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2.4 第2课时 等比数列的性质



第2课时 等比数列的性质

复习回顾 定义:一般地,如果一个数列从第2项起, 每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么

这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数
列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0).

a n ?1 ? q(q是与n无关的数或式子, 且q ? 0) an

an

, ?, 如果一个数列 a1 , a2 , a3 , ?, 是等比数列,它的公比是q,那么

a 2 ? a1 a3 ? a2 a4 ? a3 a5 ? a4

q 2 q ? a1 q 3 q ? a1 q 4 q ? a1 q

? 由此可知,等比数列 ?an ? 的通项公式为
?1 a n ? a1 q n( a1 ,q ? 0)

1.理解并掌握等比数列的性质及其初步应用. (重点、难点) 2.引导学生学习观察、类比、猜测等推理方法, 提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能 力.

探究点1:等比数列的图象

观察数列
(1) 1,2,4,8,16,?
1 1 1 (2)???8, 4, 2,1, , , , 2 4 8

公比 q=2 公比 q=
1 2

(3) 4,4,4,4,4,4,4,?

公比 q=1

(4) 1,-1,1,-1,1,-1,1,? 公比 q=-1

通过图象观察性质
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 O
● ● ●

等比数列的图象1 数列:1,2,4,8,16,?


递增数列


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O

等比数列的图象2


1 1 1 数列: 8, 4, 2,1, , , , ? 2 4 8
递减数列


● ● ● ●



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

等比数列的图象3 数列:4,4,4,4,4,4,4,?

常数列





















O

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O -1
● ●

等比数列的图象4

数列:1,-1,1,-1,1,-1,1,
摆动数列







1



2

3



4

5



6

7



8

9

10


探究点2:等差、等比数列的性质比较 类比等差数列的性质,等比数列有哪些性 质呢?

等差数列
定义

等比数列
常数

等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”

数学表 达式 通项公 式证明 通项 公式

an-an-1=d (n≥2)
减—除 加—乘 迭加法 加-乘

an ? q ( q ? 0, n ? 2) an ?1

迭乘法

a n ? a1 ? ( n ? 1) d

a n ? a1 ? q n ?1 ( a1,? q ? 0 )

乘—乘方

由等差数列的性质,猜想等比数列的性质

{an}是公差为d的等差数列 {bn}是公比为q的等比数列
性质1: an=am+(n-m)d 性质2:若an-k,an,an+k 是{an}中的三项 , 则2an=an+k+ an-k 性质3: 若n+m=p+q, 则am+an=ap+aq
猜想1: b n ? b m q n ? m 若bn-k,bn,bn+k 猜想2:

是{bn}中的三项,则

b2 n ? b n ?k b n ?k
猜想3:若n+m=p+q,则 bn·bm=bp·bq

性质4:从原数列中取出偶 猜想4:从原数列中取 数项组成的新数列公差为 出偶数项,组成的新 2 数列公比为 (可推 q 2d.(可推广)

广)

性质5: 若{cn}是公差为 d′的等差数列,则数列 {an+cn}是公差为d+d′的等 差数列.

猜想5: 若{dn}是公比为 q′的等比数列,则数列 {bn?dn}是公比为 q·q′的等比数列.

【知识提升】 若数列{an}是公比为q的等比数列,则 (1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时, {an}是递增数列; 当q>1, a1<0或0<q<1,a1>0时, {an}是递减数列; 当q=1时, {an}是常数列; 当q<0时, {an}是摆动数列.

(2)an≠0,且anan+2>0. (3)an=amqn-m(n,m∈N*). (4)当n+m=p+q(n,m,p,q∈N*)时,有anam=apaq.
(5)当{an}是有穷数列时,与首末两项等距离的两

项的积都相等,且等于首末两项的积.

(6)数列{λ an}(λ 为不等于零的常数)仍是公比

为q的等比数列.
(7)若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列{an? bn } 是公比为qq′的等比数列.
?1? 1 (8)数列 ? a ?是公比为 q 的等比数列. ? n?

(9)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序排

列,所得的新数列仍为等比数列,且公比为qk+1.
(10)当m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列时, am , an , ap 成等比数列.



已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列,求

证{an?bn}是等比数列.
分析:当数列?an ?、b ? n ? 是项数相同的两个等差数列时, 数列?pan + qb n ? ? 其中p,q是常数 ? 也是等差数列吗? 是的,公差为pd1 + qd2 .可以类比证明.

证明:设数列{an}的首项是a1,公比为q1; {bn}的

首项为b1,公比为q2,那么数列{an?bn}的第n项与
第n+1项分别为:

a 1 ? q1

n ?1

? b1 ? q 2 与 a 1 ? q 1 ? b1 ? q 2 ,
n n

n ?1

即a1b1(q 1q 2 )n-1 与 a1b1(q 1q 2 )n .

a n+1 · b n+1 a1b1(q1q 2 )n 因为 = = q1q 2 . n-1 an · bn a1b1(q1q 2 )
它是一个与n无关的常数,所以{an?bn}是一个 以q1q2为公比的等比数列.

技巧方法: 特别地,如果 ?an ? 是等比数列,c是 不等于0的常数,那么数列?c ? an ? 也是 等比数列.

a4 1.已知 ?an ? 为等比数列,
则 a1

? a10 ?

a5 a 6 ? ? 8 , ? a7 ? 2 ,
D.-7

( B.5

D )
C.-5

A .7

a 5 a 6 ? a 4 a 7 ? ? 8 ? a 4 ? 4, a 7 ? ? 2 解析:选D.a 4 ? a 7 ? 2,
或a4 ? ?2, a7 ? 4, a4 ? 4, a7 ? ?2 ? a1 ? ?8, a10 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7, a4 ? ?2, a7 ? 4 ? a10 ? ?8, a1 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7.

2. 在等差数列{an}中,a3+a11=8,数列{bn}是等比数 列,且b7=a7,则b6·b8的值为 ( D ) A .2 B .4 C .8 D.16

a3 ? a11 解析:选D.因为{an}为等差数列,所以 a7 = 2 =4=b7.又{bn}为等比数列,所以b6·b8 =b 7 2 =16.

3.(2013·福建高考)已知等比数列 ?an ? 的公比为q,
记 bn ? am ( n?1)?1 ? am ( n?1)? 2 ? ? ? ? ? am ( n?1)? m , cn=am(n-1)+1· am(n-1)+2·…·am(n-1)+m ?m, n ? N *?,则以下结 论一定正确的是( C ) A. 数列 ?bn ? 为等差数列,公差为 q m B. 数列 ?bn ?为等比数列,公比为q2m C. 数列 ?cn ? 为等比数列,公比为 q m
2

D. 数列 ?cn ?为等比数列,公比为 q m

m

【解题指南】如何判定一个数列是等差或等比数列,
注意一定是作差,或作比,看看是不是常数.

解析:选C.显然, ?cn ? 是等比数 ?bn ? 不可能是等比数列;
列;证明如下:

cn ? am(n?1)?1 ? am(n?1)?2

am( n?1)?m

cn?1 ? amn?1 ? amn?2

amn?m
q ? (q ) ? q
m m m m2

cn?1 amn?1 ? amn?2 amn?m m m ? ?q q cn am( n?1)?1 ? am( n?1)?2 am( n?1)?m

4.在等比数列{an}中,an>0,a2 a4+2a3a5+a4a6=36,

那么a3+a5=_6 .
5.在等比数列{an}中, a15 =10, a45=90,则

a30 =__________. 30 或-30
6.在等比数列{an}中,a1+a2 =30, a3+a4 =120,

则a5+a6=_____. 480

7.

3? 3?

2 3? 与 2 3?

2 ?1 的等比中项是___________. 2

5 ?1 对所有的自然数 n 都成立,则公比 q =___________. 2

an 8.已知正数等比数列 {an }中,

? a n ?1 ? a n ? 2

9.(2014·广东高考)等比数列{an}的各项均为正数,且 a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=
【解析】方法一:各项均为正数的等比数列{an}中 a1a5=a2a4= a 32 =4,则 a1a2a3a4a5=2 , log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5) =log22 =5. 方法二:各项均为正数的等比数列{an}中 a1a5=a2a4= a 32 =4, 设 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=S, 则 log2a5+log2a4+log2a3+log2a2+log2a1=S, 2S=5log2(a1a5)=10,S=5. 答案:5
5 5

.

1.证明或判断一个数列为等比数列的方法: an (1) =q (n?2 且q≠0)?{an}为等比数列. a n ?1 (适用于选择题、填空题和解答题)

(2)an=cqn (c,q≠0)?{an}为等比数列.
(适用于选择题、填空题)

(3)a2n+1=anan+2?{an}为等比数列.
(适用于选择题、填空题)

2.等比数列的性质:

(1)an=amqn-m(n,m∈N*)
(2)若m+n=p+q,则aman= apaq(m,n,p,q∈N*) (3)等比数列中,每隔k项取一项,按原来顺序排 列,所得的新数列仍为等比数列. (4)a1a2, a3a4, a5a6, ?仍为等比数列. (5)在等比数列中,从第二项起,每一项都是它等 距离的前后两项的等比中项.

珍惜现在,别在毫无意义的事情上浪费时间。



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