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2017届一轮复习北师大版 正弦定理和余弦定理 课件



第七节

正弦定理和余弦定理

抓主干 知识回顾

研考向 考点研究

易错防范系列

课时 跟踪检测

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第七节

正弦定理和余弦定理

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正、余弦定理 掌握正、余弦定理的内容,并能解决一些简单 的三角形度量问题.

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知识点

正弦定理和余弦定理
1.正弦定理 b c a sin B =_______ sin C =2R,其中 R 是三角形外接圆的半径.由 sin A =_______ ______ 正弦定理可以变形: (1)a∶b∶c= sin A∶sin B∶sin C . (2)a= 2Rsin A ,b= 2RsinB ,c= 2Rsin C . 2.余弦定理 2 2 2 2 2 2 a2= b +c -2bccos A, b2=a +c -2accos B , c2= a +b -2abcos C . 余

知识点

a2+c2-b2 b2+c2-a2 2ac 2bc 弦定理可以变形:cos A=___________ ,cos B=__________ ,cos C= a2+b2-c2 2ab __________.

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知识点
3.三角形中常用的面积公式 1 (1)S= ah(h 表示边 a 上的高). 2 1 1 acsin B 1 absin C 2 2 (2)S= bcsin A=__________ =__________. 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为三角形的内切圆半径). 2

知识点

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知识点
?易误提醒 (1)由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角

求另一边的对角时易忽视解的判断. (2)在判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取 公因式,以免漏解. ?必记结论 三角形中的常用结论 A+ B π C = - . 2 2 2

知识点

(1)A+B=π-C,

(2)在三角形中大边对大角,反之亦然. (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. π (4)在△ABC 中, tan A+tan B+tan C=tan A· tan B· tan C(A, B, C≠ ). 2

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知识点

[自测练习]
1.已知△ABC 中,∠A,∠B, ∠C 的对边分别为 a,b,c,若 a

试题

解析

在△ABC 中,易知∠B= 30° , 由余弦定理 b2=a2+c2- 2accos 30° =4.∴b=2.

知识点

=c= 6+ 2,且 A=75° ,则 b =( A ) A.2 C.4-2 3 B.4+2 3 D. 6- 2

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知识点
2. 在△ABC 中, 若∠A=60° , ∠B=45° ,BC=3 2,则 AC
知识点

试题

解析

在△ABC 中, 根据正弦定 AC BC 理,得 = , sin B sin A BC· sin B ∴ AC = = sin A 2 3 2× 2 =2 3. 3 2

=( B ) A.4 3 C. 3 B.2 3 D. 3 2

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知识点

试题

解析

由余弦定理知 AC2 = AB2 +

3.△ABC 中,B=120° ,AC
知识点

BC2-2AB· BCcos 120° , 即 49=25+BC2+ 5BC,解 得 BC=3. 1 故 S △ ABC = AB· BCsin 120° 2 1 3 15 3 = ×5×3× = . 2 2 4

=7,AB=5,则△ABC 的面

15 3 积为________ . 4

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考点一

利用正弦、余弦定理解三角形|
1.(2015· 高考广东卷)设△ABC 的内 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 若 a=2,c=2 3,cos A= 3 且 b<c, 2

试题

解析

由余弦定理 a2=b2+c2 -2bccos A,即 4=b2 + 12 - 6b ? b2 - 6b + 8 =0?(b-2)(b-4)=0,

题组训练

则 b= ( C ) A.3 C.2 B.2 2 D. 3

由 b<c,得 b=2.

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考点一

试题

解析

,∠B=45° ,所以 2. (2015· 高考安徽卷)在△ABC 因为∠A=75° ,由正弦定理可得 中,AB= 6,∠A=75° ,∠B ∠ C = 60°
题组训练

2 =45° ,则 AC=________.

AC 6 = ,解得 AC=2. sin 45° sin 60°

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考点一

试题

解析
1 2 1 2

因 为 △ ABC 的 面 积 S △ ABC =

3 . (2015· 高考福建卷 ) 若锐角 △ABC 的面积为 10 3, 且 AB
题组训练

AB· ACsin A , 所 以 10

3=

3 × 5 × 8 × sin A ,解得 sin A = , = 5 , AC = 8 , 则 BC 等 于 2

7 ________ .

1 因为角 A 为锐角,所以 cos A= . 2 根据余弦定理,得 BC2= 52+ 82- 2×5×8×cos A = 52 + 82 - 1 2×5×8× =49,所以 BC=7. 2

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考点一

正、余弦定理的应用原则 (1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要
题组训练

知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问 题的目的,在解题时要学会灵活运用. (2)运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.

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考点二

利用正、余弦定理判断三角形形状|

试题

解析

(2015· 沈 阳 模 拟 ) 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即 a2=b2+c2+bc.
典题悟法

(1)由已知,根据正弦定理得

在△ABC 中,a,b,c 分别 为内角 A,B,C 的对边且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c

演练冲关

+b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1, 试判 断△ABC 的形状.

由余弦定理,a2=b2+c2-2bccos A, 1 ∴bc=-2bc cos A,cos A=- . 2 2 又 0<A<π,∴A= π. 3 (2)由(1)知 sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C, ∴sin2A=(sin B+sin C)2-sin Bsin C. 3 又 sin B+sin C=1,且 sin A= , 2 1 1 ∴sin Bsin C= ,因此 sin B=sin C= . 4 2 ? π? ? 0 , 又 B、C∈? ,故 B=C. ? 2? ? ? 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.

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考点二

典题悟法

判定三角形形状的两条途径 (1)化边为角,通过三角变换找出角之间的关系. (2)

演练冲关

化角为边,通过代数变形找出边之间的关系,正 (余) 弦定理是转化的桥梁.

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考点二

试题

解析

1. 在△ABC 中, 角 A, B, (1)法一:由(2b-c)cos A-acos C=0 及正弦定理,
典题悟法

C 的对边分别为 a,b,c, ∴2sin Bcos A-sin(A+C)=0, 且 满 足 (2b - c)cos A - sin B(2cos A-1)=0.

得(2sin B-sin C)cos A-sin Acos C=0,

演练冲关

1 ∵ 0< B <π ,∴ sin B ≠ 0 ,∴ cos A = . acos C=0. 2 π (1)求角 A 的大小; ∵0<A<π,∴A= . 3 3 3 法二:由(2b-c)cos A-acos C=0, (2)若 a= 3, S△ABC= , b2+c2-a2 a· ?a2+b2-c2? 4 及余弦定理,得(2b-c)· - 2bc 2ab 试判断△ABC 的形状, 并 =0, b2+c2-a2 1 说明理由. 2 2 2 整理, 得 b +c -a =bc, ∴cos A= = , 2bc 2 π ∵0<A<π,∴A= . 3

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考点二

试题
1. 在△ABC 中, 角 A, B, (2)△ABC 为等边三角形. C 的对边分别为 a,b,c,

解析

典题悟法

1 3 3 ∵S△ABC= bcsin A= , 2 4 且 满 足 (2b - c)cos A -

acos C=0. (1)求角 A 的大小;
演练冲关

1 π 3 3 即 bcsin = , 2 3 4 ∴bc=3,① π ∵a2=b2+c2-2bccos A,a= 3,A= , 3 ∴b2+c2=6,② 由①②得 b=c= 3,∴△ABC 为等边三角形.

3 3 (2)若 a= 3, S△ABC= , 4 试判断△ABC 的形状, 并 说明理由.

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考点三

三角形的面积问题|
(2015· 高考全国卷Ⅱ ) △

试题

解析

典题悟法

ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠ BAC ,△ ABD 面积是△ ADC 面积的 2 倍.

演练冲关

(1)求

sin B ; sin C 2 ,求 BD 2

(2)若 AD=1,DC= 和 AC 的长.

1 (1)S△ABD= AB· ADsin∠BAD, 2 1 S△ADC= AC· ADsin∠CAD. 2 因为 S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD, 所以 AB=2AC. sin B AC 1 由正弦定理可得 = = . sin C AB 2 (2)因为 S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以 BD= 2. 在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2AD· BDcos∠ADB, 2 2 2 AC =AD +DC -2AD· DCcos∠ADC. 故 AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知 AB=2AC,所以 AC=1.

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考点三

典题悟法

三角形面积公式的应用原则 1 1 1 (1)对于面积公式 S= absin C= acsin B= bcsin A, 2 2 2

演练冲关

一般是已知哪一个角就使用哪一个公式. (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦 定理进行边和角的转化.

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考点三
2.已知 a,b,c 分别是△

试题
π (1)∵c=2,C= , 3

解析

典题悟法

π ∴由余弦定理得 4=a2+b2-2abcos =a2+b2- 3 ABC 的内角 A,B,C 所对 ab,

π 的边,且 c=2,C= . 3

∵△ABC 的面积等于 3, 1

演练冲关

(1) 若 △ ABC 的 面 积 等 于 ∴ absin C= 3,∴ab=4, 2 3,求 a,b; ?a2+b2-ab=4
联立? ?ab=4 (2) 若 sin C + sin(B - A) =

,解得 a=2,b=2.

2sin 2A,求 A 的值.

(2)∵sin C+sin(B-A)=2sin 2A, ∴sin(B+A)+sin(B-A)=4sin Acos A, ∴sin Bcos A=2sin Acos A,

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考点三
2.已知 a,b,c 分别是△

试题

解析

π ①当 cos A=0 时,A= ; 2 ②当 cos A≠0 时, sin B=2sin A, 由正弦定 理得 b=2a,
?a2+b2-ab=4 2 3 联立? ,解得 a= , b= 3 b = 2 a ?

典题悟法

ABC 的内角 A,B,C 所对 π 的边,且 c=2,C= . 3

演练冲关

(1) 若 △ ABC 的 面 积 等 于 3,求 a,b; (2) 若 sin C + sin(B - A) = 2sin 2A,求 A 的值.

4 3 , 3 π π ∴b2=a2+c2,∵C= ,∴A= . 3 6 π π 综上所述,A= 或 A= . 2 6

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易错防范系列 7.三角变换不等价致误

试题

解析

∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B), ∴b2[sin(A+B)+sin(A-B)]

【典例】 在△ABC 中,若(a2 + b2)sin(A - B) = (a2- b2)· sin(A +B),试判断△ABC 的形状.

=a2[sin(A+B)-sin(A-B)], ∴2sin Acos B· b2=2cos Asin B· a2, 即 a2cos Asin B=b2sin Acos B. 法一:由正弦定理知 a=2Rsin A,b=2Rsin B, ∴sin2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B, 又 sin A· sin B≠0,∴sin Acos A=sin Bcos B, ∴sin 2A=sin 2B.

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易错防范系列

试题
在△ABC 中,0<2A<2π,0<2B<2π,

解析

π ∴2A=2B 或 2A=π-2B,∴A=B 或 A+B= . 2 【典例】 在△ABC 中, ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 2 2

若 (a + b )sin(A - B) = (a -b )· sin(A+B), 试判 断△ABC 的形状.
2 2

法二:由正弦定理、余弦定理得:
2 2 2 b2+c2-a2 2 a +c -b ab =b a , 2bc 2ac 2

∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), ∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴a2-b2=0 或 a2+b2-c2=0. 即 a=b 或 a2+b2=c2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.

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易错防范系列
[易误点评] (1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等,忽略两角互补情形.

(2)代数运算中两边同除一个可能为 0 的式子,导致漏解. (3)结论表述不规范. [防范措施] (1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化,使之变为只

含边或只含角的式子,然后进行判断.(2)在三角变换过程中,一般不要两边约 去公因式,应移项提取公因式,以免漏解;在利用三角函数关系推证角的关系 时,要注意利用诱导公式,不要漏掉角之间关系的某种情况.

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易错防范系列
[跟踪练习] 在△ABC 中, 角

试题
sin A sin B (1)tan A+tan B= + cos A cos B = sin Acos B+cos Asin B cos Acos B

解析

A,B,C 的对边分别为 a,b, 2sin C c,且 tan A+tan B= . cos A (1)求角 B 的大小; a c (2)已知c +a=3, 求 sin Asin C 的值.

sin?A+B? sin C = = , cos Acos B cos Acos B ∵tan A+tan B= 2sin C sin C 2sin C ,∴ = , cos A cos Acos B cos A

1 π ∴cos B= ,∵0<B<π,∴B= . 2 3

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易错防范系列
[跟踪练习] 在△ABC 中, 角

试题

解析

A,B,C 的对边分别为 a,b, 2sin C c,且 tan A+tan B= . cos A (1)求角 B 的大小; a c (2)已知c+a=3, 求 sin Asin C 的值.

2 2 2 a c a +c b +2accos B (2)c +a= ac = , ac

b2+2accos B a c ∵c +a=3,∴ =3, ac π b2+2accos 3 b2 即 =3,∴ca=2, ac π 3 b sin B 3 而ca= = = , sin Asin C sin Asin C 4sin Asin C
2 2

sin2

3 ∴sin Asin C= . 8

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