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2014届高三数学一轮复习《数列的概念与简单表示法》理 新人教B版



[第 28 讲

数列的概念与简单表示法]

(时间:45 分钟 分值:100 分)

基础热身 5 7 9 1.数列{an}:1,- , ,- ,?的一个通项公式是( ) 8 15 24 n+12n-1 A.an=(-1) (n∈N+) n2+n n-1 2n+1 B.an=(-1) (n∈N+) n3+3n n+1

2n-1 C.an=(-1) (n∈N+) n2+2n n-1 2n+1 D.an=(-1) (n∈N+) n2+2n nπ 2.[2013·福建卷] 数列{an}的通项公式 an=ncos ,其前 n 项和为 Sn,则 S2 012 等于 2 ) A.1 006 B.2 012 C.503 D.0 1 3.[2013·银川联考] 设数列{an}满足:a1=2,an+1=1- ,记数列{an}的前 n 项之积

(

an

为∏n,则∏2 012 的值为( ) 1 A. 2 B.-1 C.1 D.2 n 4. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2 -3, 则数列{an}的通项公式为____________________.

能力提升 5.[2013·衡北中学调研] 观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,?中,x, y,z 的值依次为( ) A.13,39,123 B.42,41,123 C.24,23,123 D.28,27,123 1 6.[2013·泉州四校联考] 已知数列{an}中,a1=1,an+1=- (n=1,2,3,?), an+1

则下列使 an=1 的 n 的值是( A.2 B.3 C.4 D.5

)

7.[2013·河南大市联考] 对于数列{an},a1=4,an+1=f(an),n∈N ,依照下表,则 a2 012=( ) x 1 2 3 4 5 f(x) 5 4 3[ 1 2 A.2 B.3 C.4 D.5 * 8.[2013·宁德质检] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=2,an+1=Sn+1,n∈N ,则 a6 等于( ) A.32 B.48 C.64 D.96 9.[2013·昆明模 拟] 如果执行如图 K28- 1 所示 的程序框图,则输出的结果是( )

*

图 K28-1 A.16 B.21 C.22 D.29 * 10.[2013·朝阳二模] 已知数列{an}满足 a1=2,且 an+1an+an+1-2an=0(n∈N ),则 a2=________;并归纳出数列{an}的通项公式 an=________. 11.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1,则 a10=________. 12.下列的数组均由三个数组成,它们是(1,2,3),(2,4,6),(3,8,11),(4,16, 20),(5,32,37),?,(an,bn,cn).若数列{cn}的前 n 项和为 Sn,则 Sn=________. 2 * 2 13.若 f (n)为 n +1(n∈N )的各位数字之和,如 6 +1=37,f(6)=3+7=10.f1(n)= * f(n),f2(n)=f(f1(n)),?,fk+1(n)=f(fk(n)),k∈N ,则 f2 015(4)=________. 14.(10 分)已知数列{an}满足 a1=1,an=an-1+3n-2(n≥2). (1)求 a2,a3; (2)求数列{an}的通项公式 .

15.(13 分)[2013·蚌埠调研] 已知数列{an} 满足前 n 项和 Sn=n +1,数列{bn}满足 2 bn= ,且前 n 项和为 Tn,设 cn=T2n+1-Tn. an+1 (1)求数列{bn}的通项公式; (2)判断数列{cn}的单调性; 1 7 (3)当 n≥2 时,T2n+1-Tn< - loga(a-1)恒成立,求 a 的取值范围. 5 12

2

难点突破 1 ,各项均为正数的数列{an}满足 a1=1, 1+x an+2=f(an).若 a2 013 =a2013 ,则 a20+a11 的值是________. * (2)(6 分)若数列{an}满足:对任意的 n∈N ,只有有限个正整数 m 使得 am<n 成立,记 * * 这样的 m 的个数为(an) , 则得到一个新数列{(an) }. 例如, 若数列{an}是 1, 2, 3, ?, n, ?, * * 2 * 则数列{(an) }是 0,1,2,?,n-1,?.已知对任意的 n∈N ,an=n ,则(a5) =________, * * ( (a n) ) =________. 16.(1)(6 分)[2013·上海卷] 已知 f(x)=

课时作业(二十八) 【基础热身】 1.D D. π 2.A [解析] a1=1cos =0, 2 a2=2cosπ =-2, 3π a3=3cos =0, 2 a4=4cos2π =4; 5π a5=5cos =0, 2 a6=6cos3π =-6, 7π a7=7cos =0, 2 8π a8=8cos =8. 2 该数列每四项的和为 2,2 012 ÷4=503,所以 S2 012=2×503=1 006. 1 1 1 1 1 1 3. C [解析] 由题可知 a2=1- = , a3=1- =-1, a4=1- =2, a5=1- = , ?, a1 2 a2 a3 a4 2 则此数列为周期数列,周期为 3,故∏2 012=∏3×670+2=∏2=a1a2=1,故选 C. ? ?-1,n=1, 1 4.an=? n-1 [解析] 当 n=1 时,a1=S1=2 -3=-1, ?2 ,n≥2 ? n n-1 n-1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2 -3)-(2 -3)=2 , ? ?-1,n=1, 又 a1=-1 不适合上式,则数列{an}的通项公式为 an=? n-1 ?2 ,n≥2. ? 【能力提升】 5.B [解析] 观察各项可以发现:x 为前一项的 3 倍即 42,y 为前一项减 1 即 41,z 为前一项的 3 倍即 123,故选 B. 1 1 1 1 6. C [解析] 由已知的递推公式, 得 a2=- =- , a3=- =-2, a4=- a1+1 2 a2+1 a3+1 =1,故选 C. 7.A [解析] a1=4,a2=f(4)=1,a3=f(1)=5,a4=f(5)=2, a5=f(2)=4,?,该数列是周期为 4 的周期数列,所以 a2 012=a4=2,故选 A. 8.B [解析] 当 n≥2 时,an+1=Sn+1,an=Sn-1+1, 两式相减,得 an+1-an=Sn-Sn-1=an,即 an+1=2an, 则 a2=a1+1=3,a3=2a2=6,a4=2a3=12,a5=2a4=24,a6=2a5=48,故选 B. 9.C [解析] 问题转化为在数列{an}中,a1=1,an+1=an+n,求 a7 的值.由 an=(an -an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 n(n-1) = +1,得 a7=22.故选 C. 2 n 4 2 2a1 4 10. [解析] 当 n=1 时,由递推公式,有 a2a1+a2-2a1=0,得 a2= = ; n 3 2 -1 a1+1 3 n 2a2 8 2a3 16 2 同理 a3= = ,a4= = ,由此可归纳得出数列{an}的通项公式为 an= n . a2+1 7 a3+1 15 2 -1 11.1 [解析] 由 a1=1,得 S1=a1=1, 令 m=1,得 Sn+1=Sn+1,即 an+1=Sn+1-Sn=1,故得 a10=1. [解析] 观察数列{an}各项,可写成: 3 5 7 9 ,- , ,- ,?,故选 1×3 2×4 3×5 4×6

+2 -2(n∈N ) [解析] 由 1,2,3,4,5,?猜想 an=n;由 2,4,8, 2 n n 16,32,?猜想 bn=2 ;由“每组数都是前两个之和等于第三个数”猜想 cn=n+2 ,从而 n(n+1) n+1 * Sn=(1+2+3+?+n)+(2+22+23+?+2n)= +2 -2(n∈N ). 2 2 13. 11 [解析] 因为 4 +1=17, f(4)=1+7=8, 则 f1(4)=f(4)=8, f2(4)=f(f1(4)) =f(8)=11, f3(4)=f(f2(4))=f(11)=5,f4(4)=f(f3(4))=f(5)=8,?,而 2 015=3×671+2, 故 f2 015(4)=11. 14.解:(1)当 n=1 时,a1=2, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2). 2 ,n=1, 3 ∴数列{bn}的通项公式为 bn= 1 ,n≥2. 12.

n(n+1)

n+1

*

? ? ? ? ?n

(2)∵cn=T2n+1-Tn, ∴cn=bn+1+bn+2+?+b2n+1 1 1 1 = + +?+ , n+1 n+2 2n+1 1 1 1 ∴cn+1-cn= + - <0, 2n+2 2n+3 n+1 ∴数列{cn}是递减数列. 1 1 1 (3)由(2)知,当 n≥2 时 c2= + + 为最大, 3 4 5 1 1 1 1 7 ∴ + + < - loga(a-1)恒成立, 3 4 5 5 12 即 loga(a-1)<-1, 1 由真数 a-1>0,a>1,∴a-1< ,

a

5+1 . 2 15.解:(1)由已知数列{an}满足 a1=1,an=an-1+3n-2(n≥2), ∴a2=a1+4=5,a3=a2+7=12. (2)由已知:an=an-1+3n-2(n≥2)得 an-an-1=3n-2, 由递推关系,得 an-1-an-2=3n-5,?,a3-a2=7,a2-a1=4, 叠加得: an-a1=4+7+?+3n-2 2 (n-1)(4+3n-2) 3n -n-2 = = , 2 2 2 3n -n ∴an= (n≥2). 2 2 3×1 -1 当 n=1 时,1=a1= =1, 2 2 3n - n ∴数列{an}的通项公式 an= . 2 【难点突破】 13 5+3 1 2 16.(1) (2)2 n [解析] (1)当 n 为奇数时,由递推关系可得,a3= = 26 1+ 1 化为 a -a-1<0,∴1<a<
2

1 1 2 ,a5= = ,依次可推得 2 1+a3 3 3 5 8 1 a7= ,a9= ,a11= ,又 a2010=a2012= ,由此可得出当 n 为偶数的时候,所有的 5 8 13 1+a2010 1 2 偶数项是相等的,即 a2=?=a2010=a2012,其值为方程 x= ,即 x +x-1=0 的根 ,解得 1+x

x=

-1± 5 -1+ 5 ,又数列为正数数列,所以 a20= , 2 2

13 5+3 所以 a20+a11= . 26 (2)本题以数列为背景,通过新定义考查学生自学能力、创新能力、探究能力,属于难 2 * 题.因为 am<5,而 an=n ,所以 m=1,2,所以(a5) =2. * 因为(a1) =0, * * * (a2) =1,(a3) =1,(a4) =1, * * * * * (a5) =2,(a6) =2,(a7) =2,(a8) =2,(a9) =2, * * * * * * * (a10) =3,(a11) =3,(a12) =3,(a13) =3,(a14) =3,(a15) =3,(a16) =3, * * * * * * * * 所以((a1) ) =1,((a2) ) =4,((a3) ) =9,((a4) ) =16, * * 2 猜想((an) ) =n .



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