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2.2 直线、平面平行的判定及其性质1


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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

绝密★启用前

2.2 直线、平面平行的判定及其性质
考试总分:100 分;考试时间:100 分钟;命题人:陈绪亮 一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.如图所示,正方体 ,则 MN 与平面 的棱长为 a,M、N 分别为 的位置关系是( ) 和 AC 上的点,

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

A.相交

B.平行

C.垂直

D.不能确定

2.设 l 是直线,α ,β 是两个不同的平面( ) A.若 l//α ,l//β ,则 α //β B.若 l//α ,l⊥β ,则 α ⊥β C.若 α ⊥β ,l⊥α ,则 l⊥β D.若 α ⊥β ,l//α ,则 l⊥β 3. 设 m, n 是两条不同的直线, A . 若 C. 若 , , , , , 则 , 则 是两个不同的平面, 下列命题中正确的是( B. 若 D. 若 , , , , ) , 则 , 则 )

4.已知直线 m,n 不重合,平面 ? , ? 不重合,下列命题正确的是( (A)若 m ? ? ,n ? ? ,m// ? ,n// ? ,则 ? / / ? (B)若 m ? ? ,m ? ? , ? / / ? ,则 m//n (C)若 ? ? ? ,m ? ? ,n ? ? ,则 m ? n

(D)若 m ? ? ,n ? ? ,则 m ? n 5.已知三条直线 m, n, l ,三个平面 ? , ? , ? ,下列四个命题中,正确的是(
? ??? A. ?? ? ∥? ? ???



B.

m ??? ??l ? ? l ? m?

C.

m? ?? ??m ? n n?? ?

D.

m??? ? ? m∥n n?? ?

6.下列四个正方体图形中, A 、 B 为正方体的两个顶点, M 、 N 、 P 分别为其所在 棱的中点,能得出 AB / / 平面 MNP 的图形的序号是( )

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

A. ①、③

B. ①、④

C. ②、③

D. ②、④

7. 如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长(包括底面边长)都是 2,E,F 分别是 AB,A1C1 的中点, 则 EF 与侧棱 C1C 所成的角的余弦值是( )

(A) 错误!未找到引用源。 (C)错误!未找到引用源。 (D)2

(B) 错误!未找到引用源。

8.设 ? , ? , ? 为两两不重合的平面, l , m, n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题: (1)若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? ; (2)若 m ? ?

? ,n ? ? ? , m // ? , n // ? ,则 ? // ? ; ? ,则 l // ? ;

(3)若 ? // ? , l ? ?

(4)若 ? ? ? ? l , ? ? ? ? m , ? ? ? ? n , l // ? ,则 m // n . 其中正确的命题是( ) A、 (1) (3) B、 (2) (3)

C、 (2) (4)

D、 (3) (4) )

9.正方体 ABCD ? A1B1C1D1中, 直线AC1与BD所成的角为(

A.30° B. 45° C. 60° D. 90° 10. 异面直线 a, b 所成的角 60°, 直线 a⊥c, 则直线 b 与 c 所成的角的范围为( A.[30°,90°] B.[60°,90°] C.[30°,60°] D.[30°,120°]

).

二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11.设 m,n 是两条不同的直线,α 、β 、γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题: (1)若 m⊥α ,n∥α ,则 m⊥n (2)若α ∥β ,β ∥γ ,m⊥α ,则 m⊥γ (3)若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n (4)若α ⊥γ ,β ⊥γ ,则α ∥β 其中真命题的序号是 . 12.用 a 、 b 表示两条不同的直线, ? 、 ? 表示两个不同的平面,给出下列命题: ①若 a ∥ b , a ∥ ? ,则 b ∥ ? ; ③若 a ∥ ? , b ⊥ ? ,则 a ⊥ b ; ②若 a ⊥ ? , b ⊥ ? ,则 a ∥ b ; ④若 a ⊥ ? , ? ∥ ? ,则 a ⊥ ? .

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

其中正确的是

.

13.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M∈AB1,N∈BC1,且 AM=BN≠ 2 ,有 以下四个结论:

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

①AA1⊥MN;②A1C1∥MN;③MN∥平面 A1B1C1D1;④MN 与 A1C1 是异面直线.其中正确命题 的序号是________.(注:把你认为正确命题的序号都填上) 14.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD -A1B1C1D1 中,点 O 是底面 ABCD 的中心,点 E,F 分别 是 CC1,AD 的中点,则异面直线 OE 与 FD1 所成角的余弦值为 .

三、解答题(题型注释) 16.(共 12 分)如图所示,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, 侧棱 PA ? 底面 ABCD ,且 PA ? 2 , Q 是 PA 的中点. (1)证明: PC // 平面 BDQ. (2)求三棱锥 Q ? BAD 的体积

P
Q

A

D
C

B

17. (共 12 分)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,点 D 在 棱 AB 上.

(1)求证:AC⊥B1C; (2)若 D 是 AB 中点,求证:AC1∥平面 B1CD.

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19. (共 12 分) 直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面为等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=2 错误!未找到引用源。,E,F 分别是 BC,AA1 的中点.

求(1)异面直线 EF 和 A1B 所成的角. (2)三棱锥 A-EFC 的体积.

20 .( 共

18

分 ) 已 知 直 三 棱 柱 A B C ?

1

中 A C, ?BAC ? 90? , 1 B 1

AA1 ? 3 ,D 是 BC 中点, E 是 AA1 中点. AB ? AC ? 2,

(1)求三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的体积; (2)求证: AD ? BC1 ; (3)求证: DE ∥面 AC 1 1B .

试卷第 4 页,总 4 页

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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参考答案 1.B 【解析】

又 且 ∴

是平面

的一个法向量, , ,又 MN 面 ,∴MN∥平面 .选 B.

2.B 【解析】设 α ∩β =a,若直线 l//a,且 l ?α ,l ?β ,则 l//α ,l//β ,因此 α 不一 定平行于 β ,故 A 错误;由于 l//α ,故在 α 内存在直线 l′//l,又因为 l⊥β ,所以 l′ ⊥β ,故 α ⊥β ,所以 B 正确; 若 α ⊥β ,在 β 内作交线的垂线 l,则 l⊥α ,此时 l 在平面 β 内,因此 C 错误; 已知 α ⊥β ,若 α ∩β =a,l//a,且 l 不在平面 α ,β 内,则 l//α 且 l//β ,因此 D 错误. 故选 B. 3.D 【解析】构造一个正方体,将各选项中的条件对应于正方体中的线和面,不难知道,A,B, C 是典型错误命题,选 D. 4.D 【解析】 试题分析:解:若 m ? ? ,n ? ? ,m// ? ,n// ? ,则 ? / / ? 或 ? 与 ? 相交,所以 A 项不 正确; 若 m ? ? ,m ? ? , ? / / ? ,则 m//n 或 m, n 异面;所以 B 项不正确; 若 ? ? ? ,m ? ? ,n ? ? ,则 m 与 n 的位置关系可能是平行、相交或异面,所以 C 项不正 确; 若 m ? ? ,则直线 m 垂直于平面 ? 内的任何一条直线,所以由 n ? ? ,可得 m ? n ,所以项 正确; 故选 D. 考点:1、直线与平面平行的判定与性质;2、直线与平面垂直的判定与性质. 5.D 【解析】 试题分析: ? ? ? ,且 ? ? ? 时, ? 与 ? 可能平行与可能相交,故 A 不正确;要判断线面
答案第 1 页,总 8 页

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垂直,直线要与平面内两条相交的直线均垂直,故 B 错误;当 m ? ? , n ? ? ,则 m 与 n 可 能平行也可能相交, 也可能异面, 故 C 错误; 由线面垂直的性质, 当m ?? , n ? ? 时, m? n 一定成立,故 D 正确,故选 D. 考点:空间直线、平面间的平行与垂直关系. 6.B 【解析】 试题分析: ①中取 B 上边的点为点 C , 连结 AC , 则易证面 ABC / / 平面 PMN , 故有 AB / / 平面 MNP ,如图(1) ;④中取 B 上边的点为点 C ,取 AC 、 BC 的中点分别为 D 、 E , DN 、 DEPN 为平行四边形, 连结 DE 、 , 易证四边形 故 DE / / 面 MNP , 又 AB / / DE , EP 故有 AB / / 平面 MNP ,如图(2) .

考点:空间中线面的位置关系. 7.B 【解析】如图,取 AC 中点 G,连接 FG,EG,

则 FG∥C1C,FG=C1C;EG∥BC,EG=错误! 未找到引用源。 BC,故∠EFG 即为 EF 与 C1C 所成的角(或 补角),在 Rt△EFG 中,cos∠EFG=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未 找到引用源。. 8.D 【解析】 试题分析: (1)不正确,面 ? , ? 可能相交。 (2)不正确,当直线 m, n 平行时,? , ? 还可能 相交;根据面面平行的判定定理只有当 m, n 相交时, ? // ? 。 (3)正确,根据面面平行定 义可知 l 与 ? 无公共点, 即可知 l // ? 。 (4) 正确, 因为 ? ? ? ? l , 可知 l ? ? , 又因为 l // ? ,

? ? ? ? n ,则 m // n 。综上可得 D 正确。
考点:1 线面位置关系、面面位置关系;2 线面平行、面面平行的判定;3 线面平行的性质 定理。
答案第 2 页,总 8 页

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9.D 【解析】 试题分析:由 BD ? AC, CC1 ? BD , AC1 ? 平面ACC1 ,得, AC1 ? BD ,即 AC1,BD 所 成的角为 90°,故选 D。 考点:本题主要考查正方体的几何特征,垂直关系。 点评:简单题,注意充分利用正方体中的线线关系、线面关系。 10.A 【解析】 解:直线 a 上任意取一点 A,过 A 作平面 P 与直线 a 垂直.再过 A 作直线 AG//b, 并设相交直 线 AD,a 决定的平面为 Q. 则任意与直线 a 垂直的直线 c,均与平面 P 平行.即 c 可以看作是平面 P 内的直线. 这时,a 为平面 P 的垂线,b 为平面 P 的斜线.设 b 在平面 P 的射影为 d. 由于 b 与 a 成 60 度角,故 b 与其投影 d 成 30 度角.这是它与平面 P 上的直线 c 所成的最小的 角. 而当直线 c 垂直于平面 Q 时,c 也垂直于 b,即 c 与 b 所成最大角为 90 度. 即:直线 b 与 c 所成的角范围为:[30 度, 90 度] 11. (1) (2) 【解析】 试题分析: 因为 m ? ? ,所以 m 垂直于 ? 任意直线 l . 因为 n / / a ,所以可得 n 平行于 ? 内 某条直线 n?. 所以 m ? n , m ? n. (1) 正确. 因为 m ? ? , 所以 m 垂直于 ? 任意直线 l . 过 l 作 平面分别交平面 ? , ? 于直线

?

l1 , l2 . 因为 ? / / ? , ? / /? ,所以 l / /l1 / /l2 . 因此 m ? l2 . 由于 l 的

任意性,所以 m ? ? .(2)正确.两条直线平行于同一平面,它们的位置关系不定,所以(3) 不正确.两相交平面可同时垂直于同一平面,所以(4)不正确. 考点:线面平行与垂直关系判定 12.①③ 【解析】过 N 作 NP⊥BB1 于点 P,连接 MP,可证 AA1⊥平面 MNP,得 AA1⊥MN,①正确;过 M, N 分别作 MR⊥A1B1,NS⊥B1C1 于点 R,S,则当 M 不是 AB1 的中点,N 不是 BC1 的中点时,直线 A1C1 与直线 RS 相交;当 M,N 分别是 AB1,BC1 的中点时,A1C1∥RS,所以 A1C1 与 MN 可以异面, 也可以平行, 故②④错误; 由①正确知, AA1⊥平面 MNP,而 AA1⊥平面 A1B1C1D1,所以平面 MNP ∥平面 A1B1C1D1,故③正确. 13. 【解析】取 D1C1 的中点 G,连接 OF,OG,GE.

因为点 O 是底面 ABCD 的中心,F 为 AD 的中点,
答案第 3 页,总 8 页

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所以 OF

错误!未找到引用源。CD,D1G

错误!未找到引用源。CD,即 OF

D1G.

所以四边形 OGD1F 为平行四边形.所以 D1F∥GO,即 OE 与 FD1 所成角也就是 OE 与 OG 所成角. 在△OGE 中,OG=FD1=错误!未找到引用源。,GE=错误!未找到引用源。,OE=错误!未找到引 用源。, 2 2 2 所以 GE +OE =OG ,即△GOE 为直角三角形,所以 cos∠GOE=错误!未找到引用源。=错误!未 找到引用源。=错误!未找到引用源。. 异面直线 OE 与 FD1 所成角的余弦值为错误!未找到引用源。. 14. l ? ? 【解析】 考点:直线与平面平行的判定。 分析:根据线面平行的判定定理进行对照即可。 解答: 对照已有条件,根据线面平行的判定定理可知缺少条件“1?α ”。 故答案为:1?α 。 点评:本题主要考查了直线与平面平行的判定,属简单题。 15.②③④ 【解析】 a / /b, a / /? ,则 b / /? 或 b ? ? ,命题①不正确;垂直于同一平面的两直线平行, 命题②正确; a / /? ,则存在 l ? ? 有 a / / l 。而 b ? ? ,所以 b ? l ,从而有 a ? b ,命题 ③ 正 确 ; a ? ? , 则 对 两 条 相交 直 线 l1 , l2 ? ? 有 a ? l1 , a ? l2 。 因 为 ? / / ? , 所 以 有

l1 / / ? , l2 / / ? 。则存在 m1 , m2 ? ? 有 l1 / / m1 , l2 / / m2 。因为 l1 , l2 相交所以 m1 , m2 也相交。
而 a ? l1 , a ? l2 ,所以 a ? m1 , a ? m2 ,从而可得 a ? ? ,命题④正确。 16. (1)证明详见解析; (2) 【解析】 试题分析: (1)要证 PC // 平面 BDQ ,由于 PC ? 平面 BDQ ,故只须在平面 BDQ 内找到 一条直线与 PC 平行即可,而这一条直线就是平面 PAC 与平面的 BDQ 交线,故连接 AC , 设其交 BD 于点 O ,进而根据平面几何的知识即可证明 OQ / / PC ,从而就证明了 PC // 平 面 BDQ ; (2)根据已知条件及棱锥的体积计算公式可得 VQ ? BAD ? 入数值进行运算即可. 试题解析: (1)证明:连结 AC ,交 BD 于 O 因为底面 ABCD 为正方形, 所以 O 为 AC 的中点.又因为 Q 是 PA 的中点, 所以 OQ // PC 因为 OQ ? 平面 BDQ , PC ? 平面 BDQ , 所以 PC // 平面 BDQ
答案第 4 页,总 8 页

2 . 3

1 ? S ?BAD ? QA ,进而代 3

6分

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(2)因为侧棱 PA ? 底面 ABCD ,所以三棱锥 Q ? BAD 的高为 QA ? 面积为 S ?BAD ?

1 ? 2 ? 2 ? 2 ,所以 VQ? BAD 2

1 1 PA ? ? 2 ? 1,而底 2 2 1 1 2 ? ? S ?BAD ? QA ? ? 2 ? 1 ? 13 分. 3 3 3

考点:1.空间中的平行关系;2.空间几何体的体积. 17.(1)详见解析; (2)详见解析 【解析】 试题分析: (1)要证明 AC⊥B1C,根据线面垂直的判定定理,只要转化证明 AC⊥平面 BB1C1C 即可; (2)要证明 AC1∥平面 B1CD,根据线面的判定定理,只要转换证明 DE//AC1 即可. 试题解析:(1)证明:在△ABC 中,因为 AB=5,AC=4,BC=3, 2 2 2 所以 AC +BC =AB ,所以 AC⊥BC.

因为直三棱柱 ABC-A1B1C1,所以 CC1⊥AC, 因为 BC∩AC=C,所以 AC⊥平面 BB1C1C. 所以 AC⊥B1C. 6 分 (2)连结 BC1,交 B1C 于 E,连接 DE. 因为直三棱柱 ABC-A1B1C1,D 是 AB 中点,所以侧面 BB1C1C 为矩形, DE 为△ABC1 的中位线,所以 DE//AC1. 因为 DE ? 平面 B1CD,AC1 ? 平面 B1CD,所以 AC1∥平面 B1CD. 12 分 考点:空间位置关系的证明. 18.(1)证明过程详见解析;(2)证明过程详见解析;(3)

7 3

【解析】 试题分析: (1)要证 EC ? CD ,只要证 EC ? 平面 ABCD ;而由题设平面 ABCD ? 平 面 BCEG 且 EC ? BC ,所以 EC ? 平面 ABCD ,结论得证; (2)过 G 作 GN⊥CE 交 BE 于 M,连 DM,由题设可证四边形 ADHG 为平行四边形,所以有

AG / / DE
从而由直线与平面平行的判定定理,可证 AG∥平面 BDE; (3)欲求几何体 EG-ABCD 的体积,可先将该几何体分成一个四棱锥 E ? ABCD 和三棱锥 A ? BEG . 试题解析:

答案第 5 页,总 8 页

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(1)证明:由平面 ABCD⊥平面 BCEG, CE ? BC , CE ? 平面 BCEG, 平面 ABCD∩平面 BCEG=BC,

? EC⊥平面 ABCD,3 分 又 CD ? 平面 BCDA, 故 EC⊥CD4 分
(2)证明:在平面 BCDG 中,过 G 作 GN⊥CE 交 BE 于 M,连 DM,则由已知知;MG=MN,MN∥

BC∥DA,且 MN ? AD ? BC

1 2

? MG∥AD,MG=AD, 故四边形 ADMG 为平行四边形, ? AG∥DM6 分 ∵DM ? 平面 BDE,AG ? 平面 BDE, ? AG∥平面 BDE8 分
1 1 (3)解: VEG ? ABCD ? VD ? BCEG ? VG ? ABD ? SBCEG ? DC ? S?ABD ? BG 3 3
1 2 ?1 1 1 7 12 分 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ?1? 2 ?1 ? 3 2 3 2 3

10 分

考点:1、直线与平面垂直、平行的判定与性质;2、空间几何体的体积. 19.(1) 30° (2)

【解析】(1)取 AB 的中点 D,连 DE,DF,则 DF∥A1B, ∴∠DFE(或其补角)即为所求. 由题意易知,DF=错误!未找到引用源。,DE=1,AE=错误!未找到引用源。, 由 DE⊥AB,DE⊥AA1 得 DE⊥平面 ABB1A1, ∴DE⊥DF,即△EDF 为直角三角形, ∴tan∠DFE=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,∴∠ DFE=30°, 即异面直线 EF 和 A1B 所成的角为 30°. (2)VA-EFC=VF-AEC=错误!未找到引用源。 ·S△AEC·FA=错误!未找到引用源。×错误!未找到引用 源。×错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。=错误!未 找到引用源。. 20. (1) 3 ; (2)证明详见解析; (3)证明详见解析. 【解析】 试题分析: (1)这是一个直三棱柱,直接由体积计算公式 V ? S?ABC ? AA1 即可求解; (2)要 证 AD ? BC1 ,只须证明 AD ? 面 BC1 ,注意到面 BC1 与底面 ABC 垂直且交线为 BC ,而 依题意又有 AD ? BC ,由面面垂直的性质可得 AD ? 面 BC1 ,问题得证; (3)要证 DE ∥
答案第 6 页,总 8 页

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DE 平行,这时只须取 BC1 的 面 AC 1 1 B ,有两种思路:一是在平面 AC 1 1 B 内找一条直线与
中点 O ,连接 AO, OD ,证明四边形 AODE 为平行四边形即可;二是先证经过直线 DE 的 1 一个平面与面 BC1 平行,这时可取 CC1 中点 F ,连结 DF , EF ,先证明面 DEF ∥面

A1 C1B ,再由面面平行的性质即可证明 DE ∥面 AC 1 1B .
试题解析: (1) V ? S ?ABC ? AA1 ?

1 ? 2? 2? 3 ? 3 2

3分

(2)∵ AB ? AC ? 2 ,∴ ?ABC 为等腰三角形 ∵ D 为 BC 中点,∴ AD ? BC -4 分 5分

ABC ? 面 BC1 ∵ ABC ? A 1B 1C1 为直棱柱,∴面
∵面 ABC ? 面 BC1 =BC , AD ? 面 ABC ∴ AD ? 面 BC1 ∴ AD ? BC1 (3)取 CC1 中点 F ,连结 DF , EF 6分 7分 8分

∵ D, E, F 分别为 BC, CC1,AA 1 的中点 ∴ EF ∥ AC 1 1 , DF ∥ BC1 , 9分

AC ,DF ? EF ? F 1 1 ? BC1 ? C1
∴面 DEF ∥面 A1 C1B 11 分

DE ? 面 DEF
∴ DE ∥面 AC 1 1B 12 分.
答案第 7 页,总 8 页

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考点:1.空间几何体的体积计算;2.空间中的平行关系;3.空间中的垂直关系.

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