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2017上海高三数学一模汇总(普陀、奉贤)



普陀区 2016-2017 学年第一学期高三数学质量调研
2016.12 一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分)考生应在答题纸相应编号的空格内 直接填写结果,每个空格填对前 6 题得 4 分、后 6 题得 5 分,否则一律得零分. 1 . 若 集 合 A ? x | y 2 ? x, y ? R

?

?

, B ? ?y | y ? sin x, x ? R? , 则

A? B ?
2. 若 ?

.

?
2

?? ?

?
2

, sin ? ?

3 ,则 cot 2? ? 5

. . .

3. 函数 f ( x) ? 1 ? log2 x ( x ? 1 )的反函数 f ?1 ( x) ?

4. 若 (1 ? x)5 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ? ? a5 x5 ,则 a1 ? a2 ? ? ? a5 ? 5. 设 k ? R,若 围是 .
2 3

y2 x2 ? ? 1表示焦点在 y 轴上的双曲线,则半焦距的取值范 k k ?2

6. 设 m ?R , 若 函 数 f ( x) ? ?m ? 1?x ? mx ? 1 是 偶 函 数 , 则 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 是 .

7. 方程 log2 9x ? 5 ? 2 ? log2 3x ? 2 的解 x ?

?

?

?

?

.

8. 已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2kx ? 2 y ? k 2 ? 0( k ? R ) 和定点 P?1,?1?, 若过 P 可以作两条直线与圆 C 相切,则 k 的取值范围是
?

.

9. 如 图 , 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , ?ABC ? 90 ,

AB ? BC ? 1 , 若 A1C 与平面 B1 BCC1 所成的角为

? ,则三棱锥 6

A1 ? ABC 的体积 为

.

10.掷两颗骰子得两个数, 若两数的差为 d , 则 d ? ?? 2,?1,0,1,2?出现 的概率的最大值为 (结果用最简分数表示).

11. 设地球半径为 R ,若 A 、 B 两地均位于北纬 45 ,且两地所在纬度圈上的弧

?

长为

2 ?R ,则 A 、 B 之间的球面距离是 4

(结果用含有 R 的代数式

表示). 12. 已 知 定 义 域 为 R 的 函 数 y ? f ( x) 满 足 f ( x ? 2) ? f ( x) , 且 ? 1 ? x ? 1 时 ,

f ( x) ? 1 ? x 2 ;
函数 g ( x ) ? ? 的个数是

?lg x , x ? 0, ?1, x ? 0.
.

,若 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 x ? ?? 5,10? ,函数 F ( x) 零点

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 13. 若 a ? b

?0 , 则 下 列 不 等 关 系 中 , 不 . 能 . 成 . 立 . 的
).

是………………………………………(

(A)

1 1 ? a b

?B?

1 1 ? a?b a

?C ?

1

1

a3 ? b3

?D ? a 2 ? b 2
14.设无穷等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q ,前 n 项和为 Sn .则“ a1 ? q ? 1 ” 是“ lim S n ? 1 ”成立的…………………………………………………(
n ??

).

(A) 充分非必要条件

?B? 必要非充分条件 ?D ? 既非充分也非必要条件

?C ? 充要条件

15. 设 ? ? l ? ? 是直二面角,直线 a 在平面 ? 内,直线 b 在平面 ? 内,且 a 、 b 与 l 均不垂直,则……………………………………………………………( ).

(A) a 与 b 可能垂直,但不可能平行

?B? a 与 b 可能垂直,也可能平行 ?D ? a 与 b 不可能垂直,也不可能

?C ? a 与 b 不可能垂直,但可能平行
平行

16. 设 ? 是两个非零向量 a 、 b 的夹角,若对任意实数 t , a ? t b 的最小值为 1 , 则 下 列 判 断 正 确 的 是 …………………………………………………………… ( ).

(A) 若 a 确定,则 ? 唯一确定

?B? 若 b 确定,则 ? 唯一确定 ?D ? 若 ? 确定,则 a 唯一确定

?C ? 若 ? 确定,则 b 唯一确定

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分)解答下列各题必须在答题纸相应编 号的规定区域内写出必要的步骤 17.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 已知 a ?R,函数 f ( x) ? a ?

1 |x|

(1)当 a ? 1 时,解不等式 f ( x) ? 2 x ; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? 2 x ? 0 在区间 ?? 2,?1? 上有解,求实数 a 的取值范围.

18. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 已知椭圆 ? :

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右两个焦点分别为 F1 、 F2 , P 是 a2 b2

椭 圆 上 位 于 第 一 象 限 内 的 点 , PQ ? x 轴 , 垂 足 为 Q , 且 F1 F2 ? 6 ,

5 3 ,△ PF1 F2 的面积为 3 2 . ?PF1 F2 ? arccos 9
(1)求椭圆 ? 的方程; (2)若 M 是椭圆上的动点,求 MQ 的最大值, 并求出 MQ 取得最大值时 M 的坐标.

19. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯,经测定其密度为

7.8 g / cm3 ,总重量为 5.8 kg .其中一个螺帽的三视图如下图所示(单位:毫米).
(1)这堆螺帽至少有多少个; (2)对上述螺帽作防腐处理,每平方米需要耗材 0.11 千克, 共需要多少千克防腐材料(结果精确到 0.01 )

20. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a1 ? 1 ,对于任意的 n ? N ,均有
*

an2?1 ? 1 ? 4an ? ?an ? 1? , bn ? 2 log2 ?1 ? an ? ? 1 .
(1)求证: ? 1 ? an ?是等比数列,并求出 ?an ?的通项公式; ( 2 ) 若 数 列 ?bn ? 中 去 掉 ?an ? 的 项 后 , 余 下 的 项 组 成 数 列 ?cn ? , 求

c1 ? c2 ? ? ? c1 0 0;
( 3 ) 设 dn ?

1 , 数 列 ?dn ? 的 前 n 项 和 为 Tn , 是 否 存 在 正 整 数 m bn ? bn ?1

(1 ? m ? n ) ,使得 T1 、 Tm 、 Tn 成等比数列,若存在,求出 m 的值;若不 存在,请说明理由.

21. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.

已知函数 y ? f ( x) ,若存在实数 m 、 k ( m ? 0 ) ,使得对于定义域内的任意 实数 x ,均有 m ? f ( x) ? f ( x ? k ) ? f ( x ? k ) 成立,则称函数 f ( x) 为“可平衡” 函数,有序数对 ?m, k ? 称为函数 f ( x) 的“平衡”数对. (1)若 m ? 1 ,判断 f ( x) ? sin x 是否为“可平衡”函数,并说明理由; (2)若 a ?R, a ? 0 ,当 a 变化时,求证: f ( x) ? x2 与 g ( x) ? a ? 2x 的“平 衡”数对相同; (3)若 m1 、 m2 ? R,且 ? m1 , 数对. 当0 ? x ?

? ?

??

?? ? 2 ? 、? m2 , ? 均为函数 f ( x) ? cos x 的“平衡” 2? ? 4?

?
4

时,求 m1 ? m2 的取值范围.

2

2

普陀区 2016-2017 学年第一学期高三数学质量调研评分标 准
一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分) 1-6::4 分;7-12:5 分。 1. ?0, 1?. 2.

7 . 24

3. 2

? x ?1?

( x ? 1 ).

4. 31.

5. c ?

2.

6. ?0,??? .

7. 1.

8. k ? ?2 或 k ? 0 . 9.

2 . 6

10.

1 . 6

11.

?R . 3

12. 15 .

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 题 号 案 答 3 1 B 4 1 B 5 1 C 6 1 D

三、解答题 17.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 【解】 (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? 1 ? ①若 x ? 0 ,则(*)变为,

1 1 ? 2 x ……(*) ,所以 f ( x) ? 2 x ? 1 ? |x| |x|

(2 x ? 1)( x ? 1) 1 ? 0 ? ? ? x ? 0 或 x ? 1 ,所以 x ? 1 ; x 2

②若 x ? 0 ,则(*)变为,

2x2 ? x ? 1 ? 0 ? x ? 0 ,所以 x ? ? x

由①②可得, (*)的解集为 ?1,??? 。 (2) f ( x) ? 2 x ? 0 ? a ? 令 g ( x) = 2 x ?

1 1 ? 2 x ? 0 ,即 a ? 2 x ? 其中 x ? ?? 2,?1? x |x|

1 ,其中 x ? ?? 2,?1? ,对于任意的 x1 、 x 2 ? ?? 2,?1?且 x1 ? x2 x

则 g ?x1 ? ? g ( x2 ) ? ? ? 2 x1 ?

? ?

1? ? 1 ? ?x1 ? x2 ??2 x1 x2 ? 1? ? ? ? ? 2 x ? 2 ? ?? x1 x2 x1 ? x 2 ? ? ?

由 于 ? 2 ? x1 ? x2 ? ?1 ,所 以 x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 , 1 ? x1x2 ? 4 , 所 以

2 x1 x2 ? 1 ? 0
所以

?x1 ? x2 ??2 x1x2 ? 1? ? 0 ,故 g ?x ? ? g ( x ) ,所以函数 g ( x) 在区间 ?? 2,?1?
x1 x2
1 2

上是增函数 所 以 ?

9 ? 9 ? ? g ?? 2? ? g ( x) ? g ?? 1? ? ?3 , 即 g ( x) ? ?? ,?3? 2 ? 2 ?

, 故

? 9 ? a ? ?? ,?3? ? 2 ?
18. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 【解】 (1)在△ PF1 F2 中,由 ?PF 1F2 ? arccos

5 3 9

得 cos?PF1 F2 ? 因 为 △

5 3 6 sin ?PF1 F2 ? 9 9
的 面 积 为

PF1 F2

3 2



F1 F2 ? 6 , 所 以

1 F1 F2 ? PF1 ? s i?PF n 1 F2 ? 3 2 . 2
解 得 PF1 ? 3 3 ……2 分 在 △ PF1 F2 中 , 由 余 弦 定 理 得 ,

PF2

2

? PF1 ? F1 F2 ? 2 PF1 ? F1 F2 ? cos ?PF1 F2 , 所 以 PF2

2

2

2

?3 ,故

PF2 ? 3 ,
于是 2a ? PF1 ? PF2 ? 4 3 , 故 a ? 2 3 ……4 分,由于 c ? 3 ,所以

b ? 3,
故椭圆 ? 的方程为

x2 y2 ? ?1 12 3

(2)设 P?x0 , y0 ? ,根据题意可知

1 ? F1 F2 ? y0 ? 3 2 ,故 y0 ? ? 2 ,由于 2
2

x 2 y0 ? 0 ,所以 y0 ? 2 ……7 分,将 y0 ? 2 代入椭圆方程得, 0 ? ? 1 ,解 12 3
得 x0 ? ?2 , 由于 x0 ? 0 , 所以 x0 ? 2 , 故 Q 的坐标为 ?2,0? ……8 分 令 M ?x, y ? ,



x2 y2 x2 ? ? 1 ,所以 y 2 ? 3 ? 4 12 3
3 3? 8? 5 MQ ? ? x ? 2 ? ? y ? x 2 ? 4 x ? 7 ? ? x ? ? ? , 4 4? 3? 3
2 2 2

2

其中 ? 2 3 ? x ? 2 3 ……11 分,所以当 x ? ?2 3 时, MQ 的最大值为 故 MQ 的最大值为 2 3 ? 1 …13 分, 此时点 M 的坐标为 ? 2 3,0 . 16 ? 8 3 , 19. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 【解】设正六棱柱的底边边长为 a ,高为 h ,圆孔的半径为 r ,并设螺帽的表面 积为 S表 ,根据三视图可知, a ? 12 , h ? 10 , r ? 5 ,则(1)设螺帽的体积为

2

?

?

?

?

V ,则 V ? S底 ? h ,其中

1 S底 ? 6 ? ? a 2 ? sin 60 ? ? ?r 2 ? 216 3 ? 25? 2
高 h ? 10 , 螺帽的体积 V ? 216 3 ? 25? ? 10,

?

?

5.8 ? 1000? 7.8 ? 100 ? 252 个 216 3 ? 25? ? 10

?

?

(2) S 表 ? 6ah ? 2 ? ? 6 ?

? ?

1 ? ? a 2 ? sin 60? ? ? ? r 2 ? ? 2? ? a ? h 2 ?

? ? 1 3 2 2 ? ? 6 ? 12 ? 10 ? 2 ? ? ? 6 ? 2 ? 12 ? 2 ? ? ? 5 ? ? 2? ? 5 ? 10 ? ?

720 ? 2 ? 216 3 ? 25? ? 100? ? 252? 0.11 ? 0.05(千克) 106
答:这堆零件至少有 252 个,防腐共需要材料 0.05 千克。

?

?

20. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 【解】 (1)由 an?1 ? 1 ? 4an ?an ? 1? 得 an?1 ? ?2an ? 1? ,由于 an ? 0
2 2 2

故 an?1 ? 2an ? 1,即 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,所以

an?1 ? 1 ?2 an ? 1

故数列 ?an ? 1? 为等比数列,且 a1 ? 1 ? 2 ,所以 an ? 2 n ? 1 (2) bn ? 2 log2 1 ? 2n ? 1 ? 1 ,故 bn ? 2n ? 1, b1 ? 1 其中 bn ?1 ? bn ? 2(常数) ,所以数列 ?bn ?是以 1 为首项、2 为公差的等 差数列

?

?

b1 ? a1 ? 1 , b64 ? 127, b106 ? 211, b107 ? 213
由(1)可得,a7 ? 127 , a8 ? 255 因为 b64 ? a7 ? 127, a7 ? b107 ? a8 所以 c1 ? c2 ? ? ? c100 ? ?b1 ? b2 ? ? ? b107 ? ? ?a1 ? a2 ? ? ? a7 ?

?

107 ? ?1 ? 213 ? ? (21 ? 22 ? ? ? 27 ) ? 7 2

?

?

?

107? 214 2 1 ? 27 ? ? 7 ? 1072 ? 28 ? 9 ? 11202 2 1? 2

?

?

dn ?

1 1? 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? bn ? bn ?1 ?2n ? 1??2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

n 1 ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 Tn ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?1 ? 2 ?? 1 3 ? ? 3 5 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1
其中 T1 ?

1 m n , Tm ? , Tn ? 2m ? 1 2n ? 1 3

假设存在正整数 m ( 1 ? m ? n ) ,使得 T1 、 Tm 、 Tn 成等比数列

则有 Tm ? T1 ? Tn ,即

2

3 ? 2m 2 ? 4m ? 1 n m2 ? ?0, , 所以 ? n m2 ?2m ? 1?2 3?2n ? 1?

解得 1 ?

6 6 * ,又因为 m ? N , m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 , ? m ?1? 2 2

所以存在满足题设条件的 m 、 n .. 21. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 【解】 (1)若 m ? 1 ,则 m ? f ( x) ? sin x

f ( x ? k ) ? f ( x ? k ) ? sin?x ? k ? ? sin?x ? k ? ? 2 sin x cos k
要使得 f ( x) 为“可平衡”函数,需使故 ?1 ? 2 cosk ? ? sin x ? 0 对于任意实 数 x 均成立,只有 cos k ?

? 1 ……3 分,此时 k ? 2n? ? , n ? Z ,故 k 存在, 2 3

所以 f ( x) ? sin x 是“可平衡”函数 (2) f ( x) ? x2 及 g ( x) ? a ? 2x 的定义域均为 R 根据题意可知,对于任意实数 x , mx2 ? ?x ? k ? ? ?x ? k ? ? 2x2 ? 2k 2
2 2

即 mx ? 2 x ? 2k ,即 ?m ? 2?x 2 ? 2k 2 ? 0 对于任意实数 x 恒成立
2 2 2

只有 m ? 2, k ? 0 ,故函数 f ( x) ? x2 的“平衡”数对为 ?2,0? 对 于 函 数

g ( x) ? a ? 2x







m ? a ? 2x ? a ? 2x ? k ? a ? 2x ?k ? 2a ? 2x ? 2k ? 2?k
所以 m ? a ? 2x ? 2a ? 2x ? 2k ? 2?k

?

?

?

?

?

?

?

?

?m ? 2 k ? 2 ? k , 2x ? m ? 2k ? 2?k ? a ? ?m ? 2? ? 0 , ? ?a ? ?m ? 2 ? ? 0

? ?

??

即?

?m ? 2 x ,故 m ? 2 ,只有 k ? 0 ,……9 分,所以函数 g ( x) ? a ? 2 的“平 ?m ? 2

衡”数对为 ?2,0? 综上可得函数 f ( x) ? x2 与 g ( x) ? a ? 2x 的“平衡”数对相同 (3) m1 cos2 x ? cos2 ? x ?

? ?

??

?? 2? 2 2 ? ? cos ? x ? ? ,所以 m1 cos x ? 2 sin x 2? 2 ? ?

?? ?? ? ? m2 c o 2 sx ? c o 2 s? x ? ? ? c o 2 s? x ? ? ,所以 m2 cos2 x ? 1 4? 4? ? ?
由 于
2

0? x?

?
4







1 ?c 2

2

o x ? 1s





m1 ? 2 t

,2? , m2 ? sec2 x ? ?1,2? x a ? ?0 n

m1 ? m2

2

2

?
2

?1 ? t a nx? ? 4 t a nx ? 5?t a nx? ? 2 t a nx ? 1
2 2 4 2 2 2

1? 4 ? 2 ? 5? t a n x? ? ? , 5? 5 ?
由于 0 ? x ?

?
4

,所以 0 ? tan x ? 1 时,
2

1 1 6 ? ? tan 2 x ? 5 5 5

2 2 1 ? 2 tan2 x ? 2 ? 3 ? 8 ,所以 1 ? m1 ? m2 ? 8

?

?

2

2017 届奉贤区高三数学调研测试题
(满分 150 分,完卷时间 120 分钟)

一、填空题(本大题满分 54 分)(本大题 1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分)考生必须在 答题纸相应编号的空格内直接填写结果,否则一律得零分. 1.已知集合 A ? {?2, ?1}, B ? {?1, 2,3} , A ? B ? ____________. 2.已知复数 z 满足 z(1 ? i) ? 2 ,其中 i 是虚数单位,则 z ? ____________. 3.方程 lg( x ? 3) ? lg x ? 1 的解 x ? ____________. 4.已知 f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) ,且 f
?1

(?1) ? 2 ,则 f ?1 ( x) ? ____________.

5.若对任意实数 x ,不等式 x ? 1 ? a 恒成立,则实数 a 的取值范围是____________.
2

6.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点重合,则 p ? ____________. 5

7. 中位数 1010 的一组数构成等差数列, 其末项为 2015 , 则该数列的首项为____________.

8.如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形,如果 直角三角形的直角边长都为 1,那么这个几何体的表面积 ____________.
2 2 9.互异复数 mn ? 0 ,集合 ?m, n? ? m , n ,

?

?

主视图

左视图

则 m ? n ? ____________.

10.已知等比数列 {an } 的公比 q ,前 n 项的和 Sn ,对任意的

俯视图

n ? N * , Sn ? 0 恒成立, 则公比 q 的取值范围是___________.

? ? ? ? x ? sin ? cos 11.参数方程 ? 2 2 ? y ? 1 ? sin ? ?

,? ? ?0,2? ? 表示的曲线的普通方程是____________.

12.已知函数 f ? x ? ? sin wx ? cos wx ? w ? 0? , x ? R ,若函数 f ? x ? 在区间 ? ??, ? ? 内单 调递增, 且函数 f ? x ? 的图像关于直线 x ? ? 对称,则 ? 的值为____________.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在 答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得 5 分,否则一律得零分. 13. 对于常数 m 、n , “ mn ? 0 ” 是 “方程 mx 2 ? ny 2 ? 1 ” 表示的曲线是双曲线”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) )

14.若方程 f ( x) ? 2 ? 0 在 (??, 0) 内有解,则 y ? f ( x) 的图像可能是(

2 ? x?0 ? x ? sin x, (? ?[0, 2? ) 是奇函数,则 ? ? ( 15.已知函数 f ( x) ? ? 2 ? ?? x ? cos( x ? ? ), x ? 0



? C. ? 2 16.若正方体 A 1 A2 A 3 A4 ? B 1B2 B3 B4 的棱长为 1,则集合 ???? ? ????? x | x ? A1B1 ? Ai B j , i ? ?1, 2,3, 4? , j ? ?1, 2,3, 4? 中元素的个数(
A. 0 B.

D.

3? 2

?

?

) D.4

A.1

B.2

C.3

三、 解答题(本大题满分 76 分)本大题共有 5 题, 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤. (第 17-19 每个满分 14 分,第 20 满分是 16 分,第 21 满分 18 分) 17. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分

已知圆锥母线长为 5,底面圆半径长为 4,点 M 是母线 PA 的中点, AB 是底面圆的 直径,点 C 是弧 AB 的中点. (1)求三棱锥 P ? ACO 的体积; (2)求异面直线 MC 与 PO 所成的角.
M P

A

O

B

C

18. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 9 分,第 2 小题满分 5 分 已知函数 f ?x? ? log2 a 2 x ? a x ? 2 (1)求 a 和 f ?x ? 的单调区间; (2)解不等式 f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 2 .

?

? ?a ? 0? ,且 f ?1? ? 2 .

19. (本题满分 14 分)本题共有 1 个小题,满分 14 分 一艘轮船在江中向正东方向航行,在点 P 观测到灯塔 A ,B 在一直线上,并与航线成 角 ? 0 ? ? ? 90 . 轮船沿航线前进 b 米到达 C 处, 此时观测到灯塔 A 在北偏西 45 ? 方向,
0

?

?

灯塔 B 在北偏东 ? 0 ? ? ? 90 方向, 0 ? ? ? ? ? 90 .求 CB . (结果用 ? , ? , b 的表
0 0 0

?

?

达式表示) .

20. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 6 分 过双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的右支上的一点 P 作一直线 l 与两渐近线交于 A 、 B 两点,其 4

中 P 是 AB 的中点. (1)求双曲线的渐近线方程; (2)当 P?x0 ,2? ,求直线 l 的方程; (3)求证: OA ? OB 是一个定值.

21. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若

1 an ?1 ? ? 2 ? n ? N * ? ,则称 {an } 是“紧密数列”. 2 an
3 , a3 ? x, a 4 ? 4 ,求 x 的取值范围; 2

(1)若 {an } 是“紧密数列” ,且 a1 ? 1, a 2 ?

(2)若 ?an ? 为等差数列,首项 a1 ,公差 d ,公差 0 ? d ? a1 ,判断 ?an ? 是否为“紧 密数列”; (3) 设数列 {an } 是公比为 q 的等比数列.若数列 {an } 与 {Sn } 都是“紧密数列”, 求q 的取值范围.

2017 高三数学调研参考答案 填空题 1(1-6,每个 4 分) 1. ??1? 3. 5 5. a ? ? 1 填空题 2(7-12,每个 5 分) 7. 5 8. 2. 1 ? i

?1? 4. ? ? ?2?

x

6. 4

3? 3 2

9. ? 1

10. ? ?1,0? ? ? 0, ???

11. x ? y, 0 ? x ?
2

?

2

?

12.

?
2

选择题(每个 5 分) 13.C 15.D 14.D 16.A

三、解答题(17-19 每个满分 14 分,20 满分是 16 分 ,21 满分 18 分) 17. (1)点 C 是弧 AB 的中点, OC ? AB , 2分 4分

PO ? 面 AOC
三棱锥 P ? ACO 的体积 V ?

1 1 ? ? 4? 4?3 ? 8 3 2

7分

(2)如图,建立空间直角坐标系,

A ? 0, ?4, 0 ? , B ? 0, 4, 0 ? , C ? 4, 0, 0 ? , P ? 0, 0, 3 ?

9分

? 3? M ? 0, ?2, ? 2? ?
10 分

z
P

???? ? ? ? ? 3? MC ? ?4, 2, ? ? 2? ? ? ?
???? PO ? ?0, 0, ?3?
A

M

O

B

y

3 ???? ? ???? ?3 MC ? PO 3 89 2 cos ? ? ???? ? ? ???? ? 89 9 MC PO 3? 4 ? 4
13 分

C
x

所以异面直线所出的角是 也可以用平移法:

arccos

3 89 89

14 分

连 MO ,过 M 作 MD ? AO 交 AO 于点 D ,连 DC . 又 PO ? 52 ? 42 ? 3 ,? MD ?

3 5 .又 OC ? 4,OM ? . 2 2

P

? MD / / PO , ? ?DMC 等于异面直线 MC 与 PO 所成的角或其补角.
可知 MD ? DC , DC ? 2 5 , tan ?DMC ?

DC 2 5 4 5 ? ? 3 MD 3 2
A

M

异面直线 MC 与 PO 所成的角 arctan

4 5 3

D C

O

B

18.解: (1) f (1) ? log2 (a2 ? a ? 2) ? 2

1分

所以 a ? a ? 2 ? 4
2

2分 3分

所以 a ? 2 或 a ? ?3(舍) 所以函数 f ( x) ? log2 (4x ? 2x ? 2) 又因为 4 ? 2 ? 2 ? 0
x x

4分
x

得 (2x ? 2)(2x ?1) ? 0 , 2 ? 1 ,所以定义域 D ? (0, ??) 所以 f ( x) ? log2 (4x ? 2x ? 2) 的单调递增区间为 (0, ??) 设 t ( x) ? 4x ? 2x ? 2 任取 0 ? x1 ? x2

5分 6分

t ( x1 ) ? t ( x2 ) ? 4x1 ? 2x1 ? 2 ? (4x2 ? 2x2 ? 2)
= 4 1 ? 4 2 ? 2 1 ? 2 2 ? (2 1 ? 2 2 )(2 1 ? 2 2 ? 1)
x x x x x x x x x x x x

7分

因为 y ? 2x 为增函数, 2 1 ? 2 2 ? 1 ? 0, 2 1 ? 2 2 ? 0 ,?t ( x1 ) ? t ( x2 ) ? 0

f ( x1 ) ? f ? x2 ? ? log2 t ? x1 ? ? log2 t ? x2 ? ? 0 ? f ( x1 ) ? f ? x2 ?
所以 f ( x) ? log2 (4x ? 2x ? 2) 的单调递增区间为 (0, ??) (2) f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 2 得 f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 2 9分 9分

log2 (4x?1 ? 2x?1 ? 2) ? log2 4(4x ? 2x ? 2)
4x?1 ? 2x?1 ? 2 ? 4(4x ? 2x ? 2) ? 4x?1 ? 4 ? 2x ? 8
所以 2 ? 3 ,
x

11 分

12 分 13 分 14 分

x ? log2 3
所以不等式的解集为 (0,log2 3)

19. 环节 建模 (满分 7 分)

分值 0分 1分 2-5 分

答题表现 没有体现建模意识 画出大致示意图或有等价文字描述,如图 1 画出大致示意图或有等价文字描述,将已知的 4 个数据标在 图中,每个 1 分,如图 2

6-7 分

画出大致示意图或有等价文字描述,已知的 4 个数据标在图 中,在解题过程中将 AC 和角 B 正确地用相应的量表示,1 个 1 分,如图 3





0分 2分 4分 7分

结果与求解均不正确 求解过程正确,并且 AC 和角 B 不正确 求解过程正确,并且 AC 和角 B 之一正确 求解过程正确,并且 AC 和角 B,BC 正确

(满分 7 分)

图1
0

图2
0

图3

解:在 ?APC 中, ?ACP ? 45 , ?PAC ? 135 ? ?

AC PC ? sin ? sin ?PAC

AC PC b ? ? sin ? sin ?PAC sin(135? ? ?)
所以 AC ?

b sin ? 2b sin ? = ? sin(135 ? ?) sin ? ? cos ?

2分

解法 2:作 AH ? PC ,设 AC ? x

?APC ? 450 , AH ? CH ?

2 2 x , PH ? x ? cot ? , 2 2
2分

?

2 2 2b x ? cot ? ? x ? b , x ? AC ? 2 2 1 ? cot ?

0 0 0 0 (2)因为 ?B ? 180 ? ? ? 45 ? 45 ? ? ? 90 ? ?? ? ? ?

?

? ?
0

?

4分

又因为 00 ? ? ? ? ? 900 ,所以 0 ? B ? 90 在 ?ABC 中 所以 BC ?

0

AC BC ? sin B sin ?BAC
7分

sin ?BAC sin ? ? AC = ?b sin B cos(? ? ?)

2 sin ? ? ? 450 ? sin ?BAC ? AC = ?b 若 BC ? sin B ?1 ? cot ? ? cos(? ? ?)
20.解(1)令 x ?
2

不扣分

y2 ?0 4

得 y ? ?2 x 3分

所以双曲线的渐近线方程为 y ? ?2 x (2)因为 P 在双曲线上,所以 x0 ?
2

4 ? 1 , x0 ? ? 2 , 4
5分

又因为 P 在双曲线右支,所以 x0 ? 2 设直线 l : y ? 2 ? k ( x ? 2)

? y ? 2 ? k ( x ? 2) ? 联立方程组 ? 消元得 (4 ? k 2 )x2 ? 2(2? y2 2 ?1 ?x ? ? 4
6分 又因为 x1 ? x2 ? 得k ? 2 2

2 k )kx ? 4? (2?

2 k 2) ? 0

2(2 ? 2k )k ?2 2 , 4 ? k2

7分 8分

所以直线 l : y ? 2 2 x ? 2 当 k 不存在时, x ?

9分 10 分

2 与渐近线的交点的中点为 ( 2, 0) 不合题意

所以直线 l 的方程为 y ? 2 2x ? 2 (3)设直线 l 与渐近线 y ? 2 x 与 y ? ?2 x 分别交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 所以 AB 中点 P(

x1 ? x2 y1 ? y2 x ?x , ) ,即 P( 1 2 , x1 ? x2 ) 2 2 2
2 2

12 分

x ?x ? x ? x ? ?x ? x ? P( 1 2 , x1 ? x2 ) 在双曲线上, ? 1 2 ? ? 1 2 ? 1 2 4 ? 2 ?
得 x1 x2 ? 1 又因为 OA ? OB = 解法 2: 当直线斜率不存在时, x0 ? 1 , A?1,2? , B ?1, ?2? , OA ? OB ? 5 当直线斜率存在时,设直线 l : y ? 2 ? k ( x ? 2) 11 分

13 分 14 分

5 | x1 | ? 5 | x2 |? 5| x1x2 |? 5 为定值

16 分

? y ? 2 ? k ( x ? 2) ? ? ? ? y ? 2x

? kx ? y 0 2kx 0? 2 y ? 0 A? 0 , ?, k ? 2 k ? 2 ? ?
12 分

? kx ? y0 2kx0 ? 2 y0 ? B? 0 , ? k ?2 ? ? k ?2
若 P 是 AB 的中点.

kx0 ? y0 kx0 ? y0 4x ? ? 2 x0 ,? k ? 0 k ?2 k ?2 y0

13 分

OA ? 1 ? 4 xA ? 5 OB ? 1 ? 4 xA ? 5
OA ? OB ? 5

kx0 ? y0 k ?2 kx0 ? y0 k ?2
2

14 分

15 分

kx0 ? y0 k2 ? 4

?? ? 5

16 分

? ?1 ? ? ?2 ?1 21.解:(1) ? ? ?2 ? ?1 ? ? ?2
? 2? x?3

3 2 ?2 1 x ?2 3 2 4 ?2 x
4分

2分

(2)因为等差数列 ?an ? , 0 ? d ? a1 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 0 即证 5分

1 an ?1 ? ? 2 ? n ? N * ? 恒成立 2 an
6分 8分

1 an ? an ?1 ? 2an 2 1 1 1 ① an ?1 ? an ? an ? d ? 0 所以 an ?1 ? an 2 2 2
即证

② 2an ? an?1 ? an ? d ? a1 ? (n ? 2)d ? d ? (n ? 2)d ? (n ?1)d ? 0 所以 an?1 ? 2an 所以 ?an ? 是为“紧密数列” 也可以作差法: 因 为 等 差 数 列 5分 10 分

?an ?



an?1 a ? 2an a1 ? nd ? 2 ? ?a1 ? ? n ? 1? d ? ? ? 2 ? n?1 ? an an an

?
6分

d ? a1 an

因 为 等 差 数 列 7分

?an ?

, 0 ? d ? a1

所 以

an ? 1a ( ?

n1 ? ) d ?0

an ?1 ?2 an
8分

an?1 1 2an?1 ? an 2 ? a1 ? nd ? ? ? ?a1 ? ? n ? 1? d ? ? ? ? ? an 2 2an an
?
10分 (3)解:(解法1)由数列 {an } 是公比为 q 的等比数列, q ? 因为 {an } 是“紧密数列”,所以 ① 当 q ? 1 时, Sn ? na1 ,

a1 ? ? n ? 1? d ?0 an
an ?1 , an
11分

1 ?q?2 2

Sn ?1 S 1 1 1 ? 1 ? ,所以2≤1< n ?1 ? 1 ? ≤2. Sn n Sn n
12分

故 q ? 1 时,数列 ?Sn ? 为“紧密数列”,故 q ? 1 足题意.

② 13分



q ?1

时,

Sn ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

,则

Sn ?1 Sn

1 ? q n?1 ? 1 ? qn

.

因为数列

?Sn ?

为“紧密数列”,所以

1 2

Sn ?1 1 ? q n?1 * ≤ ≤2对于任意 n ? N 恒成立. ? n Sn 1? q
(ⅰ) 当

1 1 ? q ? 1时, ?1 ? q n ? ? 1 ? q n ?1 ? 2 ?1 ? q n ? , 2 2
14分

?q n ? 2q ? 1? ? 1 ? * 即? 对于任意 n ? N 恒成立. n ? ?q ? q ? 2 ? ? ?1 3 n 因为 0 ? q ? q ? 1, 0 ? 2q ? 1 ? 1, ? ? q ? 2 ? ?1 , 2
所以 0 ? qn ? 2q ?1? ? q ? 1, 0 ? q
n

? q ? 2? ? q ? q ? 2? ?

1 ? 3? 3 ? ? ? ? ? ? ? ?1 , 2 ? 2? 4
15分

所以,当

n ? 1 ?q ? 2q ? 1? ? 1 * ? q ? 1 时, ? n 对于任意 n ? N 恒成立. 2 ? ?q ? q ? 2 ? ? ?1

(ⅱ) 当 1 ? q ? 2 时,

1 n q ? 1? ? q n ?1 ? 1 ? 2 ? q n ? 1? ? 2
16分

n ? ?q ? 2q ? 1? ? 1 * 即? n 对于任意 n ? N *恒成立. ? ?q ? q ? 2 ? ? ?1

因为 qn ? q ? 1, 2q ?1 ? 1, ?1 ? q ? 2 ? 0 ,所以 ? 又 1 ? q ? 2 ,此时 q 不存在. 综上所述, q 的取值范围是 ? ,1? .

? ?q ? 2q ? 1? ? 1 解得 q ? 1 . ? ?q ? q ? 2 ? ? ?1
17分

?1 ? ?2 ?

18分



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