模板5


三角函数的图象和性质综合题的规范

设函数 f(x)=sin2ω x+2 3sinω x?cosω x-cos2ω x

+λ(x∈R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 ?1 ? ω∈?2,1?. ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期;
多 元 提 能 力

(2)若

?π y=f(x)的图象经过点? ?4 ?

? ? ,0?,求函数 ?

f(x)的值域.

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三角函数的图象与性质

解:(1)f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2 3sinωx· cosωx+λ =-cos2ωx+
? π? 3sin2ωx+λ=2sin?2ωx- ?+λ.2分 6? ?

多 元 提 能 力

由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴, ? π? 可得sin?2ωπ-6?=± 1,4分 ? ? π π k 1 所以2ωπ-6=kπ+2(k∈Z),即ω=2+3(k∈Z). ?1 ? 5 ? ,1? ,k∈Z,所以k=1,故ω= ,所以f(x)的最 又ω∈ 2 6 ? ? 6π 小正周期是 5 .6分
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三角函数的图象与性质
?π ? ?π ? (2)由y=f(x)的图象过点? ,0?,得f? ?=0,8分 ?4 ? ?4 ? ?5 π π? π 即λ=-2sin? × - ?=-2sin =- 2, 4 ?6 2 6 ?

即λ=- 2.10分
多 元 提 能 力
?5 π? 故f(x)=2sin? x- ?- 6? ?3

2,

函数f(x)的值域为[-2- 2,2- 2].12分

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第18讲

三角函数的图象与性质

方法解读

三角函数的周期、最值和值域都是在y=

Asin(ωx+φ)+B的形式下研究的,因此将函数式化为这种 形式是必要的;函数的对称轴一定经过函数图象的最高点 或最低点,因此三角函数的对称轴常与最值联系起来.
多 元 提 能 力

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三角函数的图象与性质
? ? π? π ? ? ? 已知函数f(x)=sin ?ω x+ ? +sin ?ωx- 6? 6 ? ? ? ? ? ?

自我检评 -2cos


2

x ,x∈R(其中ω>0).

多 元 提 能 力

(1)求函数f(x)的值域; (2)若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点 π 间的距离为 2 ,求函数y=f(x)的单调增区间.

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三角函数的图象与性质

3 1 3 1 解:(1)f(x)= 2 sinω x+ 2 cosω x+ 2 sinω x- 2 cosω x
? ? π? 3 1 ? ? ? -(cosω x+1)=2 sinω x- 2cosω x? -1=2sin ?ω x- ? 2 6? ? ? ? ? ? ?

-1. 由-1≤sin
多 元 提 能 力

? π ? ?ω x- 6 ?

? ? ? ?

≤1,得-3≤2sin

? π ? ?ωx- 6 ?

? ? ? ?



1≤1. 所以函数f(x)的值域为[-3,1].

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第18讲

三角函数的图象与性质

(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知,y=f(x)的 周期为π , 2π 又由ω>0,得 =π ,即ω=2. ω
? π? ? 于是有f(x)=2sin?2x- ?-1. 6? ? ?

多 元 提 能 力

π π π 由2kπ - 2 ≤2x- 6 ≤2kπ + 2 (k∈Z), π π 解得kπ - 6 ≤x≤kπ + 3 (k∈Z). 所以y=f(x)的单调增区间为 (k∈Z).
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? ? ?kπ ?

π π? ? - 6 ,kπ + 3 ? ?

第18讲

三角函数的图象与性质

备选理由

例1突出考查了分类讨论的数学思想;例2考

查了函数图象的对称性,可作为函数性质的补充.

教 师 备 用 题
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第18讲

三角函数的图象与性质
? π ? ?2x- 3 ? ? ? ? ?

例1
? π ? ?0, 2 ?

已知函数f(x)=2asin

+b的定义域为

? ? ?,函数的最大值为1,最小值为-5,求a和b的值. ?

教 师 备 用 题
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第18讲

三角函数的图象与性质

π π π 2 解:∵0≤x≤ 2 ,∴- 3 ≤2x- 3 ≤3π ,
? 3 π? ? ∴- ≤sin?2x- ?≤1, 2 3? ? ? ?2a+b=1, ?a=12-6 3, ? ? 若a>0,则? 解得? ?- 3a+b=-5, ?b=-23+12 3; ? ? ?2a+b=-5, ?a=-12+6 3, ? ? 若a<0,则? 解得? ?- 3a+b=1, ?b=19-12 3. ? ?

教 师 备 用 题

综上可知,a=12-6 3,b=-23+12 3或a=-12+ 6 3,b=19-12 3.

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第18讲

三角函数的图象与性质
? π? ? (1)求函数f(x)=sin ?2x- ? 的对称中心和对称轴 6? ? ?

例2

方程; π (2)设函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=- 对 6 称,求a的值.

教 师 备 用 题
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第18讲

三角函数的图象与性质

π 解:(1)方法一:设A=2x- ,则函数y=sinA对称中心 6 π kπ π 为(kπ ,0)(k∈Z),即2x- =kπ ,x= + (k∈Z),对 6 2 12 π π π k 称轴方程为2x- = +kπ (k∈Z),即x= + π (k∈Z). 6 2 3 2
? π? ? 所以y=sin ?2x- ? 6? ? ? ?kπ 的对称中心为 ? ? 2 ? ? π ? + ,0? (k∈Z), 12 ?

教 师 备 用 题

π k 对称轴为x= 3 +2π (k∈Z).

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第18讲

三角函数的图象与性质
? ? π π? π? ? ? ? 方法二:由2x- 6 =2 ?x- ? 知y=sin ?2x- ? 的图象是 12? 6? ? ? ?

π 由y=sin2x图象向右平移了 个单位,所以对称轴与对称中 12 π 心也相应地向右平移 个单位,而y=sin2x的对称中心为 12
?kπ ? ? 2 ? ? kπ ? ,0? ,对称轴方程为x= 2 ? ? π π? ? + 4 ,所以y=sin ?2x- ? 的 6? ? ?

教 师 备 用 题

?kπ 对称中心为? ? 2 ?

? π kπ π ? +12,0?,对称轴方程为x= 3 + 2 (k∈Z). ?

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第18讲

三角函数的图象与性质

(2)方法一:因为y=sin2x+acos2x=

1+a2 sin(2x+θ),

π 其中θ由tanθ =a确定.又图象关于x=- 对称, 6 π 故在x=- 处,函数应取得最大或最小值. 6
? π ? ? π ? π ? ? ∴x=- 6 时,y=sin?- ?+acos?- ? ? 3? 3? ? ? ? 3 1 3 =- + a=± 1+a2,解得a=- . 2 2 3

教 师 备 用 题
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第18讲

三角函数的图象与性质

方法二:因为函数f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x π π =- 6 对称.所以到x=- 6 距离相等的x值对应的函数值相 等.
? π 即f?- ? 6 ? ? ? π ? ? ? ? +x?=f?- -x?对定义域内任何值都成立. 6 ? ? ? ? π ? π 令x= 6 ,得f(0)=f?- ?, ? 3? ? ? ? 2π ? ? 2π ? ? ? ? ∴0+a=sin?- ?+acos?- . ? 3 ? 3 ? ? ? ?

教 师 备 用 题

3 解得a=- 3 .

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第18讲

三角函数的图象与性质

π 方法三:∵函数关于x=- 6 对称,
? π ? π ∴x=- 6 为函数的极值点,∴f′?- ?=0, ? 6? ? ? ? π ? 即(2cos2x-2asin2x) ?x=- =0, 6 ? ? π ? ? π ? ? ? ∴cos?- ?-asin?- ?=0, ? 3? 3? ? ? ?

教 师 备 用 题

3 ∴a=- . 3

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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第19讲 函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象与性质及三角函数模型 的简单应用

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考试大纲
1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出 y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图 象变化的影响. 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函 数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题.

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函 数模型的简单应用
双 向 固 基 础

—— 知 识 梳 理 ——

一、用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简 图 用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 时,要把ωx+φ看成一个整体,要找五个特殊点,如 表格所示. π 3π -φ φ 2 π -φ 2 -φ 2π -φ x - ω ω ω ω ω ____ ____ ____ ____ ____
ωx+φ y=Asin(ωx+φ) 0 0 π 2 A π 0 3π 2 -A 2π 0
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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用
双 向 固 基 础

二、图象变换 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象可以看作 是由下面的方法得到的:先把正弦曲线上的所有的点 向右 向左 ________(φ>0)或________(φ<0)平移|φ|个单位长度, 得到y=sin(x+φ)的图象,然后使曲线上各点的横坐标
1 变为原来的________倍,纵坐标不变,得到y=sin(ωx ω

+φ)的图象,最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 A ________倍,横坐标不变,这时的曲线就是函数y= Asin(ωx+φ)的图象.

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用
双 向 固 基 础

三、振幅、周期、频率、相位 当函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈(0,+∞)) 2π 表示一个振动时,A叫做振幅,T= 叫做振动的周 ω 1 ωx+φ 期,f= 叫做振动的频率,________叫做相位,φ叫做 T 初相 ________. 四、三角函数模型的简单应用 对具有周期变化规律的实际问题用三角函数模型 进行表示,根据三角函数的图象和性质得到实际问题 的结论.
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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用
双 向 固 基 础

—— 疑 难 辨 析 ——

1.图象变换 π (1)将y=sin2x的图象向左平移 个单位,得到y 4
? π ? =sin?2x+ 4 ? ? ? ?的图象.( ?

)

(2)在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先 伸缩后平移”两种途径,向左或向右平移距离一 样.( )

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用
双 向 固 基 础

1 (3)把y=sin 2 x的图象上点的横坐标变为原来的2倍得 1 到y=sinω x的图象,则ω的值为 .( ) 4 (4)弹簧振子的振动是简谐运动,在振动过程中,位 移s与时间t之间的关系式为s=10sin
?1 π ? ?2t- 4 ? ? ? ? ?

,t∈[0,+

1 ∞),则弹簧振子振动的周期为4π ,频率为 ,振幅为 4π π 1 π 10,相位是- 4 ,初相是2t- 4 .( )

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用
双 向 固 基 础

[答案] (1)?

(2)? (3)√

(4)?

[解析]

? ? π? π? ? ? ? (1)y=sin ?2x+ ? =sin2 ?x+ ? ,故应将y=sin2x 4? 8? ? ? ?

? π π? ? 的图象向左平移 8 个单位,得到y=sin?2x+ ?的图象. 4? ? ?

(2)左右平移,其距离为x的变化量,都针对自变量x而 言.∴y=Asinx→y=Asin(x+φ)中,x的变化量为|φ|,平移 ? ? φ ?? 距离为|φ|,y=Asinω x→y=Asin(ωx+φ)=Asin ?ω ?x+ω?? ,x ? ? ??
?φ ? ?φ ? ? ? 的变化量为? ?,即平移距离为? ?. ? ? ?ω? ?ω ?

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用
双 向 固 基 础

1 横坐标变为原来的2倍 1 ?1 ? 1 ? x? =sin x.∴ω = (3)y=sin 2x ――→ y=sin 2 2 4 ? ? 1 4. π 1 π (4)相位是2t- 4 ,初相是- 4 .

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用
双 向 固 基 础

2.三角函数性质 (1)对于函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0),其最大值为 A,最小值为-A.( ) (2)y=sin(-2x)的递减区间是
? 3π ? ?- 4 ? ? π ? -kπ ,- -kπ ?,k∈Z.( 4 ?

)

(3)函数f(x)=sin2x的最小正周期和最小值分别为π , 0.( ) (4)函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数 T 图象的两个相邻对称中心之间的距离为 2 .( )
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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用
双 向 固 基 础

[答案] (1)? (2)?

(3)√

(4)√

[解析] (1)该函数的最大值为|A|,最小值为-|A|. π π (2)因为y=sin(-2x)=-sin2x,由- 2 +2kπ <2x< 2 + 2kπ 得y=sin2x的递增区间为
? π ? ?- 4 ? ? π ? +kπ , +kπ ? 4 ?

(k∈Z),所以y=sin(-2x)的递减区间为
? π ? ?- 4 ? ? π ? +kπ , 4 +kπ ?(k∈Z). ?

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用
双 向 固 基 础

1-cos2x 2π (3)∵f(x)=sin x= ,∴周期T= 2 =π ,又f(x) 2 =sin2x≥0,∴最小值为0, (4)由函数的图象易知结论正确.
2

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用
考点统计 点 面 讲 考 向 1.函数y=Asin(ωx+φ) 的图象及变换 2.函数y=Asin(ωx+φ) 的解析式的求法 题型(考频) 选择(1) 填空(1) 选择(1) 填空(1) 选择(1) 0 题型示例(难度) 2009年T16(C), 2010年T6(C) 2009年T16(C), 2012年T9(B) 2011年T11(B)

3.函数y=Asin(ωx+φ) 的性质应用
4.三角函数模型的简单 应用

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年课程标准卷.
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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

?

探究点一
例1

函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
已知a=2(cosω x,cosω

[2012· 银川一中月考]

点 面 讲 考 向

x),b=(cosω x, 3sinω x)(其中0<ω<1),函数f(x)=a?b, π 若直线x= 是函数f(x)图象的一条对称轴. 3 (1)试求ω 的值; (2)先列表再作出函数f(x)在区间[-π ,π ]上的图象.

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)条件:f(x)=a· b及向量的坐标;目标:

求ω的值;方法:先把函数化成y=Asin(ωx+φ)的形式, π 然后根据x= 是函数f(x)图象的一条对称轴求出ω的值. 3
? π? ? (2)条件:f(x)=1+2sin?x+ ?;目标:作出函数f(x)在 6? ? ?

区间[-π ,π ]上的图象;方法:确定函数的特殊点(最高 点、最低点及与x轴的交点),列表、描点、连线.

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

解:(1)f(x)=a· b=2(cosω x,cosω x)· (cosω x, 3sinω x) =2cos2ω x+2 3cosω xsinω x
点 面 讲 考 向

=1+cos2ω x+ 3sin2ω

π 因为直线x= 是函数f(x)图象的一条对称轴, 3
?2ω π 所以sin? ? 3 ?

? π? ? x=1+2sin?2ω x+ ?. 6? ? ?

π? ? 1. + 6 ?=± ? 2ω π π π 3 1 所以 3 + 6 =kπ + 2 (k∈Z).所以ω= 2 k+ 2 (k∈Z). 1 1 1 因为0<ω<1,所以- <k< .又k∈Z,所以k=0,ω= . 3 3 2
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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用
? π ? (2)由(1)知,f(x)=1+2sin?x+ 6 ? ? ? ?. ?

列表:
点 面 讲 考 向

π x+ 6 x y

5 - π 6 -π 0

π - 2 2 - π 3 -1

0 - π 6

π 2 π 3 3

π 5π 6 1

7 π 6 π 0

1

描点作图,函数f(x)在[-π ,π ]上的图象如图所示.

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

点评
点 面 讲 考 向

用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω

>0)的图象,关键是点的选取,通常令ωx+φ分别等于0, π 3π ,π , ,2π ,求对应的x,y,即可得到所画图象上 2 2 关键点的坐标.

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

归纳总结
点 面 讲 考 向

函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象

的两种作法是五点作图法和图象变换法. ①用“五点法”作图应抓住四条:(i)化为y=Asin(ωx+ φ)(A>0,ω>0)或y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式; 2π (ii)求出周期T= ;(iii)求出振幅A;(iv)列出一个周期内 ω 的五个特殊点,当画出某指定区间上的图象时,应列出该 区间内的特殊点和区间端点. ②三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数, 进行周期变换时,需要将x的系数变为原来的ω倍,要特别 注意相位变换,周期变换的顺序,顺序不同,其结果也不 同.
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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用
? π ? 已知f(x)=cos(ωx+φ) ?ω >0,- 2 ? ?π ,且f? ?4 ? ? ? ?= ? ? ? <0? 的 ?

变式题
点 面 讲 考 向



最小正周期为π

3 2.

(1)求ω和φ的值; (2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π ]上的图象; 2 (3)若f(x)> 2 ,求x的取值范围.

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

点 面 讲 考 向

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

2π 解:(1)周期T= =π ,∴ω=2, ω
点 面 讲 考 向
?π ∵f? ?4 ? ? ? π ? ? ?=cos?2? 4 ? ? ? ?π ? =cos? +φ? ?2 ? ? ? ? +φ?=-sinφ ?

3 = , 2

π π - <φ <0,∴φ=- . 2 3
? π (2)f(x)=cos?2x- ? 3 ?

? ? ?,列表如下: ?

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用
π 2x- 3
点 面 讲 考 向

π - 3 0 1 2

0 π 6 1

π 2 5 π 12 0

π 2 π 3 -1

3 π 2 11 π 12 0

5 π 3 π 1 2

x f(x)

描点作图,函数f(x)在[0,π ]上的图象如下图.

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用
? π? ? (3)∵cos?2x- ?> 3? ? ?

点 面 讲 考 向

2 , 2 π π π ∴2kπ - 4 <2x- 3 <2kπ + 4 ,k∈Z, π 7π ∴2kπ + <2x<2kπ + ,k∈Z, 12 12 π 7π ∴kπ + <x<kπ + ,k∈Z, 24 24
? ? ? ? ∴x的范围是?x?kπ ? ? ? ? ? π 7π +24<x<kπ + 24 ,k∈Z ?. ? ?

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

?

探究点二

函数y=Asin(ωx+φ)的解析式的求法
已知函数f(x)=Asin(ωx+
? ? ? ?

例2 [2012· 湖南卷]
点 面 讲 考 向

φ)

? π ? ?x∈R,ω>0,0<φ< 2 ?

的部分图象如图3-19-3所

示.

(1)求函数f(x)的解析式;
? π? ? π? ? (2)求函数g(x)=f?x- ?-f?x+ ?的单调递增区间. 12? ? 12? ? ? ? ?

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)条件:函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图

象;目标:函数f(x)的解析式;方法:根据图象确定周 期,点的坐标确定φ及A. ? π? ? (2)条件:函数f(x)的解析式f(x)=2sin ?2x+ ? ;目标: 6? ? ?
? π? ? π? ? 函数g(x)=f?x- ?-f ?x+ ? 的单调递增区间;方法:求出 12? ? 12? ? ? ? ?

g(x)的解析式后进行恒等变形化成y=Asin(ωx+φ)的形式, 然后依据正弦函数的单调区间求单调递增区间.

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用
?11π 解:(1)由题设图象知,周期T=2? ? 12 ?

5π ? ? - ?=π , 12 ?

点 面 讲 考 向

2π 所以ω= =2. T
?5π ? ? 因为点? ,0?在函数图象上, ? ? 12 ? ? ? ?5π 5π ? ? 所以Asin?2? +φ?=0,即sin? ? 6 12 ? ? ?

π 5π 5π 4π 又因为0<φ< ,所以 < +φ< . 2 6 6 3 5π π 从而 +φ=π ,即φ= . 6 6

? ? +φ?=0. ?

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

π 又点(0,1)在函数图象上,所以Asin =1,得A=2. 6
点 面 讲 考 向
? π? ? 故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin?2x+ ?. 6? ? ? ? ? ? ? π? π? π? π? ? ? ? ? ? (2)g(x)=2sin?2?x- ?+ 6 ?-2sin?2?x+ ?+ 6 ? ? 12? 12? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π? ? =2sin2x-2sin?2x+ ? 3? ? ? ?1 ? 3 ? =2sin2x-2 ? sin2x+ cos2x? ? 2 ?2 ?

=sin2x- 3cos2x
? π ? =2sin?2x- 3 ? ? ? ?. ?

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

点 面 讲 考 向

π π π 由2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 得kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 12 12 所以函数g(x)的单调递增区间是
? ? ?kπ ?

π 5π ? ? - 12,kπ + 12 ?,k∈Z. ?

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

点评
点 面 讲 考 向

根据图象求函数的表达式时,一般先求周

期、振幅,最后求φ.最高(低)点决定着A的值,周期决定着 ω的值,求φ必须将点代入计算.根据函数y=Asin(ωx+φ) 的部分图象,利用“代点法”求φ的值时,应尽量选择图 象的最高点或最低点,选择函数值为零的点要分清是第几 个零点.

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

归纳总结
点 面 讲 考 向

已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一段

图象求其解析式时,A比较容易看图得出,困难的是求待 2π 定系数ω和φ,常用如下两种方法:(1)由ω= 即可求出 T ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下 降)的零点横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可 求出φ. (2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点 或零点)坐标代入解析式,再结合图形解出ω和φ,若对 A,ω的符号或对φ的范围有要求,则可用诱导公式变换使 其符合要求.

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

变式题

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,

点 面 讲 考 向

0<φ<π )的部分图象如图3-19-4所示,则其导函数f′(x)的 解析式为( )

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用
?1 π? ? A.f′(x)=2sin? x+ ? 4? ?2 ?

点 面 讲 考 向

?1 5π ? B.f′(x)=sin? x+ 4 ?2

? ? ? ?

? π? ? C.f′(x)=2sin?2x+ ? 4? ? ?

1 ? 3π ? ? D.f′(x)= sin?2x+ ? 2 ? 4 ? ?

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

点 面 讲 考 向

1 [解析] B 观察图象知,A=2,T=4π ,ω= 2 ,f(x)= ?1 ? π 1 π 2sin ? x+φ? .因为当x= 时,f(x)=0,所以 ? +φ=k 2 2 2 ?2 ? 3π π ,k∈Z.又0<φ<π ,所以φ= ,所以f(x)= 4
?1 3π ? 2sin? x+ 4 ?2 ? ? ?, ? ? ?1 5π ? ? ?,∴f′(x)=sin?2x+ 4 ? ? ? ? ?. ?

? x 3π 求导得f′(x)=cos? + ?2 4 ?

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

?

探究点三
例3

函数y=Asin(ωx+φ)的性质应用

已知函数f(x)= 3 sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<

点 面 讲 考 向

π ,ω>0)为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间 π 的距离为 2 .
?π (1)求f? ?8 ? ? ? ?的值; ?

π (2)将函数y=f(x)的图象向右平移 个单位后,得到函 6 数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)条件:函数y=f(x)为偶函数和相邻对称
?π ? ?8 ? ? ? ? ?

轴间的距离;目标:求f

;方法:用偶函数定义列关系

式求函数解析式,进而求值. (2)条件:f(x)=2cos2x;目标:求g(x)的单调递减区 间;方法:根据平移规律得出y=g(x)的解析式,利用余弦 函数的单调区间求g(x)的单调递减区间.

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用
? 3 ? 1 ? 解:(1)f(x)=2? sin(ωx+φ)- cos(ωx+φ)? ? 2 ? 2 ? ? π? ? =2sin?ω x+φ- ?. 6? ? ? ? ? π? π? ? ? ? 因此sin?-ωx+φ- ?=sin?ω x+φ- ?. 6? 6? ? ? ? ? ? π? π ? ? ? 即-sinω xcos ?φ - ? +cosω xsin ?φ - 6? 6 ? ? ? xcos?φ ? ? ? π? π? ? ? ? - 6 ?+cosω xsin?φ - 6 ?, ? ? ? ?π ? 整理得sinω xcos?φ- ?=0. ? 6? ? ?
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点 面 讲 考 向

因为f(x)为偶函数,所以对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立,

? ? ? ?

=sinω

第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用
? 因为ω>0,且x∈R,所以cos?φ ? ?

点 面 讲 考 向

π? ? - ?=0. 6? π π 2π 又因为0<φ<π ,故φ- = ,φ= . 6 2 3
? π? ? 所以f(x)=2sin?ω x+ ?=2cosω x. 2? ? ?

2π π 由题意得 =2·2 ,所以ω=2.故f(x)=2cos2x. ω
?π 因此f? ?8 ? ? π ? ?=2cos 4 ?

= 2.

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用
? π π? ? (2)将f(x)的图象向右平移 6 个单位后,得到f ?x- ? 的 6? ? ?

点 面 讲 考 向

图象,

? π 所以g(x)=f?x- ? 6 ?

π 当2kπ ≤2x- 3 ≤2kπ +π (k∈Z), π 2π 即kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z)时,g(x)单调递减, 6 3 因此g(x)的单调递减区间为 (k∈Z).
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? ? ? π ? ? ? ?=2cos?2? x- 6 ? ? ?

?? ? π ?? =2cos?2x- ?? ? 3 ?? ?

? ? ?. ?

? ? ?kπ ?

π 2π ? ? + 6 ,kπ + 3 ? ?

第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

点评

本题是一个三角函数的综合题,综合考查了三角

函数的奇偶性、对称性、单调区间的求解,还有图象的平移
点 面 讲 考 向

问题.解题的关键是明确正弦函数图象的对称性与周期性之 间的关系,一般地,正、余弦函数图象相邻的两条对称轴(或 两个相邻的对称中心)的距离等于函数的半个周期,因此,正 弦函数和余弦函数图象上任意两条对称轴(或两个对称中心) |k|T 之间的距离为 2 (k∈Z),其中T为函数的最小正周期;正、 余弦函数图象的任一条对称轴与它相邻的对称中心之间的距 1 离恰好是周期的 4 ,所以正、余弦函数图象的任一条对称轴和 |2k-1| 任意一个对称中心之间的距离是 4 T(k∈Z).
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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

归纳总结
点 面 讲 考 向

认识并理解三角函数的图象与性质是解决此

类问题的关键.此类问题往往先用三角恒等变换化简函数解 析式,再来研究其性质,因此对三角恒等变换的公式应熟练 掌握.

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

?

探究点四
例4

三角函数模型的简单应用

如图3-19-5,为一个缆车示意图,该缆车半

点 面 讲 考 向

径为4.8 m,圆上最低点与地面距离为0.8 m,60 s转动一 圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到 OB,设B点与地面距离是h.

(1)求h与θ间的函数关系式; (2)设从OA开始转动,经过t s后到达OB,求h与t之间的 函数关系式,并求缆车到达最高点时用的最少时间是多 少?
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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

思考流程
点 面 讲 考 向

条件:已知缆车半径,圆上最低点与地面

距离,转动频率;目标:求h与θ间的函数关系式、h与t之 间的函数关系式以及缆车到达最高点时用的最少时间;方 法:以圆心O为原点建立平面直角坐标系,利用三角函数 的定义求出点B的纵坐标,则h与θ之间的关系可求出.把θ 用t表示出来代入h与θ的函数关系式即可得h与t之间的关系 式.

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

解:(1)以圆心O为原点,水平方向为x轴,建立如图所 示的平面直角坐标系,
点 面 讲 考 向

π 则以Ox为始边,OB为终边的角为θ- ,故点B的坐标 2 为
? 4.8sin?θ ? ? ? ? ? 4.8cos?θ ? ? ? ? ? π? π ?? ? ? ?? - 2 ?,4.8sin?θ - 2 ?? ? ? ??

,∴h=5.6+

π? ? - ?. 2?
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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

π (2)点A在圆上转动的角速度是 ,故t s转过的弧度数为 30
点 面 讲 考 向

π t, 30
?π π ? ∴h=5.6+4.8sin? t- 2 ?30 ? ? ?,t∈[0,+∞). ?

到达最高点时,h=10.4 m.
?π π ? 由sin? t- 2 ?30 ? π π ? ?=1得30t- 2 ?

π = ,∴t=30, 2

∴缆车到达最高点时,用的时间最少为30 s.
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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

点评
点 面 讲 考 向

在解答过程中易出现求得B的坐标为(4.8cosθ ,

4.8sinθ )的错误,导致错误的原因是没有理解三角函数的定 义.

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

归纳总结
点 面 讲 考 向

面对实际问题时,能够迅速地建立数学模型

是一项重要的基本技能.这个过程并不神秘,比如本例题, 在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语 言”,这个过程就是数学建模的过程,在高考中,将实际问 题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有:求出三角函 数的解析式;画出函数的图象以及利用函数的性质进行解 题.

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

变式题
?π ? ?6 ?

[2012· 广州模拟] 某城市一年中12个月的平

均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+
点 面 讲 考 向

Acos

? ? (x-6)? ?

(x=1,2,3,?,12)来表示,已知6月份

的月平均气温最高,为28℃,12月份的月平均气温最低,为 18℃,则10月份的平均气温值为________℃.

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

[答案]

20.5
?a+A=28, ?a=23, ? ? 由题意得 ? ∴? ∴y=23+ ?a-A=18, ?A=5, ? ?

点 面 讲 考 向

[解析]
?π 5cos? ?6 ?

? 1? 当x=10时,y=23+5? ?- ?=20.5. ? 2?

? ? (x-6)?. ?

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

答题模板6


三角函数图象与性质综合问题
π? ? 2π x- ?-2cos 8 x+1. 6?

?π 设函数f(x)=sin? ?4 ?

(1)求f(x)的最小正周期;
多 元 提 能 力

(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,求
? 4? 当x∈?0,3?时,y=g(x)的最大值. ? ?

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

π π π π π 3 π 解:(1)f(x)=sin4xcos6-cos4xsin6-cos4 x= 2 sin4 x- ?π 3 π π? ? ? 2cos4x= 3sin?4 x-3?,3分 2π 故f(x)的最小正周期为T= =8.4分 π 4 (2)在y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),它关于x=1 的对称点为(2-x,g(x)).由题设条件,点(2-x,g(x))在y =f(x)的图象上,6分

多 元 提 能 力

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

可知g(x)=f(2-x)=
?π π? cos?4x+3?.8分 ? ?

3 sin

?π π? ? (2-x)- ? 3? ?4



3

多 元 提 能 力

4 π π π 2π 当0≤x≤3时,3≤4x+3 ≤ 3 ,
?π 1 π? 1 ∴- ≤cos? x+ ?≤ ,10分 2 3? 2 ?4 ? 4? 因此y=g(x)在区间 ?0, ? 上的最大值为g(x)max= 3? ?

3 .12 2
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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

方法解读

(1)本题的难度在第(2)题,已知函数y=

多 元 提 能 力

f(x)的表达式,且y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对 称,如何求函数y=g(x)的不等式,解答中给出的是通 法,设所求函数图象上的动点为(x,y),通过对称关系(轴 对称、中心对称)将x、y转移到已知函数的图象上,利用 已知函数的表达式得出x、y的关系,即为所求函数的表达 式. (2)在求函数y=g(x)的最大值时,要注意x的取值范 围,这是一个易错点.

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

自我检评
? π 3sin ?ω x- ? 6 ? ? π 若x∈?0, ? 2 ?

(1)[2012· 泰州中学调研] 已知函数f(x)=

? ? ? (ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象完全相同, ?

? ? ?,则f(x)的取值范围是________. ? ? πx πx πx π x? ? ? cos 3 +cos 5 ,sin 3 +sin 5 ? ? ? ?

多 元 提 能 力

(2)设M

(x∈R)为坐

标平面内一点,O为坐标原点,记f(x)=|OM|,当x变化 时,函数f(x)的最小正周期是________.

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

[答案]

? 3 ? (1)?-2,3? ? ?

(2)15

[解析] (1)由已知,两函数周期相同,所以ω=2,所以f(x)
? π =3sin?2x- ? 6 ? ? ? ?. ?

多 元 提 能 力

π π π 5π 1 由0≤x≤ 得- ≤2x- ≤ ,所以- ≤ 2 6 6 6 2
? ? ?≤1, ?

? π ? sin?2x- 6 ?

3 所以-2≤f(x)≤3.

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

(2)f(x)=|OM| =
? πx π x?2 ? π x π x?2 ? ? ? ? cos 3 +cos 5 ? +?sin 3 +sin 5 ? ? ? ? ? ? ? π x π x? 2+2cos? - ?= ? 3 5 ? ? ? ? 2π x? ? ? 2?1+cos 15 ? ? ?


多 元 提 能 力

? π x? ? =2?cos ?, 15 ? ? ?

π 所以最小正周期为T= =15. π 15

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

备选理由

y=Asin(ωx+φ)的图象和性质是本讲复习的

重点,补充的例1是图象的判定;例2考查三角函数性质的同 时,又考查三角恒等变换的方法与技巧,注重考查函数方 程、转化化归等思想方法.

教 师 备 用 题
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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

例1

[2012· 湖南师大附中月考] 在同一平面直角坐标 2 sin
? π? ? ? ?2x+ 4 ? ? ?

系中,画出三个函数f(x)=
? π sin?2x+ ? 3 ?

,g(x)= )

? ? π? ? ? ,h(x)=cos?x- ?的部分图象(如图),则( ? 6? ? ? ?

教 师 备 用 题
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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

A.a为f(x),b为g(x),c为h(x) B.a为h(x),b为f(x),c为g(x) C.a为g(x),b为f(x),c为h(x) D.a为h(x),b为g(x),c为f(x)
[解析] B b的振幅最大,故b为f(x);a的最小正周期最
教 师 备 用 题

大,故a为h(x);从而c为g(x),故选B.

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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

例2

己知函数f(x)=sinx+cosx.

cos2x-sinxcosx (1)若f(x)=2f(-x),求 的值; 2 1+sin x (2)求函数F(x)=f(x)f(-x)+f2(x)的最大值和单调递增 区间.

教 师 备 用 题
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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

解:(1)∵f(x)=sinx+cosx, ∴f(-x)=cosx-sinx. 又∵f(x)=2f(-x), 1 ∴sinx+cosx=2(cosx-sinx)且cosx≠0?tanx= 3, cos2x-sinxcosx cos2x-sinxcosx 1-tanx 6 ∴ = = =11. 1+sin2x 2sin2x+cos2x 2tan2x+1

教 师 备 用 题
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第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角 函数模型的简单应用

(2)由题知F(x)=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx =cos2x+sin2x+1=
? π ? ∴当sin?2x+ 4 ? ? π? ? 2sin?2x+ ?+1. 4? ? ?

π π π 由- +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ (k∈Z), 2 4 2 3π π 解得- 8 +kπ ≤x≤ 8 +kπ ,(k∈Z),
教 师 备 用 题

? ? ?=1时,F(x)max= ?

2+1.

故F(x)的单调递增区间为 (k∈Z).

? 3π ? ?- 8 ?

? π ? +kπ , +kπ ? 8 ?

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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第20讲 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式

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考试大纲
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公 式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正 弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正 弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正 切公式,了解它们的内在联系.

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第20讲
双 向 固 基 础

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

—— 知 识 梳 理 ——

一、两角和与差的三角函数公式 1.sin(α+β)=____________________. sinα cosβ +cosα sinβ 2.sin(α-β)=____________________. sinα cosβ -cosα sinβ cosα cosβ -sinα sinβ 3.cos(α+β)=____________________. 4.cos(α-β)=____________________. cosα cosβ +sinα sinβ
tanα +tanβ 5.tan(α+β)=______________,其中α≠kπ + 1-tanα tanβ

π π π 2 ,β≠kπ + 2 ,α +β≠kπ + 2 ,k∈Z.

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第20讲
双 向 固 基 础

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

tanα -tanβ 1+tanα tanβ 6.tan(α-β)=________________,其中α≠kπ

π π π + ,β≠kπ + ,α -β≠kπ + ,k∈Z. 2 2 2

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第20讲
双 向 固 基 础

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

二、倍角的三角函数公式
2sinα cosα 1.sin2α =______________.
2cos2α -1 cos2α -sin2α 2.cos2α =____________=____________= 1-2sin2α ____________.

2tanα 3.tan2α =__________,公式成立的条件是 1-tan2α π kπ π α≠ 4 + 2 且α≠ 2 +kπ ,k∈Z __________________________.

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第20讲
双 向 固 基 础

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

三、公式的变形 1.tanα +tanβ =tan(α+β)(1-tanα tanβ ). 2.tanα -tanβ =tan(α-β)(1+tanα tanβ ). 3.asinα +bcosα=
? ?sinφ φ)? ?

a2+b2

sin(α+

b a ? ? = 2 ,cosφ = 2 2 2? . a +b a +b ?

1-cos2α 1+cos2α 4.sin2α =________,cos2α =________,它的 2 2

双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用.

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第20讲
双 向 固 基 础

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

—— 疑 难 辨 析 ——

1.两角和与差的正弦公式的应用 (1)sin(α+β)=sinα +sinβ .( ) (2)sin75°cos30°-cos75°sin30°=sin45°= 2 2 .( ) (3)y=cos2x-sin2x的最小正周期是2π .( ) (4)sin119°sin181°-sin91°sin29°的值为- 1 .( 2 )

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第20讲
双 向 固 基 础

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[答案] (1)?

(2)√ (3)?

(4)√

[解析] (1)sin(α+β)=sinα cosβ +cosα sinβ . (2)依据公式sinα cosβ -cosα sinβ =sin(α-β)可得解. (3)y=cos2x-sin2x=cos2x,最小正周期是π . (4)sin119°sin181°-sin91°sin29°=cos29°(-sin1°) -cos1°sin29°=-(sin1°cos29°+cos1°sin29°)=- 1 sin30°=- 2.

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第20讲
双 向 固 基 础

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

2.两角和与差的正切公式的应用 1+tan15° tan45°+tan15° (1) = =tan(45°-15°) 1-tan15° tan45°-tan15° 3 =tan30°= .( 3 )

π (2)当α+β= +kπ (k∈Z)时,(1+tanα )(1+tanβ ) 4 =2.( ) 1 (3)已知tan(α+β)=1,tanβ = 3 ,则tanα 的值为 1 ) 2.(
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第20讲
双 向 固 基 础

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

(4)tan15°tan25°+tan25°tan50°+tan50°tan15° 的值是1.( )

[答案] (1)? (2)√

(3)√

(4)√

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第20讲
双 向 固 基 础

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1+tan15° tan45°+tan15° [解析] (1) = =tan(45°+ 1-tan15° 1-tan45°tan15° 15°)=tan60°= 3. (2)(1+tanα )(1+tanβ )=1+tanα +tanβ +tanα tanβ =1+tan(α+β)(1-tanα tanβ )+tanα tanβ =2. 1 1- tan(α+β)-tanβ 3 (3)tanα =tan(α+β-β)= = 1 1+tan(α+β)tanβ 1+ 3 1 = . 2

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第20讲
双 向 固 基 础

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

(4)原式=tan25°(tan15°+tan50°)+tan50°tan15° =tan25°tan65°(1-tan15°tan50°)+tan50°tan15° 1 =tan25° (1-tan15°tan50°)+tan50°tan15° tan25° =1.

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

考点统计 点 面 讲 考 向

题型(考频)

题型示例(难度) 2008年T11(A), 2010年T10(A), 2011年T7(A) 2009年T4(A)

1.两角和与差的公式的 应用
2.两角和与差的公式的 逆用与变形 3.角的变换

选择(3)

选择(1) 0

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年课程标准卷.

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

?

探究点一
例1

两角和与差的三角函数公式的应用
已知函数f(x)=Acos
?x π ? ?4+ 6 ? ? ? ? ?

点 面 讲 考 向

[2012· 广东卷]
? ? ?= ?



?π x∈R,且f? ?3 ?

2.

(1)求A的值;
? π ? (2)设α,β∈?0, 2 ? ? ? ? ?,f ?4α ? ?

4 ? 30 ? 2 ? + π ?=- ,f?4β- π ?= 3 ? 17 ? 3 ?

8 5,求cos(α+β)的值.

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

思考流程
点 面 讲 考 向
?π 为参数,且f ? ?3 ?

(1)条件:已知函数f(x)解析式,其中振幅
? ? ?= ? ?π 2;目标:求A;方法:利用f ? ?3 ? ? π ? ?0, 2 ? ? ? ? ? ? ? ?= ?

2

即可求出. (2)条件:函数f(x)解析式和α,β∈
? f ?4α ?



4 ? 30 ? 2 ? 8 +3π ? =- 17 ,f ?4β -3π ? = 5 ;目标:求cos(α+β) ? ? ? 的值;方法:先根据诱导公式求出α,β的正弦和余弦,后 代入和角的余弦公式求出cos(α+β).

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
?π 解:(1)由f? ?3 ? ? ? ?= ? ?π π? ? 2得Acos? + ?= ? ?12 6?

2,故A=2.

点 面 讲 考 向

? ? 30 ? 4 ? 4π ? π ? ?1? ? (2)∵-17=f?4α +3π ?=2cos?4?4α + ?+ 6 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? =2cos?α ? ?

π? ? + ?=-2sinα , 2?

? ? 8 ? 2π ? 2π ? π ? ?1? =f?4β - ?=2cos? ?4β - ?+ ?=2cosβ , 5 ? 3 ? 3 ? 6? ? ? ? ?4? ?

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

15 4 ∴sinα = ,cosβ = . 17 5
点 面 讲 考 向

∵α

? π ,β∈?0, ? 2 ?

? ? ?, ?
2

∴cosα = 1-sin α =

? 15? 2 8 1-?17? =17, ? ? ? 4? 2 3 1-? ? = . 5 ? 5?

sinβ = 1-cos β =

2

∴cos(α+β)=cosα cosβ -sinα sinβ 8 4 15 3 13 =17?5-17?5=-85.
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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

点评
点 面 讲 考 向

cos(α+β)=cosα cosβ -sinα sinβ .已知sinα

求cosα ,已知cosβ 求sinβ ,都要用到公式sin2α +cos2α =1,要注意角α,β的象限,也就是符号问题.

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

归纳总结
点 面 讲 考 向

①正弦公式概括为“正余,余正符号

同”“符号同”指的是前面是两角和,则后面中间为“+”号; 前面是两角差,则后面中间为“-”号. ②余弦公式概括为“余余,正正符号异”. ③二倍角公式实际就是由两角和公式中令β=α所 得.特别地,对于余弦:cos2θ=cos2θ-sin2θ=2cos2θ-1 =1-2sin2θ,这三个公式各有用处,同等重要,特别是逆 用即为“降幂公式”,在考题中常有体现.

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

变式题
点 面 讲 考 向

[2012· 肇庆模拟] 在△ABC中,内角A,B,

π 4 C的对边分别为a,b,c,B= ,cosA= ,b= 3. 6 5 (1)求a的值; (2)求sin(2A-B)的值.

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

π 解:(1)∵A,B,C为△ABC的内角,B= 6 ,cosA=
点 面 讲 考 向

4 ,b= 3, 5 π 1 ∴sinB=sin = ,sinA= 1-cos2A= 6 2
? 4? 2 3 1-? ? = , 5 ? 5?

3 3? a b bsinA 5 6 3 由正弦定理 = 得a= = = . 1 5 sinA sinB sinB 2

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

点 面 讲 考 向

π π 3 (2)∵B= ,∴cosB=cos = , 6 6 2 4 3 又∵cosA= ,sinA= , 5 5 3 4 24 ∴sin2A=2sinAcosA=2? ? = , 5 5 25 ?4?2 7 2 ? ? -1= , cos2A=2cos A-1=2? 25 ?5? 24 3 7 1 ∴sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB= ? - ? 25 2 25 2 24 3-7 = . 50

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

?

探究点二

两角和与差的逆用与变形的应用

例2 (1)计算:sin163°sin223°+sin253°sin313°=
点 面 讲 考 向

________. (2)求值:tan20°+tan40°+ ________.

3

tan20°tan40°=

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:sin163°sin223°+sin253°

sin313°中与和差角的三角函数的展开式形式不符;推 理:利用诱导公式把“+”号前后的函数名称与角变成符 合和角的余弦公式的形式;结论:逆用公式,得出结论. (2)分析:理解和差角的正切公式的逆用和变形用形 式;推理:把tan20°+tan40°化成tan(20°+40°)(1- tan20°tan40°),然后化简;结论:最后得出结论 3.

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[答案]
点 面 讲 考 向

1 (1) 2

(2) 3

[解析]

(1)原式=sin17°(-sin43°)+(-sin73°)(-

sin47°)=-sin17°sin43°+cos17°cos43°=cos60°= 1 2. (2)tan20°+tan40°+ 3tan20°tan40°=tan60°(1- tan20°tan40°)+ 3tan20°tan40° = 3- 3tan20°tan40°+ 3tan20°tan40°= 3.

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

点评
点 面 讲 考 向

(1)考查公式的逆用,但此题不具备直接使用公

式的条件,需要根据诱导公式变角、变函数名称才能使用 公式. (2)两角和差的正切公式可以变形为tanα +tanβ = tan(α+β)(1-tanα tanβ ),tanα -tanβ =tan(α-β)(1+tan α tanβ ).

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

归纳总结
点 面 讲 考 向

在三角求值、化简中,遇到切函数有两种

常见的变形方法,一种是化弦,另一种是利用tan(α± β)的 变形公式.

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

变式题 1 A. 2

(1)计算1-2sin222.5°的结果等于(

)

点 面 讲 考 向

2 3 3 B. C. D. 2 3 2 2 (2)设a= 2 (sin56°-cos56°),b=cos50°cos128° 1-tan240°30′ 1 +cos40°cos38°,c= ,d= 2 (cos80°- 1+tan240°30′ 2cos250°+1),则a,b,c,d的大小关系为( A.a>b>d>c B.b>a>d>c C.d>a>b>c D.c>a>d>b )

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[答案]

(1)B (2)B
2

点 面 讲 考 向

2 [解析] (1)1-2sin 22.5°=cos45°= 2 . (2)a=sin(56°-45°)=sin11°,b=-sin40°cos52 °+cos40°sin52°=sin(52°-40°)=sin12°,c= 1-tan240°30′ cos240°30′-sin240°30′ = =cos240° 2 2 2 1+tan 40°30′ cos 40°30′+sin 40°30′ 1 30′-sin 40°30′=cos81°=sin9°,d= 2 (2cos240°- 2sin240°)=cos80°=sin10°,∴b>a>d>c.
2

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

?

探究点三
例3

角的变换问题

点 面 讲 考 向

? π β? 1 ?α - ? =- , 已知0<β< <α<π ,且cos 2 2? 9 ?

?α sin? ?2 ?

? 2 ? -β?=3,求cos(α+β)的值. ?

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
? 条件:已知α,β范围,cos ?α ?

思考流程
点 面 讲 考 向
?α sin ? ?2 ?

β? 1 ? =- , -2 9 ?

? 2 ? -β? = 3 ;目标:求cos(α+β)的值;方法:拆分角: ?

? α +β ? β? ?α ? = ?α -2? - ? -β? ,利用平方关系分别求各角的正 ? 2 ? ? ?2 ?

弦、余弦,最后代入求cos(α+β)的值.

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

π π α π π 解:∵0<β< 2 <α<π ,∴- 4 < 2 -β< 2 , 4 <α
点 面 讲 考 向

β - 2 <π ,
?α ? ∴cos?2-β?= ? ? ? sin?α ?
2 ?α

? ? ?

1-sin
2

2

? ? -β?= ?

5 3,

β? -2?= ?

1-cos

? ?α ?

β? 4 5 -2?= 9 , ?

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
?? α +β β? ?α ?? ∴cos =cos??α - ?-? -β?? 2 2? ?2 ?? ??

点 面 讲 考 向

? =cos?α ? ?

? ? ? β? ?α β ? ?α ? ? ? - 2 ?cos? 2 -β?+sin?α -2?sin?2 -β? ? ? ? ? ? ? ?

? 1? =?-9?? ? ?

5 4 5 2 7 5 3 + 9 ?3= 27 ,


∴cos(α+β)=2cos

+β 49?5 239 -1=2? -1=- . 2 729 729

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
? α +β β? 本题应注意:(1)角的拆分 2 = ?α -2? - ? ?

点评
点 面 讲 考 向
?α ? ?2 ?

? α ? -β?;(2)确定 2 ?

β -β,α- 的范围. 2

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

归纳总结
点 面 讲 考 向

①已知角为两个时,待求角一般表示为已知

角的和或差;已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍的 关系”或“互余互补”关系. ②常见的一些角的变换式:2α=(α+β)+(α-β);α=(α ? α+β ? β? ?α π π ?α- ? - ? -β? ; -α= - +β)-β,α=β-(β-α); = 2 2? ?2 4 2 ? ? ?π ? ? π π ?π ? +α? ; +α= - ? -α? 等等,具体要视题中出现的角来确 6 2 ?3 ?4 ? ? 定.

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
?π ? π 3π 3 ? ? 已知0<β< 4 <α< 4 ,cos ? -α? = 5 , ?4 ?

变式题
点 面 讲 考 向
?3π sin? ? 4 ?

? 5 ? ? +β?=13,求sin??α ?

+β??的值.

?

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

点 面 讲 考 向

π 3π 解:∵0<β< 4 <α< 4 , π π 3π 3π ∴- 2 < 4 -α<0, 4 < 4 +β<π .
?π ? 3 ?3π ? 5 ? ? ? ? 又cos? -α?=5,sin? +β?=13, ?4 ? ? 4 ? ?π ? ?3π ? 4 12 ? ? ? ∴sin? -α?=-5,cos? +β?=-13, ? ?4 ? ? 4 ? ?π ? ? ∴sin(α+β)=-cos? +(α+β)? ? ?2 ? ?? 3π ? ?π ?? ?? ? ? ?? =-cos?? +β?-? 4 -α?? ?? 4 ? ? ??

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
?3π =-cos? ? 4 ? ? ?π ? ? +β?cos? ? ?4 ? ?3 ? -α?-sin?4π ? ? ?π ? +β?sin? ?4 ? ? ? ? -α? ?

点 面 讲 考 向

? 12? 3 5 ? 4? 56 =-?-13??5-13??-5?=65. ? ? ? ?

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

易错究源7


因忽视隐含条件致误
3x+4=0 的两个实数根是 tanα , )

已知方程 x2+3
? π α,β∈ ?- ? 2 ?

tanβ ,且

多 元 提 能 力

2π A. 3 π 2π C. 或- 3 3

π? ? , 2 ?,则 α+β 等于( ? 2π B.- 3 π 2π D.- 或 3 3

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

错解 C ∵tanα , tanβ 是方程 x2+3 个实数根,
?tanα ? ∴? ?tanα ?

3x+4=0 的两

+tanβ =-3 3<0, ① ?tanβ =4>0,

多 元 提 能 力

π? ? 又 , ?, 2? 从而-π <α+β<π ,② tanα +tanβ -3 3 又∵tan(α+β)= = = 3, 1-tanα ?tanβ 1-4 2π π ∴α +β=- 3 或 α+β= 3 .
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? π α,β∈?- ? 2 ?

第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[错因] 没有注意到①式中的隐含条件 tanα ,tanβ 同 为负值,从而导致②式的 α+β 的范围错误.

多 元 提 能 力

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[正解] B ∵tanα ,tanβ 是方程 x2+3 两个实数根,
?tanα ? ∴? ?tanα ?

3x+4=0 的

+tanβ =-3 3<0, ?tanβ =4>0,

∴tanα ,tanβ 同为负值,
多 元 提 能 力
? π π? ? 又 α,β∈?- , ?, 2 2? ? ? ? π ? ? 所以 α,β∈?- ,0?, ? 2 ? ?

从而-π <α +β<0,

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

tanα +tanβ -3 3 又∵tan(α+β)= = = 3, 1-tanα ?tanβ 1-4 2π ∴α +β=- .故选 B. 3
多 元 提 能 力

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1 自我检评 (1)已知 sinx+siny= 3, sinx-cos2y 的最 则 大值是________,最小值是________. 1 10 (2)若 A,B 均为锐角,且 tanA= ,sinB= ,则 A 7 10 +2B 的值为________.
多 元 提 能 力

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[答案]

4 (1)9

11 -12 (2)45°

[解析]

?-1≤sinx≤1, ?-1≤sinx≤1, ? ? 2 ? (1)∵ ∴? 得- 1 3 ?-1≤siny≤1, ?-1≤ -sinx≤1, ? 3

?

多 元 提 能 力

≤sinx≤1, ? 1?2 11 2 ∴sinx-cos y= ?sinx+ 6? -12,
? ?

1 11 当 sinx=- 6时,取得最小值-12; 4 当 sinx=1 时,取得最大值9.

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

10 3 10 (2)∵sinB= 且 B 为锐角,∴cosB= , 10 10 1 2tanB 3 ∴tanB= ,∴tan2B= = , 3 1-tan2B 4 tanA+tan2B ∴tan(A+2B)= =1, 1-tanAtan2B
多 元 提 能 力

10 1 又∵sinB= 10 <2=sin30°,∴0°<B<30°, ∴0°<A+2B<150°, ∴A+2B=45°.

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

备选理由

例1是和差角的三角函数与平面向量综合的

题目,主要涉及公式的逆用、角的变换和平面向量数量积的 知识,可作为探究点二、三的拓展.例2一题多种解法,开阔 视野,发展思维.

教 师 备 用 题
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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

例1

已知向量a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sin

2 β ),|a-b|= 5 5. (1)求cos(α-β)的值; π π 5 (2)若- <β <0<α < ,且sinβ =- ,求sinα 的 2 2 13 值.
教 师 备 用 题
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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

解:(1)∵|a|=1,|b|=1, ∴|a-b|2=a2-2a· b+b2=|a|2+|b|2-2(cosα cosβ +sin α sinβ ) =1+1-2cos(α-β). ∵|a-b|
2

?2 5? 4 ? ?2 4 =? = ,∴2-2cos(α-β)= , 5 5 5 ? ? ?

3 得cos(α-β)= . 5

教 师 备 用 题
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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

π π (2)∵- <β <0<α < ,∴0<α-β<π , 2 2 3 4 由cos(α-β)=5,得sin(α-β)=5. 5 12 由sinβ =-13,得cosβ = 13, ∴sinα =sin[(α-β)+β ]=sin(α-β)cosβ +cos(α- 33 β)sinβ = 65.
教 师 备 用 题
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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
?π ? ?4 ? ? ? +x? ?

例2

已知cos

17π 7π 3 = 5 , 12 <x< 4 ,求

sin2x+2sin2x 的值. 1-tanx

教 师 备 用 题
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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

17π 7π 5π π 解:方法一:∵ <x< ,∴ <x+ <2π , 12 4 3 4
?π 又∵cos? ?4 ? ?π ∴tan? ?4 ? ? 3 ?π ? 4 ? ? ? +x?=5,从而可得sin? 4 +x?=-5, ? ? ? ?π ? 4 ? sin? +x? - ? ? 5 4 ?4 ? ? = =- , +x?= ? ? 3 3 π ? ? ? cos? +x? 5 ?4 ?

教 师 备 用 题

sin2x+2sin2x 于是 = 1-tanx

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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

2sinx(cosx+sinx) 1-tanx
?π sin2xtan? ?4 ? ? ? +x?. ?



2sinxcosx(1+tanx) 1-tanx



?π 又∵sin2x=-cos? ?2 ?

? ? ? ? 2? π ? +2x?=-?2cos ? 4 ? ? ?

? ? 7 ? ? +x?-1?=25, ? ?

sin2x+2sin2x 7 ? 4? 28 ∴ = ??- ?=- . 25 ? 3? 75 1-tanx
教 师 备 用 题
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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

17π 7π 5π π 方法二:∵ <x< ,∴ <x+ <2π . 12 4 3 4
?π ? 3 ?π ? 4 ? ? ? ? 又∵cos? +x?=5,∴sin? +x?=-5, ?4 ? ?4 ? ?π ? 1+tanx 4 4 ? ? 从而tan? +x?=-3,于是 =-3,得tanx=7, 1-tanx ?4 ?

教 师 备 用 题

2tanx 2 2 2 2 +2tan xcos x sin2x+2sin x 1+tan x 故 = 1-tanx 1-tanx 14 1 50+2?49?1+49 28 = =- . 75 1-7
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第20讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
?π 方法三:cos? ?4 ? ? 3 3 2 ? +x?=5?cosx-sinx= 5 ,① ?

17π 7π 5π π ∵ 12 <x< 4 ,∴ 3 <x+ 4 <2π ,
?π 则sin? ?4 ? ? 4 ? +x?=-5, ?

4 2 ∴cosx+sinx=- ,② 5 2 7 2 sinx 由①、②得cosx=- 10 ,sinx=- 10 ,∴tanx= = cosx 7,
教 师 备 用 题

sin2x+2sin2x 28 故 =- . 75 1-tanx
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第21讲 简单的三角恒等变换

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考试大纲
能运用和差倍角公式进行简单的恒等变换(包括 导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公 式不要求记忆).

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第21讲
双 向 固 基 础

简单的三角恒等变换

—— 知 识 梳 理 ——

一、三角函数基本公式的变形 1.1+sinα 2.1-sinα
? α α ?2 ? ? sin 2 +cos 2 ? ? =____________________. ? ? ? α α ?2 ? ? sin 2 -cos 2 ? ? =____________________. ? ?


2cos 2 3.1+cosα =____________________.

2sin 4.1-cosα =____________________. 2



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第21讲
双 向 固 基 础

简单的三角恒等变换

1-cosα α 5.sin2 2=____________________. 2 1+cosα 2α 6.cos =____________________. 2 2 sin2α _____________. (1+cosα )2

7.tan

2

α 2



1-cosα 1+cosα

(1-cosα )2 =_____________= sin2α

2 1 sin2α 8.tanα + =_______________.

tanα

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第21讲
双 向 固 基 础

简单的三角恒等变换

二、常用角的变形 1.α =(α+β)-β. 2.α =(α-β)+β. 3.2α =(α+β)+(α-β). 4.2β=(α+β)-(α-β).
? α +β ? β? ?α ? 5. 2 =?α -2?-? -β?. ? ? ? ?2 ? 三、公式中“1”的妙用

1=sin2α +cos2α ,1=2cos2α -cos2α ,1=cos2 α +2sin2α .

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第21讲
双 向 固 基 础

简单的三角恒等变换

—— 疑 难 辨 析 ——

1.最值问题 (1)y=sin2xcos2x的最大值是1.( (2)y=3sinx+4cosx的最大值是7.( (3)函数f(x)=cos x+ 3 上的最大值为2.( )
2

) ) π? ? ,3? ?

? π 3sinxcosx在区间 ?- ? 4 ?

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第21讲
双 向 固 基 础

简单的三角恒等变换

[答案] (1)?

(2)? (3)√

1 1 [解析] (1)y=sin2xcos2x= sin4x,所以最大值是 . 2 2 (2)y=3sinx+4cosx=5sin(x+φ),所以最大值是5.
? 1+cos2x 3 π? 1 ? (3)f(x)= + 2 sin2x=sin?2x+ ?+2, 2 6? ? ? π π π π 5π ∵- 4 ≤x≤ 3 ,∴- 3 ≤2x+ 6 ≤ 6 , ? 3 π? ? ∴- ≤sin?2x+ ?≤1, 2 6? ? ? 3 ∴f(x)的最大值为 . 2
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第21讲
双 向 固 基 础

简单的三角恒等变换

2.公式的变形或应用 θ θ (1)已知 2 是第四象限角,且cos 2 = 2 1+x θ 等于- .( x ) 1-cos(π +α) 2 = 1+x ,则sin x

(2)设α∈(π ,2π ),则 α sin 2 .( )

(3)在非直角三角形中有:tanA+tanB+tanC= tanAtanBtanC.( )
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第21讲
双 向 固 基 础

简单的三角恒等变换

5π θ 1 (4)设 2 <θ <3π ,且|cosθ |= 5 ,那么sin 2 的值为 15 5 .( ) )

π 2π 4π 1 (5)cos cos cos =- .( 7 7 7 8
[答案] (1)? (2)? (3)√

(4)? (5)√

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第21讲
双 向 固 基 础

简单的三角恒等变换

θ θ [解析] (1) 2 是第四象限角,sin 2 =- θ θ ∴sinθ =2sin cos =-2 2 2 -1-x =2 . x 1-cos(π +α) (2) = 2 1 - ? x

1 - (x<0), x

1+x -1-x =-2 x |x|

1+cosα = 2

cos



2

.

? α ?π ? ∵α ∈(π ,2π ),∴ 2 ∈? ,π ?, ? ?2 ?



1-cos(π +α) = 2

α cos 2 =-cos 2 .
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第21讲
双 向 固 基 础

简单的三角恒等变换

(3)tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC =tan(π -C)(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC. 5π 1 (4)∵ <θ <3π ,∴cosθ <0,∴cosθ =- . 2 5 5π θ 3π ∵ 4 <2< 2 , θ ∴sin <0, 2 1-cosθ 3 2θ 2θ 又cosθ =1-2sin 2 ,∴sin 2 = =5, 2 θ 15 ∴sin =- . 2 5

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第21讲
双 向 固 基 础

简单的三角恒等变换

π π 2π 4π 2sin 7 cos 7 cos 7 cos 7 π 2π 4π (5)cos 7 cos 7 cos 7 = = π 2sin 7 2π 2π 4π 4π 4π 8π 2sin 7 cos 7 cos 7 2sin 7 cos 7 sin 7 1 = = =-8. π π π 4sin 8sin 8sin 7 7 7

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第21讲

简单的三角恒等变换

考点统计 点 面 讲 考 向

题型(考频)

题型示例(难度)

1.三角函数式的化简
2.三角函数式的求值 3.三角函数式的求角 4.三角恒等变换的综合

选择(1) 0
0 0

2011年T11(B)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年课程标准卷.

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第21讲

简单的三角恒等变换

?

探究点一
例1

三角函数式的化简
△ABC中,内角A,B,C所对

[2012· 太原模拟]

点 面 讲 考 向

的边分别为a,b,c,若b2+c2=a2+bc. (1)求角A的大小; 2B 2C (2)若2sin +2sin =1,试判断△ABC的形状. 2 2

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第21讲

简单的三角恒等变换

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)条件:△ABC中,b2+c2=a2+bc;目

标:求角A的大小;方法:利用余弦定理的推论cosA= b2+c2-a2 ,结合条件b2+c2=a2+bc即可求角A. 2bc π 2 B 2 C (2)条件:2sin 2 +2sin 2 =1,A= 3 ;目标:判断 △ABC的形状;方法:首先降幂,把半角化为单角,再利 用B,C的和为定值,通过恒等变换求出B,C,根据角的 大小判断出△ABC的形状.

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第21讲

简单的三角恒等变换

解:(1)在△ABC中,b2+c2-a2=2bccosA,
点 面 讲 考 向

又b2+c2=a2+bc, π 1 ∴cosA= ,A= , 2 3 2B 2C (2)∵2sin 2 +2sin 2 =1,∴1-cosB+1-cosC=1,
?2π ∴cosB+cosC=1,cosB+cos? ? 3 ? ? ? -B?=1, ?

2π 2π cosB+cos cosB+sin sinB=1, 3 3
? 3 1 π? ? sinB+ cosB=1,∴sin?B+ ?=1, 2 2 6? ? ? π π ∵0<B<π ,∴B= 3 ,C= 3 ,∴△ABC为等边三角形.
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第21讲

简单的三角恒等变换

点评
点 面 讲 考 向

化简三角函数式常有两种思路:一是角的变

换(即将多种形式的角尽量统一、减少角的个数);二是三 角函数名称的变换(即尽量减少、统一函数名称,如“切 化弦”).具体问题中可双管齐下,整体变换.

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第21讲

简单的三角恒等变换

归纳总结
点 面 讲 考 向

三角函数的化简常见的方法有切化弦、

利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式 进行转化求解.化简三角函数式的基本要求: ①能求出值的要求出值来; ②使三角函数式的项数、三角函数的种类及角的种类 尽可能少; ③使三角函数式的次数尽可能低; ④分母中尽量不含三角函数式和根式.

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第21讲

简单的三角恒等变换

变式题
点 面 讲 考 向

3π 已知π <α < 2 ,化简: 1+sinα + 1-sinα 1+cosα + 1-cosα .

1+cosα - 1-cosα

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第21讲

简单的三角恒等变换

3π π α 3π 解:因为π <α < 2 ,所以 2 < 2 < 4 .
点 面 讲 考 向

1+cosα =

2cos 2 =




? α ? 2?cos 2 ?

? ? ?=- ?

α 2cos 2 ,

α 1-cosα = 2sin 2 = 2sin 2 . 1+sinα 1-sinα 所以原式= + ? ? α α ? α α ? ? ? ? - 2?cos +sin ? 2?sin -cos ? 2 2? 2 2? ? ? ? ? ? α α ?2 α α ?2 ? ? ? ? cos 2 +sin 2 ? sin 2 -cos 2 ? ? ? ? ? ? ? = + ? ? α α ? α α ? ? ? ? - 2?cos +sin ? 2?sin -cos ? 2 2? 2 2? ? ? ?
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第21讲

简单的三角恒等变换

α α α α ? 2? α ? ? =- 2 ?sin +cos -sin +cos ?=- 2cos 2 . 2 2 2 2? ?
点 面 讲 考 向

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第21讲

简单的三角恒等变换

?

探究点二

三角函数式的求值

点 面 讲 考 向

x x 例2 已知sin -2cos =0. 2 2 (1)求tanx的值; cos2x (2)求 的值. ?π ? 2cos? +x?· ?4 ? sinx ? ?

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第21讲

简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

x x 思考流程 (1)条件:sin -2cos =0;目标:求 2 2 x tanx的值;方法:先求tan ,进而求得tanx的值. 2 4 cos2x (2)条件:tanx=- 3 ;目标:求 的 ?π ? 2cos? +x?· ?4 ? sinx ? ? π 值;方法:注意到“2x”与“ 4 +x”间的联系和差异,借助 倍角公式,统一角度.最后化成含tanx的式子,得出答 案.

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第21讲

简单的三角恒等变换

x x x 解:(1)由sin2-2cos2 =0,得tan2 =2,
点 面 讲 考 向

2?2 4 ∴tanx= = =- . 3 x 1-22 2 1-tan 2
? π? ? (2)∵cos2x=sin?2x+ ? 2? ? ? ? π ? =2sin?x+ 4 ? ? ? π? ? ? cos?x+ ?, ? 4? ? ? ?

x 2tan 2

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第21讲

简单的三角恒等变换
? π? ? π ? 2sin?x+ ?cos?x+ 4? ? 4 ? ? ? ∴原式= ?π ? ? 2cos? +x?· ? sinx 4 ? ? ? 3? 1 1 =1+ =1+?- ?= . tanx ? 4? 4 ? ? ? ?

点 面 讲 考 向

sinx+cosx = sinx

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第21讲

简单的三角恒等变换

点评
点 面 讲 考 向

三角函数的求值关键是找出已知式与未知式的

联系,将所给一个或几个三角函数式经过变形,转化成所 求函数式能使用的形式.

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第21讲

简单的三角恒等变换

归纳总结
点 面 讲 考 向

三角函数求值有两类:

①“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表 面上来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一 定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化 为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解. ②“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另 外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相 同或具有某种关系.

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第21讲

简单的三角恒等变换

变式题
点 面 讲 考 向

? 1 π? ? 已知sinα = 2 +cosα ,且α∈ ?0, ? ,则 2? ? ?

cos2α
? sin?α ? ?

π - 4

? ? ? ?

的值为________.

[答案]

14 - 2

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第21讲

简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

1 [解析] 依题意得sinα -cosα = 2, 又(sinα +cosα )2+(sinα -cosα )2=2, ?1?2 7 2 2 即(sinα +cosα ) +? ? =2,故(sinα +cosα ) = . 4 ?2?
? π ? 又α∈?0, 2 ?

7 +cosα = , 2 cos2α cos2α -sin2α 所以 ? =- 2(sinα + ?= 2 π? ? sin?α - ? 2 (sinα -cosα ) 4? ? 14 cosα )=- . 2

? ? ?,因此有sinα ?

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第21讲

简单的三角恒等变换

?

探究点三
例3

三角函数式的求角
在△ABC中,角A,B,C所对的

[2011· 湖南卷]

点 面 讲 考 向

边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC. (1)求角C的大小; (2)求 3 sinA-cos 时角A,B的大小.
? π? ? ? ?B+ 4 ? ? ?

的最大值,并求取得最大值

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第21讲

简单的三角恒等变换

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)条件:在△ABC中csinA=acosC;目

标:求角C的大小;方法:根据正弦定理,把已知条件化 为sinC?sinA=sinA?cosC,然后化简,求出角C的三角函 数值,最后得到C.
? 3 π? ? (2)条件:A+B=4π ;目标:求 3sinA-cos?B+ ?的 4? ? ?

最大值,并求取得最大值时角A,B的大小;方法:把

3

? ? π? π? ? ? ? sinA-cos ?B+ ? 化为单一角的三角函数2sin ?A+ ? ,再求 4? 6? ? ? ?

π 出A+ 的范围,结合函数的单调性,求出答案. 6
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第21讲

简单的三角恒等变换

解:(1)∵c· sinA=a· cosC,由正弦定理,
点 面 讲 考 向

得sinC?sinA=sinA?cosC. 又0<A<π ,∴sinA>0,从而sinC=cosC. π 又cosC≠0,∴tanC=1,则C= 4 . π 3 (2)由(1)知,B=4π -A,B+ 4 =π -A, 则 =
? π? ? 3sinA-cos?B+ ?= 3sinA-cos(π 4? ? ? ? π? ? 3sinA+cosA=2sin?A+ ?. 6? ? ?

-A)

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第21讲

简单的三角恒等变换

π π 11 3 因为0<A< π ,则 <A+ < π . 4 6 6 12
点 面 讲 考 向
? π π π π? ? 从而当A+ 6 = 2 ,即A= 3 时,2sin ?A+ ? 取最大值 6? ? ?

2. 综上可知, π 5π 3 ,B= 12 .

? π? ? 3sinA-cos?B+ ? 的最大值为2,此时A= 4? ? ?

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第21讲

简单的三角恒等变换

点评

“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先

求角的某一函数值,再求角的范围,确定角.
点 面 讲 考 向

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第21讲

简单的三角恒等变换

归纳总结
点 面 讲 考 向

已知三角函数式求角,其基本步骤如下:

①根据三角函数式的特点,确定求待定角的某一种三角 函数值; ②根据已知条件确定角的取值范围; ③根据待定角的三角函数值和角的范围确定角.在确定 角的范围时,注意题设条件的等价性.

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第21讲

简单的三角恒等变换

变式题
点 面 讲 考 向

[2012· 深圳调研]

? π? ? 设函数f(x)=cos ?2x+ ? + 3? ? ?

sin2x. (1)求函数f(x)的最大值; 1 ?C? (2)设A,B,C为△ABC的三个内角,若cosB= 3 ,f ? 2 ? ? ? 1 =- ,且C为锐角,求sinA. 4

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第21讲

简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

π π 1-cos2x 解:(1)f(x)=cos2xcos 3 -sin2xsin 3 + 2 1 3 1 1 = cos2x- sin2x+ - cos2x 2 2 2 2 1 3 =2- 2 sin2x. π π 所以,当2x=- +2kπ ,即x=- +kπ (k∈Z) 2 4 1+ 3 时,f(x)取得最大值,f(x)max= 2 .

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第21讲

简单的三角恒等变换
?C? 1 1 ? ?=- ,即 - (2)由f 4 2 ?2?

3 1 sinC=- , 2 4

点 面 讲 考 向

3 解得sinC= . 2 π 又C为锐角,所以C= . 3 1 2 2 由cosB= 求得sinB= . 3 3 因此sinA=sin[π -(B+C)]=sin(B+C) 2 2 1 1 3 2 2+ 3 =sinBcosC+cosBsinC= 3 ?2+3? 2 = . 6

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第21讲

简单的三角恒等变换

?

探究点四
例4

三角恒等变换的综合应用

[2012· 山大附中模拟] 阅读下面材料:

点 面 讲 考 向

根据两角和与差的正弦公式,有sin(α+β)=sinα cosβ +cosα sinβ ,① sin(α-β)=sinα cosβ -cosα sinβ ,② 由①+②得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinα cosβ ,③ A+B A-B 令α+β=A,α-β=B有α= ,β= ,代入③ 2 2 A+B A-B 得sinA+sinB=2sin 2 cos 2 .

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第21讲

简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

(1)类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式, A+B A-B 证明:cosA-cosB=-2sin sin ; 2 2 (2)若△ABC的三个内角A,B,C满足cos2A-cos2B=1 -cos2C,试判断△ABC的形状. (提示:如果需要,也可以直接利用阅读材料及(1)中的 结论)

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第21讲

简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

A+B A-B 思考流程 给出公式sinA+sinB=2sin 2 cos 2 的推导过程,及满足的条件;目标:(1)证明:cosA-cosB A+B A-B =-2sin 2 sin 2 ;(2)判断三角形形状;方法:(1)运 用类比方法证明,主要是方法的类比;(2)将已知等式化为 单角,再用正弦定理化为边的关系,即可得出结论.

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第21讲

简单的三角恒等变换

解:(1)证明:因为cos(α+β)=cosα cosβ -sinα sin
点 面 讲 考 向

β ,① cos(α-β)=cosα cosβ +sinα sinβ ,② ①-②得cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinα sinβ .③ A+B A-B 令α+β=A,α-β=B有α= ,β= , 2 2 A+B A-B 代入③得cosA-cosB=-2sin sin . 2 2

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第21讲

简单的三角恒等变换

(2)方法一:由二倍角公式cos2A-cos2B=1-cos2C可 化为
点 面 讲 考 向

1-2sin2A-1+2sin2B=1-1+2sin2C, 所以sin2A+sin2C=sin2B, 设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b, c, 由正弦定理可得a2+c2=b2. 根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形.

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第21讲

简单的三角恒等变换

点 面 讲 考 向

方法二:利用(1)中的结论和二倍角公式, cos2A-cos2B=1-cos2C可化为 -2sin(A+B)sin(A-B)=1-1+2sin2C, 因为A,B,C为三角形的内角,所以A+B+C=π , 所以-sin(A+B)sin(A-B)=sin2(A+B). 又因为0<A+B<π ,所以sin(A+B)≠0, 所以sin(A+B)+sin(A-B)=0.从而2sinAcosB=0. π 又sinA≠0,所以cosB=0,故B= . 2 所以△ABC为直角三角形.

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第21讲

简单的三角恒等变换

点评
点 面 讲 考 向

本题的解题思路是运用所给材料提供的方法证明

一个公式,再用这个公式解决一个问题.因此读懂阅读材 料,类比使用公式的证明方法是解题的关键.

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第21讲

简单的三角恒等变换

归纳总结
点 面 讲 考 向

三角函数问题的最大特点是公式多、用法

活,在解题中要选择与题目条件最接近的公式使用,关注主 要公式:两角和与差的正余弦公式、正切公式,二倍角的正 余弦公式、正切公式以及它们的变形使用;对于三角公式的 使用,要注意三个方面:名称,符号,角度,任何三角公式 都是由这三个方面构成的.

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第21讲

简单的三角恒等变换

变式题

[2013· 淮安新马高级中学月考] 如图3-21-

点 面 讲 考 向

1所示,某市政府决定在以政府大楼O为中心,正北方向 和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书 馆.为了充分利用这块土地,并考虑与周边环境协调,设 计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上,图书 馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM=R, ∠MOP=45°,OB与OM之间的夹角为θ. (1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数; (2)求当θ为何值时,矩形ABCD的面积S有最大值?其 最大值是多少?(用含R的式子表示)

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第21讲

简单的三角恒等变换

解:(1)由题意可知,点M为PQ的中点,
点 面 讲 考 向

所以OM⊥AD. 设OM与BC的交点为F,则BC=2Rsinθ ,OF=Rcos θ , 1 AB=OF- AD=Rcosθ -Rsinθ . 2 所以S=AB· BC=2Rsinθ (Rcosθ -Rsinθ ) =R2(2sinθ cosθ -2sin2θ ) =R (sin2θ -1+cos2θ )=
? π ? θ∈?0, 4 ? ? ? ?. ?
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2

2 R sin

2

? ? ?2θ ?

π? ? -R2, + ? 4?

第21讲

简单的三角恒等变换
? π ? (2)因为θ∈?0, 4 ? ? π ? ?,则2θ+ 4 ? ?π ∈? ?4 ?

点 面 讲 考 向

π π π 所以当2θ+ = ,即θ= 时,S有最大值,最大值 4 2 8 为( 2-1)R2. π 故当θ= 8 时,矩形ABCD的面积S有最大值( 2-1)R2.

3π ? ? . , 4 ? ?

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第21讲

简单的三角恒等变换

思想方法8
例 f
多 元 提 能 力
? π ? ?- 3 ? ? ? ? ?

分类讨论思想在三角函数求值中的应用
2 ?π

设a∈R,f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos =f(0),求函数f(x)在
?π ? ?4 ?

? ? ?

2

? ? -x? 满足 ?

11π , 24

? ? ? ?

上的最大值和最小

值.

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第21讲

简单的三角恒等变换
2?π

2 y=Asin(ωx+φ)形式,由 x 的范围确定 ωx+φ 的范围,ωx +φ 的范围不单调需讨论.

[分析] 化简 f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos

? ? ?

? ? -x?使变成 ?

多 元 提 能 力

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第21讲

简单的三角恒等变换

a 解:f(x)=asinxcosx-cos x+sin x=2sin2x-cos2x. ? π? 3a 1 ?- ? =f(0)得- · + =-1,解得a=2 3. 由f 3 2 2 2 ? ? ? π? 因此f(x)= 3sin2x-cos2x=2sin?2x-6 ?. ? ?
2 2

多 元 提 能 力

?π π? π ?π π? 当x∈?4,3 ?时,2x-6∈?3,2 ?,f(x)为增函数; ? ? ? ? ?π 11π? π ?π 3π? 当x∈? , ?时,2x- ∈? , ?,f(x)为减函数, 24 ? 6 ?2 4 ? ?3

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第21讲

简单的三角恒等变换
?π 11π? ?π? 所以f(x)在? , ?上的最大值为f? ?=2. 24 ? ?4 ? 3? ?π? 又因f?4?= ? ? ?11π? 3,f? 24 ?= ? ?

2,

多 元 提 能 力

?π 11π? ?11π? 故f(x)在? , ?上的最小值为f? ?= 24 ? ?4 ? 24 ?

2.

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第21讲

简单的三角恒等变换

自我检评

已知函数f(x)=2acos2x+

3 asin2x+

a2(a∈R,a≠0且为常数). (1)若x∈R,求f(x)的最小正周期; (2)若x∈R时,f(x)的最大值等于4,求a的值.

多 元 提 能 力

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第21讲

简单的三角恒等变换

解:(1)f(x)=a(1+cos2x)+ 3asin2x+a2
? π =2asin?2x+ ? 6 ? ? ? +a2+a, ? ?

∴最小正周期为π .

?a>0, ?a<0, ? ? (2)依题意得? 或? 2 ?2a+a +a=4 ?-2a+a2+a=4. ? ?

多 元 提 能 力

1- 17 解得a=1或a= 2 . 1- 17 ∴a的取值为a=1或a= . 2

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第21讲

简单的三角恒等变换

备选理由 的交汇.

例1综合三角恒等变换、三角函数的性质、

三角函数的求值等知识,是常见题型;例2是三角变换与数列

教 师 备 用 题
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第21讲

简单的三角恒等变换

例1

已知函数f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).
? ? ? ?

? π ? (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间 ?0, 2 ?

上的最大

值和最小值; ?π 6 π? ? (2)若f(x0)= ,x0∈? , ?,求cos2x0的值. 5 2? ?4 ?

教 师 备 用 题
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第21讲

简单的三角恒等变换

解:(1)由f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x-1,得 f(x)= 3(2sinxcosx)+(2cos2x-1) =
? π? ? 3sin2x+cos2x=2sin?2x+ ?, 6? ? ? ? π? ? ? 2x+ 6 ? ? ? ? ? π 在区间 ?0, ? 6 ? ? ? ? ?

所以函数f(x)的最小正周期为π . 因为f(x)=2sin
?π 区间? ?6 ?

上为增函数,在

教 师 备 用 题

π? ? , ?上为减函数, 2? ?π ? ?π ? ? ? 又f(0)=1,f? ?=2,f? ?=-1, ?2? ?6? ? ? ? π? ? 所以函数f(x)在区间?0, ?上的最大值为2,最小值为-1. 2? ? ?
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第21讲

简单的三角恒等变换

教 师 备 用 题

? π? ? (2)由(1)可知f(x0)=2sin?2x0+ ?, 6? ? ? ? 6 π? 3 ? 又因为f(x0)=5,所以sin?2x0+ ?=5. 6? ? ? ?π π ?2π 7π ? π? ? ? ? 由x0∈? , ?,得2x0+ ∈? , ?, 6 ? 3 2? 6 ? ?4 ? ? ? 4 π? π? ? ? 2? ? 从而cos?2x0+ ?=- 1-sin ?2x0+ ?=-5, 6? 6? ? ? ?? π? π? ?? ? 所以cos2x0=cos??2x0+ ?- 6 ? 6? ? ?? ? ? ? π? π π ? π 3-4 3 ? ? ? =cos?2x0+ ?cos 6 +sin?2x0+ ?sin 6 = 10 . 6? 6? ? ? ?

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第21讲

简单的三角恒等变换

例2

已知函数f(x)=sin

2

?x π ? ? ? ? 2+12? ? ?



3

?x π ? ?x π ? 1 ? ? sin? + ??cos? + ?-2. ?2 12? ?2 12? ? ?

(1)求f(x)的值域; 1 (2)若f(x)(x>0)的图象与直线y=2 交点的横坐标由小到 大依次是x1,x2,?,xn,求数列{xn}的前2n项的和.
教 师 备 用 题
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第21讲

简单的三角恒等变换
? π ? 1-cos?x+ 6 ? ? ? ? ?

解:(1)f(x)=

2

3 ? π? 1 + sin?x+ ?- ? 2 6? 2 ? ?

3 ? π? 1 ? π? = 2 sin?x+ ?-2cos?x+ ? ? ? 6? 6? ? ? ? ?
? π ? =sin?x+ 6 ?

π? ? - ?=sinx, 6?

教 师 备 用 题

所以f(x)的值域为[-1,1].

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第21讲

简单的三角恒等变换

x1+x2 π x3+x4 (2)由正弦曲线的对称性、周期性可知 2 = 2 , 2 π x2n-1+x2n π =2π + 2 ,?, =2(n-1)π + 2 , 2 ∴x1+x2+?+x2n-1+x2n=π +5π +9π +?+(4n-3) π 1 =nπ + n(n-1)· =(2n2-n)π . 4π 2

教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第22讲 正弦定理和余弦定理

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考试大纲
掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的 三角形度量问题.

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第22讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理

—— 知 识 梳 理 ——

一、关于正弦定理 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对
a b 角的正弦的比相等,即________=________= sinA sinB c ________. sinC

2.正弦定理的变形(设外接圆半径为R) 2RsinB 2RsinA (1)a=________,b=________,c=________; 2RsinC
a b 2R c (2)sinA=________,sinB=________,sinC= 2R sinA∶sinB∶sinC 2R ________,a∶b∶c=________________.
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第22讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理

3.用正弦定理解斜三角形的类型 (1)已知三角形的两角及一边,求其他的 两边及一角 ______________. (2)已知三角形的两边和其中一边的对角,求其他 两角及一边 的________________. (3)在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如 下:

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第22讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理
A为锐角

图形

关系式 解个数

a=bsinA __解 一

bsinA<a<b 两 __解

a≥b __解 一

a<bsinA 无 __解

A为直角
图形 关系式 解个数 a>b __解 一 a≤b 无 __解 a>b __解 一

A为钝角

a≤b 无 __解
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第22讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理

二、关于余弦定理 1.余弦定理:三角形中任何一边的平方等于 其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 ____________________________________________. b2+c2-2bccosA 即a2=_______________,b2=_______________,c2 a2+c2-2accosB a2+b2-2abcosC =_______________. 2.余弦定理的变形
b2+c2-a2 a2+c2-b2 2bc 2ac cosA=______________,cosB=___________, a2+b2-c2 cosC=___________. 2ab

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第22讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理

3.用余弦定理解斜三角形的类型 三角 (1)已知三角形的三边,求________; 第三边及其余两角 (2)已知两边及其夹角,求__________________.
1 absinC 三、△ABC的面积公式:S=________= 2 1 1 ________=________. 2acsinB 2bcsinA

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第22讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理

—— 疑 难 辨 析 ——

1.正弦定理的计算与判断 (1)在△ABC中,若A=60°,BC=4 3 ,AC= 4 2,则角B的大小为45°或135°.( ) (2)在△ABC中,“sinA>sinB”是“A>B”的充要条 件.( ) (3)若满足条件C=60°,AB= 3 ,BC=a的 △ABC有两个,那么a的取值范围是( 3,2).( )

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第22讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理

(4)若△ABC中,acosB=bcosA,则△ABC是等腰三 角形.( ) (5)在△ABC中,tanA=a2,tanB=b2,那么△ABC是 等腰三角形.( )

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第22讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理

[答案] (1)?

(2)√ (3)√

(4)√

(5)?

BC AC 4 3 4 2 [解析] (1)根据正弦定理 = ,即 = , sinA sinB sin60° sinB 2 解得sinB= 2 .又B<A,故B=45°.

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第22讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理

a b (2)sinA>sinB? > ?a>b?A>B. 2R 2R (3)由条件知,asin60°< 3<a,∴ 3<a<2. (4)由acosB=bcosA得到sinAcosB=sinBcosA,即sinAcosB -cosAsinB=0,sin(A-B)=0,∴A=B. tanA a2 sinAcosB 2 2 (5)由tanA=a ,tanB=b 得 = 2 ,即 = tanB b cosAsinB sin2A , sin2B cosB sinA 所以 = ,所以sinAcosA=sinBcosB, cosA sinB 所以sin2A=sin2B,所以A=B或A+B=90°. 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
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第22讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理

2.余弦定理的计算与判断 (1)当b2+c2-a2>0时,三角形ABC为锐角三角形; 当b2+c2-a2=0时,三角形为直角三角形;当b2+c2- a2<0时,三角形为钝角三角形.( ) 9 (2)△ABC中,a=5,c=4,cosA= 16 ,则b= 6.( )
[答案] (1)? (2)√

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双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理

[解析] (1)当b2+c2-a2>0时,角A为锐角,但不一定是 锐角三角形. 42+b2-52 9 (2)由余弦定理得 = 16 ,即2b2-9b-18=0, 2?4b 3 解得b=-2(舍去)或b=6.

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第22讲
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正弦定理和余弦定理

3.三角形的面积计算 (1)在△ABC中,AB= 3 ,AC=1,B=30°,则 3 △ABC的面积等于 2 .( ) (2)在△ABC中,内角A,B,C对边的长度分别是a, π b,c,已知c=2,C= ,△ABC的面积等于 3,则a, 3 b的值分别为a=2,b=2.( )
[答案] (1)? (2)√

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第22讲
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正弦定理和余弦定理

1 3 [解析] (1)由正弦定理得 = , sin30° sinC 3 ∴sinC= 2 .∵0°<C<180°,∴C=60°或120°. 当C=60°时,A=90°,∴BC=2,此时,S△ABC= 3 1 2 ;当C=120°时,A=30°,S△ABC= 2 ? 3?1?sin30° 3 = . 4 (2)由余弦定理得,a2+b2-ab=4,又因为△ABC的面 1 积等于 3,所以 absinC= 3,∴ab=4. 2
?a2+b2-ab=4, ? 联立? 解得a=2,b=2. ?ab=4, ?
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第22讲

正弦定理和余弦定理

考点统计 点 面 讲 考 向 1.利用正弦、余弦定理 解三角形 2.利用正弦、余弦定理 判断三角形形状

题型(考频) 填空(1) 解答(1) 0

题型示例(难度) 2008年T17(B), 2010年T16(B)

3.与三角形面积有关的 问题

填空(1) 解答(1)

2011年T15(B), 2012年T17(B)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年课程标准卷.

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正弦定理和余弦定理

?

探究点一
例1

利用正弦、余弦定理解三角形
在△ABC中,内角A,B,C的对

[2012· 浙江卷]

点 面 讲 考 向

边分别为a,b,c,且bsinA= 3acosB. (1)求角B的大小; (2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.

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正弦定理和余弦定理

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)条件:已知bsinA= 3acosB;目标:求

角B的大小;方法:利用正弦定理将已知条件转化为角的 函数间的关系,然后依据B的正切值求出B. π (2)条件:B= 3 ,b=3,sinC=2sinA;目标:求a,c 的值;方法:利用正弦、余弦定理列出关于a,c的方程 组,解方程组,求出a,c的值.

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正弦定理和余弦定理

点 面 讲 考 向

a b 解:(1)由bsinA= 3acosB及正弦定理 = ,得 sinA sinB π sinB= 3cosB,所以tanB= 3,所以B= . 3 a c (2)由sinC=2sinA及 = ,得c=2a. sinA sinC 由b=3及余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得 9=a2+c2-ac,将c=2a代入解得,a= 3,c=2 3.

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正弦定理和余弦定理

点评
点 面 讲 考 向

(1)已知三角形的两边和夹角求第三边时,通

常使用余弦定理,无论这个角是什么方式给出的,都要求 出其余弦值. (2)当给出两边和其中一边所对的角,通常使用正弦定 理. (3)当已知三角形的三边时,可以求出所有角的余弦值 和正弦值,还可以求出此三角形的面积.

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第22讲

正弦定理和余弦定理

归纳总结
点 面 讲 考 向

①应熟练掌握正、余弦定理及其变

形.解三角形时,有时可用正弦定理,也可用余弦定理, 应注意用哪一个定理更方便、简捷. ②已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一 的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通 常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.

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正弦定理和余弦定理

变式题
点 面 讲 考 向
2

[2012· 河南六市联考]

3 已知函数f(x)= 2

1 sin2x-cos x- (x∈R). 2 (1)求函数f(x)的最小值和取最小值时x的集合; (2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且c= 3,f(C)=0,若m=(1,sinA)与n=(2,sinB)共线, 求a,b的值.

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正弦定理和余弦定理

1+cos2x 1 3 解:(1)∵f(x)= sin2x- - 2 2 2
点 面 讲 考 向
? π ? =sin?2x- 6 ? ? ? ?-1, ?

5π ∴函数f(x)的最小值为-2,当且仅当x=kπ + 6 k∈Z时取得,即f(x)取最小值时x的集合为
? ? ? ? ?x?x=kπ ? ? ? ? ? 5π ? ,k∈Z. + ? 6 ?



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第22讲

正弦定理和余弦定理
? π ? (2)由题意可知,f(C)=sin ?2C- 6 ? ? ? π ? ? ? -1=0,sin?2C- 6 ? ? ? ? ? ?

点 面 讲 考 向

=1, π π π π 11π ∵0<C<π ,∴- 6 <2C- 6 < 6 ,∴2C- 6 = 2 ,C π =3. 1 sinA a ∵m=(1,sinA)与n=(2,sinB)共线,∴ 2 = = , sinB b ① π 2 2 2 ∵c =a +b -2abcos =a2+b2-ab=3,② 3 由①②解得,a=1,b=2.
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正弦定理和余弦定理

?

探究点二
例2

利用正弦、余弦定理判断三角形形状

在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对

点 面 讲 考 向

边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC. (1)求A的大小; (2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.

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第22讲

正弦定理和余弦定理

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)条件:2asinA=(2b+c)sinB+(2c+

b)sinC;目标:求A的大小;方法:利用正弦定理把已知条 件都转化为边间的关系,然后结合余弦定理推论求出该 角. (2)条件:sinB+sinC=1,A=120°;目标:判断△ ABC的形状;利用A=120°及正弦、余弦定理得出sin2A= sin2B+sin2C+sinBsinC,又sinB+sinC=1,可得sinB, sinC的关系,进而判断出△ABC的形状.

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第22讲

正弦定理和余弦定理

解:(1)由已知和正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+ b)c,即 a2=b2+c2+bc, 1 结合余弦定理知cosA=- ,所以A=120°. 2 (2)由(1)知,a2=b2+c2+bc, 所以sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC. 又sinB+sinC=1, 1 所以sinB=sinC= . 2 又0°<B,C<90°,所以B=C, 所以△ABC是等腰钝角三角形.

点 面 讲 考 向

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第22讲

正弦定理和余弦定理

点评
点 面 讲 考 向

依据已知条件中的边角关系判断三角形形状

时,主要有如下两条途径: (1)利用正弦、余弦定理把已知条件转化为边边关系, 通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角 形的形状. (2)利用正弦、余弦定理把已知条件转化为内角的三角 函数间的关系,通过三角恒等变形,得出内角的关系,从 而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=π 这个 结论.

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第22讲

正弦定理和余弦定理

归纳总结
点 面 讲 考 向

①三角形的形状按边分类主要有:等腰三

角形,等边三角形等;按角分类主要有:直角三角形,锐 角三角形,钝角三角形等.判断三角形的形状,应围绕三 角形的边角关系进行思考,主要看其是否是正三角形、等 腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形,要特 别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角 形”的区别. ②边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理.

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第22讲

正弦定理和余弦定理

变式题

在△ABC中,三个内角A,B,C所对应的边

点 面 讲 考 向

cosA b 4 分别为a,b,c,其中c=10,且 = = . cosB a 3 (1)求证:△ABC是直角三角形; (2)若△ABC的外接圆为⊙O,点P位于劣弧AC上, ∠PAB=60°,求四边形ABCP的面积.

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正弦定理和余弦定理

cosA b 4 解:(1)证明:由 = = , cosB a 3 得acosA=bcosB?sin2A=sin2B,
点 面 讲 考 向

π 所以2A=π -2B或A=B,但a<b,故A+B= , 2 π 所以C= 2 ,所以△ABC是直角三角形.

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正弦定理和余弦定理

点 面 讲 考 向

1 (2)由(1)得a=6,b=8,所以S△ABC=2?6?8=24, 在△APC中,AC=b=8,AP=10cos60°=5, 3 4 1 3 sin∠CAP=sin(60°-∠BAC)= ? - ? = 2 5 2 5 4 3-3 , 10 4 3-3 1 所以S△APC= ?AC?AP?sin∠CAP=20? = 2 10 8 3-6, 所以S四边形ABCP=8 3+18.

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第22讲

正弦定理和余弦定理

?

探究点三
例3

与三角形面积有关的问题

[2012· 课程标准卷] 已知a,b,c分别为△ABC三

点 面 讲 考 向

个内角A,B,C的对边,c= 3asinC-ccosA. (1)求A; (2)若a=2,△ABC的面积为 3,求b,c.

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第22讲

正弦定理和余弦定理

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)条件:已知c=

3 asinC-ccosA;目

标:求A;方法:恒等变换后,求出角的三角函数值,然 后求A. (2)条件:已知A和a,三角形面积;目标:求b,c;方 法:利用三角形面积公式、余弦定理列方程,解方程得出 答案.

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第22讲

正弦定理和余弦定理

解:(1)由c= 3asinC-ccosA及正弦定理得 3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0.
点 面 讲 考 向
? π 由于sinC≠0,所以sin?A- ? 6 ? ? 1 ? ?=2. ?

π 又0<A<π ,故A= . 3 1 (2)△ABC的面积S= bcsinA= 3,故bc=4. 2 而a2=b2+c2-2bccosA,故b2+c2=8. 解得b=c=2.

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第22讲

正弦定理和余弦定理

点评

有关三角形面积的问题,一类是求面积,另一类

点 面 讲 考 向

是利用三角形面积求其他值.不论哪种形式的面积问题,都 需要借助正、余弦定理.

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第22讲

正弦定理和余弦定理

归纳总结
点 面 讲 考 向

三角形面积公式:

1 ①S=2a· a(ha表示a边上的高). h 1 1 1 ②S=2absinC= 2acsinB= 2bcsinA. 1 ③S=2· (a+b+c)(r为内切圆半径). r· ④S=
? ? 1 p(p-a)(p-b)(p-c) ?p= (a+b+c)?. 2 ? ?

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第22讲

正弦定理和余弦定理

变式题

[2012· 石家庄模拟]

如图3-22-1,已知

点 面 讲 考 向

△ABC中,AB= 3 ,C=30°,D是AC上一点,∠BDA= 60°,AD=2DC,求△ABC的面积.

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第22讲

正弦定理和余弦定理

解:因为∠BDA=60°,∠C=30°,
点 面 讲 考 向

可知BD=CD,又AD=2DC, 所以在△ABD中,( 3 2BD· 2BDcos60°,

)2=BD2+(2BD)2-

3 解得BD=1,所以AC边上的高h=1?sin60°= , 2 1 1 3 3 则S△ABC=2?AC?h=2?3? 2 =4 3. 3 所以△ABC的面积为 3. 4

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第22讲

正弦定理和余弦定理

思想方法9

方程思想在正弦定理和余弦定理中的应用

例 如图3-22-2,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB =AD,记∠CAD=α,∠ABC=β. (1)证明:sinα +cos2β =0;
多 元 提 能 力

(2)若AC= 3DC,求β的值.

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第22讲

正弦定理和余弦定理

[分析]

(1)根据图中三角形,利用平面几何关系找出

α、β的等量关系,再转化为三角函数值的关系;(2)在 △ADC中用正弦定理得到一个等式与第(1)题的结论构成 方程组,解方程组得结论.

多 元 提 能 力

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第22讲

正弦定理和余弦定理

多 元 提 能 力

π π 解:(1)证明:因为α=2 -∠BAD= 2 -(π-2β)=2β- ? π π? ,所以sinα=sin?2β- ?=-cos2β,即sinα+cos2β=0. 2 2? ? DC AC (2)在△ADC中,由正弦定理,得 = . sinα sin(π-β) DC 3DC 即 = ,所以sinβ= 3sinα. sinα sin(π-β) 又由(1)可知sinα=-cos2β,所以sinβ=- 3cos2β =- 3(1-2sin2β),即2 3sin2β-sinβ- 3=0. 3 3 解得sinβ= 2 或sinβ=- 3 . π 3 π 因为0<β<2,故sinβ= 2 ,从而β=3 .

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第22讲

正弦定理和余弦定理

自我检评

在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是

a,b,c,且3acosA=ccosB+bcosC. (1)求cosA的值; 2 3 (2)若a=1,cosB+cosC= 3 ,求c的值.
多 元 提 能 力

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第22讲

正弦定理和余弦定理

解:(1)由3acosA=ccosB+bcosC及正弦定理得 3sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C), 1 ∴3sinAcosA=sinA,所以cosA=3. 2 3 (2)由cosB+cosC= , 3 2 3 得cos(π -A-C)+cosC= 3 , 6 展开整理得cosC+ 2sinC= 3,∴sinC= , 3 a c 3 由正弦定理 = 得c= . 2 sinA sinC

多 元 提 能 力

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第22讲

正弦定理和余弦定理

备选理由

例1是正弦定理与三角函数的恒等变换结合

的一个题目,解答巧妙;例2是一个开放型问题,综合考查两 个定理及三角形面积公式.

教 师 备 用 题
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第22讲

正弦定理和余弦定理

例1

[2012· 沈阳二模]

在△ABC中,a,b,c分别为

内角A,B,C的对边,三边a,b,c成等差数列,且B= π ,则cosA-cosC的值为( ) 4 A.± 2 B. 2 C. 2 4 D.± 2 4

教 师 备 用 题
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第22讲

正弦定理和余弦定理

[解析]

D 设cosA-cosC=x,①

由题设知sinA+sinC= 2.② 由①2+②2得,2-2cos(A+C)=x2+2. π 又因为A+C=π -B=π - , 4 4 4 所以x=± 2,即cosA-cosC=± 2.

教 师 备 用 题
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第22讲

正弦定理和余弦定理

例2 [2012· 衡水中学一调] △ABC的三个内角A,B, C所对的边分别为a,b,c,向量m=(-1,1),n=
? ? ?cosBcosC,sinBsinC- ?

(1)求A的大小; (2)现在给出下列三个条件:①a=1;②2c-( 3 +1)b

3? ? ?,且m⊥n. 2?

=0;③B=45°,试从中选择两个条件以确定△ABC,求 出所确定的△ABC的面积.
教 师 备 用 题
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第22讲

正弦定理和余弦定理

3 解:(1)因为m⊥n,所以-cosBcosC+sinBsinC- = 2 0, 3 3 即cosBcosC-sinBsinC=- 2 ,所以cos(B+C)=- 2 . 因为A+B+C=π ,所以cos(B+C)=-cosA, 3 所以cosA= ,A=30°. 2

教 师 备 用 题
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第22讲

正弦定理和余弦定理

(2)方案一:选择①②,可确定△ABC, 因为A=30°,a=1,2c-( 3+1)b=0, 3+1 3 3+1 ?2 ? 由余弦定理,得1 =b -2b· 2 b? 2 , 2 b? ? 6+ 2 2 整理得b =2,b= 2,c= 2 , 6+ 2 1 3+1 1 1 所以S△ABC=2bcsinA=2? 2? 2 ?2= 4 .
2 2

? +? ? ?

教 师 备 用 题
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第22讲

正弦定理和余弦定理

方案二:选择①③,可确定△ABC, 因为A=30°,a=1,B=45°,所以C=105°. 又sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45 6+ 2 °sin60°= 4 , 6+ 2 asinC 1?sin105° 由正弦定理c= = = , 2 sinA sin30° 6+ 2 3+1 1 1 2 所以S△ABC=2acsinB=2?1? 2 ? 2 = 4 . (注意:选择②③不能确定三角形)
教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第23讲 正弦定理和余弦定理 的应用

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考试大纲
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决 一些与测量和几何计算有关的实际问题.

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第23讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理的应用

—— 知 识 梳 理 ——

一、距离的测量
背景 可测 元素 图形 目标及解法

两点均

a,

求AB:

可到达 b,α

a2+b2-2abcosα AB=___________________
求AB:

只有一 点可到 达

b, α,β

α+β+B=π (1)________________;
AB b (2) = sinβ sinB
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第23讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理的应用
可测 元素

背景

图形

目标及解法 求AB:

两点都 不可到 达

a, α, β, γ,θ

(1)△ACD中,用

正弦 ________定理求AC;
(2)△BCD中,用

正弦 ________定理求BC;
(3)△ABC中,用

余弦 ________定理求AB

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第23讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理的应用

二、高度的测量
背景 可测 元素 图形 目标及解法

底部可 到达

a,α

求AB:

atanα AB=________
求AB:

底部不 可到达

a, α,β

(1)在△ACD中用 正弦定理求AD;

ADsinβ (2)AB=________
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第23讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理的应用

三、实际问题中常用的角 1.仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 上方 视线的夹角,目标视线在水平视线________的叫仰 角,目标视线在水平视线________的叫俯角,如图3 下方 -23-1所示.

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第23讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理的应用

2.方位角 指北 指从某点的________方向线起,依顺时针方向转 到目标方向线的水平角,如图3-23-2中B点的方位 角为α.

3.坡度:坡面的垂直高度和水平宽度的比.

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第23讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理的应用

—— 疑 难 辨 析 ——

1.测量距离问题 (1)海上有A,B,C三个小岛,测得A,B两岛相 距10 n mile,∠BAC=60°,∠ABC=75°,则B,C 间的距离是5 6 n mile.( ) (2)如图3-23-3,为了测量隧道口AB的长度, 测量时应当测量数据a,b,γ.( )

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第23讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理的应用

[答案] (1)√ (2)√

[解析] (1)由正弦定理知 BC AB = ,解得BC=5 6 n sin60° sin(180°-60°-75°) mile. (2)由A与B不可到达,故不易测量α,β,而a,b,γ容易 测出.

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第23讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理的应用

2.测量高度问题 (1)如图3-23-4,B,C,D三点在地面同一直线 上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别为β和 α(α<β),则可以求出A点距地面的高度AB.( )

(2)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为 β,则α,β的关系为α+β=180°.( ) (3)仰角、俯角、方位角三者的参照位置不 同.( ) (4)有一长为1的斜坡,它的倾斜角为20°,现高不 变,将倾斜角改为10°,则斜坡长为2cos10°.( )
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第23讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理的应用

[答案] (1)√ (2)?

(3)√

(4)√

[解析]

AC (1)AB=ACsinβ , sinα

DC = = sin∠DAC

asinα sinβ DC ,∴AB= . sin(β-α) sin(β-α) (2)由仰角和俯角的定义知,α与β是夹在两水平线之间 的内错角,故α=β. (3)仰角与俯角是相对于水平线而言的,而方位角是相 对于指北方向线而言的.

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第23讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理的应用

(4)如图,BD=1,∠DBC=20°,∠DAC=10°,

1 AD 在△ABD中,由正弦定理得 = , sin10° sin160° ∴AD=2cos10°.

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第23讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理的应用

3.测量角度问题 若点A在点C的北偏东30°方向,点B在点C的南偏 东60°方向,且AC=BC,则点A在点B北偏西15°方 向.( )

[答案] √

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第23讲
双 向 固 基 础

正弦定理和余弦定理的应用

[解析] 如图所示,

∠ACB=90°. 又AC=BC,∴∠CBA=45°,而β=30°, ∴α =90°-45°-30°=15°. ∴点A在点B的北偏西15°方向.

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第23讲

正弦定理和余弦定理的应用

考点统计 点 面 讲 考 向

题型(考频)

题型示例(难度)

1.测量距离
2.测量高度 3.测量角度 4.平面图形的几何计算

0 0
解答(1) 0 2009年T17(B)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年课程标准卷.

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第23讲

正弦定理和余弦定理的应用

?

探究点一
例1

测量距离问题

要测量河对岸A,B两点之间的距离,选取相距

点 面 讲 考 向

3 km的C,D两点,并且测得∠ACB=75°,∠BCD= 45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求A,B之间的距 离.

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第23讲

正弦定理和余弦定理的应用

思考流程
点 面 讲 考 向

条件:CD= 3 ,∠ACB=75°,∠BCD

=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°;目标:求A,B之 间的距离;方法:化归为三角形问题,利用正弦定理和余 弦定理解决.

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第23讲

正弦定理和余弦定理的应用

解:△ACD中,∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=
点 面 讲 考 向

30°, ∴AC=CD= 3 km. 在△BCD中,∠BCD=45°,∠BDC=75°, 3sin75° 6+ 2 ∴∠CBD=60°,∴BC= = . 2 sin60° 在△ABC中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· cos∠ACB BC· 6+ 2 6+ 2?2 ? =( 3) -2? 3? ?cos75°=5, 2 2 ? ? ∴AB= 5 km.
2

? +? ? ?

答:A,B之间的距离为 5 km.
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正弦定理和余弦定理的应用

点评
点 面 讲 考 向

求距离问题一般要注意:读懂题中信息,将

实际问题转化成数学问题,然后准确画出图形,构建三角 形模型,合理选用正(余)弦定理求解. (1)选定或确定要创建的三角形,首先要确定所求量所 在的三角形,若其他量已知则直接解;若有未知量,则把 未知量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选 择更便于计算的定理.

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正弦定理和余弦定理的应用

归纳总结
点 面 讲 考 向

①测量从一个可到达的点到一个不可到

达的点之间的距离问题,一般可转化为已知两个角和一条 边解三角形的问题,从而运用正弦定理去解决. ②测量两个不可到达的点之间的距离问题,一般是把 求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问 题.然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到 达的两点距离测量问题,然后运用正弦定理解决.

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正弦定理和余弦定理的应用

变式题
点 面 讲 考 向

[2012· 唐山模拟] 如图3-23-6,为了测量

河对岸A,B两点之间的距离,观察者找到一个点C,从C 点可以观察到点A,B;找到一个点D,从D点可以观察到 点A,C:找到一个点E,从E点可以观察到点B,C.并测得 以下数据:CD=CE=100 m,∠ACD=90°,∠ACB=45 °,∠BCE=75°,∠CDA=∠CEB=60°,求A,B两点 之间的距离.

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正弦定理和余弦定理的应用

解:连接AB. 在△ACD中, CD=100 m,∠ACD=90°,∠CDA=60°, 则AC=CDtan60°=100 3 m. 在△BCE中, CE=100 m,∠BCE=75°,∠CEB=60°, CEsin60° 则∠CBE=45°,BC= =50 6 m. sin45° 在△ABC中, AC=100 3 m,BC=50 6 m,∠ACB=45°, 则AB= AC2+BC2-2AC· BCcos45°=50 6 m. 故A,B两点之间的距离为50 6 m.
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正弦定理和余弦定理的应用

?

探究点二
例2

测量高度问题

某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射

点 面 讲 考 向

型”气象观测仪器的垂直弹射高度,A,B,C三地位于同一 水平面上,在C处进行该仪器的垂直弹射,观测点A,B两地 相距100 m,∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比B 2 地晚 s.在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°, 17 求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340 m/s)

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正弦定理和余弦定理的应用

思考流程
点 面 讲 考 向

条件:已知AB=100m,∠BAC=60°,

2 ∠HAC=30°,A地听到弹射声音的时间比B地晚 s;目 17 标:求高度CH;方法:分清已知与所求,依题意画出示 意图,分析与问题有关的三角形,运用正、余弦定理,有 序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案.

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正弦定理和余弦定理的应用

点 面 讲 考 向

2 解:由题意,设AC=x,则BC=x- ?340=x-40, 17 在△ABC中,由余弦定理得 BC2=BA2+CA2-2BA· cos∠BAC, CA· 即(x-40)2=x2+10 000-100x,解得x=420. 在△ACH中,AC=420,∠CAH=30°,∠ACH= 90°, 所以CH=AC· tan∠CAH=140 3(m).

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正弦定理和余弦定理的应用

点评
点 面 讲 考 向

(1)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出

示意图; (2)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步 求解问题的答案,注意方程思想的运用.

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正弦定理和余弦定理的应用

归纳总结
点 面 讲 考 向

解决测量高度问题的一般步骤是:

在解题中,要综合运用立体几何知识与平面几何知 识,注意方程思想的运用.

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正弦定理和余弦定理的应用

变式题

[2012· 太原模拟] 测量河对岸的塔高AB时,

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可选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,现测得 ∠BCD=75°,∠BDC=60°,CD=s,并在点C处测得 塔顶A的仰角为30°,求塔高AB.

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正弦定理和余弦定理的应用

解:在△BCD中,∠CBD=180°-75°-60°=45°, BC CD 由正弦定理得 = , sin∠BDC sin∠CBD CD?sin∠BDC s· sin60° 6 所以BC= = = 2 s. sin∠CBD sin45° 在Rt△ABC中, 6 2 AB=BC· tan∠ACB= s?tan30°= s. 2 2

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正弦定理和余弦定理的应用

点评
点 面 讲 考 向

①在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,

仰角和俯角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角; ②准确理解题意,分清已知与所求,画出示意图; ③运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步 求解问题的答案,注意方程思想的运用.

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正弦定理和余弦定理的应用

?

探究点三
例3

测量角度问题

如图3-23-9所示,在海岸A处,发现北偏东45

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°方向,距A处( 3-1) n mile的B处有一艘走私船,在A处 北偏西75°的方向,距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以 10 3 n mile/h的速度追截走私船.此时,走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什 么方向能最快追上走私船?

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正弦定理和余弦定理的应用

思考流程
点 面 讲 考 向

条件:走私船位置B和速度、缉私船位置C

和速度;目标:缉私船能最快追上走私船的方向;方法: 正弦、余弦定理的建模应用.注意到最快追上走私船且两 船所用时间相等,若在D处相遇,则可先在△ABC中求出 BC,再在△BCD中求∠BCD.

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正弦定理和余弦定理的应用

解:设缉私船用t h在D处追上走私船, 则有CD=10 3t,BD=10t,
点 面 讲 考 向

在△ABC中,∵AB= 3-1,AC=2,∠BAC=120°, 由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos∠BAC =( 3-1)2+22-2?( 3-1)?2?cos120°=6. ∴BC= 6, AC 2 3 2 且sin∠ABC= ?sin∠BAC= ? = . 2 BC 6 2 ∴∠ABC=45°,∴BC与正北方向垂直. ∠CBD=90°+30°=120°.
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正弦定理和余弦定理的应用

点 面 讲 考 向

在△BCD中,由正弦定理,得 BD?sin∠CBD 10tsin120° 1 sin∠BCD= = =2, CD 10 3t ∴∠BCD=30°, 即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.

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正弦定理和余弦定理的应用

点评

解决此类问题,首先应明确各个角的含义,然后

点 面 讲 考 向

分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意 图,将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的 边与角的关系,运用正、余弦定理求解.

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正弦定理和余弦定理的应用

归纳总结
点 面 讲 考 向

测量角度问题,首先要明确方位角、方向角

的含义:指北或指南方向线与目标方向线所成的0° ~90° 的角 叫做方向角:从指北方向线顺时针转到目标方向线所成的角 度叫做方位角. 方向角是解三角形实际问题中经常出现的.目标方向角 一般可用“x偏x多少度”来表示,这里第一个“x”是“北”或 “南”,第二个“x”是“东”或“西”,如北偏东25° 等.

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正弦定理和余弦定理的应用

变式题

如图3-23-10,位于A处的信息中心获悉:

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在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险,在原 地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、 相距20 n mile的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直 线CB前往B处救援,求cosθ 的值.

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正弦定理和余弦定理的应用

解:如题中图所示,在△ABC中,AB=40,AC=20, ∠BAC=120°,由余弦定理知,BC2=AB2+AC2- 2AB· cos120°=2 800,所以BC=20 7. AC· AB BC 由正弦定理得, = , sin∠ACB sin∠BAC AB 21 所以sin∠ACB= sin∠BAC= . 7 BC 由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角, 2 7 则cos∠ACB= . 7 由θ=∠ACB+30°, 得cosθ =cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin 21 ∠ACBsin30°= 14 . 返回目录

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正弦定理和余弦定理的应用

?

探究点四
例4

平面图形的几何计算

如图3-23-11,已知圆内接四边形ABCD的边

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长分别是AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的 面积.

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正弦定理和余弦定理的应用

思考流程
点 面 讲 考 向

条件:圆内接四边形及其边长;目标:求

四边形面积;方法:连接四边形的一条对角线BD,将四边 形分为两个三角形,再根据A+C=180°.在两个三角形中 运用余弦定理求出A,即可求出四边形面积.

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正弦定理和余弦定理的应用

解:连接BD,则四边形ABCD的面积为 S=S△ABD+S△CDB 1 1 = AB?ADsinA+ BC?CDsinC. 2 2 ∵A+C=180°,∴sinA=sinC,cosC=-cosA, 1 ∴S= (2?4+6?4)sinA=16sinA. 2 在△ABD中, BD2=AB2+AD2-2AB· cosA AD· =20-16cosA. 在△CDB中, BD2=CB2+CD2-2CB· cosC CD· =52-48cosC=52+48cosA. 1 ∴20-16cosA=52+48cosA,∴cosA=-2. 返回目录

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正弦定理和余弦定理的应用

点评

将求四边形的面积转化为求三角形的面积,是一

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种重要的转化思想.边长已知,而角度未知,多考虑用余弦 定理.

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正弦定理和余弦定理的应用

归纳总结
点 面 讲 考 向

①四边形问题常转化为三角形问题解决.②

圆的内接四边形中一个重要的关系就是内对角互补,在使用 正、余弦定理和三角形面积公式时,要充分利用好这个关 系.

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正弦定理和余弦定理的应用

变式题

如图3-23-12所示,△ACD是等边三角

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形,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD交AC 于E,AB=2. (1)求cos∠CBE的值; (2)求AE.

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正弦定理和余弦定理的应用

解:(1)因为∠BCD=90°+60°=150°,CB=AC= CD, 所以∠CBE=15°, 6+ 2 所以cos∠CBE=cos(45°-30°)= . 4 (2)在△ABE中,AB=2,由正弦定理 AE 2 = , sin(45°-15°) sin(90°+15°) 2sin30° 1 故AE= = = 6- 2. cos15° cos15°

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正弦定理和余弦定理的应用

答题模板7


利用正、余弦定理解决实际问题

在以40 km/h向北偏东30°航行的科学探测船上释

放了一个探测气球,气球顺风向正东飘去,3 min后气球上 升到1 000 m处,从探测船上观察气球,仰角为30°,求气 球的水平飘移速度.
多 元 提 能 力

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正弦定理和余弦定理的应用

解:如图3-23-13,船从A航行到C处,气球飘到D 处,BD垂直于地面,由题知,BD=1 000 m=1 km,AC 3 =40× =2 km,4分 60

多 元 提 能 力

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第23讲

正弦定理和余弦定理的应用

∵∠BCD=30° ,∴BC= 3 km,设AB=x km,6分 在△ABC中,∠BAC=90° -30° =60° , 由余弦定理得22+x2-2× 2xcos60° =( 3)2, 即x2-2x+1=0,∴x=1,10分 1 ∴气球水平飘移速度为 =20 km/h. 3 60 答:气球的水平飘移速度为20 km/h.12分

多 元 提 能 力

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正弦定理和余弦定理的应用

方法解读

本例中,方向角是属于水平面的角度,

多 元 提 能 力

而仰角则属于铅垂平面上的角度,因而这里的图形是立体 图形.因此,在画图时,要用斜二测画法画出直观图,这 是此题的一个难点.本例中,速度单位是km/h,求3 min 3 1 所走的距离时,要将时间化为 = min,这是解答本例 60 20 的一个易错点.

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正弦定理和余弦定理的应用

自我检评

如图3-23-14,在坡度为15°的观礼台

上,某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在 该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60° 和30°,且第一排和最后一排的距离为10 6 m,求旗杆 的高度.
多 元 提 能 力

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正弦定理和余弦定理的应用

解:设旗杆高为h m,最后一排为点A,第一排为点B, h 2 3 旗杆顶端为点C,则BC= = 3 h.在△ABC中,AB= sin60° 10 6,∠CAB=45°,∠ABC=105°, 2 3 h 10 6 3 所以∠ACB=30°.由正弦定理得, = , sin30° sin45° 故h=30. 答:旗杆的高度为30 m.

多 元 提 能 力

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正弦定理和余弦定理的应用

备选理由

本题只需在直角三角形中即可解决问题,由

于答案的形式不唯一,有别于前面的例题和练习,故让学生 见识一下,从不同形式的答案中学会如何用简洁、恰当的方 式表示数学答案.

教 师 备 用 题
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第23讲

正弦定理和余弦定理的应用



如图,一船在海上由西向东航行,在A处测得某

岛M的方向角为北偏东α角,前进m(km)后,在B处测得该 岛的方向角为北偏东β角,已知该岛周围n(km)范围内(包 括边界)有暗礁,现该船继续东行,当α与β满足条件 ________时,该船没有触礁危险.

教 师 备 用 题
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正弦定理和余弦定理的应用

[答案]

mcosα cosβ >nsin(α-β)

[解析] 过点M作AB的垂线,垂足为N,则AN=MN· tan α ,BN=MN· tanβ . sin(α-β) m=AN-BN=MN(tanα -tanβ )=MN .只 cosα cosβ 有MN>n时符合要求,故得mcosα cosβ >nsin(α-β).(答案 的形式不唯一)
教 师 备 用 题
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