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上海市2013年高考模拟考试试卷(二模)文科数学试题


崇明县 2013 年高考模拟考试试卷 高三数学(文科)
(考试时间 120 分钟,满分 150 分)
考生注意: 1. 每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料,所有解答必须写在答题纸上规定位置, 写 在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效; 2. 答卷前,考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚; 3. 本试卷共 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 4 分,满分 56 分,只需将结果写在答题纸上)
已知 a ∈ R , 若 (3 + 2i ) ? ai (3 ? 2i )( i 为虚数单位) 为纯虚数, 则 a 的值等于 1、 cos θ 3 2、若 sin θ = ? ,则行列式 sin θ 5 sin θ = cosθ . .
开始 输入 x 是
f ( x) > g ( x) 否 h( x) = g ( x)



3、直线 ax + 2 y + 3a = 0 与直线 3x + ( a ? 1) y = a ? 7 平行,则实数 a = 4、已知函数 y = f ?1 ( x ) 是函数 f ( x) = 2 x ?1 ( x ≥1) 的反函数,则

f ?1 ( x ) =
取值范围)

. (要求写明自变量的

5、已知全集 U = R, A = { x | x 2 ? 2 x < 0} , B = { x | log 2 x + 1≥ 0} , 则 A ∩ (CU B ) = .

h ( x ) = f ( x)

输出 h(x) 结束

6、如图所示的算法流程图中,若 f ( x) = 2 x + 3, g ( x) = x2 , 若输入 x = e (e = 2.7182...) ,则输出 h( x) 的值等于 7、在直角 ?ABC 中, ∠C = 90? , ∠A = 30 ? , BC = 1 , ??? ? ??? ? D 为斜边 AB 的中点,则 AB ? CD = 品 中抽取 200 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率 f 的分布表如下: . .

图2

8、某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1, 2,3, 4,5 .现从一批该日用

X f

1

2 0.2

3 0.45

4 0.15

5 0.1

a

则在所抽取的 200 件日用品中,等级系数 X = 1 的件数为 ________.

1

9、 (

x2 1 ? 3 ) 7 展开式的常数项等于 2 x



10、已知圆柱 M 的底面圆的半径与球 O 的半径相同,若圆柱 M 与球 O 的表面积相等,则它 们 的体积之比 V圆柱 : V球 = . (用数值作答)

2

11、某四棱锥底面为直角梯形,一条侧棱与底面垂 直,四棱锥的三视图如右图所示,则其体积为 . an + 2 1 1 12、若数列 {an } 满足 = ? (n ∈ N ? ), a1 = 1, a2 = , an 2 2 则 lim ( a1 + a2 + ? + an ) =
n →∞

1 正视图 2 1 1 俯视图 侧视图



13、某班班会准备从含甲、乙的 7 名学生中选取 4 人 发言,要求甲、乙两人至少有一人参加,且若甲、 乙同时参加,则他们发言时顺序不能相邻,那么 不同的发言顺序种类为 .
(11 题图)

? ? 14、设 M 为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数 λ 和向量 a ∈ M ,都有 λ a ∈ M , 则称 ,在此基础上给出下列四个向量集合:① {( x, y ) | y ≥ x 2 } ; M 为“点射域” ? ? ② ?( x , y ) ? ? ?x ? y ≥ 0? ? 2 2 2 2 ? ? ;③ {( x, y ) | x + y ? 2 y ≥ 0} ;④ {( x, y ) | 3x + 2 y ? 12 < 0} . x + y ≤ 0 ? ? ? .

其中平面向量的集合为“点射域”的序号是

二、选择题(本大题共 4 小题,满分 20 分,每小题给出四个选项,其中有且只有一个结
论是正确的,选对并将答题纸对应题号上的字母涂黑得 5 分,否则一律得零分) 15、 f ( x) = (cos 2 x cos x + sin 2 x sin x) sin x , x ∈ R , 则 f ( x) 是 …………………………… ( A.最小正周期为 π 的奇函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 B.最小正周期为 π 的偶函数 π D.最小正周期为 的偶函数 2 ) )

“ m <1” 是 “函数 f ( x) = x 2 + 2 x + m 有零点” 的……………………………………… ( 16、 A.充要条件 C.充分非必要条件 B. 必要非充分条件

D. 既不充分也不必要条件 5 17、已知复数 w 满足 w = 2 ? i ( i 为虚数单位) ,复数 z = + w ? 2 ,则一个以 z 为根的实系 w 数 一元二次方程是…………………………………………………………………………… ( ) A. x 2 + 6 x + 10 = 0 C. x 2 + 6 x ? 10 = 0 B. x 2 ? 6 x + 10 = 0 D. x 2 ? 6 x ? 10 = 0

3

?x ? 2 y + 3 ≥ 0 ? 18、已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y + 3 ≤ 0 ,若目标函数 z = y ? ax 仅在点 ( ?3,0) 处取到 · ? y ? 1≤ 0 ? 最大 值,则实数 a 的取值范围为……………………………………………………………… ( ) 1 1 A. (3,5) B. ( ?1, 2) C. ( , +∞) D. ( ,1) 2 3

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 74 分。解答下列各题并写出必要的过程,并将解题
过程清楚地写在答题纸上) 19、 (本题满分 12 分.其中第(1)小题 4 分,第(2)小题 8 分) 如图, 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为正方形, PA ⊥ 平面 ABCD, E、 F 分别是 BC, PC 的中点, AB = 2 , AP = 2 . P (1)求三棱锥 P ? BCD 的体积; (2)求异面直线 EF 与 PD 所成角的大小.
A B E C F D

20、 (本题满分 14 分.其中第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 已知函数 f ( x) = 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 , x ∈ R .] 2 2

(1)求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期; (2)设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a , b , c ,且 c = 3 , f (C ) = 0 , 若 sin B = 2sin A ,求 a , b 的值.

4

21、 (本题满分 14 分.其中第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 已知椭圆 C : 点的 三角形周长是 4 + 2 3 ,且 ∠BF1 F2 = (1)求椭圆 C 的标准方程; 1 (2)若过点 Q(1, ) 引曲线 C 的弦 AB 恰好被点 Q 平分,求弦 AB 所在的直线方程. 2

x2 y 2 + = 1 ( a > b > 0) ,以椭圆短轴的一个顶点 B 与两个焦点 F1 , F2 为顶 a2 b2 π . 6

22、 (本题满分 16 分.其中第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 4 分) 某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后, 发现一天中环境综 合放 x 2 射性污染指数 f ( x ) 与时刻 x (时) 的关系为 f ( x ) = 2 ? a + 2a + , x ∈ [ 0, 24] , 其中 a 是与 x +1 3 气 1 象有关的参数,且 a ∈ [0, ] . 2 (1)令 t =

x , x ∈ [ 0, 24 ] ,写出该函数的单调区间,并选择其中一种情形进行证明; x +1
2

(2)若用每天 f ( x) 的最大值作为当天的综合放射性污染指数,并记作 M (a ) ,求 M (a ) ; (3)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射性 污染 指数是否超标?

23、 (本题满分 18 分.其中第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分) 已知数列 {an } 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d, Sn 为其前 n 项和,且满足
2 an = S 2 n ?1 , n ∈ N* .数列 {bn } 满足 bn =

1 , n ∈ N* , Tn 为数列 {bn } 的前 n 项和. an ? an + 1

(1)求数列 {an } 的通项公式 an 和数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ; (2)若对任意的 n ∈ N* ,不等式 λTn < n + 8 ? ( ?1) n 恒成立,求实数 λ 的取值范围; (3) 是否存在正整数 m, n (1 < m < n) , 使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在, 求出所有 m, n 的

5

值; 若不存在,请说明理由.

崇明县 2011 年高考模拟考试试卷解答
高三数学(文科)
一、填空题 3 1、 2
6、 e
2

2、

7 25

3、 3 8、 20 件 13、 600

4 、 log 2 x ( x ≥ 1) 9、 14、②

5 、 (0, ) 10、

1 2

7、 ?1 12、 1

7 2

3 4

1 2 二、选择题
11、 15、A

16、C

17、B

18、C

三、解答题 1 1 1 4 × 2 × 2 = 2 , V = S底 ? h = × 2 × 2 = 2 3 3 3 (2)∵ PB / / EF , ∠BPD 即为异面直线 EF 与 PD 所成角,
(1) h = PA = 2 , S底 = 19、

PB = 2 2 , BD = 2 2 , PD = 2 2 π π ,即异同直线 EF 与 PD 所成角的大小为 。 3 3 3 sin 2 x ? 1 + cos 2 x ? 1 = sin(2 x ? π ) ? 1 , 20、 解: (1) f ( x ) = 2 2 2 6 则 f ( x ) 的最小值是-2, 最小正周期是 T = 2π = π ; 2
∴∠BPD =
(2) f (C ) = sin(2C ? π ) ? 1 = 0 ,则 sin(2C ? π ) = 1 ,

6

6

Q0 < C <π

∴ 0 < 2C < 2π

∴ ? π < 2C ? π < 11π , 6 6 6

6

∴ 2C ? π = π ,∴ C = π , 6 2 3 Q sin B = 2 sin A ,由正弦定理,得 a = 1 ,① b 2
由余弦定理,得 c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos π ,即 a 2 + b2 ? ab = 3 , ②

3

由①②解得 a = 1, b = 2 .

21、解: (1) 2a + 2c = 4 + 2 3 ,

3 a = c, 2

求得 a = 2, c = 3, b = 1

所以椭圆方程为

x2 + y 2 = 1。 4

(2)当斜率 k 不存在时,检验得不符合要求;

? x2 + 4 y 2 = 4 1 ? 当直线 l 的斜率为 k 时, l : y ? = k ( x ? 1) ;代入得 ? ,化简得 1 2 y ? = k ( x ? 1) ? ? 2 (1 + 4k 2 ) x 2 ? 4k (2k ? 1) x + (1 ? 2k )2 ? 4 = 0
所以

4k (2k ? 1) 1 = 1 ,解得 k = ? 。 2 1 + 4k 2

检验得 ? > 0 (或说明点 Q 在椭圆内) 所以直线 l : y ?

1 1 1 = ? ( x ? 1) ,即 l : y = ? x + 1 。 2 2 2 ( x1 ? x2 )(1 ? x1 x2 ) , 2 (1 + x12 )(1 + x2 ) ( x1 ? x2 )(1 ? x1 x2 ) <0。 2 (1 + x12 )(1 + x2 )

22、解(1)单调递增区间为 [ 0,1] ;单调递减区间为 [1, 24] 。 证明:任取 0 ≤ x1 < x2 ≤ 1 , t ( x1 ) ? t ( x2 ) =

( x1 ? x2 ) < 0, (1 ? x1 x2 ) > 0 ,所以 t ( x1 ) ? t ( x2 ) =

所以函数 t ( x) 在 [ 0,1] 上为增函数。 (同理可证在区间 [1, 24 ] 单调递减) (2)由函数的单调性知 tmax ( x ) = t (1) = 1; t min ( x ) = t (0) = 0 , ∴t =

x 1 ? 1? ? 1? = ∈ ? 0, ? ,即 t 的取值范围是 ? 0, ? . x +1 x + 1 ? 2 ? ? 2? x
2

当 a ∈ ? 0, ? 时,记 g ( t ) = t ? a + 2 a + 2 3
7

? 1? ? ?

2

2 ? ?t + 3a + , 0 ≤ t ≤ a ? ? 3 则 g (t ) = ? ? t + a + 2 ,a < t ≤ 1 ? 3 2 ?
∵ g ( t ) 在 [ 0, a ] 上单调递减,在 ? a, ? 上单调递增, 2

? ?

1? ?

且 g ( 0 ) = 3a +

2 ?1? 7 1? ?1? ? , g ? ? = a + , g ( 0) ? g ? ? = 2 ? a ? ? . 3 ?2? 6 4? ?2? ?

? ?1? 1 ? 7 1 g ? ?,0 ≤ a ≤ a + ,0 ≤ a ≤ ? ? ? 2 4 ? 6 4 故 M (a ) = ? ? ? =? . ? g ( 0 ) , 1 < a ≤ 1 ?3a + 2 , 1 < a ≤ 1 ? ? 3 4 2 ? 4 2 ? 4 时, M ( a ) ≤ 2 . 9 4 4 1 故当 0 ≤ a ≤ 时不超标,当 < a ≤ 时超标. 9 9 2
(3)因为当且仅当 a ≤ 23、 (1) (法一)在 an = S2 n ?1 中,令 n = 1, n = 2 ,
2 ? ?a1 = S1 , 得? 2 ? ?a 2 = S 3 , 2 ? ?a1 = a1 , 即? 2 ? ?(a1 + d ) = 3a1 + 3d ,
2

解得 a1 = 1 , d = 2 ,∴ an = 2n ? 1
2 又∵ an = 2n ? 1 时, Sn = n 2 满足 an = S2 n ?1 ,∴ an = 2n ? 1

∵ bn =

1 1 1 1 1 = = ( ? ), an an+1 (2n ? 1)(2 n + 1) 2 2 n ? 1 2 n + 1

1 1 1 1 1 1 n ∴Tn = (1 ? + ? + ? + ? )= . 2 3 3 5 2n ?1 2n + 1 2n + 1
(2)①当 n 为偶数时,要使不等式 λTn < n + 8 ? ( ?1) n 恒成立,即需不等式

(n + 8)(2n + 1) 8 = 2n + + 17 恒成立. n n 8 ∵ 2n + ≥ 8 ,等号在 n = 2 时取得. n ∴ 此时 λ 需满足 λ < 25 .

λ<

[ 来源:www.shulihu a.net]

②当 n 为奇数时,要使不等式 λTn < n + 8 ? ( ?1) 恒成立,即需不等式

n

8

(n ? 8)(2n + 1) 8 = 2n ? ? 15 恒成立. n n 8 8 ∵ 2n ? 是随 n 的增大而增大, ∴ n = 1 时 2n ? 取得最小值 ?6 . n n ∴ 此时 λ 需满足 λ < ?21.

λ<

综合①、②可得 λ 的取值范围是 λ < ?21 . (3) T1 =

1 m n , , Tm = , Tn = 3 2m + 1 2n + 1
m 2 1 n ) = ( ), 2m + 1 3 2n + 1

若 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则 ( 即 由
m2 n = . 4m 2 + 4m + 1 6n + 3

m2 n 3 ?2m 2 + 4m + 1 = ,可得 = > 0 ,即 ?2 m 2 + 4 m + 1 > 0 , n m2 4m2 + 4m + 1 6n + 3

∴1?

6 6 . < m < 1+ 2 2

又 m ∈ N ,且 m > 1 ,所以 m = 2 ,此时 n = 12 . 因此,当且仅当 m = 2 , n = 12 时, 数列 {Tn }中的 T1 , Tm , Tn 成等比 数列. …16 分

[另解] 因为

m2 1 n 1 1 ,故 = < < ,即 2m 2 ? 4m ? 1 < 0 , 2 3 6n + 3 6 + 6 4m + 4m + 1 6 n

∴ 1?

6 6 , (以下同上 ) . < m < 1+ 2 2

9


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