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新疆维吾尔自治区兵团农二师华山中学2014-2015学年高二数学上学期期末考试试题 文



2014-2015学年第一学期高二年级期末考试 文科数学 试卷
一.选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 2 1 ”是“N ? M”的 ( 1. 设集合 M={1,2},N={a },则“ a= )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 2. 某校参加舞蹈社团的学生中,高一

年级有 40 名,高二年级有 30 名,现用分层抽样的方法在 这 70 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了 8 名,则在高二年级的学生中 应抽取的人数为( ) A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 3. 下列有关命题的叙述错误的是( ) A. 对于命题 p : ?x0 ? R, x ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p 为: ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2 0
2

B. 若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题
2 2 C. 命题“若 x ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 3 x ? 2 ? 0 ”

(第 9 题图) (第 10 题图) B. n ? 6 C. n ? 5 D. n ? 4 A. n ? 7 10. 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别为 AB 、BC 中点, 则异面直线 EF 与 AB1 所 成角的余弦值为( ) A.

2 D. x ? 5 x ? 6 ? 0 是 x ? 2 的必要不充分条件

4. 双曲线 x ? y ? 1 的顶点到其渐近线的距离等于(
2 2

) D. 2 )

3 2

B.

3 3

C.

2 2

D.

A.

2 2
3

B.1
2

C.

1 2
C.(-3,6)

11. 甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a ,再由乙猜甲刚才所想的数字,把 找两人玩这个游戏,则他们“心相近”的概率为( A. )

1 2

乙猜的数字记为 b ,其中 a, b ??1,2,3,4,5,6? ,若 a ? b ? 1 ,就称甲乙“心相近”.现任意

5. 已知函数 f ( x ) ? x ? ax ? (a ? 6) x ? 1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是 ( A. (-1,2) B.(-∞,-3)∪(6,+∞)
2

D.(-∞,-1)∪(2,+∞) )

6. 若抛物线 y ? ax 的准线的方程是 y ? ?2 ,则实数 a 的值是( A.

1 2 7 4 B. C. D. 9 9 18 9 12. f ?( x ) 是定义在非零实数集上的函数,f ?( x ) 为其导函数, 且 x ? 0 时,xf ?( x ) ? f ( x ) ? 0 ,

1 8

B. ?

1 8

C. 8

D. ?8

5 4 3 2 7. 用秦九韶算法计算多项式 f ( x) ? 2 x ? 3 x ? 7 x ? 9 x ? 4 x ? 10 在 x ? 2 时的值时, V3

f (log2 5) f (2 0.2 ) f (0.2 2 ) , b ? ,c ? 0.2 2 log2 5 ,则 ( ) 2 0.2 A. c ? a ? b B. b ? a ? c C. a ? b ? c
记a ? 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

D. c ? b ? a

的值为( ) A.34 B.22 C.9 D.1 8. 某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验,根据收

? ? 0.68x ? 54.6 集到的数据(如下表) ,由最小二乘法求得回归直线方程为 y
零件数 x 个 10 20 30 40 加工时间 y(min) 62 75 81 但现在表中有一个数据已模糊不清,请你推断出该数据的值为( A.68 B.68.2 C.69 D.75 9. 若下面的程序框图输出的 S 是 62,则①应为( ) 50 89 )

13. 若曲线 y ? ax ? 2 ln x 在点 (1, a ) 处的切线平行于 x 轴,则 a ? ___________.
2

14. 从等腰直角△ABC 的底边 BC 上任取一点 D,则△ABD 为锐角三角形的概率为___________. 15. 已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) ,过其焦点且斜率为-1 的直线交抛物线于 A、B 两
2

点,若线段 AB 的中点的纵坐标为-2,则该抛物线的准线方程为___________.

1

16. 方程

x2 y2 ? ? 1 表示曲线 C,给出以下命题: 4 ? t t ?1

( 1 ) 求 证 : A1 B // 平面ADC1 ; ( 2 ) 求 三 棱 锥 C1 ? ADB1 的 体 积 .

①曲线 C 不可能为圆; ③若 1 ? t ? 4 ,则曲线 C 为椭圆;

②若曲线 C 为双曲线,则 t ? 1 或 t ? 4 ; ④若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<t<

5 . 2

其中真命题的序号是____________(写出所有正确命题的序号) . 三.解答题(本大题共 6 小题,第 17 题 10 分,其余每题 12 分,共 70 分,解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. )
2 2 17. 设 p:实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 (其中 a ? 0 ) ,q:实数 x 满足 ( x ? 3)( x ? 2) ? 0

(1)若 a ? 1 ,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

x2 y 2 0) ,离心率为 e . ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F2 (3 , a 2 b2 3 ( 1) 若 e ? ,求椭圆的方程; 2 ???? ? ???? ? (k ? 0) 与椭圆相交于 A ,B 两点,若 AF2 ? BF2 ? 0 ,求 k 2 ? ( 2 ) 若直线 y ? kx
21. 已知椭圆

81 的值. a ? 18a2
4

18.高二某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部都 于 13 秒到 18 秒之间,将测试结果按如下方式分成五组, 一组[13,14) ,第二组[14,15)?第五组[17,18],如 是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (1)若成绩大于等于 14 秒且小于 16 秒规定为良好, 求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数; (2)请根据频率分布直方图,估计样本数据的众数和 中位数(精确到 0.01) ; (3)设 m, n 表示该班两个学生的百米测试成绩,已知

介 第 图

22. 已知函数 f ( x ) ? mx ? ln x ,( m ? 0 ). (1)若 m ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (2)求函数 f(x)在区间[1,e]上的最小值; (3)若 f ( x ) ? 0 恒成立,求 m 的取值范围.

m, n ? ?13,14? ? ?17,18? ,求事件 | m ? n |? 2 的概率.

19. 在平面直角坐标系中,已知一个双曲线的中心在原点,左焦点为 F ( ?2,0) ,且过点 D( 3 ,0) . (1)求该双曲线的标准方程; (2)若 P 是双曲线上的动点,点 A(1,0) ,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程. A1 B1 20. 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱 AA1 ? 底面ABC ,且 底面边长均为 2, D 是 BC 的中点. B D A C 侧棱和 C1 2014-2015 学年第一学期高二年级期末考试 文科数学 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2

选项

A

D

B

A

B

A

C

A

C

D

D

A

13. 1

14.

1 2

15. x ? ?1

16. ②④

17. (1)当 a ? 1 ,解得 1<x<3,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1<x<3.q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x<3.若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真,∴实数 x 的取值范围是(2,3) . ????5 分 (2)设 A={x|p(x)},B={x|q(x)} =(2,3) ,

x ?1 ? x? 0 ? ? 2 ,得 ? x0 ? 2 x ? 1 由? ? ? y0 ? 2 y ? y ? y0 ? ? 2 ( 2 x ? 1) 2 ? (2 y ) 2 ? 1 因为点 P 在双曲线上,得 3 ∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 (2 x ? 1) 2 ? 12 y 2 ? 3 .
20.(1)证明:连接 A1C 交 AC1 于点 O ,连接 OD 由题得四边形 ACC1 A1 为矩形, O 为 A1C 的中点, 又 D 为 BC 的中点, 所以 A1 B ∥ OD

????9 分

????12 分

? p 是 q 的必要不充分条件,则 B ? A ?
由 x ? 4ax ? 3a ? 0 得 ( x ? 3a)(x ? a) ? 0 ,
2 2

因为 a ? 0 ,A= (a,3a) ,所以有 ?

∴实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 .

?a ? 2 ,解得 1 ? a ? 2 ; ?3a ? 3
????10 分

OD ? 平面ADC1 , A1 B ? 平面ADC1 所以 A1 B ∥ 平面ADC1 ????5 分 (2)解:? AA1 ? 面ABC,AD ? 面ABC ,? AD ? AA1 , 即AD ? BB1
∵△ABC 为正三角形,D 为 BC 的中点,∴AD⊥BC, ∵ BB1 ? BC ? B ,? AD ? 面BCC 1 B1 ,? AD为三棱锥 A ? B1 DC1 的高, 因为 VC1 ? ADB1 ? VA? B1DC1 , S ?B1DC1 ? 所以 VC1 ? ADB1 ? V A? B1DC1 ? ?8 分

18.(1)根据直方图可知成绩在 ?14,16? 内的人数: 50 ? 0.18 ? 50 ? 0.38 ? 28 人 ????4 分

15 ? 16 ? 15 .5 2 因为数据落在第一、二组的频率 ? 1? 0.04 ? 1? 0.08 ? 0.22 ? 0.5 数据落在第一、二、三组的频率 ? 1? 0.04 ? 1? 0.08 ? 1? 0.38 ? 0.6 ? 0.5 所以中位数一定落在第三组 ?15,16? 中. 假设中位数是 x ,所以 0.22 ? ?x ?15?? 0.38 ? 0.5 299 ? 15 .7368 ? 15.74 解得中位数 x ? ????8 分 19 (3)成绩在 ?13,14? 的人数有: 50 ? 0.04 ? 2 人,设为 a , b 成绩在 ?17,18? 的人数有: 50 ? 0.06 ? 3 人,设为 A, B, C m, n ? ?13,14? 时有 ab 一种情况, m, n ? ?17,18?时有 AB, AC, BC 三种情况 m, n 分布在 ?13,14? 和 ?17,18? 时有 aA, aB, aC, bA, bB, bC 六种情况,基本事件的总数为 10
(2)由图可知众数落在第三组 ?15,16? 是 事件 m ? n ? 6 由 6 个基本事件组成. 所以 P m ? n ? 6 ?

1 S ?B DC 3 1 1

1 ? 2 ? 2 ? 2 , AD ? 3 , 2 1 2 3 ? AD ? ? 2 ? 3 ? 3 3

????12 分

?c ? 3 ? 21. (1)由题意得 ? c 3 ,所以 a ? 2 3 . ? ? 2 ?a 2 2 2 又由 a ? b ? c ,解得 b 2 ? 3 . x2 y 2 所以椭圆的方程为 ? ?1. 12 3 ? y ? kx ? (2)由 ? x 2 y 2 得 (b2 ? a2k 2 ) x2 ? a2b2 ? 0 . ? ? 1 ? 2 b2 ?a B( x2 ,y2 ) ,由根与系数的关系可知, 设 A( x1 ,y1 ) ,

????4 分

?

?

6 3 ? . 10 5

????12 分

x2 ? y2 ? 1 19. (1)双曲线的标准方程为 ????6 分 3 (2)设线段 PA 的中点为 M ( x, y ) ,点 P 的坐标是 ( x0 , y0 ) ,

a 2 b2 x1 ? x2 ? 0 ,且 x1 x2 ? ? 2 . b ? a2 k 2 ???? ? ???? ? 又 AF2 ? (3 ? x1 , ? y1 ) , BF2 ? (3 ? x2 , ? y2 ) . ???? ? ???? ? 所以 AF2 ? BF2 ? (3 ? x1 )(3 ? x2 ) ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? 9 ? 0 .

? a (a ? 9)(1 ? k ) ?9 ? 0. a 2 k 2 ? (a 2 ? 9)
2 2 2

??6 分

??8 分 ??9 分

3

整理得 k 2 ? ∴ k2 ?
4

a4 ? 18a2 ? 81 81 . ? ?1 ? 4 ?a4 ? 18a2 a ? 18a2
??12 分

1 ? 当 m ? 时, f ( x ) ? 0 恒成立 e

??12 分

81 ? ?1 . a ? 18a2

1 x ?1 ? , ( x ? 0) , x x 令 f ?( x ) ? 0 得 x=1,令 f ?( x ) ? 0 得 x>1,令 f ?( x ) ? 0 得 0<x<1, 所以 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1,? ?) 上单调递增, ∴ f ( x ) 的极小值为 f (1) ? 1 ? ln1 ? 1 , f ( x ) 无极大值 ??4 分 1 mx ? 1 , ( x ? 0, m ? 0) (2) f ?( x ) ? m ? ? x x 1 1 1 令 f ?( x ) ? 0 得 x= ,令 f ?( x ) ? 0 得 x> ,令 f ?( x ) ? 0 得 0<x< , m m m 1 1 所以 f ( x ) 在 ( 0, ) 上单调递减,在 ( ,? ?) 上单调递增,? x ? [1, e] , m m 1 ? 1即m ? 1 时,f(x)在 [1, e ] 单调递增,f(x)的最小值为 f(1)=m ① 当0 ? m 1 1 1 1 ? e即 ? m ? 1 时 , f(x) 在 ( 0, ) 减 , ( ,? ?) 增 , f(x) 的 最 小 值 为 ② 当 1? m e m m 1 f ( ) ? 1 ? ln m m 1 1 ? e即0 ? m ? 时,f(x)在 [1, e ] 减,f(x)的最小值为 f (e ) ? me ? 1 ③ 当 m e
22.(1) f ?( x ) ? 1 ? ????8 分

mx ? ln x ? 0 恒成立 (3)? f ( x ) ? 0 恒成立,即
又? f ( x) 定义域为 (0, ??)

? mx ? ln x

ln x 恒成立 x ln x 设 g ( x) ? x 1 ? ln x ? g '( x) ? x2 ? 当 x=e 时, g '(e) ? 0 当 0 ? x ? e 时, g '( x) ? 0, g ( x) 为单调增函数 当 x ? e 时, g '( x) ? 0, g ( x) 为单调减函数 1 ? g ( x) max ? g (e) ? e ?m ?
4



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