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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第八章 8.2



数学

北(文)

§8.2 空间的基本关系与公理
第八章 立体几何

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.平面的基本性质 公理 1:如果一条直线上的 两点 在一个平面内,那么 这条直线上的所有点在这个平面内(即直线在平面内). 公理 2:经过不在同

一条直线上的三点,有且只有一个 平面(即可以确定一个平面). 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它 们有且只有 一条 通过这个点的公共直线.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
2.公理 4 平行于 同一条直线 的两条直线互相平行. 3.定理 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角
知识回顾 理清教材

相等或互补 .
4.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
? ? ? 平行 ?共面直线? ? ? ? 相交 ?异面直线:不同在 任何 一个平面内 ?

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基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

(2)异面直线所成的角 ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直 线 a′∥a,b′∥b,把 a′与 b′所成的 锐角(或直角) 叫 作异面直线 a,b 所成的角(或夹角). ? π? ?0, ? ②范围: ? 2? . 5. 直线与平面的位置关系有 平行 、相交、在平面内 三种情况. 6.平面与平面的位置关系有 平行 、 相交 两种情况.

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基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1) √(2) ×(3) × (4) × (5) √

解析

C C D


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题型分类·深度剖析
题型一 平面基本性质的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 如图所示, 正方体 ABCD— A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点.求证: (1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点.

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一 平面基本性质的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 如图所示, 正方体 ABCD— A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点.求证: (1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点.

(1) 两条相交直线或两条平行直 线确定一个平面;
(2)可以先证 CE 与 D1F 交于一点, 然后再证该点在直线 DA 上.

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题型分类·深度剖析
题型一 平面基本性质的应用
思维启迪 解析 证明 (1)连接 EF, 思维升华

【例 1】 如图所示, 正方体 ABCD— A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点.求证: (1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点.

CD1,A1B.

∵E、 F 分别是 AB、 AA1 的中点,
∴EF∥BA1.
又 A1B∥D1C,∴EF∥CD1,

∴E、C、D1、F 四点共面.
(2)∵EF∥CD1,EF<CD1,
∴CE 与 D1F 必相交,设交点为 P,
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题型分类·深度剖析
题型一 平面基本性质的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 如图所示, 正方体 ABCD— A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点.求证: (1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点.

则由 P∈CE,CE 平面 ABCD, 得 P∈平面 ABCD.

同理 P∈平面 ADD1A1.
又平面 ABCD∩平面 ADD1A1=DA,

∴P∈直线 DA.

∴CE、D1F、DA 三线共点.

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题型分类·深度剖析
题型一 平面基本性质的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 如图所示, 正方体 ABCD— A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点.求证: (1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点.

公理 1 是判断一条直线是否在某 个平面的依据;公理 2 及其推论 是判断或证明点、 线共面的依据; 公理 3 是证明三线共点或三点共 线的依据.

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题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)以下四个命题中

①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点 A、B、C、D 共面,点 A、B、C、E 共面,则点 A、B、 C、D、E 共面; ③若直线 a、b 共面,直线 a、c 共面,则直线 b、c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是 A. 0 B.1 C. 2 D. 3 ( )

(2)a、b 是异面直线,在直线 a 上有 5 个点,在直线 b 上有 4 个 点,则这 9 个点可确定________个平面.
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题型分类·深度剖析
解析 (1)①假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点

确定一个平面.这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线, 所以①正确.

②从条件看出两平面有三个公共点 A、B、C,但是若 A、B、C 共线,则结论不正确; ③不正确; ④不正确,因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面 上,如空间四边形.

(2)∵a、b 是异面直线,
∴a 上任一点与直线 b 确定一平面,共 5 个,b 上任一点与直线 a 确定一平面,共 4 个,一共 9 个.

答案

(1)B

(2)9
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基础知识

题型分类·深度剖析
题型二 判断空间两直线的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 如图所示, 正方体 ABCD— A1B1C1D1 中,M、 N 分别是 A1B1、B1C1 的中 点.问: (1)AM 和 CN 是 否 是 异 面 直 线?说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直 线?说明理由.
基础知识 题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型二 判断空间两直线的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 如图所示, 正方体 ABCD— A1B1C1D1 中,M、 N 分别是 A1B1、B1C1 的中 点.问: (1)AM 和 CN 是 否 是 异 面 直 线?说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直 线?说明理由.
基础知识 题型分类

第 (1) 问 , 连 接 MN , AC , 证 MN∥AC,即 AM 与 CN 共面;

第(2)问可采用反证法.

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题型分类·深度剖析
题型二 判断空间两直线的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 如图所示, 正方体 ABCD— A1B1C1D1 中,M、 N 分别是 A1B1、B1C1 的中 点.问: (1)AM 和 CN 是 否 是 异 面 直 线?说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直 线?说明理由.
基础知识 题型分类



(1)不是异面直线.理由如下:

连接 MN、A1C1、AC.
∵M、N 分别是 A1B1、 B1C1 的中点,

∴MN∥A1C1.
又∵A1A 綊 C1C,

∴A1ACC1 为平行四边形, ∴A1C1∥AC,∴MN∥AC,
∴A、M、N、C 在同一平面内, 故 AM 和 CN 不是异面直线.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 判断空间两直线的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 如图所示, 正方体 ABCD— A1B1C1D1 中,M、 N 分别是 A1B1、B1C1 的中 点.问: (1)AM 和 CN 是 否 是 异 面 直 线?说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直 线?说明理由.
基础知识 题型分类

(2)是异面直线.证明如下:

∵ABCD—A1B1C1D1 是正方体, ∴B、C、C1、D1 不共面. 假设 D1B 与 CC1 不是异面直线,
则存在平面 α,使 D1B 平面 α, CC1 平面 α, ∴D1、B、C、C1∈α,与 ABCD—

A1B1C1D1 是正方体矛盾. ∴假设不成立,即 D1B 与 CC1 是异 面直线.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 判断空间两直线的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 如图所示, 正方体 ABCD— A1B1C1D1 中,M、 N 分别是 A1B1、B1C1 的中 点.问: (1)AM 和 CN 是 否 是 异 面 直 线?说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直 线?说明理由.
基础知识 题型分类

(1)证明直线异面通常用反证法;

(2)证明直线相交, 通常用平面的 基本性质,平面图形的性质等; (3)利用公理 4 或平行四边形的 性质证明两条直线平行.

思想方法

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题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1)如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, ( A.MN 与 CC1 垂直 C.MN 与 BD 平行 B.MN 与 AC 垂直 D.MN 与 A1B1 平行 ) M,N 分别是 BC1,CD1 的中点,则下列判断错误的是

(2)在图中,G、N、M、H 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点, 则表示直线 GH、MN 是异面直线的图形有________.(填上所有正 确答案的序号)

基础知识

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题型分类·深度剖析
解析 (1)连接 B1C,B1D1,则点 M 是 B1C 的中点,MN 是△B1CD1

的中位线,∴MN∥B1D1, ∵CC1⊥B1D1,AC⊥B1D1,BD∥B1D1, ∴MN⊥CC1,MN⊥AC,MN∥BD. 又∵A1B1 与 B1D1 相交,∴MN 与 A1B1 不平行,故选 D. (2)图①中,直线 GH∥MN;
图②中,G、H、N 三点共面,但 M?面 GHN,
因此直线 GH 与 MN 异面; 图③中,连接 MG,GM∥HN,因此 GH 与 MN 共面; 图④中,G、M、N 共面,但 H?面 GMN, 因此 GH 与 MN 异面. 所以图②、④中 GH 与 MN 异面.

答案 (1)D
基础知识

(2)②④
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题型分类·深度剖析
题型三 求两条异面直线所成的角
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 空间四边 形 ABCD 中, AB =CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30° ,E、F 分别 为 BC、AD 的中点,求 EF 与 AB 所成角的大小.

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题型分类·深度剖析
题型三 求两条异面直线所成的角
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 空间四边 形 ABCD 中, AB =CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30° ,E、F 分别 为 BC、AD 的中点,求 EF 与 AB 所成角的大小.

取 AC 中点,利用三角形中位线 的性质作出所求角.

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题型分类·深度剖析
题型三 求两条异面直线所成的角
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 空间四边 形 ABCD 中, AB =CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30° ,E、F 分别 为 BC、AD 的中点,求 EF 与 AB 所成角的大小.



取 AC 的中点 G,

连接 EG、FG,

1 1 则 EG 綊 AB,GF 綊 CD, 2 2

由 AB=CD 知 EG=FG,
∴∠GEF(或它的补角)为 EF 与 AB 所成的角, ∠EGF( 或它的补角 ) 为 AB 与 CD 所成的角.
∵AB 与 CD 所成的角为 30° ,

∴∠EGF=30° 或 150° .
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题型分类·深度剖析
题型三 求两条异面直线所成的角
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 空间四边 形 ABCD 中, AB =CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30° ,E、F 分别 为 BC、AD 的中点,求 EF 与 AB 所成角的大小.

由 EG=FG 知△EFG 为等腰三 角形,

当∠EGF=30° 时,∠GEF=75° ;

当∠EGF=150° 时, ∠GEF=15° .
故 EF 与 AB 所成的角为 15° 或 75° .

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题型分类·深度剖析
题型三 求两条异面直线所成的角
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 空间四边 形 ABCD 中, AB =CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30° ,E、F 分别 为 BC、AD 的中点,求 EF 与 AB 所成角的大小.

(1) 求异面直线所成的角常用方 法是平移法, 平移的方法一般有 三种类型: 利用图中已有的平行 线平移;利用特殊点(线段的端 点或中点)作平行线平移;补形 平移.

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题型三 求两条异面直线所成的角
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 空间四边 形 ABCD 中, AB =CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30° ,E、F 分别 为 BC、AD 的中点,求 EF 与 AB 所成角的大小.

(2) 求异面直线所成的角的三步 曲: 即“一作、 二证、 三求”. 其 中空间选点任意,但要灵活,经 常选择“端点、 中点、 等分点”, 通过作三角形的中位线,平行四 边形等进行平移,作出异面直线 所成的角, 转化为解三角形问题, 进而求解.

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题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若∠BAC=90° ,AB=AC =AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于 A.30° B.45° C.60° D.90° ( C )

解析

如图,可补成一个正方体,

∴AC1∥BD1. ∴BA1 与 AC1 所成角的大小为∠A1BD1. 又易知△A1BD1 为正三角形, ∴∠A1BD1=60° . 即 BA1 与 AC1 成 60° 的角.

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思想方法

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题型分类·深度剖析
易错警示系列10 求解两条直线所成角问题概念不准确致误
( ) 典例: (5 分)过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l, 使 l 与棱 AB, AD, AA1 所成的角都相等,这样的直线 l 可以作 A.1 条 B. 2 条 C.3 条 D.4 条

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

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易错警示系列10 求解两条直线所成角问题概念不准确致误
( ) 典例: (5 分)过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l, 使 l 与棱 AB, AD, AA1 所成的角都相等,这样的直线 l 可以作 A.1 条 B. 2 条 C.3 条 D.4 条

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

忽视异面直线所成的角, 只找两条相交直线所成角, 没有充分认识 正方体中的平行关系.

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思想方法

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易错警示系列10 求解两条直线所成角问题概念不准确致误
( 典例: (5 分)过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l, 使 l 与棱 AB, AD, AA1 所成的角都相等,这样的直线 l 可以作 A.1 条 B. 2 条 C.3 条 D.4 条

D )

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

如图,连接体对角线 AC1,显然 AC1 与棱 AB、AD、AA1 所 成的角都相等, 所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体 对角线,如连接 BD1,则 BD1 与棱 BC、BA、BB1 所成的角 都相等,
∵BB1∥AA1,BC∥AD,
∴体对角线 BD1 与棱 AB、AD、AA1 所成的角都相等,同理,体对角线 A1C、 DB1 也与棱 AB、AD、AA1 所成的角都相等,过 A 点分别作 BD1、A1C、DB1 的平行线都满足题意,故这样的直线 l 可以作 4 条.

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列10 求解两条直线所成角问题概念不准确致误
( 典例: (5 分)过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l, 使 l 与棱 AB, AD, AA1 所成的角都相等,这样的直线 l 可以作 A.1 条 B. 2 条 C.3 条 D.4 条

D )

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

求空间直线所成的角时,常犯以下错误:
(1)不能挖掘题中的平行关系,找不到其所成的角;
(2)线多、图形复杂、空间想象力不够,感觉无从下手.

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思想方法

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思想方法·感悟提高

1.主要题型的解题方法

方 法 与 技 巧

(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分 直线或点确定一个平面,再证其余直线或点也 在这个平面内(即“纳入法”). (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交 线,只要证明这些点都是这两个平面的公共点, 根据公理 3 可知这些点在交线上,因此共线.

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思想方法

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思想方法·感悟提高
2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理:平面外一点 A 与平面内一点 B 的 连线和平面内不经过该点 B 的直线是异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明 两线不可能共面,从而可得两线异面.

方 法 与 技 巧

3.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通 过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题 来解决.根据空间等角定理及推论可知,异面 直线所成角的大小与顶点位置无关,往往可以 选在其中一条直线上 (线面的端点或中点 ) 利用 三角形求解.

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思想方法

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思想方法·感悟提高

失 误 与 防 范

1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含 义,不要理解成“不在同一个平面内”.

2.不共线的三点确定一个平面,一定不能丢掉“不共 线”条件.

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思想方法

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这 两条直线没有公共点”的 A.充分非必要条件 C.充分必要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 ( A )

解析 “两条直线为异面直线”?“两条直线无公共点”.
“两直线无公共点”?“两直线异面或平行”.故选 A.

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2. 若空间三条直线 a, b, c 满足 a⊥b, b⊥c, 则直线 a 与 c( D ) A.一定平行 B.一定相交 C.一定是异面直线 D.平行、相交、是异面直线都有可能

解析 当 a,b,c 共面时,a∥c;

当 a,b,c 不共面时,a 与 c 可能异面也可能相交.

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3.设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2和 a,且长为 a 的 棱与长为 2的棱异面,则 a 的取值范围是 A.(0, 2) C.(1, 2) B.(0, 3) D.(1, 3) ( A )

解析 体,

此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面

长为 a 的棱长一定大于 0 且小于 2.选 A.

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4.四棱锥 P-ABCD 的所有侧棱长都为 5,底面 ABCD 是边长 为 2 的正方形,则 CD 与 PA 所成角的余弦值为 2 5 5 4 3 A. B. C. D. 5 5 5 5 ( B )

解析 因为四边形 ABCD 为正方形,故 CD∥AB, 则 CD 与 PA 所成的角即为 AB 与 PA 所成的角, 即为∠PAB. 在△PAB 内,PB=PA= 5,AB=2,

PA2+AB2-PB2 利 用 余 弦 定 理 可 知 cos∠PAB = = 2×PA×AB 5+4-5 5 = ,故选 B. 2× 5×2 5
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5.设 P 表示一个点,a、b 表示两条直线,α、β 表示两个 平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是 ① P ∈ a, P ∈ α ? a α ②a∩b=P,b β?a β ③a∥b,a α,P∈b,P∈α?b α ④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b A.①② C.①④
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(

)

B.②③ D.③④
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解析

当 a∩α=P 时,P∈a,P∈α,但 a

α,∴①错;

a∩β=P 时,②错; 如图,∵a∥b,P∈b,∴P?a, ∴由直线 a 与点 P 确定唯一平面 α,
又 a∥b,由 a 与 b 确定唯一平面 β,但 β 经过直线 a 与点 P, ∴β 与 α 重合,∴b α,故③正确; 两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.
答案 D
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6.平面 α、β 相交,在 α、β 内各取两点,这四点都不在交

1或4 个平面. 线上,这四点能确定________
解析 若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线

相交或平行,则确定一个平面;

否则确定四个平面.

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7.a,b,c 是空间中的三条直线,下面给出四个命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交; ③若 a 平面 α,b 平面 β,则 a,b 一定是异面直线; ④若 a,b 与 c 成等角,则 a∥b. 上述命题中正确的命题是________(只填序号).

解析 由公理 4 知①正确;
当 a 与 b 相交,b 与 c 相交时,a 与 c 可以相交、平行,也 可以异面,故②不正确;
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7.a,b,c 是空间中的三条直线,下面给出四个命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交; ③若 a 平面 α,b 平面 β,则 a,b 一定是异面直线; ④若 a,b 与 c 成等角,则 a∥b.
① 上述命题中正确的命题是________( 只填序号).
a α,b β,并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面内”, 故③不正确; 当 a, b 与 c 成等角时, a 与 b 可以相交、 平行, 也可以异面, 故④不正确.
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5
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8.若两条异面直线所成的角为 60° ,则称这对异面直线为“黄金 异面直线对”, 在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异
24 对. 面直线对”共有________

解析 正方体如图,若要出现所成角为 60° 的异面直线,则直线为面对角线,
以 AC 为例,与之构成黄金异面直线对的直 线有 4 条,分别是 A′B,BC′,A′D, C′D,正方体的面对角线有 12 条,

12×4 所以所求的黄金异面直线对共有 2 =24(对).
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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

9.如图,空间四边形 ABCD 中,E、F、G 分别在 AB、BC、CD 上,且满足 AE∶EB=CF∶FB= 2∶1,CG∶GD=3∶1,过 E、F、G 的平面交 AD 于点 H. (1)求 AH∶HD; (2)求证:EH、FG、BD 三线共点.
AE CF (1)解 ∵ = =2,∴EF∥AC, EB FB ∴EF∥平面 ACD,而 EF 平面 EFGH,

平面 EFGH∩平面 ACD=GH,
∴EF∥GH,∴AC∥GH.
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1 2 3

A组
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专项基础训练
5
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9.如图,空间四边形 ABCD 中,E、F、G 分别在 AB、BC、CD 上,且满足 AE∶EB=CF∶FB= 2∶1,CG∶GD=3∶1,过 E、F、G 的平面交 AD 于点 H. (1)求 AH∶HD; (2)求证:EH、FG、BD 三线共点. AH CG ∴AH∶HD=3∶1. ∴HD=GD=3. EF 1 GH 1 (2)证明 ∵EF∥GH,且AC=3, AC =4, ∴EF≠GH,∴EFGH 为梯形.
令 EH∩FG=P,则 P∈EH,而 EH 平面 ABD,
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专项基础训练
5
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9.如图,空间四边形 ABCD 中,E、F、G 分别在 AB、BC、CD 上,且满足 AE∶EB=CF∶FB= 2∶1,CG∶GD=3∶1,过 E、F、G 的平面交 AD 于点 H. (1)求 AH∶HD; (2)求证:EH、FG、BD 三线共点.

又 P∈FG,FG 平面 BCD,
平面 ABD∩平面 BCD=BD,
∴P∈BD.
∴EH、FG、BD 三线共点.
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6 7 8 9 10

10.如图,在四棱锥 O-ABCD 中,底面 ABCD 是边 长为 2 的正方形,OA⊥底面 ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点. (1)求四棱锥 O-ABCD 的体积; (2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值的大小.

解 (1)由已知可求得,正方形 ABCD 的面积 S=4, 1 8 所以,四棱锥 O-ABCD 的体积 V= ×4×2= . 3 3 (2)连接 AC,设线段 AC 的中点为 E,
连接 ME,DE,

则∠EMD 为异面直线 OC 与 MD 所成的角(或其补角),
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专项基础训练
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10.如图,在四棱锥 O-ABCD 中,底面 ABCD 是边 长为 2 的正方形,OA⊥底面 ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点. (1)求四棱锥 O-ABCD 的体积; (2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值的大小.
由已知,可得 DE= 2,EM= 3,MD= 5, ∵( 2)2+( 3)2=( 5)2,
∴△DEM 为直角三角形,
DE 2 6 ∴tan∠EMD=EM= = 3 . 3
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3 4 5

基础知识

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专项能力提升
3 4 5

1.l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( B ) A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面

解析 当 l1⊥l2,l2⊥l3 时,l1 与 l3 也可能相交或异面,故 A 不正确; l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3,故 B 正确; 当 l1∥l2∥l3 时,l1,l2,l3 未必共面,如三棱柱的三条侧棱, 故 C 不正确; l1,l2,l3 共点时,l1,l2,l3 未必共面,如正方体中从同一顶
点出发的三条棱,故 D 不正确.
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专项能力提升
3 4 5

2.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展 开图,G、H、M、N 分别为 DE、BE、EF、 EC 的中点,在这个正四面体中, ①GH 与 EF 平行; ③GH 与 MN 成 60° 角; ②BD 与 MN 为异面直线; ④DE 与 MN 垂直.

②③④ . 以上四个命题中,正确命题的序号是________
解析 还原成正四面体知 GH 与 EF 为异面直线,BD 与

MN 为异面直线,GH 与 MN 成 60° 角,DE⊥MN.

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3.(2012· 四川)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 CD、CC1 的中点,则异面 直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是________ 90° .
解析 如图,取 CN 的中点 K,连接 MK, 则 MK 为△CDN 的中位线, 所以 MK∥DN. 所以∠A1MK 为异面直线 A1M 与 DN 所成的角.

1 1 2 则 A1K= ?4 2? +3 = 41, MK=2DN=2 4 +22= 5, A1M= 42+42+22=6, ∴A1M2+MK2=A1K2,∴∠A1MK=90° .
2 2

连接 A1C1,AM.设正方体棱长为 4,

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专项能力提升
3 4 5

4.如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 为正方 形 ABCD 的中心,H 为直线 B1D 与平面 ACD1 的交点.求证:D1、H、O 三点共线.

证明 连接 BD,B1D1, 则 BD∩AC=O,
∵BB1 綊 DD1,∴四边形 BB1D1D 为平行四边形,

又 H∈B1D,B1D 平面 BB1D1D, 则 H∈平面 BB1D1D,
∵平面 ACD1∩平面 BB1D1D=OD1,∴H∈OD1. 即 D1、H、O 三点共线.
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3 4 5

5.如图所示,等腰直角三角形 ABC 中,∠A=90° , BC= 2,DA⊥AC,DA⊥AB,若 DA=1,且 E 为 DA 的中点. 求异面直线 BE 与 CD 所成角的余 弦值.

解 取 AC 的中点 F,连接 EF,BF,

在△ACD 中,E、F 分别是 AD、AC 的中点, ∴EF∥CD. ∴∠BEF 或其补角即为异面直线 BE 与 CD 所成的角. 1 1 在 Rt△EAB 中,AB=AC=1,AE= AD= , 2 2 5 ∴BE= 2 .
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3 4 5

5.如图所示,等腰直角三角形 ABC 中,∠A=90° , BC= 2,DA⊥AC,DA⊥AB,若 DA=1,且 E 为 DA 的中点. 求异面直线 BE 与 CD 所成角的余 弦值.

1 2 2EF 4 10 在等腰三角形 EBF 中,cos∠FEB= = = . BE 10 5 2 10 ∴异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为 10 .
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1 1 1 2 在 Rt△EAF 中,AF= AC= ,AE= , ∴EF= 2 . 2 21 2 5 在 Rt△BAF 中,AB=1,AF=2,∴BF= 2 .

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