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选修2—1 第二章 §2.4.1抛物线及其标准方程


高二数学 选修 2—1 第二章 § 2.4.1 抛物线及其标准方程
班级

(2014/12/8)

变式 1:根据下列条件写出抛物线的标准方程: ⑴ 焦点坐标是(0,4);

姓名

学习目标
掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形.

1 ⑵ 准线方程是 x ? ? ; 4

⑶ 焦点到准线的距离是 2 .

学习过程
一、课前准备:
问题:到定点距离与到定直线距离之比是定值 e 的点的轨迹,当 0<e<1 时是 是 .此时自然想到,当 e=1 时轨迹是什么? 的点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛物 变式 2: 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程. (1) y 2 ? 12x (2) y ? 12x 2 ,当 e>1 时

二、新课导学: 1.定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离
线的 ;直线 l 叫做抛物线的 . .

2.定点 F 到定直线 l 的距离为

3.建立适当的坐标系,得到抛物线的四种标准形式:

图形

例 2、一种卫星接收天线的轴截面如图所示,卫星波束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收 天线,经反射聚集到焦点处,已知接收天线的口径为 4.8m ,深度为 0.5m ,试建立适当的坐标系,求 抛物线的标准方程和焦点坐标.

方程 焦点坐标 准线方程 试试: 抛物线 y 2 ? 20 x 的焦点坐标是 1 抛物线 x 2 ? ? y 的焦点坐标是 2 ,准线方程是 ,准线方程是 ; . 例 3、已知动点 M ( x, y ) 的坐标满足 ( x ? 2) ? y ? x ? 2 ,则动点 M 的轨迹是(
2 2



A.抛物线

B.双曲线

C.椭圆
2

D.以上均不对
2

典型例题 例 1、 (1)已知抛物线的标准方程是 y 2 ? 6 x ,求它的焦点坐标和准线方程; (2)已知抛物线的焦点是 F (0, ?2) ,求它的标准方程.

变式 3: 已知动点 M ( x, y ) 的坐标满足 5 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 3x ? 4 y ? 12 , 则动点 M 的轨迹是 ( ) A. 直线 B.双曲线 C.椭圆 D.抛物线

练习: (1)抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 上一点 M 到焦点距离是 a (a ? 点 M 的横坐标是
2

p 则点 M 到准线的距离是 ), 2
.

,



(2)抛物线 y ? 12x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标是

三、总结提升 ※ 学习小结 1.抛物线的定义; 2.抛物线的标准方程、几何图形.
1

课后作业 一、基础训练题
1.抛物线 y =-8x 的焦点坐标是 ( ). A.(2,0) B.(-2,0) C.(4,0) 2 2.若抛物线 y =8x 上一点 P 到其焦点的距离为 10,则点 P 的坐标为( A.(8,8) B.(8,-8) C.(8,± 8) x2 y2 3.以双曲线 - =1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( 16 9 ).
2

10.若抛物线 y2=-2px(p>0)上有一点 M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为 10,求抛物线方程和 M 点的坐标.

D.(-4,0) ). D.(-8,± 8)

A.y2=16x B.y2=-16x C.y2=8x D.y2=-8x 4.动点到点(3,0)的距离比它到直线 x=-2 的距离大 1,则动点的轨迹是( ). A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线 5.抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=1,则 a 的值为( ) 1 1 A. B.- C.4 D.-4 4 4 6.设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是________. 7.若直线 ax-y+1=0 经过抛物线 y2=4x 的焦点,则实数 a=________. 8.根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)准线方程是 y=3; (2)过点 P(-2 2,4); (3)焦点到准线的距离为 2.

二、提高训练题
11.若抛物线 y =x 上一点 P 到其准线的距离等于它到顶点的距离,则点 P 的坐标为( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 A.? ,± ? B.? ,± ? C.? , ? D.? , ? 4? 4? ?4 ?8 ?4 4 ? ?8 4 ? 12.抛物线的焦点 F 在 x 轴上,直线 y=-3 与抛物线交于点 A,|AF|=5,求抛物线的标准方程.
2

13.(创新拓展)设 F(1,0),点 M 在 x 轴上,点 P 在 y 轴上,且 (1)当点 P 在 y 轴上运动时,求点 N 的轨迹 C 的方程; (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是曲线 C 上除去原点外的不同三点,且 成等差数列,当线段 AD 的垂直平分线与 x 轴交于点 E(3,0)时,求点 B 的坐标.

9.已知动圆 M 经过点 A(3,0),且与直线 l:x=-3 相切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.

2

选修 2—1 第二章

§ 2.4.1 抛物线及其标准方程参考答案

p 1、解析 依题意,抛物线开口向左,焦点在 x 轴的负半轴上,由 2p=8 得 =2,故焦点坐 2 标为(-2,0). 答案 B 2、解析 设 P(xP,yP),∵点 P 到焦点的距离等于它到准线 x=-2 的距离,∴xP=8,yP=± 8. 答案 C x2 y2 3、解析 由双曲线方程 - =1,可知其焦点在 x 轴上,由 a2=16,得 a=4,∴该双曲 16 9 线右顶点的坐标是(4,0),∴抛物线的焦点为 F(4,0).设抛物线的标准方程为 y2= p 2px(p>0),则由 =4,得 p=8,故所求抛物线的标准方程为 y2=16x. 2 答案 A 4、解析 已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线 x=-3 的距离”,由抛 物线的定义可判断,动点的轨迹为抛物线,故选 D. 答案 D 1 1 1 1 5、解析:抛物线方程为 x2= y,其准线方程为 y=- ,∴- =1,∴a=- . a 4a 4a 4 答案 B p 4 6、解析 由抛物线的方程得 = =2,再根据抛物线的定义,可知所求距离为 4+2=6. 2 2 答案 6 7、解析 抛物线 y2=4x 的焦点为(1,0),代入 ax-y+1=0,解得 a=-1. 答案 -1 8、解 p (1)由准线方程为 y=3 知抛物线的焦点在 y 轴负半轴上,且 =3,则 p=6,故所求抛物线的标 2

p ? 10、解:由抛物线定义,设焦点 F? ?-2,0?, p 则准线为 x= ,过 M 作准线的垂线,垂足为 N,则|MN|=|MF|=10, 2 p 即 -(-9)=10,∴p=2. 故抛物线方程为 y2=-4x. 2 将 M(-9,y),代入抛物线方程得 y=± 6. ∴M(-9,6)或 M(-9,-6). 11、解析:由抛物线定义可得,P 到顶点的距离等于它到抛物线焦点的距离, p 0+ 2 1 1 2 即 P 点的横坐标为 = . 故 P 点的坐标为? ,± ?. 2 8 8 4 ? ? 答案 B 12、解:设所求焦点在 x 轴上的抛物线的方程为 y2=2px(p≠0),A(m,-3), p? 2 由抛物线定义得 5=|AF|=? ?m+2?. 又(-3) =2pm, ∴p=± 1 或 p=± 9, 故所求抛物线方程为 y2=± 2x 或 y2=± 18x. y 13、解 (1)设 N(x,y),由 得点 P 为线段 MN 的中点,∴P(0, ),M(-x,0), 2 ∴ 由 y =(-x,- ), 2 y =(1,- ). 2

y2 =-x+ =0,得 y2=4x. 4

即点 N 的轨迹方程为 y2=4x. (2)由抛物线的定义,知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,|DF|=x3+1, ∵ 成等差数列,

准方程为 x2=-12y. (2)∵点 P(-2 2,4)在第二象限,∴设所求抛物线的标准方程为 y2=-2px(p>0)或 x2=2py(p>0), 将点 P(-2 2,4)代入 y2=-2px,得 p=2 2;代入 x2=2py,得 p=1. ∴所求抛物线的标准方程为 y2=-4 2x 或 x2=2y. (3)由焦点到准线的距离为 2,得 p= 2,故所求抛物线的标准方程为 y2=2 2x,y2= -2 2x,x2=2 2y 或 x2=-2 2y. 9、解 法一 设动点 M(x,y), 设⊙M 与直线 l:x=-3 的切点为 N,则|MA|=|MN|, 即动点 M 到定点 A 和定直线 l:x=-3 的距离相等, 所以点 M 的轨迹是抛物线,且以 A(3,0)为焦点,以直线 l:x=-3 为准线, p ∴ =3,∴p=6. 2 ∴圆心 M 的轨迹方程是 y2=12x. 法二 设动点 M(x,y),则点 M 的轨迹是集合 P={M||MA|=|MN|}, 即 (x-3) +y =|x+3|,化简,得 y =12x. ∴圆心 M 的轨迹方程为 y2=12x.
3
2 2 2

x1+x3 ∴2x2+2=x1+1+x3+1,即 x2= . 2 x1+x3 y1+y3 ∵线段 AD 的中点为( , ),且线段 AD 的垂直平分线与 x 轴交于点 E(3,0), 2 2 y1+y3 -0 2 ∴线段 AD 的垂直平分线的斜率为 k= . x1+x3 -3 2 y3-y1 y3-y1 y1+y3 又 kAD= ,∴ · =-1, x3-x1 x3-x1 x1+x3-6 即 4x3-4x1 =-1. (x32-x12)-6(x3-x1)

x1+x3 ∵x1≠x3,∴x1+x3=2,又 x2= ,∴x2=1. 2 ∵点 B 在抛物线上,∴B(1,2)或(1,-2).


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