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高一数学必修五基本不等式



3.4基本不等式:
a?b ab ? 2

基 本 不 等 式 的 几 何 背 景

D
a 2 ? b2

D

b
G A H

aF
E

C

a

A
O

b

C

B

B

重要不等式: 一般地,对于任意实数a、b,我 们有 2 2

a ? b ? 2ab

当且仅当a=b时,等号成立。

如何证明?

用 a和 b ?a ? 0, b ? 0?代替a, b会得到什么?

深 入 探 究 揭 示 本 质

a?b 基本不等式: ? ab ?a ? 0, b ? 0? 2
当且仅当a=b时,等号成立。

基本不等式的几何解释:
D

半径不小于半弦
A

a

C

b

B

E

深 入 探 究 揭

剖析公式应用
a?b ? 2
算术平均数

ab
均值不等式 几何平均数

示 基本不等式可以叙述为: 本 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均 数. 质
注意:(1)不等式使用的条件不同; (2)当且仅当a=b时取等号;

例 例1、(1)当x>0时, ? 1 ? 2 ,当且仅当 x x 题 x= 1 时取等号。 讲 解 ?2?若x ? 0,y ? 0且x ? y ? 9, 则x ? y的最小值是 6
此时x ? y ? 3 .



解: x ? 0,y ? 0 ? x ? y ? 2 x ? y ? 6 ?
当且仅当x ? y ? 3时取等号。

两个正数积为定值P,和有最小值 2 。 P
利用a ? b ? 2 ab

变式: 判断以下命题是否正确 4 4 (1)因为y ? x ? ? 2 x ? ? 4, 所以ymin ? 4. x x
1 ? ? 错。因为x和 不一定是正数 ? ? x ? ?
? 2

一正
二定 三相等

8 8 2 (2)设x ? R , 则y ? x ? 中,当x ? , x ? 2时, ymin ? 8; x x
8 ? ? 错。因为x 2 ? 不是定值 ? ? x ? ?

9 ?3 ?若0 ? x ? ? ,则y ? sinx ? ? 2 9 ? 6, sinx 所以函数的最小值是6. 9 ? ? ? 错。因为 sin x ? ? sin x ? ?

例2、若正数x, y满足x ? y ? 18, 求xy的最大值。
解法一: x ? 0, y ? 0 ?

? x ? y ? 2 xy即2 xy ? 18
? xy ? 81
当且仅当x ? y ? 9时取等号。

两个正数的和为定值,积有最大值。
利用a ? b ? 2 ab

你还有其他的解法吗?

?a?b? 公式变形: ab ? ? ? ? 2 ?
解法二: x ? 0, y ? 0 ?

2

例2、若正数x, y满足x ? y ? 18, 求xy的最大值。
? x? y? ? xy ? ? ? ? 81 ? 2 ?
2

当且仅当x ? y ? 9时取等号。
解法三分析
令xy=z,则 Z=-x2+18x, 利用二次函数求某一区间的最值

变式1、 若正数x, y满足2 x ? y ? 18, 求xy的最大值。
解: x ? 0, y ? 0 ?

81 ? 2x ? y ? ? 2 xy ? ? ? ? 81 ? xy ? 2 ? 2 ?
9 当且仅当2 x ? y即x ? , y ? 9时取等号。 2

2

基 础 练 习

1、已知 2 x ? 3 y ? 2( x ? 0, y ? 0) 则x y 的 1 1 1 最大值是 6 ,此时x= 2 ,y= 3



2、正数x, y满足x ? y ? 20, 则 lg x ? lg y的
2 最大值是 ____.

最值定理:若x、y皆为正数,则
(1)当x+y的值是常数S时,当且仅当x=y时,xy有最 1 2 S 大值_______; 4 (2)当xy的值是常数P时,当且仅当x=y时, x+y有最
2 P 小值_______. 注意:①各项皆为正数; 一“正” ②和为定值或积为定值;二“定” ③注意等号成立的条件. 三“相等”

注:应用此不等式关键是配凑和一定或积一定

和 定 积 最 大 , 积 定 和 最 小

例1:(1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园, 问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。 最短的篱笆是多少? 解:设矩形菜园的长为x m,宽为y m, 则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m. x? y Q ? xy 2

Q x ? y ? 2 100

Q 2( x ? y ) ? 40

等号当且仅当x=y时成立,此时x=y=10. 因此,这个矩形的长、宽都为10m时,所用的篱笆 最短最短的篱笆是40m.

结论1.两个正数积为定值,则和有最小值

例1:(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园, 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时,菜园的面 积最大,最大面积是多少? 解:设矩形菜园的长为x m,宽为y m, 则 2(x + y)= 36 , x+ y =18 矩形菜园的面积为xy m2 x? y ? xy ? =18/2=9 得 xy ≤ 81 2 当且仅当x=y,即x=y=9时,等号成立 因此,这个矩形的长、宽都为9m时, 菜园面积最大,最大面积是81m2 结论2.两个正数和为定值,则积有最大值

例1:(3)有人出了个主意,让花圃的一面靠墙,利用墙壁作 为花圃的一边,可以省一部分材料,请发挥你的聪明才 智,用这36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形菜园 的长和宽各为多少时,菜园的面 积最大,最大面积是多少? 解:设矩形菜园的长为x m,宽为y m, 则 x +2 y= 36 矩形菜园的面积为S=xy m2

由x ? 2 y ? 2 x ? 2 y得xy ? 162, S ? xy ? 162
当且仅当x=2y,即x=18,y=9时,等号成立 因此,这个矩形的长、宽都为9m时, 菜园面积最大,最大面积是,162m2

巅 峰 回 眸 豁 然 开 朗

小结评价

你会了 吗?

1、本节主要学习了基本不等式的证明与 初步应用。 2、注意公式的正用、逆用、变形使用。 3、牢记公式特征一“正”、二“定”、三 “等”,它在求最值的题型中绽放绚丽的光 彩。

a?b ? ab (a ? 0, b ? 0) 时要注意下面三条: 小结:运用 2
(1)一正:各项均为正数。 (2)二定:两个正数积为定值,和有最小值。 两个正数和为定值,积有最大值。
(3)三相等:求最值时一定要考虑不等式是否能取“=”,

否则会出现错误。

?作业:100页,练习1.2.3.4



1 已知x>1,求x+ 的最小值以及取得 x ?1 最小值时x的值。

解:∵x>1

∴x-1>0

构造积为定值

1 1 ∴x + =(x-1)+ +1 ( x ? 1) x ?1

凑项法

1 ? 2 ? x ? 1? ? ?1 ? 3 x ?1
1 当且仅当x-1= 时取“=”号。 x ?1
于是x=2或x=0(舍去)



1 已知0 ? x ? , 求函数y ? x?1 ? 3x ?的最大值。 3

1 ,∴1-3x>0 解:∵0<x< 3
∴y=x(1-3x)=

构造和为定值

1 1 当且仅当 3x=1-3x 即x= 6 时 ymax= 12

1 3x ? 1 ? 3x 2 1 ? ( )? 3 2 12

1? 3x(1-3x) 3

凑系数

【基础训练3】
1 ? x( x ? 3) 的最小值. 1、 求函数 y ? x ?3
2、求函数f(x)=x2(4-x2) (0<x<2)的最大值是多 少?

1 y ? x? x


x?0

?2,???
?? ?,?2?
?? ?,?2?? ?2,???
?5 ? ? 2 ,?? ? ? ?




x?0 x?0 x?2



一正 、二定 、三等
一不正,需变号
二不定,需变形

三不等,需单调

两个不等式:

a ? b ? 2ab
2 2

(a , b ? R ) ( a ? 0, b ? 0 )
2 2

a?b ab ? 2
得:

a?b 2 a ?b ab ? ( ) ab ? 2 2 2 2 2 (a , b ? R) a ?b ?a?b? ab ? ? ? ? 2 ? 2 ?

a?b a 2 ? b2 ? ab ? ? , 1 1 2 2 ? a b ? (a , b ? R ,当且仅当a ? b时取“=”) 2

小结:
几种利用基本不等式求最值的技巧: 1.凑项 2.凑系数 3.分离

4.“1”的妙用

练习
16 大 1.已知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 8, 则ab的最 ___ 值为 ____; 8 2.已知a ? 0, b ? 0, a ? 2b ? 8, 则ab的最 大 值为____; ___ 1 大 值为 ____; 3.已知0 ? a ? 1, 则a(1 ? a)的最 ___ 4 1 1 大 4.已知0 ? a ? , 则a(1 ? 2a)的最 ___ 值为 ____; 8 2 1 1 大 5.已知0 ? a ? , 则2a(1 ? 3a)的最 ___ 值为 ____; 6 3 小 6.已知 a ? 0, b ? 0, ab ? 9, 则a ? b的最 ___ 值为 ____; 6

18 小 7 .已知 ab ? 9, 则 a 2 ? b 2的最 ___ 值为 ____;
小 8 .已知 ab ? 9, 则 a 2 ? 2b 2的最 ___ 值为18 2 ____;
6 2 小 9.已知 a ? 0, b ? 0, ab ? 9, 则a ? 2b的最 ___ 值为 ____; 17 8 小 10.已知x ? 3, 则函数y ? x ? 的最 ___ 值为 ____; 3 x

练习 8 2 小 4 2 11.函数y ? x ? 2 的最 ___ 值为 ____; x 8 4 2? 12.已知 x ? 1, 则函数 y ? x ? 的最 小 值为 ____; 1 ___ x ?1 8 2 2 13.函数y ? x ? 2 的最 小 值为 ____; ___ x ?4 2 x ?4 小 4 14.若 x ? 0, 则函数 y ? 的最 ___ 值为 ____; x 1 x 大 15.若x ? 0, 则函数y ? 2 的最 ___ 值为 ____; 2 x ?1 x2 ? 2x ? 3 16.若 x ? ?1, 则函数 y ? 的最 小 值为2 2 ___ ____; x ?1 2 x ? 3x ? 3 3 17.若 x ? ?1, 则函数 y ? 的最 ___ 值为 ____; 小 x ?1 1 x ?1 18.若x ? ?1, 则函数y ? 2 的最 大 值为 ____; ___ x ? 3x ? 6 5

1 9 19.已知x ? 0, y ? 0, 且 ? ? 1, 求x ? y的最小值. x y 1 1 20.已知x ? 0, y ? 0, 且2 x ? y ? 1, 求 ? 的最小值. x y



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