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上海市十三校2011届高三12月联考数学(理)试题


上海市十三校 2011 届高三 12 月联考 数学(理)试题
一、 (56 分)填空题.本大题共 l4 小题,每小题 4 分 1.函数 y ? 1 ? x 2 的值域是 2. lim
2 pn = n2



n ??

。 。 。 (用数字作答)

3.已知 x,y 为正实数,且满足 4 x ? 3 y ? 12 ,则 xy 的最大值为 4.若 ( x ?
3

1 n ) 展开式的各项系数之和为 32,其展开式中的常数项为 x2
x

5.一个学校高三年级共有学生 200 人,其中男生有 120 人,女生有 80 人,为了调查高三复习状况,用分 层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为 25 的样本,应抽取女生的人数 人 6.方程 9 ? 3 ? 2 的解为
x

。 中,元素 a 的代数余子式值为 。

3
7.在行列式 0

a

5

?4 1 ?1 1 3

8.设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn,已知 a1=a 且 an+2an+1+ an+2=0(n∈N*),则 S2010=



9.上海某区政府召集 5 家企业的负责人开年终总结经验交流会,其中甲企业有 2 人到会,其余 4 家企业 各有 1 人到会, 会上推选 3 人发言, 则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为 。

10.根据右面的程序框图,要使得输出的结果在区间 [—1,0],则输入 x 的取值范围是 。 11.已知 AC、BD 为圆 O : ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 16 的两条相互垂直的弦,垂足为 M (1 ? 则四边形 ABCD 的面积 Sn 的极值为

1 2 ,2 ? ? ) , n n


6 ? ? 12.已知 f ( x) ? 2sin(2 x ? ), 若 f ( x0 ) ? , x0 [ , ], 6 5 4 2 则 cos 2 x 0= 。 13.设函数 y ? f ( x) 的 R 内有定义,对于给的正数 k, f ( x) ? k ? f ( x) 定义函数 f k ( x) ? ? 取函数 f ( x) ? k ?k 1 f ( x) ? log 2 | x |, 当k ? 时,函数 fk ( x) 的单调递增区间为 。 2 S 14.记数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,若 { n } 是公差为 d 的等差数列,则 {an } 为等差数列的充要条件是 an

?

d= 。 二、 (20 分)选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,每小题给出的四个答案中,只有一个是正确的。 ) 15.已知函数 y ? f ( x ? 1) 的图像经过点(1,2) ,则 y ? f ( x) 的反函数的图像经过定点( ) A. (2,1) B. (1,0) C. (0,2) D. (2,0)

16.设 p, q 是两个命题, p : A.充分非必要条件 C.充要条件

x ?1 ? 0, q :| 2 x ? 1 |? 1, 则p是q x
B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件
4





17. (1 ? x )8 展开式中不含 x 项的系数的和为 A.-1 B.0 C.1

( D.2



18 .定义域为 [a,b] 的函数 y ? f ( x) 图像的两个端点为 A、 B, M ( x,y )是 f ( x ) 图象上任意一点,其中

???? ??? ? ??? ? ???? ? x ? ?? ? (1 ? ? )b ? [a , b ],已知向量 ON ? ?OA ? (1 ? ?)OB ,若不等式 | MN |? k 恒成立,则称函数 1 。若函数 y ? x ? 在[1,2]上“k 阶线性近似” ,则实数 k 的取值范 f ( x)在[a, b] 上“k 阶线性近似” x
( B. [ )

围为 A. [0, ??) 三、解答题(共 74 分) 19. (本题满分 12 分) 解方程:

1 , ?? ) 12

C. [ ?

3 2

2, ??)

D. [ ? 2, ??)

3 2

log3 x log3 3x

?1 log 3 x

=3

20. (本题满分 13 分)本题共有 2 个小题,第一个小题满分 6 分,第 2 个小题满分 7 分。 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为内角 A,B,C 所对的边,且满足 (2b ? 3c)cos A ? 3a cos C. (1)求 A 的大小; (2)现给出三个条件: (1) a ? 2 ; (2)B=45°; (3) c ? 3b 试从中选出两个可以确定 ?ABC 的条件,写出你的选择,并以此为依据求 ?ABC 的面积(只需写出 一个选定方案即可)

21. (本题满分 13 分)本题共有 2 个小题,第一个小题满分 4 分,第 2 个小题满分 9 分。 一乐器发出的悦耳声音来源于拉紧的弦或木制簧片的振动,它的振动函数为

f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? 2? )

? 单位可得到 y ? f ( x) 的图像,求的值; 4 ? ? 2? , ? } 中任取一个数,从这些函数中任意抽取两个, (2)若在集合{2,3,4}中任取一个数,在 { , , 3 2 3
(1)若将函数 y ? 2sin 2 x 的图像上的点向右平移

试求其图像能经过相同的平移后得到 y ? 2sin ? x 图像的概率。

22. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,每 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分。 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1和g ( x) ?
2

bx ? 1 a x ? 2b
2

(1) f ( x ) 为偶函数,试判断 g ( x) 的奇偶性; (2)若方程 g ( x) ? x 有两个不相等的实根,当 a ? 0 时判断 f ( x ) 在(-1,1)上的单调性; (3)若方程 g ( x) ? x 的两实根为 x1 , x2 f ( x) ? 0 的两根为 x3 , x4 ,求使 x3 ? x1 ? x2 ? x4 成立的 a 的 取值范围。

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分。 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, nan?1 ? (n ? 1)an ? cn(n ? 1)(c 为常数) (1)证明: {

an } 是等差数列; n

(2)问是否存在正整数 p、q(pq)使 ap ? aq 成立?若存在,请写出 C 满足的条件,若不存在,说明 理由。 (3)设 bn ? ( ) an ,若当 n ? 4, 数列 {bn } 为递数列,试求 c 的最小值.
n

1 2



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