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一道高中数学竞赛题在圆锥曲线中的推广


一道高中数学竞赛题在圆锥曲线中的推广
1991 年四川省高中数学联合竞赛决赛第四题是一道平面几何题.原题:如图 1,设 ⊙O 是 ?ABC 的 BC 边外的旁 切圆,D、E、F 分别是 ⊙O 与 BC、CA 和 AB 的切点,若 AK 平分 BC. 贵州教育学院李小雪先生应用射影几何的观点研究了 证明 ?文1? .湖南师范大学数学系沈文选教授在他的近作 《平 ? ? 证明此题,方法是三角法、射影变换法、应用张角定理.由 道有背景的重要的几何题.我们拟给出解析证法,并把它推 在证明过程中,要用到以下引理 ?文2? : ? ?

A B F O D C K E

OD 与 EF 交于 K,求证:

此题,给出了纯几何证法的 面几何证明方法全书》三次 此我们可以看出此题是一 广到圆锥曲线中去.

图1

( 1 ) . 若 点 P ( x0 , y0 ) 为 圆 x 2 + y 2 = R 2 外 一 点 , 过 点 P 引 圆 的 两 条 切 线 方 程 为 :

( x0 x + y0 y ? R 2 )2 = ( x0 2 + y0 2 ? R 2 )( x 2 + y 2 ? R 2 ) ;
切点弦的方程为: x0 x + y0 y = R .
2

x2 y2 ( 2 ) . 若 点 P ( x0 , y0 ) 为 椭 圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 外 一 点 , 过 点 P 引 椭 圆 的 两 条 切 线 方 程 为 : a b ( x0 x y0 y x2 y2 x2 y 2 + 2 ? 1) 2 = ( 02 + 02 ? 1) ? ( 2 + 2 ? 1) ; a2 b a b a b
切点弦的方程为:

x0 x y0 y + 2 = 1. a2 b x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 外 一 点 , 过 点 P 引 双 曲 线 的 两 条 切 线 方 程 为 : a2 b2

( 3 ) . 若 点 P ( x0 , y0 ) 为 双 曲 线

x0 x y0 y x0 2 y0 2 x2 y2 2 ( 2 ? 2 ? 1) = ( 2 ? 2 ? 1) ? ( 2 ? 2 ? 1) ; a b a b a b
切点弦的方程为:

x0 x y0 y ? 2 = 1. a2 b

2 ( 4 ) . 若 点 P ( x0 , y0 ) 为 抛 物 线 y = 2 px ( p > 0) 外 一 点 , 过 点 P 引 抛 物 线 的 两 条 切 线 方 程 为 :

[ y0 y ? p ( x0 + x)]

2

= ( y0 2 ? 2 px0 ) ? ( y 2 ? 2 px) ;

切点弦的方程为: y0 y = p ( x + x0 ) .

1.竞赛题的解析证法 竞赛题的解析证法
证明:如图 2,以旁切圆的圆心 O 为原点,直线 OD 为 y 轴,过 O 点垂直于 OD 的直线为 x 轴.建立直角坐标系,
2 2 2 ,直线 BC 的方程为 y = R . 设旁切圆方程为 x + y = R ,则点 D 的坐标为(0,R)

设点 A 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则有切点弦 EF 的方程为 x0 x + y0 y = R ………①
2

两条切线 AF、AE 的方程为

( x0 x + y0 y ? R 2 )2 = ( x0 2 + y0 2 ? R 2 )( x 2 + y 2 ? R 2 ) …②
R2 ,则点 K 的坐标为 在方程①中,令 x = 0 ,得 y = y0

R2 (0, ) . y0

直线 AK 的方程为: y ?

R2 = y0

y0 ? x0

R2 y0

x ……③.

将 y = R 代入方程③解得 x =

x0 R . y0 + R x0 R , R) . y0 + R
2 2 2

设 AK 与 BC 交于点 M ,点 M 的坐标为 (

把 y = R 代入方程②并整理得: ( y0 ? R ) x ? 2 x0 R ( y0 ? R ) x ? ( y0 R ? R ) = 0 .
2 2

设点 B 、 C 的坐标分别为 ( x1 , R ), ( x2 , R ) ,由韦达定理得

x1 + x2 =

2 x0 R ( y0 ? R ) 2 x0 R xR xR x + x2 = , BC 中点的横坐标为 1 = 0 , BC 的中点坐标为 ( 0 , R ) .与点 M 的 2 2 y0 ? R y0 + R 2 y0 + R y0 + R

坐标相同. 所以点 M 为 BC 的中点,即直线 AK 平分 BC .

2.竞赛题在圆锥曲线中的推广 竞赛题在圆锥曲线中的推广
x2 y2 定理 1:如图 3,椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 旁切于 ?ABC 的 BC 边外,D、E、F 分别是椭圆与 BC、CA 和 AB : a b
的切点,若 OD 与 EF 交于 K,则有 AK 平分 BC. 证明:设点 A 坐标为 ( x0 , y0 ) ,点 D 坐标为 (m, n) ,AK 与 BC 相交于点 M.

mx ny + = 1 ………① a2 b2 由引理 2 可知过点 A 的两切线方程为:

则过点 D 的切线方程为:

x0 x y0 y x0 2 y0 2 x2 y 2 2 ( 2 + 2 ? 1) = ( 2 + 2 ? 1) ? ( 2 + 2 ? 1) ………② a b a b a b x0 x y0 y + 2 = 1 ………③ a2 b n 直线 DO 的方程为: y = x ………④ m 联立③、④可得 K 点坐标为:

切点弦 EF 的方程为

(

a 2b 2 m a 2b 2 n , 2 ). b 2 mx0 + a 2 ny0 b mx0 + a 2 ny0

直线 AK 的方程为: a 2b 2 n ? b 2 mx0 y0 ? a 2 ny0 2 a 2b 2 my0 ? a 2b 2 nx0 ………⑤ y= 2 2 x+ 2 2 a b m ? b 2 mx0 2 ? a 2 nx0 y0 a b m ? b 2 mx0 2 ? a 2 nx0 y0 联立①⑤可得点 M 的横坐标:

xM =

a 2b 4 mx0 2 ? a 4b 4 m + a 4b 2 nx0 y0 + a 4b 2 mny0 ? a 4b 2 n 2 x0 . a 4 n 2 y0 2 ? a 4b 2 n 2 + b 4 m 2 x0 2 + 2a 2b 2 mnx0 y0 ? a 2b 4 m 2

设点 B、C 的横坐标为 xB 、 xC ,B、C 的中点横坐标为 x中 , 联立①②可得关于 x 的一元二次方程:

(a 4 n 2 y0 2 ? a 4b 2 n 2 + b 4 x0 2 m 2 + 2a 2b 2 mnx0 y0 ? a 2b 4 m 2 ) x 2 + (2a 4b 4 m ? 2a 2b 4 mx0 2 ? 2a 4b 2 x0 y0 n ? 2a 4b 2 mny0 + 2a 4b 2 n 2 x0 ) x + (a 4b 4 x0 2 ? a 6b 4 ? a 4b 2 n 2 x0 2 ? a 6 y0 2 n2 + 2a 6b2 ny0 ) = 0.
由韦达定理可得
x中 = xB + xC a 2b 4 mx0 2 ? a 4b 4 m + a 4b 2 nx0 y0 + a 4b 2 mny0 ? a 4b 2 n 2 x0 = 4 2 2 2 a n y0 ? a 4b 2 n 2 + b 4 m2 x0 2 + 2a 2b 2 mnx0 y0 ? a 2b 4 m 2

点 M 与 B、C 中点横坐标相等,又都在切线方程①上,则它们的纵坐标也相等,这两点是同一 点,所以 M 为线段 BC 的中点,即直线 AK 平分 BC. 定 理 2 : 如 图
4 , 双 曲 线 D、E、F 分别是双曲线 有 AK 平分 BC. 限,不再赘述.

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 旁切于 ?ABC 的 BC 边外, a2 b2
与 BC、CA 和 AB 的切点,若 OD 与 EF 交于 K,则 定理 2 的证明与定理 1 的证明类似, 由于篇幅所

如图 5, 抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 旁 定理 3: 外,D、E、F 分别是抛物线与 BC、 D 作 x 轴的平行线与 EF 交于点 K, 证明: 证明:设点 A 坐标为 ( x0 , y0 ) ,点 D BC 相交于点 H. 过点 D 的切线 则有 y12 = 2 px1 , 方

切于△ABC 的 BC 边
CA 和 AB 的切点,过点 则有 AK 平分 BC.

坐标为 ( x1 , y1 ) ,AK 与







y1 y = p ( x1 + x) ………① 由引理 2 可知过点 A 的两切线方程为
2 [ y0 y ? p ( x0 + x)]2 = ( y0 ? 2 px0 )( y 2 ? 2 px) ………②

切点弦 EF 的方程为 y0 y = p ( x0 + x) ………③

? y = y1 联立 ? ? y0 y = p( x0 + x)

可求得点 K 坐标为: (

y0 y1 ? x0 , y1 ) , p

进而可得直线 AK 方程为:

y=

2 p ( y0 ? y1 ) px y + px0 y1 ? y0 y1 x+ 0 0 ……④ 2 px0 ? y0 y1 2 px0 ? y0 y1

联立①④可得点 H 的横坐标:
xH = =
2 px0 y0 y1 + px0 y12 ? y0 y12 ? 2 p 2 x0 x1 + px1 y0 y1 2 p 2 x0 ? 2 py0 y1 + py12 2 px0 y0 y1 + px0 y12 ? y0 y12 ? 2 p 2 x0 x1 + px1 y0 y1 . 2 p 2 x0 + 2 p 2 x1 ? 2 py0 y1

设点 B、C 的横坐标为 xB 、 xC ,B、C 的中点横坐标为 x中 , 联立①②可得关于 x 的一元二次方程:
2 p( y12 + 2 px0 ? 2 y0 y1 ) x 2 + [4 p 2 x0 x1 ? 2 p( x0 y0 y1 + x1 y0 y1 + x0 y12 ) + 2 y0 y12 ]x

+ p[( x0 y1 )2 ? 2 x0 x1 y0 y1 ? 2 px0 x12 ] = 0.
2 2( px0 y0 y1 + px0 y12 + px1 y0 y1 ? y0 y12 ? 2 p 2 x0 x1 ) 由韦达定理可得 xB + xC = , 2 p 2 x0 ? 2 py0 y1 + py12 2 xB + xC px0 y0 y1 + px0 y12 + px1 y0 y1 ? y0 y12 ? 2 p 2 x0 x1 = . 2 2 p 2 x0 ? 2 py0 y1 + py12

即 x中 =

点 H 与 B、C 中点横坐标相等,又都在切线方程①上,则它们的纵坐标也相等,这两点是同一点, 所以 H 为线段 BC 的中点,即直线 AK 平分 BC. 若 ⊙O 是 ?ABC 的内切圆,其他条件不变,结论依然成立,用解析法证明的步骤完全相同.
这是证明一类三角形旁切圆、内切圆问题的方法之一.这种方法的优点是思路统一,可以推广到圆锥曲线中.


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