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高一数学竞赛辅导(一)集合(1)


第1讲: 集 合(1)

竞赛中涉及的问题:
? ? ? 差集:A-B={x|x∈A且x?B}(有时用“A\B”表示) 集合运算律:①德摩根定律: Cu(A∩B)=(CuA)∪(CuB), Cu(A∪B)=(CuA)∩(CuB); ②分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C); A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C); n个元素的集合所有子集个数为2n ;必含某个元素k的 子集合个数为2n-1. 容斥原理:card(A∪B)=card(A)+card(B)- card(A∩B) card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)- card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+ card(A∩B∩C) 该结论可以推广到n个集合的情形.

?
?

例1 、 设 A ? a a ? x ? y , x , y ? Z ,
2 2

?

?

求 证 :1 ? 2 k -1 ? A ? k ? Z ? ; ?       ? 4 k ? 2 ? A ? k ? Z ?; ?2       ? 若 s、 t ? A, 则 st ? A; ?3       ? 若 s、 t ? A, t ? 0, 则 ?4         其 中 p、 q 是 有 理 数 s t ? p ?q ,
2 2

例 2、 设 S为 满 足 下 列 条 件 的 有 理 数 的 集 合 :

?1 ? 若 a ? S , b ? S , 则 a ? b ? S , a b ? S ; ? 2 ? 对 任 一 有 理 数 r, 三 个 关 系 r ? S , ? ? S , r
组 成 的 集 合. ?0 有 且 仅 有 一 个 成 立 .证 明 : S 是 由 全 体 正 有 理 数

例 3 、 已 知 集 合 : A ? { ( x , y ) | a x ? y ? 1} , B ? { ( x , y ) | x ? a y ? 1} , C ? { ( x , y ) | x ? y ? 1}
2 2

问 :1 ? 当 a 为 何 值 时 , A ? B ? ? C 为 含 有 两 个 ? ? 元素的集合?     ? 当 a为 何 值 时 , A ? B ? ? C 为 含 有 三 个 ?2 ? 元素的集合?

例 4 、 设 关 于 x的 不 等 式 x ?
2

? a ? 1?
2

2

?

? a ? 1?
2

2

和 x ? 3 ? a ? 1? x ? 2 ? 3a ? 1? ? 0 ? a ? R ?的 解 集 依 次 为 A 、 B , 求 使 A ? B 的 实 数 a的 取 值 范 围 .

例 5 、 设 n ? N , 且 n ? 1 5, A、 B 都 是 ?1 , 2 ,? , n ? 的 真 子 集 , A ? B ? ? , 且 A ? B ? ?1 , 2 ,? , n ? 证 明 : A 或 B中 必 有 两 个 不 同 数 的 和 为 完 全 平 方数.

例6、设S为集合{1,2,3,……,50}的 一个子集,且S中任意两个元素之和不能 被7整除,则S中元素最多有多少个?



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