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高一物理竞赛讲义-直线运动专题5 物系相关速度(大字)


物系相关速度
国内、 外中学物理竞赛中多见求解物系相关 速度, 或解题的“瓶颈”卡在物系相关速度的试 题, 这类问题往往叙述简洁而条件隐蔽, 情景相 像而方法各异, 使参赛者思路混沌, 无从入手. 例 如:

类型 1 ?质量分别为m1、 2 和m3 的三个质 m 点A、B、C位于光滑的水平桌面上,用已拉直 的不可伸长的柔软轻绳AB和BC连接, ∠AB C=π -α ,α 为锐角,如图5-1所示.今有 一冲量I沿BC方向作用于质点C, 求质点A开 始运动时的速度.(全国中学物理竞赛试题)

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图 5-1 ??

图 5-2

类型 2 ?绳的一端固定, 另一端缠在圆筒上, 圆 筒半径为R,放在与水平面成 α 角的光滑斜面 上,如图5-2所示.当绳变为竖直方向时,圆 筒转动角速度为 ω (此时绳未松弛),试求此 刻圆筒轴O的速度、圆筒与斜面切点C的速 度.(全国中学生奥林匹克物理竞赛试题) ?? 类型 3 ?直线AB以大小为v1 的速度沿垂直于 AB 的方向向上移动,而直线 CD 以大小为v2 的
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速度沿垂直于CD的方向向左上方移动, 两条直 线交角为 α ,如图 5-3所示.求它们的交点P 的速度大小与方向.全国中学生力学竞赛试题) (

图 5-3

图 5-4

??以上三例展示了三类物系相关速度问题. 类 型 1 求的是由杆或绳约束物系的各点速度; 类型 2 求接触物系接触点速度; 类型 3 则是求相交物 系交叉点速度. 三类问题既有共同遵从的一般规 律, 又有由各自相关特点所决定的特殊规律, 我 们若能抓住它们的共性与个性, 解决物系相关速 度问题便有章可循. ??首先应当明确, 我们讨论的问题中, 研究对
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象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长 的线等, 它们都具有刚体的力学性质, 是不会发 生形变的理想化物体, 刚体上任意两点之间的相 对距离是恒定不变的; 任何刚体的任何一种复杂 运动都是由平动与转动复合而成的.如图 5-4 所示, 三角板从位置ABC移动到位置A′B′ C′, 我们可以认为整个板一方面做平动, 使板 上点B移到点B′, 另一方面又以点B′为轴转 动,使点A到达点A′、点C到达点C′.由于 前述刚体的力学性质所致, 点A、 C及板上各点 的平动速度相同, 否则板上各点的相对位置就会 改变.这里,我们称点B′为基点.分析刚体的 运动时, 基点可以任意选择. 于是我们得到刚体 运动的速度法则: 刚体上每一点的速度都是与基 点速度相同的平动速度和相对于该基点的转动
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速度的矢量和. 我们知道转动速度v=rω , r 是转动半径,ω 是刚体转动角速度,刚体自身 转动角速度则与基点的选择无关. ??根据刚体运动的速度法则, 对于既有平动又 有转动的刚性杆或不可伸长的线绳, 每个时刻我 们总可以找到某一点, 这一点的速度恰是沿杆或 绳的方向, 以它为基点, 杆或绳上其他点在同一 时刻一定具有相同的沿杆或绳方向的分速度 (与 基点相同的平动速度).因此,我们可以得到下 面的结论. ??结论 1 ?杆或绳约束物系各点速度的相关 特征是: 在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向 的分速度. ??我们再来研究接触物系接触点速度的特 征.由刚体的力学性质及“接触”的约束可知,
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沿接触面法线方向, 接触双方必须具有相同的法 向分速度, 否则将分离或形变, 从而违反接触或 刚性的限制. 至于沿接触面的切向接触双方是否 有相同的分速度, 则取决于该方向上双方有无相 对滑动, 若无相对滑动, 则接触双方将具有完全 相同的速度.因此,我们可以得到下面的结论. ??结论 2 ?接触物系接触点速度的相关特征 是: 沿接触面法向的分速度必定相同, 沿接触面 切向的分速度在无相对滑动时相同. ??相交物系交叉点速度的特征是什么呢?我们 来看交叉的两直线a、b,如图 5-5所示,设 直线a不动, 当直线b沿自身方向移动时, 交点 P并不移动,而当直线b沿直线a的方向移动 时, 交点P便沿直线a移动, 因交点P亦是直线 b上一点, 故与直线b具有相同的沿直线a方向
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的平移速度. 同理, 若直线b固定, 直线a移动, 交点P的移动速度与直线a沿直线b方向平动 的速度相同.根据运动合成原理,当两直线a、 b各自运动, 交点P的运动分别是两直线沿对方 直线方向运动的合运动. 于是我们可以得到下面 的结论.

图 5-5 ??结论 3 ?线状相交物系交叉点的速度是相 交双方沿对方切向运动分速度的矢量和. ??这样, 我们将刚体的力学性质、 刚体运动的 速度法则运用于三类相关速度问题, 得到了这三 类相关速度特征, 依据这些特征, 并运用速度问
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题中普遍适用的合成法则、 相对运动法则, 解题 便有了操作的章法. ??下面我们对每一类问题各给出 3 道例题, 展 示每一条原则在不同情景中的应用. ??例 1 ?如图 5-6所示,杆AB的A端以速 度v做匀速运动, 在杆运动时恒与一静止的半圆 周相切, 半圆周的半径为R, 当杆与水平线的交 角为 θ 时,求(1)杆的角速度 ω (2) 杆上与半圆相切点C的速度.

图 5-6

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??分析与解?考察切点C的情况. 由于半圆静 止, 杆上点C速度的法向分量为零, 故点C速度 必沿杆的方向. 以点C为基点, 将杆上点A速度 v分解成沿杆方向分量v1 和垂直于杆方向分量 v2(如图 5-7所示),则v1 是点A与点C相同 的沿杆方向平动速度,v2 是点A对点C的转动 速度,故可求得点C的速度为

图 5-7 ?????vC=v1=v·cosθ , 又??? v2=v·sinθ =ω ·AC.

由题给几何关系知,A点对C点的转动半径为 ?????AC=R·cotθ ,
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代入前式中即可解得 ?????ω =(vsin2θ )/(Rcosθ ). ?? 例 2 ?如图 5-8 所示, 合页构件由三个菱形组成, 其边长之比为 3∶2∶1,顶点A3 以速度v沿水 平方向向右运动,求当构件所有角都为直角时, 顶点B2 的速度

vB2.

图 5-8 ??分析与解?选取了速度为沿杆方向的某一

点为基点来考察顶点B2 的速度的
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顶点B2 作为B2A1 杆上的一点, 其速度是沿 B2A1 杆方向的速度v1 及垂直于B2A1 杆方向速 度v1′的合成;同时作为杆B2A2 上的一点,其 速度又是沿B2A2 杆方向的速度v2 及垂直于B2 A2 杆方向的速度v2′的合成.由于两杆互成直 角的特定条件,由图 5-9显见,v2=v1′,v
1

=v2′.故顶点B2 的速度可通过v1、v2 速度

的矢量和求得,而根据杆的约束的特征,得

图 5-9

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???v1=( ???v2=( 于是可得

/2)vA1; /2)vA2,

由几何关系可知 ?vA1∶vA2∶vA3=A0A1∶A0A2∶A0A3= 3∶5∶6, 则???vA1=v/2,vA2=(5/6)v, 由此求得??vB2=( /6)v.

图 5-10
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??上述解析, 我们是选取了速度为沿杆方向的

某一点为基点来考察顶点B2 的速度的.当然我
们也可以选取其他合适的点为基点来分析. 如图 5-10所示,若以A1、A2 点为基点,则B2 点作 为B2A1 杆上的点, 其速度是与A1 点相同的平动 速度vA1 和对A1 点的转动速度vn1 之合成,同 时B2 点作为B2A2 杆上的点,其速度是与A2 点 相同的平动速度vA2 和对A2 点的转动速度vn2 之合成, 再注意到题给的几何条件, 从矢量三角 形中由余弦定理得

而由矢量图可知 ????vn1=( /2)(vA2-vA1), /6)v.
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代入前式可得???vB2=(

??两解殊途同归. ?? 例 3 ?如图 5-11 所示,物体A置于水平面上, 物体A上固定有动滑轮B,D为定滑轮,一根轻 绳绕过滑轮D、 B后固定在C点, BC段水平. 当 以速度v拉绳头时, 物体A沿水平面运动, 若绳 与水平面夹角为 α , 物体A运动的速度是多大?

图 5-11 ??分析与解法 1 微元法

分析与解法 2 ?首先根据绳约束特点, 任何 时刻绳BD段上各点有与绳端D相同的沿绳B
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D段方向的分速度v, 再看绳的这个速度与物体 A移动速度的关系:设物体A右移速度为vx, 则相对于物体A(或动滑轮 B 的轴心), 绳上B点 的速度为vx,即 ?????vBA=vx, 方向沿绳 BD 方向;而根据运动合成法则,在沿 绳 BD 方向上,绳上 B 点速度是相对于参照系A (或动滑轮 B 的轴心)的速度vx 与参照系A对静 止参照系速度vxcosα 的合成,即 ????v=vBA+vxcosα ;(分方向式子) 由上述两方面可得 ?????vx=v/(1+cosα ). ?? 例 4 ?如图 5-12所示,半径为R的半圆 凸轮以等速v0沿水平面向右运动, 带动从动杆
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AB沿竖直方向上升, O为凸轮圆心, P为其顶 点.求当∠AOP=α 时,AB杆的速度.

图 5-12 ??分析与解一?

图 5-13

这是接触物系相关速度问题. 由题可知杆与 凸轮在A点接触,杆上A点速度vA是竖直向上 的,轮上A点的速度v0 是水平向右的,根据接 触物系触点速度相关特征, 两者沿接触面法向的 分速度相同,如图 5-13 所示,即 ????vAcosα =v0sinα , 则???vA=v0tanα .
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故AB杆的速度为v0tanα . ??分析与解二 v杆A对地=v杆A对狐+v狐对地; 平行四边形式子) (

例 5 ?如图 5-14 所示,缠在线轴上的绳子一头 搭在墙上的光滑钉子A上,以恒定的速度v拉 绳,当绳与竖直方向成 α 角时,求线轴中心O 的运动速度vO.设线轴的外径为R,内径为r, 线轴沿水平面做无滑动的滚动. (只滚不滑、 钢体) ??分析与解?当线轴以恒定的速度 v 拉绳时, 线轴沿顺时针方向运动. 从绳端速度v到轴心速 度vO,是通过绳、轴相切接触相关的.考察切
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点B的速度: 本题中绳与线轴间无滑动, 故绳上 B点与轴上B点速度完全相同, 即无论沿切点法 向或切向,两者均有相同的分速度.图 5-15 是轴上B点与绳上B点速度矢量图: 轴上B点具 有与轴心相同的平动速度vO 及对轴心的转动速 度rω (ω 为轴的角速度),那么沿切向轴上 B点的速度为rω -vOsinα ; 而绳上B点速度 的切向分量正是沿绳方向、 大小为速度v, 于是 有关系式,即

图 5-14

图 5-15
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????rω -vOsinα =v.???① 又由于线轴沿水平地面做纯滚动, 故与水平地面 相切点C的速度为零,则轴心速度为 ??????vO=Rω ,???????② 由①、②两式可解得????vO=(Rv)/(r -Rsinα ). ??若绳拉线轴使线轴逆时针转动,vO=(R v)/(r-Rsinα ),请读者自行证明. ?? 例 6 ?如图 5-16所示,线轴沿水平面做无滑 动的滚动, 并且线端A点速度为v, 方向水平. 以 铰链固定于点B的木板靠在线轴上,线轴的内、 外径分别为r和R.试确定木板的角速度 ω 与 角 α 的关系.(只滚不滑、钢体)

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图 5-16

图 5-17

??分析与解?设木板与线轴相切于C点, 则板 上C点与线轴上C点有相同的法向速度vn,而 板上C点的这个法向速度正是C点关于B轴的 转动速度,如图5-17 所示,即 vn=ω ·BC=ω ·Rcot(α /2)??① ??现在再来考察线轴上C点的速度: 它应是C 点对轴心O的转动速度vCn 和与轴心相同的平 动速度vO 的矢量和,而vCn 是沿C点切向的, 则C点法向速度vn 应是 ???vn=vOsinα ??②
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??又由于线轴为刚体且做纯滚动, 故以线轴与

水平面切点为基点,应有 ???v/(R+r)=vO/R?????③ 将②、③两式代入①式中,得 ???ω =(1-cosα )/(R+r)v. ??

例 7 ?如图 5-18 所示,水平直杆AB在圆心为 O、半径为r的固定圆圈上以匀速u竖直下落, 试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑环M的 速度,设OM与竖直方向的夹角为 φ .

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图 5-18 ??分析与解?当小环从圆圈顶点滑过圆心角 为 φ 的一段弧时,据交叉点速度相关特征,将 杆的速度u沿杆方向与圆圈切线方向分解, 则M 的速度为????v=u/sinφ . (v杆对地=v杆对环+v环对地) ?? 例 8 ?如图 5-19所示,直角曲杆OBC绕O 轴在如图 5-19 所示的平面内转动,使套在其上 的光滑小环沿固定直杆OA滑动. 已知OB=10
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cm,曲杆的角速度 ω =0.5rad/s,求 φ =60°时,小环M的速度.

图 5-19

图 5-20

??分析与解 1 ?(vM对地=vM对(BC杆+v(BC杆)对地) 分析与解 2 本题首先应该求出交叉点M作为杆B C上一点的速度v, 而后根据交叉点速度相 关特征, 求出该速度沿OA方向的分量即为 小环速度. ??由于刚性曲杆OBC以O为轴转动, 故 其上与OA直杆交叉点的速度方向垂直于 转动半径OM、大小是v=ω ·OM=10
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cm/s. ??将其沿MA、 MB方向分解成两个分速 度,如图 5-20 所示,即得小环M的速度为 vM=vMA=v·tanφ =10 ? ? 例 9 ?如图 5-21 所示, 一个半径为R的轴环O1 立在水平面上,另一个同样的轴环O2 以速度v 从这个轴环旁通过, 试求两轴环上部交叉点A的 速度vA与两环中心之距离d之间的关系.轴环 很薄且第二个轴环紧邻第一个轴环.? cm/s.

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图 5-21

图 5-22

??分析与解 1 ?(vA对地=vMA对O2 环+vO2 环对地) 分析与解 2 ?轴环O2 速度为v,将此速度 沿轴环O1、O2 的交叉点A处的切线方向分 解成v1、 2 两个分量 环代表地) 如图 5-22, v (O ,
1

由线状相交物系交叉点相关速度规律可知, 交叉点A的速度即为沿对方速度分量v
1

. 注意到图 5-22 中显示的几何关系便可得

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