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2013~2014学年第一学期高一期末考试数学试题答案



2013~2014 学年第一学期期末考试

高一数学答案
参考答案 一、 选择题 CBDBB BCCAA 二、 填空 11. x ( x ? 0) 三、解答题
?x ? 4 ? 0 x?4 ? 解: (1)∵函数 f ( x) ? 有意义的条件是 ? x ? 0 ,------------2 分 lg x ? 1 ?lg x ? 1 ? 0

? ? x ? ?4 ? 得 ? x ? 0 , 所以 x ? 0且x ? 10 。------------4 分 ? x ? 10 ?
? 1 2

12. 1

13. (2,-3,4)

14. ①②④

故函数 f ( x) ?

x?4 的定义域是 ? x | x ? 0且x ? 10? , lg x ? 1

即 A ? ? x | x ? 0且x ? 10? .

------------5 分

∵函数 g ? x ? ? 2 x 在区间 ? ?1, 2? 上是单调增函数, ∴ g min ? x ? ? g ? ?1? ? 2?1 ?
1 , g max ? x ? ? g ? 2 ? ? 22 ? 4 , 2

----7 分

? 1 ? 故函数 g ? x ? ? 2 x 的值域是 ? y | ? y ? 4 ? , ? 2 ? ? 1 ? 即 B ? ? y | ? y ? 4? . ? 2 ?

----8 分

(2)∴ A ? B ? ? x | x ? 0且x ? 10? ;----10 分
CAB = ? y | 0 ? y ?

? ?

1 ? 或4 ? y ? 10或y ? 10 ? 2 ?

----12 分

高一数学试卷·第 1 页 共 4 页

16. (1)解法 1:设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,则

? ?(-2) +(-5) +(-2)D+(-5)E+F=0, ? D ? E? ? - -2·?- ?-3=0. ? 2 ? 2?
4+(-3)2+2D+(-3)E+F=0,
2 2

?D=2, ∴?E=4, ?F=-5.

∴圆的方程为 x2+y2+2x+4y-5=0. 解法 2:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则

?(2-a) +(-3-b) =r , ?(-2-a) +(-5-b) =r , ?a-2b-3=0.
2 2 2

2

2

2

?a=-1, ??b=-2, ?r =10.
2

∴圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 解法 3:线段 AB 中垂线的方程为 2x+y+4=0, 它与直线 x-2y-3=0 的交点(-1,-2)为圆心,由两点间距离得 r2=10, ∴圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 17. (1)证明:连接 AE,如下图所示. ∵ADEB 为正方形,∴AE∩BD=F,且 F 是 AE 的中点, 又 G 是 EC 的中点,--------------------------------2 分 ∴GF∥AC,又 AC? 平面 ABC,GF ? 平面 ABC, ∴GF∥平面 ABC. ----------------------------------5 分 (2)证明:∵ADEB 为正方形,∴EB⊥AB,--------------6 分 又∵平面 ABED⊥平面 ABC,平面 ABED∩平面 ABC=AB, EB? 平面 ABED,∴BE⊥平面 ABC, --------------7 分 ∴BE⊥AC. 2 又∵AC=BC= AB,∴CA2+CB2=AB2,∴AC⊥BC. 2 又∵BC∩BE=B,∴AC⊥平面 BCE. ---------- ----9 分 2 2 (3)取 AB 的中点 H,连 GH,∵BC=AC= AB= , 2 2 1 ∴CH⊥AB,且 CH= ,----------11 分 2 又平面 ABED⊥平面 ABC ∴CH⊥平面 ABED ------ ----12 分 ∴CH 为三棱锥 C-ABED 的高。 1 1 1 ∴V=3×1×2=6. ----------14 分

18.解: (1)∵

为奇函数,且 f( )=
高一数学试卷·第 2 页 共 4 页

= , ------2 分

∴f(﹣ )=

=﹣f( )=﹣ ,解得:a=1,b=0. -------4 分

∴f(x)=



-------5 分 ----------7 分

(2)函数 y ? f ( x ) 在区间(﹣1,1)上是增函数.

证明如下: 在区间(﹣1,1)上任取 x1,x2,令﹣1<x1<x2<1, ∴f(x1)﹣f(x2)= ----------9 分

=

----------11 分

∵﹣1<x1<x2<1 ∴x1﹣x2<0,1﹣x1x2>0,1+x12>0,1+x22>0 ∴f(x1)﹣f(x2)<0 即 f(x1)<f(x2) 故函数 f(x)在区间(﹣1,1)上是增函数.

----------13 分 ----------14 分

19.解:(1)设过 P 点圆的切线方程为 y+1=k(x-2), 即 kx―y―2k―1=0. ----------2 分 因为圆心(1,2)到直线的距离为 2 , 所以
- k -3 k 2 +1

= 2 , 解得 k=7,或 k=-1.----------4 分

故所求的切线方程为 7x―y―15=0,或 x+y-1=0. ------6 分 (2)容易求出 kPC=-3,所以 kAB= .----------8 分 如图,由 CA2=CD·PC,可求出 CD=
1 3
2 CA 2 = .-----10 分 PC 10
(第 19 题)

1 3

设直线 AB 的方程为 y= x+b,即 x-3y+3b=0. ---11 分 由
2 10



1- 6 + 3b 1+ 3
2

解得 b=1 或 b= (舍).-------13 分

7 3

所以直线 AB 的方程为 x-3y+3=0.-------14 分 (3)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解.
高一数学试卷·第 3 页 共 4 页

20 解:
? x2 ??0.5 ? 4.75 x ? , 0 ? x ? 5, x ? Z , (1)利润 f ( x) ? ? ----------5 分 2 ? 12 ? 0.25 x, x ? 5, x ? Z . ?

(2) 若 0 ? x ? 5, 则 y ? ?0.5 ? 4.75 x ? 所以,当 x=5 时 y 有最大值 10.75

x2 , 对称轴 x ? 4.75 , 2

----------7 分

若 x>5,则 y ? 12 ? 0.25 x 是减函数,所以,当 x=6 时 y 有最大值 10.50 。---9 分 综上:年产量 500 件时,工厂所得利润最大。----------10 分 (3)当 0 ? x ? 5, 时,由 y ? 0 得, 0 ? x ? 5, x ? Z , ----------11 分 当 x ? 5, 时,由 y ? 0 得, 5 ? x ? 48, x ? Z , ----------12 分 综上:年产量 x 满足 1 ? x ? 48, x ? Z , 时,工厂不亏本。 ----------14 分

高一数学试卷·第 4 页 共 4 页



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