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例析线面平行的判定与性质


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例析线面平行的判定与 性质

直线和平面平行的判定定理和性质定理是学习平 面与平面平行的基础,熟记和理解直线与平面平行的判 定定理和性质定理,就能灵活运用并实现“线线”、 “线面”、“面面”平行的转化.线面平行的判定定理 中,包含的要素有:两线一面.两线一面的关系是:一 线在面外一线在面内,线线平行.结论是:线面平行. 可由线线平行转化为线面平行.证线面平行的根本是要 在平面内找一条直线和已知直线平行,常用中位线定 理、成比例线段、平行公理等多种方法.线面平行的性 质定理中,包含要素有:两线两面.两线两面的关系 是:一线在一面内平行于另一面,一线是两面的交线. 结论是:两线平行.可由线面平行转化为线线平行.

一、利用三角形中位线 【例1】 已知P 为平行四边形A B C D 所

在平面外的一点,M 为P B 中点.求证: P D ∥平面M A C . 分析 根据线面平行的判定定理,要证线面平行,只
需证线线平行,即在平面M A C 内找到一条直线平行于 P D ,由此可以利用“中点M ”构造中位线. 证明 连接B D ,交A C 于N ,
连接M N . ∵四边形A B C D 是平行四边形, ∴N 是B D 的中点.

又∵M 是P B 的中点, ∴在△P B D 中,M N 是中位线, ∴M N ∥P D ,且M N ?平面M A C . 而P D ?平面M A C , ∴P D ∥平面M A C . 点评 线面平行问题通常可转化为线线平行来处理,
寻找平行直线是解决此问题的关键,这里用到三角形 中位线定理.

二、构造辅助平面 【例2】 如图,P 为平行四边形A B C D 所在平面外一点,M 、N 分别为A B 、 P C 的中点,平面P A D ∩平面P B C =直线l . (1)求证:B C ∥l ; (2)试判断M N 与平面P A D 是否平行?并证明你的结 论. 分析 根据线面平行的性质定理,要证线线平行,只
需证线面平行.即找过B C 的平面与另一平面的交线 是否为直线l .

证明

(1)∵平行四边形A B C D 中,B C ∥A D .

又∵A D ?平面P A D ,B C ?平面P A D , ∴B C ∥平面P A D . 又∵平面P A D ∩平面P B C =直线l C ?平面P B C , ,B ∴B C ∥l . (2)平行.下面进行证明. 延长C M 交D A 延长线于Q ,连接P Q . ∵M 是A B 的中点,∴△Q A M ≌△C B M . ∴Q M =M C ,即M 是C Q 的中点,

又∵N 是P C 的中点,∴M N ∥P Q . 又∵P Q ?平面P A D ,M N ?平面P A D , ∴M N ∥平面P A D . 点评 应用线面平行的性质定理时,应着力寻找过已
知直线的平面与已知平面的交线,有时为了得到交线 需作出辅助平面.

三、构造平行线 【例3】 正方体A B C D —A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别为

A B 、A 1D 1的中点. 求证:M N ∥平面B B 1D 1D . 分析 要证线面平行,可证面面平行,即证M N 所在平
面与平面B B 1D 1D 平行. 证明

取A 1B 1的中点E,连结N E 、M E .

∵M 、E 分别是A B 、A 1B 1的中点, ∴M E ∥B B 1,∴M E ∥平面B B 1D 1D .

又N 、E 分别是A 1D 1、A 1B 1的中点,∴N E ∥B 1D 1, ∴N E ∥平面B B 1D 1D , 又∵M E ∩N E =E , ∴平面M N E ∥平面B B 1D 1D 又M N ?平面M N E , ∴M N ∥平面B B 1D 1D . 点评 证明直线和平面平行,可转化为直线所在平面

与平面平行,再由面面平行转化为线面平行.

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