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中职数学平面向量教案



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x 职 业 技 术 教 育 中 心


教 师 姓 名 授 课 日 期 授 课 章 节 名 称 x x 授课班级 2013 年 3 月 11 日 第 4


12 会计、通信 周 授课形式 授课时数 新授 2

§7.1 平面向量的概念

理解引入向量是实际的需要,理解由大小、方向整体构成向量 教 学 目 的 理解向量是一个量,与表示向量的带箭头的短线段的位置无关 比照数量,掌握向量相等、相反的概念,理解平行向量的含义

向量及其模的概念和理解 教 学 重 点 向量相等、相反、平行的概念

接受向量的概念,理解向量大小、方向的整体性 教 学 难 点 对向量可以自由平移的理解 向量运算的结果与向量模之间的关系 更新、补充、 删 节 内 容 使 用 教 具 课 外 作 业

课 后 体 会

复习引入: 新授: 1. 向量的概念 把既有大小、又有方向的量,叫做向量.记为向量 a,b,c,...等,在书写时,则在小写西文字 ? ? ? 符的上方加一个小箭头,例如 a , b , c ,...等. 如果向量的方向限于平面内,则叫做平面向量. ? ? ? 向量的大小是一个非负数量,叫做向量的模.记为|a|,|b|,|c|,...或| a |,| b |,| c |,.... 特别地,若一个向量的模为单位 1,则叫做单位向量,单位向量常记作 e.若一个向量的模为 0,则叫做零向量,零向量总是记作 0.零向量的长度为 0,且规定零向量 0 的方向是可以任意确 定的. b c a 为了更直观的反映确定向量的大小、方向,我们又把向量 表示成如图 9-2(1)上所示的带箭头的短线段,箭头的方向表示 图 7-2(1) 了它所表示的向量的方向,而线段的长度则是它所表示的向量 C1 B C 的模(即大小).有时,为了突出短线段的起终点,会以字符标 出起终点(见图 9-2(1)),此时可以以 AB , CD , B1C1 等表 A 示向量,而向量的模,也就对应地表示为| AB |,| CD |,| B1C1 |. D B1 图 7-2(2) 由于我们所研究的向量只含有大小、方向两个要素,因此,即使当我们用带箭头的短线段表 示向量时,与带箭头的短线段的起终点是没有关系的.为了突出这一点,有时又把向量记作自由 向量. 例 1 设矩形 ABCD 的边长为 2 和 3,其所有的边及对角线,能构成多少向量?这些向量的 模是多少? 课内练习 1 1. 一个正六边形的所有边及中心到各顶点的连线, 能构成多少向量?试写出全部所构成的向 量;若正六边形的边长为 1,求全部向量的模,并判断哪些向量是单位向量? 2. 向量的比较 (1)向量相等 任意两个数量 a,b 都可以比较,其关系不外乎相等(a=b)或不相等(a?b)两种,只要根据两个 数的大小就可以下结论. 因为向量不但有大小, 而且有方向, 所以比较两个向量 a,b 的相等与否, 不但要比较它们的大小,还要比较它们的方向.当且仅当 a,b 的大小相等、方向相同时,才能说 a,b 相等,并表示成 a=b;否则 a, b 就不相等(a?b).在例 1 中的相等向量有且仅有

AB = DC , BA = CD , BC = AD , CB = DA ,
更仔细地说, 不相等的两个数量还可以有大于、 小于的关系, 那么向量之间是否也能有大于、 小于关系呢?因为大小、方向的整体组成向量,方向是不能比较大小的,因此向量本身之间也不 能比较大小,即两个向量不能谈及孰大孰小.当然,向量的模是数量,因此向量的模是可以比较 大小的.即使两个向量 a,b 有相同的方向,且|a|>|b|,我们仍然只能说向量 a 的模大于向量 b 的 模,而不能说向量 a 大于向量 b.

若 a=b,则把表示 a,b 的箭头短线段的始点移到同一点时,它们必重合;反之把两条箭头短 线段的始点移到同一点时重合,那么这两条短线段表示相等的向量或同一向量. 例 2 物体从点 A 出发位移,第一次沿水平线位移到 B,位移量为 3;然后继续沿铅直方向 向下位移到 C,位移量为 4. (1)试以向量表示这二次位移,并在平面上作出这两个位移向量; (2)在 A 的铅直下方 4 处标注点 D,能否说第二次位移的位移向量是 AD ?为什么? (2)相反向量 对数量,若两个数 a,b 的绝对值相等但符号相反,则把 a,b 叫做一对相反数.对向量,若两 个向量 a,b 的长度相等但方向相反,则这一对向量叫做相反向量,记作 a=-b 或-a=b.对调一个 向量的始点和终点,即得到了它的相反向量,即 AB =- BA .例如在例 1 所有的向量中,共有如 下六对相反向量:

AB =- BA , BC =- CB , DC =- CD , DA =- AD , AC =-, CA , BD =- DB .
例 3 对例 2 的问题,若记第一次位移向量为 a,第二次位移向量为 b,现继续作第三、四 次位移,第三次位移是从 C 出发向左移动 3 到 D,第四此则从 D 返回 A.试以 a,b 表示第三、 四次位移. (3)平行向量 若两个向量 a,b 的方向相同或相反,则把这一对向量叫做平行向量,也可以说向量 a 平行 于向量 b 或向量 b 平行于向量 a. 规定零向量平行于任意向量. 根据平行向量的方向特征,若向量 a 位于直线 l 上(即 a 的始终点都在 l 上),则只要平移 a 的平行向量 b,b 也必定能位于直线 l 上,因此又把平行向量叫做共线向量. 例 4 找出一个梯形各边构成的全部向量及这些向量之间存在的关系. 课内练习 2 1. 课内练习 1 的所有向量中,有哪些是相等向量?哪些是相反向量? 2. 作出一个梯形及其中线,可以构成多少向量?这些向量之间存在哪些关系? 3. 以 F,F1 都表,示方向向上、大小为 10N 的力,考察把 F 作用在 F F1 物体 W 的左上角和 F1 作用在物体 W 的右上角两种情况(如附图),物 体受力后的移动情况肯定不同,这与 F=F1 的结论矛盾吗?试作出合理 ? ? 的解释. W 小结 作业 第 3 题图

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教 师 姓 名 授 课 日 期 授 课 章 节 名 称 x x 授课班级 2013 年 3 月 12 日 第 4


12 会计、通信 周 授课形式 授课时数 新授 4

§7.2 平面向量的加法、减法和数乘向量

教 学 目 的

掌握向量加法、减法及数乘的运算法则

教 学 重 点 向量的加法、减法及数乘的运算法则

教 学 难 点

向量减法运算的法则

更新、补充、 删 节 内 容 使 用 教 具 课 外 作 业

课 后 体 会

复习引入: 新授: (1)向量的加法运算 向量加法运算的法则. 向量 a 加向量 b 的结果 a+b 是按照下列法则生成的一个向量 c:把 b 的始点移到 a 的终点 后、从 a 的始点连到 b 的终点.记作 c=a+b. 与数量相加一样,把 a 叫做被加向量,b 叫做加向量,c 叫做和向量. ? ? 在 a,b 不平行的情况下,c 是重合 a,b 的始 b 点、以 a,b 为邻边组成的平行四边形的对角线向量, 其指向与 a,b 同侧(平行四边形法则,见图 9-9(1)); ? c c ? 也是是以 a 的终点作为 b 的始点所组成的三角形的 a b a 第三边向量(三角形法则,见图 9-9(2)).对于三角形 ? ? 法则我们可以归纳为:首尾相连首尾连. 图 9-9(1) 图 9-9(2) 例 4 用两种方法作出图 9-10(1)中向量 a,b 的和向量 c. b 解 (1)按平行四边形法则,把的始 ? c b c b 点移到同一点构成一个以为相邻边的平 a a 行四边形,对角线向量即为和向量 c. ? (见图 9-10(2)) 图 9-10(1) 图 9-10(2) 图 9-10(3) (2)移 b 的始点到 a 的终点,从 a 的 始点连向 b 的终点的向量即为和向量 c(见图 9-10(3)). 例 5 (1)若 b=-a,求 c=a+b; (2)若 a,b 平行,求 c=a+b. 例 6 已知向量 a,b, c, d 如图 912,求 f=a+b+c+d. d c a 解 逐次应用向量加法的法则—— b b c 移加向量的始点到被加向量的终点,从 f a 被加向量的始点连向加向量的终点,得 d 到和向量 f 如图 9-12 所示,其中虚线表 示的向量,从左向右依次是 a+b, a+b+c. 图 9-12 课内练习 3 1. 请举一个向量相加的实际问题. 2. 向量相加的平行四边形法则和三角形法则能适用于怎样的情况? 3. a+(-a)=0,因此|a|+|-a|=0,这个结论正确吗?一般地,c=a+b,因此|c|=|a|+|b|,这个结论 正确吗?由此可以对向量相加与向量的模相加作出怎样的结论? B 4. 矩形 ABCD 如图,试求 A

AB + BC , BC + AB , BA + BC , BA + CB
得到的和向量之间有哪些关系? 5. 矩形 ABCD 如第 4 题,求 D 第 4 题图 C

( AB + BC )+ CD , AB +( BC + CD ), AB + BC + DC , BA + BC + DA . 得到的和向量之间有哪些关系? 数量加法运算满足交换律(a+b=b+a)、结合律(a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)),向量的加法运算同 样满足交换律和结合律 a+b=b+a, a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c), (2)向量的减法运算 如同数量 a,b 相减 a-b, 是被加数 a 与加数 b 的相反数-b 相加一样, 所谓向量 a,b 相减 a-b, 实际上是向量 a 与向量 b 的相反向量-b 相加,即 a+(-b).应用向量加法法则,可以得出向量减 a 法运算的法则.图 9-b 13(1)中是已知向量 a,b;图 9-13(2) a -b c 显示了 a+(-b);图 9-13(2)显示了 b a a a-b 的直接运算法则,法则的文字 c b 表述是:a-b 的结果是一个向量 c, 图 9-13(1) 图 9-13(2) 图 9-13(3) 把 a,b 的始点移到同一点,从 b 的终点连向 a 的终点的向量就是 c(三角形法则) 对于三角形法 则我们可以归纳为:首同尾连,剪头指向被减. 记作 c=a-b.a 叫做被减向量,b 叫做减向量,c 叫做差向量. 例 7 在?ABC 中,把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量,并把这些向量叫做边 向量.为了使 CA 是另两条边向量的差,另两条边向量应是怎样的? 例 8 在?ABC 中,若边向量为 AB , AC , BC ,求 (1)a= AB + BC + AC ;(2)求 b= AB - BC - AC . 课内练习 4 1. 在?ABC 中,把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量,并把这些向量叫做边向 量.为了使 AB 是另两条边向量的差,另两条边向量应是怎样的? 2. 在矩形 ABCD 中的边向量为 AB , BC , CD ,求 (1)a= AB - BC ;(2)b= BC - AB ;(3)c= CD - BC ;(4)d= AB - BC - CD . 因为向量相减是被减向量与减向量的负向量相加,而向量相加运算满足交换律、结合律,这 样向量的减法运算所能满足的运算律也就唾手可得了,例如 a-b=-b+a,a-b-c=a-c-b=a-(b+c). (3)向量的数乘运算 在数量运算中,若 a=2,b 是 a 的两倍,则 b=2a.在例 8 向量运算中,我们两次都遇到 a = AC + AC , b = CB + CB 这 样 两 个 相 同 的 向 量 相 加 问 题 , 能 不 能 也 能 简 写 成 a = 2 AC , b=2 CB 呢 ? 这 完 全 取 决 与 如 何 规 定 2 AC ,2 CB 的 含 义 , 若 规 定 它 们 的 含 义 确 实 与

AC + AC , CB + CB 相同,那么这种简写就完全合法且合理了.为此我们作如下的定义:
一个实数?乘以向量 a 的结果是一个平行于 a 的向量 b,b 的模是 a 的模|?|倍,即 |b|=|?|?|a|; b 的方向当?>0 时与 a 的方向相同,当?<0 时与 a 的方向相反.记作 b=??a 或 b=?a, 把向量的这种运算叫做向量的数乘运算. 根据向量数乘运算的这种规定,立即可知 -a=-1?a,a+a=2a,-a-a=-2a. 把数相加和向量相加所满足的运算律结合起来,立即可得向量数乘运算满足下述两个分配 律: (?+?)a=?a+?a,? (a+b)=?a+?b, 其中?,?是任意实数,a,b 是任意向量. 根据向量的数乘运算,我们有:如果有一个实数?,使 b=??a(a≠0) ,则 a 与 b 是平行向量; 反之,如果 a 与 b 是平行向量,则有且只有一个实数?,使 b=??a(a≠0) . 例 8 设 c=-2a, d=-3a, f=-2b, g=a -2b,求 h=2a+3f-3d+4g+2b-2c. 解 h=2a+3f-3d+4g+2b-2c =2a+3(-2b)-3(-3a)+4(a -2b)+2b-2(-2a) =2a-6b+9a+4a -8b+2b+4a=(2+9+4+4)a-(6+8-2)b=19a-12b. 例 9 ?ABC 的 AC 边长为 a,现把 AB,BC 边各延长原来的 0.8 倍成为?A1BC1,求边 A1C1 的长(见图 9-15). 课内练习 5 1. 已知向量 a,作出向量-2a, 3a. 2. 已知向量 a 的模为 s,求向量 b=0.1a, c=-3a, d=2.5a 的模. 3. 设 c=-a, d=-3b, f=2b, g=-2a -b,求 h=2a-3c +3f-3d-3g-2b. 4. 甲、 乙两人从同一点出发, 取不同方向前行. 当甲行进 2km、 乙行进 6km 时两人相距 4km, 问当甲、乙继续按原方向分别继续行进 1.5km、4.5km 时,两人相距多少?

小结: 作业:

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教 师 姓 名 授 课 日 期 授 课 章 节 名 称 x x 授课班级 2013 年 3 月 18 日 第 5


12 会计、通信 周 授课形式 授课时数 新授 2

§7.3 平面向量的坐标表示

教 学 目 的

平面向量的直角坐标表示 平面向量和、差及数乘运算的直角坐标表示 相等向量的直角坐标表示 平面的两点所确定向量的直角坐标

教 学 重 点

理解平面向量直角坐标的定义及其表示 掌握向量运算的直角坐标表示 掌握相等向量的直角坐标之间的关系

教 学 难 点

掌握向量运算的直角坐标表示

更新、补充、 删 节 内 容 使 用 教 具 课 外 作 业

课 后 体 会

复习引入: 新授: 1.平面向量的直角坐标 (1)坐标基底向量 设在平面上已经建立了一个直角坐标系{xOy}.方向为 x 轴正向的 单位向量 i、 方向为 y 轴正向的单位向量 j 叫做该坐标系的坐标基底向量 (见图 9-16). (2)平面向量的直角坐标 在坐标平面上给定了向量 a,平移其始点到原点后(见图 7-17),设 其终点 A 的坐标为(x,y).把(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作
??? ? a= OA =(x,y).

y

j x O i 图 7-16

若向量 a 的坐标为(x,y),则其模可以用坐标表示为 |a|= x 2 ? y 2 (7-2-1) y a xi yj j O i y A P F xi 图 7-17 x A

坐标基底向量也有其坐标,分别是 i=(1,0), j=(0,1). 以原点 O 为始点、点 A 在 x,y 轴上的投影为终点,是两个分别 平行于 i, j 的向量,根据向量加法定义,有 a=xi+yj, (7-2-2) 即有了向量的坐标,我们可以把它分解成坐标基底向量的组合. 因为坐标基底向量也是自由的,你也可以不平移 a,直接在 a 上作分解(见图 7-17).例如从图 7-18,我们就可以直接看出
AB =i-2j =(1,-2).?

yj

课内练习 1 1. 写出图 9-18 中向量 OP , EF , CD 的坐标, 并求它们 的模.??

2. 向量关系的坐标表示 B 向量之间有相等、相反、平行(共线)等关系.当知道 O C x 了向量的坐标后,这些共线的判定就变得十分简单. (1)相等:若 a=(a1,b1),b=(a2,b2),则 D E a=b ? a1=a2, b1=b2.? 即两个相等向量的坐标相等,坐标相等的向量相等.? 图 9-18 (2)相反:若 a=(a1,b1),b=(a2,b2),则 a=-b ? a1=-a2, b1=-b2. y a b 即两个相凡向量的坐标对应地互为相反数;坐标对应互为相反数的向量 相反.? (3)平行(共线): 向量 a=(a1,b1),b=(a2,b2)平行 ? 移 a,b 的始点到原 b2 B A 点后, 它们的终点 A,B 与原点共线 ? ?OA1A∽?OB1B(见图 7-19) ? b1
a1 b1 . ? a 2 b2

所以两个向量的坐标对应成比例,则它们平行;平行向量的坐标必

O

a1 a2 A1 B 1 图 7-19

x

定对应成比例.? 例 1 已知向量 a=(2,-1),当 x 为多少时,向量 b=(x,2)与 a 平行? 解 a//b ? 2 ? ? 1 ? x=-4.所以当 x=-4 时 a//b.
x 2

课内练习 2 1. 根据向量坐标,判断下列向量中存在的共线: a=(2,-1), b=(-2, 1), c=(-6, 3), d=(42,-21), e=(2,-1), f=(8,-4), g=(-2,-1). 2. 已知向量 a=(9,-4),当 y 为多少时,向量 b=(-12,y)与 a 平行? 3.平面向量运算的直角坐标表示 把向量数乘、加减法的运算法则应用于向量对坐标基底的分解式(7-2-2),即可得向量运算的 坐标表示. (1)数乘:设 a=(x,y),即 a=xi+yj,b=?a,则 b=?a=?(xi+yj)=?xi+?yj=(?x,?y), 即 ?a=?(x,y)=(?x,?y). (7-2-3) 即向量 a 数乘?后所得向量的坐标,是 a 的纵、横坐标的?倍. (2)加减法:设 a=(a1,b1),b=(a2,b2),则 a=a1i+b1j,b=a2i+b2j, a+b=(a1i+b1j)+(a2i+b2j)=(a1+a2)i +(b1+b2)j, 即 a+b=(a1+a2, b1+b2). (7-2-4) 同理也有 a-b=(a1-a2, b1-b2). (7-2-5) 所以向量 a, b 的和、差向量的坐标,等于 a, b 的坐标对应的和、差. (3)给定始终点的向量的坐标 y A 向量 a= AB .若已知点 A,B 在坐标 A(x1,y1),B(x2,y2)(见图 7-20),? 则 OA =(x1, y1), OB =(x2, y2), B (7-2-6) AB = OB - OA =(x2-x1,y2-y1). x 所以给定了始终点坐标的向量的坐标,等于终点坐标对应减去始点坐 O 标. 图 7-20 例 2 已知 a=(1,-2), b=(2,3),求 a + b, a ? b, 2a?3b. 例 3 已知 A(1,2), B(?2,1),求 AB , BA . 解 应用公式(10-2-6),
AB =(-2-1,1-2)=(-3,-1); BA =(1-(-2),2-1)=(3,1).

y C x D A x x B x

例 4 已知平行四边形 ABCD 的顶点坐标 A(1,1), B(2,3), C(-1,4)(见图 7-21),求顶点 D 点坐标. 例 5 ? ?已知 A(2,3),B(-2,5),且 AB =2 AC ,求 C 点的坐标. 例 6 某人第一天按图 9-23 所示方向、以速度 5km/h 步行 3 小时到达 A 处;第二天又按图 9-23 所示方向、以速度 15km/h 骑了 3 小时自行车到达 B 处.问 B 离此人出发点的直线距离是多少?

O 图 x 7-21

课内练习 2 1. 已知 a=(?1,2), b=(2,?2),求 a+ b, a ? b,?a+2b. 2. 已知 a=(?2+x,4), b=(?3,?1?y),且 a=b,求 x,y. ??? ??? ? ? 3. 根据下列条件求 AB 与 BA 的坐标: (1)A(?1,0), B(2,?1);(2)A(?2,1), B(3,1);(3)A(2,1), B(0,?2);(4)A(?2,4), B(?3,8). 4. 已知平行四边形 ABCD 的 A(1,0),B(2,5),C(?1,1),求 D 点坐标. ??? ? ???? 5. 已知 A(6,?3),B(3,?5),且 AB = ?2 AC ,求 C 点的坐标.

小结: 作业:

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教 师 姓 名 授 课 日 期 授 课 章 节 名 称 x x 授课班级 2013 年 3 月 21 日 第 5


12 会计、通信 周 授课形式 授课时数 新授 4

§7.4 平面向量的内积

教 学 目 的

两向量的角概念 平面向量的数量积的定义、性质及运算 平面向量数量积的坐标运算及综合应用

教 学 重 点

理解两向量角的定义、求法 理解向量数量积的含义,掌握它们的运算及性质 掌握向量数量积的坐标运算以及解决相关问题

教 学 难 点

向量数量积与向量的区别 一个向量在另一个向量上的正投影

更新、补充、 删 节 内 容 使 用 教 具 课 外 作 业

课 后 体 会

复习引入: 新授: 1. 向量的数量积 (1)平面向量所成的角 给定两个非零平面向量 a,b,移它们的始点到同一点,以表示向量 (a^b) 的线段所在直线为始终边的角,叫做向量 a,b 所成的角,记作(a^b)(见 a b 图 7-25);为了使两个非零向量所成的角唯一,规定 0?(a^b)??.零向量 0 与任何向量所成的角认为可以任意.为了方便有时也把(a^b)叫做向量 图 7-25 之间的夹角. 从向量所成角定义,立即可知 (a^b)=0 ? a//b (即 a,b 共线);(a^b)= ? ? a=-b (即 a,b 互为相反向量). 特别地,当(a^b)=

? ,则我们说 a 与 b 垂直,记作 a?b. 2

(2)向量的数量积 已知向量 a,b,a,b 的数量积是一个以下式定义的数量: a?b=|a||b|cos(a^b) 其中(a^b)表示向量 a,b 之间所成的角. 向量作为既有方向、又有大小的量,与数量有着区别.这种区别在运算方面的体现,是向 量的有一些运算在数量运算中是找不到与之对应的类别的,数量积就属于这种运算.这是因为 向量的数量积,反映的是一个向量与它在另一个向量方向上投影的积. 例 1 求下列向量的数量积: 1 ? (1)|a|=5,|b|=4, (a^b)= 2 ? ,求 a?b; (2)a=(3,4),|b|= , (a^b)= ,求 a?b; 3 2 2 (3)a=(3,4), b=(-3,-4),求 a?b; (4)a=(1,3),求 a?a; (5)a=0,b=(x,y),求 a?b. 课内练习 1 1. 求下列向量的数量积: 1 ? ? (1)|a|=2,|b|=8, (a^b)= ,求 a?b; (2)a=(1,3),|b|= , (b^a)= ,求 a?b; 3 2 4 (3)a=(-3,-2), b=(3,2),求 a?b; (4)a=(5,3),求 a?a; (5)a=(10,y),b=0,求 a?b. (3)向量数量积的基本运算法则 根据向量数量积的定义,立即可知成立如下运算法则: ①交换律:a?b=b?a; ②数乘分配率:(?a)?b=a?(?b)=?(a?b),(任意??R); ③分配率:(a+b)?c=a?c+b?c. 例 2 设 AB =(3,-1), | CD |=2, ?=( AB ^ CD )= ? ,求 3 (1)(2 AB )?(3 CD );(2)( AB +2 CD )? AB ;(3)(-4 AB )?( AB +2 CD ). 课内练习 2 5? 1.已知|a|=4, |b|=3,a 与 b 的夹角为 ,求(2a?b)?(a+2b). 6 2.已知 A(-1,2),B(1,4),| CD |=4, ?=( AB ^ CD )= ? ,求 3

(1) AB ?(3 CD );(2)(2 AB + CD )? AB ;(3) AB ?(- AB +2 CD ). (4)向量数量积的基本结论 从向量数量积的定义,可以得到一些经常用到的基本结论,这些结论是必须熟记的. ①a?b ? a?b=0; ②当 a//b 且同向时,a?b=|a||b|;当 a//b 且方向相反时,a?b=-|a||b|; ③a?a=|a|2,所以|a|= a ? a ; ④cos(a^b)=

a?b . |a |?|b|

(7-3-2)

最后一个公式(9-3-2)对求向量所成角十分有用. 例 3 已知|a|=4, |b|=5,分别在下列条件下求 a?b: (1)a//b; (2)a?b. 例 4 已知|a|=2, |b|=4,a b=-6,求(a^b)的余弦值. 课内练习 3 1. 已知 a//b,|a|=1, |b|=2,求 a?b. 2. 下述四个命题中哪些是正确的,哪些是错误的?并说明理由: (1)0?a=0;(2)|a|=a?a;(3)a?b=|a||b|;(4)a?b=|a?b|;(5)|a?b|=|a||b||cos(a^b)|; (6)(a?b)(a?b)=(a?a)(b?b)=|a|2|b|2;(7)a//b ? 存在实数?,使 a?b=?|a|2; (8)(a+b)?(a-b)=|a|2-|b|2;(9)(a+b)?(a-b)=a2-b2. 3. 已知|a|=1, |b|=4, a?b=2 3 ,求(a^b). 2.平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 向量数量积(9-3-1)是不依赖于坐标系的几何定义,如果在坐标平面上讨论,把向量数字化(即求 出向量的坐标),那末就能以坐标计算来表示向量的数量积. 首先考察坐标基底向量 i, j 的数量积,有 i?i=1;i?j=j?i=0;j?j=1. (4) 现设向量 a, b 的坐标为 a=(x1,y1), b=(x2,y2),即 a=x1i+y1j, b=x2i+y2j, 则 a· 1i+y1j)· x2i+y2j)=x1x2i· 1y2j· 1y2i· 1x2j· b=(x ( i+y j+x j+y i, 即 a· 1x2+y1y2. b=x (7-3-3) 这就是说,两个向量的数量积等于它们坐标的的对应乘积的和. 以坐标表示向量数量积的基本公式③,能得到我们熟知的一些公式: 设 a=(x,y),则 a· a=|a|2=x2+y2,即向量模公式 |a|= x 2 ? y 2 ; 特别地当 a= AB ,且起终点坐标 A(x1,y1),B(x2,y2)为已知时,由 AB =(x2-x1,y2-y1),即得 |a|=| AB |= (x 2 ? x 1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 , 此即为两点间的距离. 例 5 求下列向量的数量积: (1)a=(2, -1), b=(3, 1),求 a· b;(2)c=(-1, -1), d=(1, -1),求 c· d.

例 6 已知 a=(1, 2), b=(-2, 3),求(a+b)?(a-b), (a- b)?(2a+b). 例 7 (1)已知 a=(-2, 6), a· b=-6,设 b=(6, y),求 y; (2)已知 a=(2,2), (a^b)=

? , |b|=2,求 b 的坐标. 4

课内练习 4 1. 求下列向量的数量积: (1)a=(-2, 1), b=(3, -1),求 a· b;(2)c=(4, -1), d=(2, -1),求 c· d. 2. 已知 a=(2, -1), b=(-1, 5),求(2a+b)?(2a-b), (a-2b)?(2a+b). 3. 设 a=(x, 6), a· b=-6, b=(2, -1),求 x. 3? 4. 已知|a|=1, (a^b)= , b=(-1,2),求 a 的坐标. 4 (2)平面向量所成角的计算公式 把(9-3-3)向量模计算公式代入已有的向量所成角计算公式(7-3-2),得 cos(a^b)=

x 1 x 2 ? y1 y 2
2 2 x 12 ? y12 ? x 2 ? y 2



(7-3-4)

直线间夹角或向量间所成角的计算,一直是令人头痛的事.(7-3-4)表明,只要知道向量的坐标, 就能计算出它们之间的所成角,是今后计算的主要手段. 特别地,从向量数量积基本结论①和(7-3-4),还能得到 a?b ? x1x2+y1y2=0, (7-3-5) 这也是用来判定向量垂直的主要手段之一. 例 8 求向量 a 与 b 所成角: (1)a=(2,1) , b=(3,-1);(2)a=(2,-1) , b=(-3,-1). 例 9 已知点 A(1,2),B(2,3),C(?2,5) .求证?BAC=

? . 2

课内练习 5 1.求求向量 a 与 b 所成角: (1)a=(?1, 2), b=(2, 3);(2)a=(?1,?2), b=(2, ?5). 2. 证明以 A、B、C 为顶点的三角形是直角三角形: (1) A(?1, ? 4), B(5, 2), C(3, 4);(2)A(?2, ?3), B(19, 4), C(?1,?6). 3. 已知 a=(4, 2), b=(?3,?3),当 k 为何值时,a+b 与 ka?2b 垂直? 4. 已知点 A(0,1), B(5,2),求点 P(x,y),使 PA?PB 且 PA=PB. 小结: 作业:



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